商高方程及其應(yīng)用文獻(xiàn)綜述

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　商高方程及其應(yīng)用 　</p><p>　　一、前言部分（說明寫作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說明有關(guān)主題爭論焦點(diǎn)）</p><p>　　初等數(shù)論是研

2、究整數(shù)最基本的性質(zhì)，是一門十分重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。好像沒有一門學(xué)科像“初等數(shù)論”那樣，它的最基本的內(nèi)容可以同時(shí)作為中小學(xué)生、大學(xué)生以及研究生的一門課程，當(dāng)然在內(nèi)容的深淺難易上各有不同。直到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們?nèi)詷反瞬黄５闹鴶?shù)論中那些看似簡單，但仍未找到其證明方法的問題。就如至今尚未解決的“哥德巴赫猜想”，幾百年來挑戰(zhàn)了眾多數(shù)學(xué)家的智慧，也得到了不少著名結(jié)果。足以可見這門課程的獨(dú)特魅力所在。而中國在初等數(shù)論的研究有著悠久的歷史和杰出的貢獻(xiàn)。如：商

3、高定理、中國剩余定理等。而初等數(shù)論一個(gè)重要分支就是不定方程。其中二次不定方程商高方程的求解問題是本文研究的焦點(diǎn)。它的解的形式多樣，其內(nèi)容豐富多彩。只有弄清商高方程，才能對(duì)不定方程有更深入的把握，才能繼續(xù)研究形式更復(fù)雜的不定方程解的情況，并對(duì)費(fèi)馬大定理（解的存在性）有更清楚的認(rèn)識(shí)。</p><p><b>　　不定方程的定義：</b></p><p>　　變數(shù)個(gè)數(shù)多于方

4、程個(gè)數(shù)，且取整數(shù)值的方程（或方程組）稱為不定方程（或不定方程組）。</p><p>　　一次不定方程的定義：</p><p>　　設(shè)整數(shù)，,,...,是整數(shù)且都不等于零，以及，...，是整數(shù)變數(shù)。方程</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　稱為元一次不定方程，稱為它的系數(shù)。[5]</p&g

5、t;<p><b>　　商高方程的定義：</b></p><p><b>　　二次不定方程</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　它通常稱為商高方程或Pythagoras方程。滿足的解稱為顯然解，的解稱為非顯然解。</p><p>

6、;<b>　　費(fèi)馬大定理：</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，不定方程無的整數(shù)解。[5]</p><p>　　本文介紹商高定理悠久的背景，簡明地闡述不定方程的定義和內(nèi)容，其中一些定理進(jìn)行梳理、歸納，并舉例進(jìn)行說明。</p><p>　　二、主體部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對(duì)這些問題的評(píng)述）</p><p

7、><b>　?。ㄒ唬v史背景：</b></p><p>　　商高定理：商高定理是個(gè)歷史悠久的著名定理，我國古人在這方面的研究留下了一系列寶貴的著作?！吨荀滤憬?jīng)》是我國古代流傳下來的一部重要的數(shù)學(xué)著作，該書原名《周髀》，大約成書于公元2世紀(jì)。它包含了相當(dāng)深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其主要成就包括分?jǐn)?shù)運(yùn)算、商高定理（勾股定理）及其在天文學(xué)測量的應(yīng)用。</p><p>　　該書卷

8、首記述了一段精彩的對(duì)話：</p><p>　　昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問數(shù)安從出？”</p><p>　　商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！庇?/p>

9、于此定理是商高發(fā)現(xiàn)的，所以稱為“商高定理”。</p><p>　　《周髀算經(jīng)》里還這樣記載：周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益長。候勾六尺, 即取竹，空經(jīng)一寸，長八尺，捕影而觀之，室正掩日，而日應(yīng)空之孔。由此觀之, 率八十寸而得徑寸，故此勾為首，以髀為股，從髀至日下六萬里而髀無影，從此以上至日，則八萬里。這段文字描述了中國古代人民

10、如何利用商高定理在科學(xué)上進(jìn)行實(shí)踐。</p><p>　　基于上述淵源，所以我們把這一定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。這是中國最早關(guān)于勾股定理書面記載。</p><p>　　在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)》一書中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書中的《勾股章》說:“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進(jìn)行開方，便可以得到弦?！卑堰@段話列成算式，即為:，即：。</p>&

11、lt;p>　　中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。由此可見，我國在商高定理的研究上有悠久的歷史和杰出的貢獻(xiàn)。[1]</p><p>　　西方勾股定理又稱畢達(dá)哥拉斯定理。在西方的文獻(xiàn)中，勾股定理一直以古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的名字來命

12、名。據(jù)說畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理后斬了百頭牛慶祝，因此又稱“百牛定理”。但迄今為止并沒有畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的直接證據(jù)。希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德(Euclid,公元前三百年左右的人)在編著《幾何原本》時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開了。[2]</p><p>　　值得指出的是，由于《幾何原本》的廣泛流傳，歐幾里得的證明是勾股定理所有證明中最為著名

13、的，為此，希臘人稱之為“已婚婦女的定理”；法國人稱之為“驢橋問題”；阿拉伯人稱之為“新娘圖”、“新娘的坐椅”；在歐洲，又有人稱之為“孔雀的尾巴”或“大風(fēng)車”等，這些可能是從其幾何圖形得到的靈感吧！[1]</p><p>　　費(fèi)馬大定理：公元1637年，費(fèi)爾馬在研究丟番圖的《算術(shù)》一書時(shí)，想到了畢達(dá)哥拉斯問題的推廣。費(fèi)爾馬在《算術(shù)》一書的空白處寫到:“不可能將一個(gè)高于2次的冪寫成兩個(gè)同樣冪次的和”。即當(dāng)整數(shù)時(shí)，無正

14、整數(shù)解。同時(shí)，還寫下批注:“我有一個(gè)對(duì)這個(gè)命題的十分美妙的證明，很可惜這里空白太小寫不下了！”費(fèi)爾馬沒有想到，他隨手寫下這句話，竟成了幾個(gè)世紀(jì)以來，一代又一代無數(shù)的世界級(jí)的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，經(jīng)過艱難曲折的奮斗，都未能證明這有名的費(fèi)爾馬大定理。[5]</p><p>　?。ǘ┈F(xiàn)狀和發(fā)展方向：</p><p>　　如今，當(dāng)我們談到商高定理時(shí)，更多的是它在不定方程中的特殊地位。即商高不定方程方程的求

15、解。對(duì)于商高方程的解，所研究的是非顯然解中的本原解，即滿足以下條件的解：。在這方面的研究成果已有很多，形式也是多樣。從古代的畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖到當(dāng)代我國的柯召、孫琦都各自不同的研究方法和結(jié)論。不僅如此，還引發(fā)各類不同的猜想。如：Teriai猜想、Tesmanowicz猜想、werner猜想等等。有些問題至今仍未解決。由此可見，商高不定方程的后續(xù)研究都是建立在對(duì)商高方程解的深刻研究的基礎(chǔ)之上。其中，最著名的要數(shù)是商高定理的一個(gè)推廣：費(fèi)馬大

16、定理。300百多年來已證實(shí)它是向人類智慧挑戰(zhàn)的一個(gè)數(shù)學(xué)難題。有人曾悲觀地說:“在我們這個(gè)星球上的人的智慧，還沒有達(dá)到那樣高的水平，能解決費(fèi)爾馬大定理”。費(fèi)馬大定理的證明經(jīng)歷了風(fēng)風(fēng)雨雨：1753年，大數(shù)學(xué)家歐拉作出了突出貢獻(xiàn)，他證明時(shí)，費(fèi)爾馬大定理成立，實(shí)際上他證明了時(shí)，費(fèi)爾馬大定理成立。1825年，解析幾何的創(chuàng)始人、大數(shù)學(xué)家高斯證明了時(shí)，費(fèi)爾馬大定理成立。1837年，大數(shù)學(xué)家柯西、庫默爾與女?dāng)?shù)學(xué)家熱爾曼同時(shí)證明了時(shí)，費(fèi)爾馬大定理成立。1

17、847年德國數(shù)學(xué)家土爾曼，引進(jìn)了理想</p><p>　　而現(xiàn)在，人們則利用前人的研究成果進(jìn)一步進(jìn)行開拓，以用來探索那些歷史遺留下來的尚未解決的數(shù)論難題，并對(duì)更高次更高元的不定方程的求解方法不斷的嘗試，得出一些著名的結(jié)論。</p><p><b>　?。ㄈ┭芯績?nèi)容</b></p><p>　　數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)之一就是尋找各種關(guān)系，并由此去探索擴(kuò)

18、充某種思想的途徑，這些都要建立在歸納、總結(jié)的基礎(chǔ)上。所以，我們?cè)囍谝辉欢ǚ匠痰幕A(chǔ)上探索商高不定方程的解的之間的關(guān)系，并進(jìn)行歸納總結(jié)，進(jìn)一步深入的研究，使其得到更加廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　在引入定義出不定方程的本原解后，我們?cè)诳偨Y(jié)出一元及商高不定方程的解之間的關(guān)系如下：</p><p>　　定理1：不定方程（1）有解的充要條件是。進(jìn)而，不定方程（1）有解時(shí)，它的解和不定方程&

19、lt;/p><p>　　的解相同，這里g=。</p><p>　　定理2：設(shè)二元一次不定方程</p><p>　　有解，是它的一組解．那么它的所有解為</p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　定理3：不定方程（2）的本原解x，y，z必滿足條件：</p><p

20、>　　定理4：不定方程（2）的y為偶數(shù)全體本原解滿足以下公式：</p><p>　　其中r，s為滿足一下條件的任意整數(shù)：</p><p><b>　　定理5：不定方程</b></p><p><b>　　無的解。</b></p><p><b>　　定理6：不定方程</b>

21、;</p><p><b>　　無的解。[8]</b></p><p>　　探討這些定理的證明方法，研究這些方法的在其他類似不定方程中的套用。并舉例說明這些定理在具體數(shù)學(xué)問題上的應(yīng)用，一邊快速準(zhǔn)確的解答這些問題。如：求的不定方程的全部解等類似問題。并用上述基礎(chǔ)探討與費(fèi)馬大定理相關(guān)的一些問題。其實(shí)質(zhì)就是探究式（2）的各類拓展的形式。如此，可對(duì)這類不定方程的問題有更深刻的

22、認(rèn)識(shí)。并且對(duì)于其他多元高次的不定方程做一個(gè)簡單的介紹。開拓眼界。</p><p>　　三、總結(jié)部分（將全文主題進(jìn)行扼要總結(jié)，提出自己的見解并對(duì)進(jìn)一步的發(fā)展方向做出預(yù)測）</p><p>　　數(shù)論，作為古老而又充滿魅力的一門數(shù)學(xué)分支，有著一種神秘的吸引力。它的內(nèi)容極具有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性。而作為它的典型問題之一的商高定理，似乎每個(gè)個(gè)小學(xué)生都知道他的內(nèi)容。但深入挖掘卻能成為困擾數(shù)學(xué)家?guī)装倌甑氖澜鐢?shù)

23、學(xué)難題，這就是數(shù)論本身的魅力所在</p><p>　　看似簡單的商高定理從不定方程的角度就變得豐富起來。在研究商高方程的解的形式以及其推廣方程的解的存在性最重要的一個(gè)方法就是Fermat無窮遞降法。從此方法又延伸到費(fèi)馬大大定理的思考。從另一個(gè)角度說當(dāng)我們求出了商高方程本原解的基本形式以后就能得到所有解，在實(shí)際解決商高方程的解釋清楚明了多了！而對(duì)于商高方程來說，其本身就是一個(gè)簡單形式的二次不定方程。對(duì)此深入研究可對(duì)

24、更復(fù)雜形式的二次不定方程有充分的準(zhǔn)備，作為基礎(chǔ)知識(shí)，其顯為格外的重要。</p><p>　　四、參考文獻(xiàn)（根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排）</p><p>　　[1]胡春燕.從東西方文化看勾股定理的起源[J].教學(xué)與管理. 2007, 09:91-92.</p><p>　　[2] 劉春祥.發(fā)現(xiàn)勾股定理[J].數(shù)學(xué)大眾（中學(xué)版）. 2002, 07:39.&l

25、t;/p><p>　　[3] 朱家生.數(shù)學(xué)史[M].高等教育出版社. 1994, 07.</p><p>　　[4] 王國炳.商高不定方程的解與勾股數(shù)[J].宜賓學(xué)院學(xué)院報(bào). 1997, 02:18-20.</p><p>　　[5] 潘承洞,潘承彪.初等數(shù)論[M].北京大學(xué)出版社.1992.</p><p>　　[6] 李培業(yè).商高定理的古證冥

26、求[J].高等數(shù)學(xué)研究.2006, 01:58-63</p><p>　　[7] [美]史迪威.ELEMENTS OF NUMBER THEORY[M].世界圖書出版公司.2009.</p><p>　　[8] 沈文選,張垚,冷崗松.奧林匹克數(shù)學(xué)中的數(shù)論問題[M].湖南師范大學(xué)出版社.2009.</p><p>　　[9] 汪克立.商高數(shù)組群[J].成都教育學(xué)

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29、].廣西民族學(xué)院學(xué)報(bào).2006,02:2-9.</p><p>　　[16] 晏能中.向人類智慧挑戰(zhàn)的一個(gè)數(shù)學(xué)問題——費(fèi)馬定理的風(fēng)風(fēng)雨雨[J].達(dá)縣師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào).2000,02:28-29</p><p>　　[17] 李宏棋.費(fèi)馬大定理的初等證明[J].西安工程大學(xué)學(xué)報(bào).2008,05:650-662</p><p>　　[18] 徐俊杰..數(shù)學(xué)難題探索[