通信工程畢業(yè)論文基于剪切波變換的圖像去卷積算法研究與仿真

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　基于剪切波變換的圖像去卷積算法研究與仿真</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、 通信工程 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　基于剪切波變換的圖像去卷積算法研究與仿

3、真</p><p>　　摘要：受成像條件、外部噪聲以及人為因素的影響，人們獲取到的圖像常常會出現(xiàn)不同程度的失真，如圖像含有噪聲、模糊不清。噪聲和模糊的存在降低了圖像的視覺質(zhì)量，影響了圖像的后續(xù)處理。為改善圖像質(zhì)量，盡可能減少失真對圖像后續(xù)處理的影響，對圖像進行去噪和去模糊處理就成為圖像預(yù)處理過程中一項非常重要的工作。小波變換因其多分辨特性而被廣泛應(yīng)用于圖像去噪和去模糊。然而，小波變換只能表示圖像中的點狀奇異，而不

4、能有效地表示曲線奇異。新近出現(xiàn)的剪切波變換則有效地克服了小波變換的缺陷。</p><p>　　在本文中，我們使用了一種基于剪切波變換的圖像去卷積方法。模糊圖像首先被投射到傅里葉域，進行正則化反演去卷積。之后剪切波再將圖像分解到各個尺度和方向上，剪切波域的閾值將有色噪聲收縮。為了提高估計質(zhì)量，我們引入一種新型剪切波變換-離散不可分離剪切波變換，相對之前的剪切波變換，其方向指向性更好。但是Tikhonov正則限制了算

5、法的提升空間，因此本文提出了一種將較為先進的正則化方法LPA-ICI與DNST結(jié)合的算法。大量的實驗數(shù)據(jù)說明本文的去卷積算法在圖像去模糊方面的潛力。</p><p>　　關(guān)鍵詞：去卷積；去噪；剪切波變換；Tikhonov正則化；</p><p>　　Abstract：Images are often corrupted by noise and blur due to the undesi

6、red conditions for image acquisition, processing and transmission. The noise and blur in images have severely degraded image quality and affected the subsequent image processing tasks. Thus noise and blur reduction has b

7、een a very important pre-processing step for improving the quality of images. In the past decade, the wavelet transform has been successfully used in image denoising and deblurring due to its multiresolution c</p>

8、<p>　　In this paper, we consider a approach to image deconvolution based on shearlet transform. The deblurring is accomplished when the blurred image is first projected onto a Fourier domain, following Tikhonov re

9、gularized inversion, the colored noise is then suppressed using a shearlet domain based thresholding. To improve the estimating capability, we introduce a new shearlet transform associated with a nonseparable shearlet ge

10、nerator, which improves the directional selectivity of previous shearlet</p><p>　　Key words: deconvolution; denoising; discrete shearlet transform; Tikhonov-regularization; </p><p><b>　　目錄

11、</b></p><p><b>　　1 緒論1</b></p><p>　　1.1 課題背景及意義1</p><p>　　1.2 圖像復(fù)原簡介2</p><p>　　1.2.1 研究內(nèi)容2</p><p>　　1.2.2 數(shù)學(xué)模型3</p><p>

12、　　1.2.3 圖像去卷積算法的研究現(xiàn)狀6</p><p>　　1.2.4 評價方法7</p><p>　　1.3 本文主要工作和章節(jié)安排9</p><p>　　2 剪切波變換理論1</p><p>　　2.1 剪切波的定義及離散算法1</p><p>　　2.2 離散不可分離剪切波3</p>

13、<p>　　2.2.1 剪切波算子的離散化3</p><p>　　2.2.2 離散不可分離剪切波7</p><p>　　2.2.3 復(fù)雜度計算10</p><p>　　2.3 本章小結(jié)10</p><p>　　3 基于傅里葉-剪切波變換的圖像去卷積算法1</p><p>　　3.1 基于傅里葉-D

14、NST的圖像去卷積算法1</p><p>　　3.1.1 引言1</p><p>　　3.1.2 本文提議的改進去卷積算法描述2</p><p>　　3.2 各類去卷積算法仿真與結(jié)果分析4</p><p>　　3.2.1 基于DNST的圖像去噪算法仿真與分析4</p><p>　　3.2.2 基于傅里葉-DN

15、ST的去卷積算法仿真與分析6</p><p>　　3.3 本章小結(jié)14</p><p>　　4 基于LPA-剪切波變換的圖像去卷積算法1</p><p>　　4.1 基于LPA-ICI-DNST的圖像去卷積算法1</p><p>　　4.1.1 算法提出的背景1</p><p>　　4.1.2 本文提議的LP

16、A-ICI-DNST算法描述1</p><p>　　4.2 算法仿真與結(jié)果分析2</p><p>　　4.3 本章小結(jié)5</p><p><b>　　5 總結(jié)與展望1</b></p><p><b>　　致謝1</b></p><p><b>　　參考文獻

17、1</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 課題背景及意義</p><p>　　視覺是人類最高級的感知器官，視覺活動則是人類最基本的活動之一。在日常生活和社會活動中，人們無時無刻不在進行著視覺活動。在視覺活動過程中，圖像是人類獲取外部信息的主要形式[1]。隨著數(shù)字多媒體和計算機視覺技術(shù)的迅

18、猛發(fā)展，對圖像信息進行加工處理（如去噪、去模糊以及壓縮等）以滿足人們的視覺和實際應(yīng)用的需要，變得越來越重要。</p><p>　　圖像復(fù)原是圖像處理中的一個重要問題，它廣泛應(yīng)用在諸多領(lǐng)域，比如計算機視覺、醫(yī)療成像等。圖像復(fù)原是指去除或減輕在獲取數(shù)字圖像過程中發(fā)生的圖像質(zhì)量下降（退化）。從降質(zhì)圖像復(fù)原出清晰的、內(nèi)容豐富、接近真實理想的圖像，將有利于提高圖像處理應(yīng)用的精確性、實用性、真實性和有效性。而且圖像復(fù)原處理結(jié)

19、果的性能，在一定程度上左右著后續(xù)其它圖像處理算法的研究和發(fā)展[2]。</p><p>　　圖像在獲取和傳輸過程中，受外部環(huán)境的限制以及成像設(shè)備物理局限性的影響，除了會受到噪聲的污染外，還會引入不同程度的模糊，最常見的原因有：1）被攝物體與成像設(shè)備間的相對運動會造成圖像的運動模糊；2）成像設(shè)備聚焦不良會造成圖像的散焦模糊；3）在天文和遙感成像時，大氣湍流的擾動效應(yīng)也會引起圖像的模糊。為消除模糊對圖像質(zhì)量的影響，去模

20、糊一直是圖像預(yù)處理領(lǐng)域重要的研究課題之一[3]。</p><p>　　得益于小波的多尺度特性，以小波為基礎(chǔ)的多尺度圖像去模糊方法是當前領(lǐng)域的研究熱點。盡管基于小波變換的方法在圖像去模糊領(lǐng)域取得了很大進步，但是受小波表示圖像局限性的影響，小波圖像去模糊方法存在著先天不足。為此，Starck[4]等人提出了基于曲線波變換的去模糊方法，其去模糊效果要優(yōu)于基于小波的方法。Chaux[5]等人于2007年在框架理論下，提出

21、了變分圖像去模糊方法。2009年，Dupe[6]等人利用曲線波變換提出了一種基于鄰近迭代算法的去模糊方法，取得了較好的效果。</p><p>　　然而，曲線波在頻率空間中是隔層細分的，這在一定程度上影響了它對圖像稀疏表示的性能，剪切波變換不僅具有與曲線波相同的非線性誤差逼近階，而且在頻率空間中剪切波是逐層細分的。對于具有光滑奇異性的目標函數(shù)，剪切波具有良好的多分辨性和多方向分解特性，可以對圖像進行靈活的多分辨和多

22、方向分解，對圖像中的邊緣和紋理等細節(jié)信息能給出接近最優(yōu)的表示性能，是一種更為靈活的數(shù)字圖像表示方法。但目前剪切波在圖像去模糊領(lǐng)域的研究較少。這些原因都促使我們對剪切波在圖像去模糊領(lǐng)域的應(yīng)用進行研究。</p><p>　　1.2 圖像復(fù)原簡介</p><p>　　根據(jù)降質(zhì)因素的不同，圖像復(fù)原的主要研究內(nèi)容可分為四種類型：去噪、去模糊、修復(fù)和超分辨率處理。圖像復(fù)原的目標是對退化的圖像進行處理,

23、使它趨向于復(fù)原成沒有退化的理想圖像。視具體應(yīng)用的不同，將損失掉的圖像部分復(fù)原過來可以起到不同的作用：有時可能只是修飾作用；而有時則起著成敗攸關(guān)的作用[7,8]。本文主要針對圖像去噪和去模糊兩個方面的問題展開研究。</p><p>　　1.2.1 研究內(nèi)容</p><p><b>　?。?）圖像去噪</b></p><p>　　噪聲嚴重地妨礙了人

24、類感覺器官對所接收到的信源（如圖像）信息的理解。在數(shù)字圖像處理的實際應(yīng)用中，圖像往往不可避免地受到各類噪聲的干擾，比如光電轉(zhuǎn)換過程中的噪聲，照片顆粒噪聲和光學(xué)成像噪聲等。圖像去噪是為了減弱噪聲的影響，讓人們能夠從圖像中獲取更準確有效的信息，也使圖像的質(zhì)量達到后續(xù)處理的要求[7,8,9]。</p><p>　　噪聲圖像可以認為是原始清晰圖像與噪聲以某種形式組合形成（可能疊加或者相乘，通常認為相加）的結(jié)果。這兩個方面

25、各自都具有相應(yīng)的頻域和空間域特征屬性，也可能存在部分交疊，而且可能與不同的圖像內(nèi)容相關(guān)?；镜奶幚硭悸肥?，在獲取或者假定噪聲和圖像的統(tǒng)計特性基礎(chǔ)上，進行頻域濾波、空間域濾波，可以是基于全局的或者局部的。比較常用的技術(shù)有傳統(tǒng)的濾波方法和小波變換方法。在這些技術(shù)的研究中，人們主要關(guān)注，獲取統(tǒng)計特性、保持原始特性細節(jié)、對不同圖像內(nèi)容的自適應(yīng)處理等這些方面的內(nèi)容[2]。</p><p>　　在本文中我們使用剪切波變換進行

26、去噪處理。</p><p><b>　?。?）圖像去模糊</b></p><p>　　從原始的模糊圖像中復(fù)原出清晰圖像的問題，稱之為圖像去模糊。依據(jù)圖像模糊的物理本質(zhì)來看，主要有三種類型的圖像模糊，分別是由光學(xué)、機械和媒質(zhì)所引起的。類似于圖像去噪，圖像去模糊在圖像處理領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。如在光學(xué)、醫(yī)學(xué)和天文學(xué)領(lǐng)域中，圖像的采集或傳輸過程中由于受到不同因素的影響，導(dǎo)致圖像產(chǎn)

27、生模糊降質(zhì)，嚴重地影響了后續(xù)的圖像處理。如在醫(yī)學(xué)圖像中檢測非正常組織部分，又如檢測遙遠星體表面細節(jié)內(nèi)容等應(yīng)用，都需要在清晰的高質(zhì)量圖像上進行處理，否則將得出沒有實際意義的處理結(jié)果。</p><p>　　圖像的模糊過程可以看作是圖像與模糊核的卷積作用過程，因此，圖像去模糊可以說等效于圖像的去卷積（逆濾波）操作。在六十年代中期，去卷積開始被廣泛地應(yīng)用于數(shù)字圖像去模糊處理[2]。</p><p>

28、;　　1.2.2 數(shù)學(xué)模型</p><p>　　Real scene Blur effect Observation</p><p>　　圖1.1 圖像降質(zhì)的模型</p><p>　　圖像降質(zhì)是諸多因素在圖像成像或傳輸過程中,復(fù)合影響而產(chǎn)生的結(jié)果，這是一個正向的問題。圖像的模糊過程則可視為:，如圖1.1所示，其中為模糊因素，常稱為點

29、擴展函數(shù)。圖像復(fù)原的要求是從降質(zhì)圖像中復(fù)原出原始的清晰圖像，顯然，它是降質(zhì)的逆過程，是一個病態(tài)（或稱非適定）的反問題。</p><p>　　從數(shù)學(xué)上講,圖像去卷積問題的處理不簡單,具有相當?shù)碾y度,不論是點擴散函數(shù)已知還是點擴散函數(shù)未知。</p><p>　　1923年，法國數(shù)學(xué)家Hadamard提出了良態(tài)（適定性）的概念，根據(jù)他的定義，一個問題是良態(tài)的，如果（i）問題的解是存在的；（ii）

30、解是唯一的；（iii）解連續(xù)依賴于數(shù)據(jù)。如果三個條件中任意一個不能滿足，則稱問題是病態(tài)的或不適定的[7,8,9]。對病態(tài)反問題的求解，有兩個關(guān)鍵點需要處理，一個是需要從病態(tài)問題的不穩(wěn)定的多解中，得出穩(wěn)定的單一解；另一個是盡可能地得到原始病態(tài)問題的最優(yōu)近似解。解決這兩個關(guān)鍵問題的技術(shù)是：在求解過程中增加合適的約束條件，將病態(tài)問題的求解變換成求解良態(tài)問題，以該良態(tài)問題的解近似逼近原始病態(tài)問題的解。正則化方法則是其中的一種比較常用且有效的處理

31、方法。</p><p>　　因為數(shù)字記錄的圖像是有限離散數(shù)據(jù)組，因此圖像的去卷積問題可以建模為矩陣求逆的問題。不失一般性，假設(shè)記錄的數(shù)組大小為。是一個的樣本數(shù)組，這些樣本來自均值為零、方差為的加性高斯白噪聲（AWGN）。給出的陣列y和x分別代表觀察得到的圖像和原始圖像。矩陣去卷積問題可以表示為：</p><p><b>　?。?.1）</b></p>&

32、lt;p>　　其中y，x和是代表y，x和數(shù)組的列向量，H是代表模糊算子的的矩陣。當H為塊循環(huán)矩陣時，問題可以描述為：</p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　其中，代表循環(huán)卷積，h代表線性時不變空間的點擴展函數(shù)（PSF）。在離散傅里葉變換域，公式（1.2）可以寫為：</p><p><b>　?。?.

33、3）</b></p><p>　　其中，，和分別是y,h,x和的二維離散傅里葉變換，。這個系統(tǒng)的條件由H的最大和最小幅值之比決定。通常，包含了在零點或者零點附近的值，這些值會使得系統(tǒng)出現(xiàn)病態(tài)。</p><p><b>　　即：</b></p><p>　　如上所述，可能含有零值，且處于分母位置，因此必須避免這種情況。因此我們使用來代

34、替，其原理如下： </p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　　分母上加上一個小的常數(shù)（正則化參數(shù)），從而避免分母為零的情況。那么在傅里葉域的圖像估計就可以由下式給出：</p><p><b>　?。?.5）</b></p><p>　　其中。上述類型的正則化通常叫做Tikh

35、onov正則化。當PSD（Power Spectrum density）的估計可以通過[10]中的方法計算出來時，那么基于維納算法的正則化可以通過下面的式子實現(xiàn)：</p><p><b>　?。?.6）</b></p><p>　　其中，是當時圖像的PSD估計。</p><p>　　經(jīng)過正則化以后，噪聲并未消除，因此還要對含噪圖像進行去噪。去噪

36、方法主要分為空域去噪方法和變換域去噪方法，在此主要介紹變換域去噪方法。</p><p>　　圖1.2 基于變換的圖像去噪方法示意圖</p><p>　　圖1.2給出了基于變換的圖像去噪算法的去噪示意圖，整個過程主要包括以下三步：</p><p>　　（1）對含噪圖像進行變換得到含噪圖像的變換系數(shù)；</p><p>　?。?）利用閾值函數(shù)（也

37、稱為收縮函數(shù)）對變換系數(shù)進行處理，得到修改后</p><p><b>　　的變換系數(shù)；</b></p><p>　?。?）對修改后的變換系數(shù)利用逆變換得到去噪后的圖像。</p><p>　　在上述過程中，閾值函數(shù)的選擇是去噪算法的核心問題?；谛〔ㄗ儞Q，Donoho和Johnstone開創(chuàng)性地提出了硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)兩種去噪方法，給出了一種

38、通用閾值，并從漸近意義上分析了去噪方法的最優(yōu)性。硬閾值函數(shù)是一種對大系數(shù)進行保留，對小系數(shù)進行“扼殺”的處理策略，軟閾值函數(shù)則是對大系數(shù)進行收縮，對小系數(shù)進行“扼殺”的處理策略，由軟閾值函數(shù)所得去噪圖像的視覺效果通常要好于硬閾值函數(shù)。但是，由于軟閾值函數(shù)對代表圖像重要信息的變換系數(shù)進行了收縮處理，這使得其估計的偏差較大，且重構(gòu)后的去噪圖像往往會出現(xiàn)過平滑現(xiàn)象，丟失了圖像中的許多細節(jié)信息，從而導(dǎo)致去噪后圖像的峰值信噪比較低。</p&

39、gt;<p>　　1.2.3 圖像去卷積算法的研究現(xiàn)狀</p><p>　　對于圖像去卷積的研究，可以追溯到二十世紀六十年代，著名的應(yīng)用包括阿波羅登月和火星表面的探測等，發(fā)展至今，已經(jīng)出現(xiàn)各種處理思想與模型。復(fù)原過程一般是先建立某種數(shù)學(xué)退化模型，然后依退化模型并嘗試利用已退化圖像的某些先驗信息進行退化圖像的恢復(fù)。模糊與噪聲是圖像退化兩種最常見而重要的類型[7]。</p><p&

40、gt;　　對于模糊圖像的復(fù)原，現(xiàn)在已經(jīng)出現(xiàn)了多種方法，逆濾波方法[11]是較早出現(xiàn)的去模糊算法，這種算法假定模糊圖像不存在噪聲干擾，直接利用退化模型做逆運算得到復(fù)原的清晰圖像，但是實際的模糊圖像中往往帶有噪聲干擾，而逆濾波方法在噪聲存在時效果較差；Helstrom 提出了最小均方誤差濾波[12]，即維納濾波，方法建立在認為圖像和噪聲是隨機過程的基礎(chǔ)上，而目標是找一個未污染圖像的估計值，使它們之間的均方差最小，這種方法說明了如何處理噪聲，

41、但是需要知道圖像較多的先驗知識；Richardson 和 Lucy[13,14]在原圖像符合泊松分布的假設(shè)提前下提出了Lucy-Richardson（L-R）算法，目前已被廣泛應(yīng)用于圖像修復(fù)中，但是由于對噪聲的敏感性，使得修復(fù)后的圖像中存在明顯的振鈴效應(yīng)；Chan等[15,16]提出了基于變分法和偏微分方程（PDE）的TV（Total Variation）盲去卷積模型，通過交替迭代算計算模糊核與理想圖像，利用模型中的正則化項來抑制復(fù)原過

42、程中的振鈴效應(yīng)，但引入的 TV 模型不符合圖像形態(tài)學(xué)分布，導(dǎo)致對圖像的紋理區(qū)域會產(chǎn)生錯誤的抑制；Krishnan與Fergus[1</p><p>　　2009年，由美國馬里蘭大學(xué)的Vishal M.Patel博士[18]等人提出了與廣義交叉驗證（GCV）相結(jié)合的基于剪切波變換的去卷積算法，2012年加拿大阿爾伯塔大學(xué)的Amirhossein[19]等人提出了另一種與維納濾波相結(jié)合的基于剪切波變換的去卷積算法。2

43、013年，Wang-Q Lim[20]提出了離散不可分離剪切波變換（DNST，discrete nonseparable shearlet transform），其在圖像去噪、圖像修復(fù)甚至是3D視頻去噪方面都體現(xiàn)出卓越的性能。</p><p>　　目前，雖然國內(nèi)高校研究剪切波應(yīng)用的學(xué)者仍在少數(shù)，但是近幾年來還是涌現(xiàn)出了不少優(yōu)秀的研究成果。例如，上海大學(xué)的郭強博士[3]曾經(jīng)在其2010年的博士論文中完整地闡述了基于

44、剪切波的去模糊方法，鄭州大學(xué)的曲艷[21]于2012年提出了基于剪切波變換的人臉表情識別技術(shù)，這是一項應(yīng)用價值極高的技術(shù)，鄭州大學(xué)的張紅[22]于2013年提出了在貝葉斯框架下基于剪切波的去模糊算法。相信剪切波會在我國呈現(xiàn)出更加迅猛的發(fā)展勢頭，為數(shù)字圖像處理領(lǐng)域帶來更豐富的研究成果。</p><p>　　1.2.4 評價方法</p><p>　　圖像的質(zhì)量包含有兩個方面的含義，一是圖像的逼

45、真度（image fidelity），另一是圖像的可理解度（understandability）。在圖像復(fù)原中強調(diào)圖像的逼真度，它描述了被評價圖像與原圖像或標準圖像的偏離程度。退化圖像經(jīng)復(fù)原算法處理后，得出對原圖像的估計。估計圖像對原圖像的逼真度衡量了估計圖像的質(zhì)量和復(fù)原算法的優(yōu)劣。圖像質(zhì)量的評價可以從主客觀兩個角度來描述。主觀評價更多地考慮了人眼的視覺特性，摻雜了人的心理、經(jīng)驗和習(xí)慣意愿傾向，多是對圖像質(zhì)量的定性評價或可用統(tǒng)計來計算。

46、然而，客觀評價是對復(fù)原方法的定量度量，它用計算退化或模糊圖像與原圖像的偏差來衡量估計圖像質(zhì)量。</p><p>　　1. 傳統(tǒng)的客觀評價方法</p><p>　　圖像質(zhì)量的客觀評價，長期以來使用最為廣泛的是采用統(tǒng)計誤差的方法。目前，常用的客觀評價方法有以下三種[23]：</p><p>　　（1）均方誤差（MSE）:設(shè)圖像的大小為，則均方誤差定義為</p>

47、;<p><b>　?。?.7）</b></p><p>　?。?）峰值信噪比（PSNR）</p><p><b>　?。?.8）</b></p><p>　?。?）改進信噪比（ISNR）</p><p><b>　?。?.9）</b></p>&l

48、t;p>　　上述三種客觀評價方法，都只是從統(tǒng)計的角度來度量復(fù)原圖像與原始圖像對應(yīng)像素間存在的誤差，其評價結(jié)果并不一定跟人眼視覺相符合。</p><p>　　2. 基于圖像結(jié)構(gòu)相似性的評價方法</p><p>　　結(jié)構(gòu)相似性（Structral Similarity:SSIM）索引[24]是一種測量兩幅圖像間相似性的方法。SSIM索引是一種全參考度量，換句話說，圖像質(zhì)量的測量是基于原始

49、無壓縮或者無變形的圖像的。傳統(tǒng)的圖像質(zhì)量表示方法，如峰值信噪比（PSNR）和均方差（MSE），它們對圖像質(zhì)量的表示機制與人類視覺感知不一致，而SSIM的提出解決了這一矛盾問題。</p><p>　　假設(shè)兩幅進行比較的圖像X和Y，結(jié)構(gòu)相似性測量通過X與Y間的三個相互獨立的比較來實現(xiàn)的:一是光度比較;二是對比度比較;三是結(jié)構(gòu)比較。其中，光度比較定義為:</p><p><b>　?。?/p>

50、1.10）</b></p><p>　　式中，是一個常量，避免上式分母中的接近0時給系統(tǒng)造成的不穩(wěn)定性影響。是一個常量。L表示圖像灰度的范圍（灰度圖像即為255）。</p><p>　　對比度比較則定義成為：</p><p><b>　　（1.11）</b></p><p><b>　　式中，。&l

51、t;/b></p><p><b>　　結(jié)構(gòu)比較定義成為：</b></p><p><b>　?。?.12）</b></p><p><b>　　式中，。</b></p><p>　　最后，可通過如下公式來定義SSIM的計算</p><p><

52、;b>　?。?.13）</b></p><p>　　式中，，，是非負參數(shù)，主要用以調(diào)整三項之間的比例關(guān)系，在文獻[24]中作者設(shè)定，，均為1，同時設(shè)，那么式（1.1）則演變成:</p><p><b>　?。?.14）</b></p><p>　　SSIM是一個屬于（0,1）間的實數(shù)，SSIM的值為0意味兩幅圖像間沒有任何相似

53、性，值為1則意味著兩幅圖像完全相同。利用這種方法能有效地比較兩幅圖像的相似。SSIM通常是將圖像劃分成若干個小塊進行計算的，在實際上，需要針對整個圖像進行計算，因此得到如下修改的SSIM：</p><p><b>　?。?.15）</b></p><p>　　在圖像復(fù)原算法中，如果實驗是在已知的未受噪聲或模糊影響的圖像基礎(chǔ)之上，通過實驗手段在圖像中加入噪聲或模糊處理，

54、那么在圖像復(fù)原之后，會產(chǎn)生復(fù)原結(jié)果圖像。在這種情況之下，可以計算出原始的理想圖像與復(fù)原結(jié)果圖像之間的MSSIM索引值，該MSSIM值的大小則可反應(yīng)出復(fù)原結(jié)果的逼真程度。我們后面的大部分實驗都是在這種情況下進行的，因而可以利用MSSIM值來衡量復(fù)原結(jié)果的保真程度。利用不同復(fù)原算法針對同一類圖像進行復(fù)原處理，通過所計算得到的MSSIM索引，可以反應(yīng)出不同算法之間的優(yōu)劣，即獲得了較大MSSIM索引值的復(fù)原算法，是優(yōu)于MSSIM索引值較小的算法

55、的。</p><p>　　1.3 本文主要工作和章節(jié)安排</p><p>　　在本章中介紹了選題背景和意義，詳細地推倒了圖像去卷積的數(shù)學(xué)模型，并介紹了國內(nèi)外研究概況以及圖像復(fù)原評價的指標。</p><p>　　全文余下章節(jié)的主要內(nèi)容及安排如下：</p><p>　　第二章詳細闡述了剪切波變換的理論基礎(chǔ)和離散實現(xiàn)方法。首先，對連續(xù)剪切波的構(gòu)造機

56、理及剪切波基函數(shù)的性質(zhì)進行了分析；然后，介紹了一種新型的剪切波離散化方法——離散不可分離剪切波變換（DNST），并將其與離散可分離剪切波變換（DSST）作比較，分析其優(yōu)勢。</p><p>　　第三章在現(xiàn)有的基于剪切波變換的去卷積算法基礎(chǔ)之上，提出了一種基于傅里葉-DNST的圖像去卷積優(yōu)化算法，并仿真分析了算法性能和一些重要參數(shù)對于圖像恢復(fù)的影響，并與維納濾波和ForWaRD兩種經(jīng)典算法進行了比較。</p&

57、gt;<p>　　第四章是在第三章的基礎(chǔ)之上，對算法的正則化部分進行了改進，提出了一種將目前較為先進的直接去卷積方法LPA-ICI與DNST相結(jié)合的算法，并進行仿真與分析，驗證算法的可行性。</p><p>　　第五章是對全文內(nèi)容的總結(jié)，并對本人今后的研究工作進行了展望。</p><p><b>　　2 剪切波變換理論</b></p>&l

58、t;p>　　小波變換能夠高效地對一維分段連續(xù)信號進行稀疏表示，特別是能夠很好地表示信號中的點狀奇異。然而，在高維空間中通常會出現(xiàn)其他類型的奇異性，由一維小波所生成的高維小波不能很好地處理這些奇異性。</p><p>　　為了克服傳統(tǒng)小波的缺陷，近年來學(xué)者們提出了許多新的圖像表示方法，包括楔形波、曲線波、輪廓波、復(fù)小波以及條帶波等，其中以曲線波影響最廣。然而，曲線波和多分辨理論沒有直接關(guān)聯(lián)，這使得曲線波的離散

59、實現(xiàn)非常有挑戰(zhàn)性。此外，在頻率空間中曲線波是隔層細分的，這在一定程度上也影響了它對圖像稀疏表示的性能。Guo及其合作者于2007年通過特殊形式的具有合成膨脹的仿射系統(tǒng)構(gòu)造了一種接近最優(yōu)的多維函數(shù)稀疏表示方法：剪切波變換。與曲線波不同，剪切波具有簡單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它可以通過對一個函數(shù)進行伸縮、平移、旋轉(zhuǎn)而生成一組基函數(shù)，這使其可以和多分辨分析關(guān)聯(lián)起來。剪切波變換不僅具有與曲線波相同的接近最優(yōu)的非線性誤差逼近階，而且在頻率空間中剪切波是逐層細

60、分的，這使其具有更好的性能。</p><p>　　2.1 剪切波的定義及離散算法</p><p>　　首先介紹Hilbert空間中框架的基本定義。</p><p>　　定義1：在Hilbert空間中的一個序列叫做一個框架，如果存在常數(shù)，那么對于所有的信號有：</p><p>　　框架的概念保證了當被分解為框架系數(shù)以后可以穩(wěn)定重構(gòu)。與框架相關(guān)的

61、主要算子就是框架算子：</p><p>　　總體來說，信號可以根據(jù)如下的重構(gòu)公式從它的框架系數(shù)中恢復(fù)出來：</p><p><b>　　（2.1）</b></p><p>　　框架的N階逼近可由指標集給出，與在幅度上的N個最大框架系數(shù)有關(guān)：</p><p>　　有了上述表述系統(tǒng)的總體概念，我們就可以定義剪切波系統(tǒng)了。&l

62、t;/p><p>　　定義2：對于和，定義</p><p><b>　　，</b></p><p>　　同樣地，令。對于，我們定義：</p><p>　　然后，由尺度函數(shù)和剪切波生成的離散剪切波系統(tǒng)可以定義為：</p><p><b>　　其中</b></p>&l

63、t;p>　　剪切波系統(tǒng)的一個主要特點就是其方向性是依靠剪切矩陣達到的，它不僅提供了方向性，而且使得整數(shù)網(wǎng)格保持不變。事實上，這種不變性使得剪切波變換可以在連續(xù)域和數(shù)字域統(tǒng)一數(shù)字化。下面的定理為剪切波算子和產(chǎn)生框架提供了充分的條件。</p><p><b>　　定理1：令，使</b></p><p><b>　?。?.2）</b></p

64、><p>　　對 于 正 常 數(shù) ，，有 。 定義</p><p>　　，另假設(shè)存在一個正常數(shù)使得</p><p><b>　?。?.3）</b></p><p>　　那么即存在一個采樣參數(shù)使得剪切波系統(tǒng)可以形成一個框架。</p><p>　　（a）

65、 （b）</p><p>　　圖2.1 在空域和頻域的剪切波：（a）（b）</p><p>　　值得注意的是，有很多緊支撐函數(shù)滿足條件（2.2）。尤其是，我們可以選擇一個緊支撐小波作為剪切波算子。這種選擇可以保證（2.1）式從剪切波系數(shù)中的平穩(wěn)重構(gòu)，并且是充分光滑的，且具有足夠的消失矩。圖2.1所示為剪切波的頻域覆蓋，除了低頻部分，剪切波覆蓋了全部的頻率平面。低頻部分是由尺度函數(shù)像小波系

66、統(tǒng)那樣覆蓋的。如圖2.1（a）所示，的支撐覆蓋了水平錐的區(qū)域。在這種情況下，由于剪切參數(shù)滿足 并 且</p><p>　　，因此覆蓋的角度在和之間。相似地，如圖2.1（b）所示，</p><p>　　的支撐覆蓋了垂直錐的區(qū)域。值得注意，剪切矩陣和在對旋轉(zhuǎn)給出方向性時表現(xiàn)相似。</p><p>　　2.2 離散不可分離剪切波</p><p>　

67、　2.2.1 剪切波算子的離散化</p><p>　　在這一部分中，將會給出一種計算剪切波系數(shù)的快速算法，重點說明剪切算子是如何適應(yīng)于數(shù)字域的。首先，定義的離散時間傅里葉變換為：</p><p>　　對于，使。使和為小波，一個相關(guān)的尺度函數(shù)滿足下面兩個尺度等式：</p><p><b>　　（2.4）</b></p><p&

68、gt;<b>　　（2.5）</b></p><p><b>　　那么小波就定義為：</b></p><p>　　對于，令和為下列三角多項式的傅里葉系數(shù)：</p><p>　　和 （2.6）</p><p>　　。假定，那么小波系數(shù)可以通過下面的離散公式計算：</p>

69、<p><b>　?。?.7）</b></p><p>　　其中，。尤其是當是一個標準正交尺度函數(shù)時，有： </p><p><b>　　（2.8）</b></p><p>　　由（2.7）式和（2.8）式給出的離散小波變換將連續(xù)域的小波變換和離散域的濾波器組結(jié)合起來，這樣的結(jié)合

70、使得起初定義在連續(xù)域上的小波變換得以用基于濾波器組的快速算法計算出來。這樣的結(jié)合是由多分辨分析建立起來的，使得小波在許多領(lǐng)域的影響逐漸擴大。在這一部分中，我們將介紹連接連續(xù)和數(shù)字剪切波變換的一種快速算法。</p><p>　　我們只考慮用于水平錐的剪切波，也就是屬于。同樣的步驟除了改變變量的順序以外，均可以用于計算垂直錐的剪切波系數(shù)，也 就 是 屬 于。首先我們選擇尺度函數(shù)和小波，和。</p>&l

71、t;p>　　， （2.9）</p><p>　　其中。的選擇滿足（2.2）式，能夠保證產(chǎn)生的剪切波框架中和是充分光滑的，并且有足夠的消失矩。我們假設(shè)</p><p><b>　?。?.10）</b></p><p><b>　　其符合下式：</b></p><p&

72、gt;<b>　　（2.11）</b></p><p>　　假設(shè)為整數(shù)，式（2.11）闡述了如何在數(shù)字域計算剪切波系數(shù)：把和各向異性采樣矩陣有關(guān)的小波變換應(yīng)用到數(shù)據(jù)的剪切版本。因此，主要的任務(wù)就集中于如何使剪切波算子離散化，它可以提供在離散域的計算，接下來重新定義離散剪切波算子：從：由定義。這其中一個主要的問題是剪切矩陣不能保留，也就是。為了解決這個問題，我們用一個因子沿著水平軸修正。有了這

73、種修正，剪切波算子可以使得新的保持不變，因為，</p><p>　　這表明剪切算子在修正以后的格點上可以被很好地定義，這就給予自然的離散化。由這個簡單的準則，我們可以采用如下的步驟從采樣數(shù)據(jù)中計算出采樣值。</p><p>　　步驟1： 對于給定的輸入數(shù)據(jù)，通過因子把1D上采樣算子</p><p><b>　　應(yīng)用到水平軸上；</b></

74、p><p>　　步驟2：沿著水平軸對上采樣輸入數(shù)據(jù)和1D低通濾波器做1D卷積，</p><p><b>　　得到；</b></p><p>　　步驟3：根據(jù)剪切采樣矩陣重新采樣得到；</p><p>　　步驟4：對和做1D卷積，接著沿著水平軸用因子做1D下采</p><p><b>　　樣。

75、</b></p><p>　　這里的低通濾波器在式（2.6）中做了定義。在步驟1-2中，我們基本上在下不變的修正格點上計算了，是從得到的內(nèi)插采樣值。注意在上，剪切算子變成了，這就要求需要通過被重新采樣。令，和分別為沿著水平軸的上采樣、下采樣和卷積算子，現(xiàn)在定義在步驟1-4中計算的離散剪切波算子。對于，定義：</p><p><b>　　（2.12）</b>

76、</p><p>　　其中。下面開始分析剪切算子和相關(guān)的離散剪切算子之間的關(guān)系，考慮下面的例子：設(shè)，通過設(shè)置離散化從而得到函數(shù)。對于固定的剪切參數(shù)，把剪切波變換應(yīng)用到從而得到剪切波函數(shù)。接下來，通過離散化這個函數(shù)。當時，函數(shù)和如圖2.2所示。我們現(xiàn)在把問題集中在整數(shù)集在剪切波矩陣下并非不變上，這阻止了采樣點，位于整數(shù)格點，這將導(dǎo)致如圖2.3（a）所示的數(shù)字化圖像發(fā)生混疊。為了避免這種混疊效應(yīng)，格點需要沿著水平軸用

77、因子4進行修正，接著在修正的格點上計算采樣值。</p><p>　?。╝） （b）</p><p>　　圖2.2 （a）原始圖像 （b）剪切圖像</p><p>　?。╝） （b） （c）</p>&

78、lt;p>　　圖2.3 （a）混疊圖像的DFT；（b）;（c）的DFT</p><p>　　更廣泛的說，當剪切波系數(shù)為時，就可以用因子沿著水平軸修正格點從而避免混疊效應(yīng)，然后就可以在這個修正的格點上計算內(nèi)插采樣值。這就保證了格點上對于任意的都包含有采樣點，其通過剪切算子保留。這個過程與數(shù)字剪切波算子的應(yīng)用完全一致。最后，我們來解釋離散剪切波算子如何在離散域中計算剪切波系數(shù)。首先定義如下的2D可分離小波濾波器

79、：</p><p><b>　?。?.13）</b></p><p>　　其中1D濾波器和在式（2.6）中做了定義。</p><p>　　定理2：和在（2.9）式定義，假設(shè)在（2.10）式中給出，然后就可得到</p><p><b>　?。?.14）</b></p><p>

80、　　其中，。在這里，我 們 需 要 選 擇使得。當是標準正交的尺度函數(shù)并且時，式（2.14）就變?yōu)?D離散小波變換，它是（2.8）式的2D形式。同樣地，如果我們像低通濾波器那樣去掉，那么（2.14）式就可以變?yōu)?lt;/p><p><b>　?。?.15）</b></p><p>　　這就很自然地把式（2.8）中的離散小波變換擴展到了用離散剪切波算子計算剪切波系數(shù)中。注意

81、式（2.15）是通過下列兩個基本的離散化步驟來計算數(shù)字域中（2.11）式的剪切波系數(shù)：</p><p>　　1）是通過與公式（2.4）和（2.5）有關(guān)的小波濾波器進行離散化的；</p><p>　　2）剪切波算子是通過進行離散化的。</p><p>　　2.2.2 離散不可分離剪切波</p><p>　　盡管式（2.9）中的可分離剪切波算子生

82、成了一個剪切波框架并且簡化了實現(xiàn)過程，但是剪切波算子的選擇對于方向表述來說并不是一個好的選擇。圖2.4</p><p>　　展示了由可分離函數(shù)生成的剪切波是如何覆蓋2D頻域的。由于剪切波算子的可分離性，在supp和supp之間存在交疊。事實上，這使得框架界之比很大。另一方面，如圖2.4所示，利用剪切和尺度算子，楔形支撐不僅能夠完好的覆蓋頻域范圍，同時也能夠提高方向選擇性。Wang受此啟發(fā)，提出一種不可分離剪切波算

83、子，它不但能夠提供更好的框架界，而且具有更好的方向選擇性。下面介紹不可分離剪切波算子：</p><p><b>　?。?.16）</b></p><p>　　其中三角多項式P是一個2D扇形濾波器。滿足式（2.2）并且由定理1可知不可分離剪切波算子能生成一個剪切波框架。其中對于，扇形濾波器P滿足，</p><p>　　這反過來定義了通過設(shè)置生成的

84、剪切波，其中一個采樣矩陣，，和是用于變換的采樣常數(shù)。</p><p>　　（a） （b）</p><p>　　圖2.4 剪切波和的頻域覆蓋（a）可分離算子（b）不可分離算子</p><p>　　接下來，對于式（2.10）中給出的函數(shù)，我們介紹計算剪切波系數(shù)的離散公式。在此，我們只討論與和相關(guān)的剪切波系數(shù)，相同的步驟除了需要改變變量和的順序以外

85、，同樣可以用在計算與和相關(guān)的剪切波系數(shù)中。首先，需要指出離散算法式（2.15）的一個主要缺點就是上采樣數(shù)據(jù)需要濾波，這就要求對每個剪切參數(shù)和尺度參數(shù)有額外的計算量。為了避免額外的計算量，現(xiàn)在用代替公式（2.11）從而使得剪切算子可以直接用于剪切波。使用公式（2.13）和（2.16），我們有</p><p>　　其中是由給出的2D扇形濾波器的傅里葉系數(shù)。這就通過定義了的離散化。通過使用離散剪切算子，現(xiàn)在就可以定義數(shù)

86、字剪切波濾波器了，它可以使得最初在連續(xù)域定義的離散化。</p><p><b>　?。?.17）</b></p><p>　　對于，與不可分離剪切波算子相關(guān)的離散不可分離剪切波變換（DNST）由下式給出：</p><p><b>　?。?.18）</b></p><p>　　在式（2.17）中，如果

87、用可分離濾波器代替，就得到了由可分離剪切波算子生成的剪切波，那么式（2.18）中與可分離濾波器相關(guān)的離散變換就成為離散可分離剪切波變換（DSST）。在所有情況中，剪切波濾波器可以預(yù)先計算，這樣一來式（2.18）就可以基于2D FFT從而被高效計算出來，另外在計算離散剪切算子時也不需要額外的計算代價。實驗表明當DNST和DSST在根據(jù)支撐的尺寸選擇濾波器時，DNST能夠得到更好的框架界。除此之外，由不可分離剪切波算子生成的剪切波的一個主要

88、優(yōu)點就是扇形濾波器在頻域的每個尺度上都提高了方向選擇性。</p><p>　　通過設(shè)置和，DNST就變?yōu)榕c剪切波濾波器的2D卷積，這是一個移不變線性變換。正如先前說明，數(shù)字剪切波濾波器也可以通過改變變量的順序得到。最后，定義可分離低通濾波器為，令</p><p><b>　?。?.19）</b></p><p>　　如果在式（2.18）中，，那

89、么二元剪切波濾波器就可以很容易地計算出來，</p><p>　　，， （2.20）</p><p>　　接下來就可得到重構(gòu)公式</p><p><b>　　（2.21）</b></p><p>　　這樣重構(gòu)公式就由剪切波的框架特性被完整地定義出來。</p><p>　　2.2.3 復(fù)雜

90、度計算</p><p>　　命題：離散不可分離剪切波變換的計算復(fù)雜度為</p><p>　　證明：根據(jù)卷積定理，公式（2.18）可以通過與共軛數(shù)字剪切波濾波器相乘計算出來，這就表示分解和重構(gòu)算法都減少為快速傅里葉的乘法運算，因此其復(fù)雜度為，其中是特定離散剪切波系統(tǒng)的冗余度，也就是濾波器的數(shù)目。</p><p><b>　　2.3 本章小結(jié)</b>

91、;</p><p>　　本章引入了一種新型剪切波變換-離散不可分離剪切波變換（DNST），系統(tǒng)地描述了其數(shù)學(xué)理論以及推導(dǎo)過程，從理論上清晰地闡述了這種新型剪切波變換相較于其他類型的剪切波變換具有更好的方向選擇性和框架界。</p><p>　　3 基于傅里葉-剪切波變換的圖像去卷積算法</p><p>　　3.1 基于傅里葉-DNST的圖像去卷積算法</p>

92、;<p><b>　　3.1.1 引言</b></p><p>　　在很多去卷積的問題中，使用單一變換收縮的處理通常得不到良好的估計，因為沒有單一的變換域既能夠表示任意模糊造成的有色噪聲，又能夠表示任意平滑的信號[25]。而ForWaRD（Fourier-Wavelet Regularized Deconvolution）算法使用傅里葉變換與小波變換聯(lián)合去卷積的方法，克服了上述

93、限制，而且為各種去卷積問題中魯棒性的解決提供了方法，具有重大意義。</p><p>　　下圖是ForWaRD算法的系統(tǒng)框圖：</p><p>　　圖3.1 ForWaRD算法的系統(tǒng)框圖</p><p>　　ForWaRD算法[26]簡單來說就是在傅里葉域選取收縮參數(shù)，利用正則化的方法從模糊圖像中估計出含噪圖像，接著在小波域選取閾值參數(shù)，利用軟硬閾值法或者是維納濾波

94、法去除噪聲從而得到對原始圖像的估計（原始圖像表示為）。因此在這類算法中閾值和收縮參數(shù)的優(yōu)化選擇是影響去卷積性能的關(guān)鍵。</p><p>　　受到ForWaRD方法的啟發(fā)，2009年美國馬里蘭大學(xué)的Vishal M.Patel博士[18]等人提出了基于剪切波變換的去卷積算法，該算法首先將模糊含噪圖像通過剪切波變換分解到各個尺度上，通過使代價函數(shù)最小化可以得到每個尺度上最優(yōu)的正則化參數(shù)，將其代入正則反算子進行傅里葉正

95、則反變換以達到去模糊的目的，然后在噪聲收縮過程中使用廣義交叉驗證的方法（GCV，generalized cross validation）選取最優(yōu)的閾值，GCV方法的優(yōu)點是即使不明確噪聲方差，也可以根據(jù)數(shù)據(jù)進行自動調(diào)整從而得到最優(yōu)的閾值，之后再進行剪切波合成反變換即可得到最終的估計圖像。</p><p>　　在上述算法的基礎(chǔ)上，2012年加拿大阿爾伯塔大學(xué)的Amirhossein[19]等人提出了另一種基于剪切波

96、變換的去卷積算法，該算法首先對整幅模糊圖像使用傅里葉正則化去卷積，從而得到含噪估計，再次進行剪切波分解得到剪切波系數(shù)，在剪切波域，噪聲的去除既可以通過閾值收縮也可以通過使用維納濾波器，為了得到更好的效果，可以同時使用上述兩種方法。</p><p>　　2013年，Wang-Q Lim[20]提出了離散不可分離剪切波變換（DNST，discrete nonseparable shearlet transform）。

97、盡管之前的可分離剪切波變換簡化了實現(xiàn)的步驟，但是它的產(chǎn)生函數(shù)對于方向性的表述并不是最優(yōu)的選擇。而不可分離剪切波變換的頻域支撐不僅提供了更好的框架界，也提供了比離散可分離剪切波變換更好的方向指向性。文中的實驗數(shù)據(jù)表明，離散不可分離剪切波變換在2D圖像去噪、圖像修復(fù)甚至是3D視頻去噪方面都體現(xiàn)出卓越的性能。</p><p>　　3.1.2 本文提議的改進去卷積算法描述</p><p>　　雖然

98、上述兩種基于剪切波的去卷積方法相比于ForWaRD已經(jīng)有了很大提高，但是仍然存在以下的一些問題：</p><p>　　GCV方法雖然省去了估計噪聲的步驟，僅依賴于剪切波系數(shù)進行優(yōu)化，但是它并不是最優(yōu)的。因為GCV選擇的只是輸入數(shù)組值中最優(yōu)的閾值，但對于含噪圖像本身來說也許并不是最優(yōu)的。即它的準確性依賴于輸入數(shù)組的質(zhì)量。并且輸入的數(shù)組長度越長，它循環(huán)的次數(shù)就越多。</p><p>　　同理，

99、通過把一組常數(shù)代入代價函數(shù)，使代價函數(shù)最小化選取一個合適的正則化參數(shù)，其準確性也依賴于輸入數(shù)組的質(zhì)量。對于不同圖像，即使加入了相同的模糊函數(shù)和噪聲，最優(yōu)的正則化參數(shù)也會相差很多。</p><p>　　上述兩種算法所使用的離散剪切波的方向選擇性均不如DNST，影響了圖像重構(gòu)的效果。</p><p>　　本文將結(jié)合上述兩種算法的優(yōu)點以及新型剪切波變換DNST，提出一種改進</p>

100、<p>　　的去卷積算法，解決上述缺陷。</p><p>　　下圖是本章改進算法的系統(tǒng)框圖。</p><p>　　圖3.2 基于傅里葉-DNST的圖像去卷積算法框圖</p><p>　　首先，我們對整幅圖像進行傅里葉正則去卷積。在這一部分中最重要的就是選取一個合適的正則化參數(shù)，它直接關(guān)系到圖像去卷積的質(zhì)量。因此，本文的正則化參數(shù)選取采用文獻[19]中的方

101、法，即將式（1.4）中的值設(shè)置為：</p><p><b>　?。?.1）</b></p><p>　　其中是一個參數(shù)，n是圖像尺寸，是噪聲方差，是模糊算子的L1-范數(shù)，y即前面提到的模糊圖像，表示均值。因此，正則化參數(shù)的選取就轉(zhuǎn)化為的選取。并且由式中可以看出，正則化參數(shù)的選取可以依據(jù)具體的模糊圖像選取，具有適應(yīng)性。</p><p>　　進行正

102、則化之后，圖像的模糊現(xiàn)象已經(jīng)基本消失，接下來要對加性高斯白噪聲進行處理。我們使用DNST將含噪圖像進行分解，然后使用閾值函數(shù)對有色噪聲進行收縮。值得注意的是，在正則化過程中，噪聲并非保持不變，其在傅里葉域與相乘之后被放大，因此必須對噪聲重新進行估計，獲取新的噪聲方差。在本文中，我們使用文獻[19]中提到的噪聲估計方法，即把分解到剪切波的各個尺度和方向上進行估計。將得到的噪聲標準差帶入閾值函數(shù)，對噪聲進行收縮。 </p>

103、<p>　　3.2 各類去卷積算法仿真與結(jié)果分析</p><p>　　3.2.1 基于DNST的圖像去噪算法仿真與分析</p><p>　　首先，我們將在僅存在噪聲的情況下，用大量的實驗來驗證DNST在圖像去噪方面的優(yōu)勢。在實驗中，對于我們使用Symmlet 8抽頭小波濾波器，使用最大平坦扇形濾波器。另外，我們使用兩種類型的4尺度DNST1和DNST2，對于DNST1，在各個尺度

104、上依次有8，8，16，16個方向，對于DNST2，在各個尺度上依次有4，4，8，8個方向。</p><p>　　使用加性高斯白噪聲對圖像進行加噪處理。我們將DNST、DSST（ the Discrete separable shearlet transform）與其他方向變換相比較，比如快速離散曲波變換（FDCT）、非下采樣輪廓波變換（NSCT）、平穩(wěn)小波變換（SWT）。同時，DNST也將于其他剪切波變換進行比較

105、，比如非下采樣剪切波變換（NSST）和離散剪切波變換（DST）。為了使對比簡單一些，我們使用和文獻[20]中同樣的硬閾值處理法，下列參數(shù)的選取也與文獻[20]一致。對于每個尺度，我們選擇閾值參數(shù)為：</p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　其中是高斯噪聲的標準差，對于所有的方向性變換NSCT，NSST，DST，DSST，</p>

106、<p>　　DNST1，DNST2，當=0,1,2時我們選擇=2.5，當=3時我們選擇=3.8。對于SWT，當=0,1,2時我們選擇=3，當=3時我們選擇=4。</p><p>　　如圖3.3和表3.1所示，剪切波變換無論是在視覺效果還是PSNR值都要優(yōu)于其他的去噪算法。它對含噪圖像的處理更加精確，能保留更多的細節(jié)和邊緣。當噪聲強度逐漸增強時，DNST1要比DNST2的去噪效果更好。圖3.4是當bo

107、at圖像取不同噪聲強度時，使用四種不同的變換（NSCT、SWT、FDCT、DNST1）分別進行去噪的對比，從圖中可以看出，DNST1在任何時候PSNR值都是最高的。</p><p>　　（a） （b）</p><p>　?。╟） （d）</p><p>　?。?/p>

108、e） （f）</p><p>　　圖3.3 使用不同變換進行圖像去噪的結(jié)果。（a）含噪圖像（=30）；（b）FDCT（27.72dB）；（c）NSST（28.65dB）；（d）NSCT（28.61dB）；（e）SWT（27.27dB）；（f）DNST1（29.02dB）。</p><p>　　表3.1 PSNR results in

109、dB for different denoising algorithms</p><p>　　圖3.4 boat圖像在不同噪聲強度下使用四種變換的去噪結(jié)果</p><p>　　3.2.2 基于傅里葉-DNST的去卷積算法仿真與分析</p><p>　　本文主要使用均值模糊與高斯模糊。下圖是在本實驗中所使用的四幅原始圖像。</p><p>

110、　?。╝）Barbara （b）Lena</p><p>　?。╟）Boat （d）Peppers </p><p>　　圖3.5 實驗中所使用的四幅原始圖像</p><p>　　在第一組對比實驗中，我們對Barbara、Lena、Boat和Peppers四

111、幅圖像使用9*9的方形均值模糊，再加上加性高斯白噪聲，使模糊信噪比BSNR=40dB，模糊信噪比表示由模糊和疊加噪聲引起的降質(zhì)程度，其計算公式如下：</p><p><b>　?。?.3）</b></p><p>　　其中表示求均值，和表示圖像的尺寸，表示求2范數(shù)的平方。用本文的算法與兩種經(jīng)典的去模糊算法維納估計法和ForWaRD（基于傅里葉-小波變換的圖像去卷積算法

112、）作比較。</p><p>　　從客觀指標psnr和mssim可以看出，維納濾波法的恢復(fù)效果明顯不如For-</p><p>　　WaRD和本文的算法。本文的算法在Tikhonov正則化之后采用了DNST進行去噪，由barbara圖像中衣服圖案的細節(jié)和lena圖像中帽子上的圖案等細節(jié)可以看出，相對于ForWaRD方法中所使用的小波變換來說剪切波變換能夠保留更多的圖像細節(jié)。但是，同時也可以看