發(fā)散級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【文獻綜述】

1、文獻綜述文獻綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)散級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用發(fā)散級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用一級數(shù)中的發(fā)散級數(shù)自從級數(shù)誕生以來，發(fā)散級數(shù)就困擾著數(shù)學(xué)家們。比如為人所熟知的調(diào)和級數(shù)，調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，這是一個令人困惑的事情，事實上調(diào)和級數(shù)以令人不耐煩地慢向無窮大靠近，調(diào)和級數(shù)的和要想達到51那么它需要有2的100次方那個多項才OK。而2的100次方這個項是一個大到我們能夠處理范圍以外的數(shù)字，在計算機元科學(xué)領(lǐng)域，這屬于一個不可解的數(shù)。雅各布.伯

2、努利還曾寫過一首數(shù)學(xué)短詩，大意是無窮小中竟然蘊含這巨大，因為1n是趨與0的，而這些趨于0的數(shù)之和竟然是無窮大的，確實讓人震驚。這些在可惜意義下不可收斂的級數(shù)卻常常要應(yīng)用的。數(shù)學(xué)家們開始給他們定義各種正則和，比如齊查羅和，阿貝爾和等，這些和對于收斂級數(shù)來說仍然是有效的，對發(fā)散級數(shù)卻有著重大意義。二發(fā)散級數(shù)中的漸近級數(shù)隨著生產(chǎn)力發(fā)展的需要，人們必須深入到非線性研究領(lǐng)域中，在這一領(lǐng)域中，疊加原理不再適用，原來的那一套數(shù)學(xué)方法失效了，我們必須尋

3、找新的途徑，漸近方法中的奇異攝動理論是解決非線性問題行之有效的方法之一。尤其在數(shù)學(xué)物理中，漸近方法可分為兩大部分：1.漸近分析包括漸近級數(shù)，積分的漸近展開，微分方程的漸近解。2.奇異攝動理論，它的應(yīng)用領(lǐng)域涉及波動，穩(wěn)定性，粘性流，氣泡運動等方面。這些理論最最基礎(chǔ)的就是漸近級數(shù)了，數(shù)學(xué)家龐加萊在解決天文問題時就遇到了漸近級數(shù)，這也是我們了解漸近級數(shù)的一般定義。聯(lián)系發(fā)散級數(shù)的求和問題，漸近級數(shù)在近似求解方面也大有作為，當(dāng)然在計算機時代這些好

4、像微不足道，實際上理論上的研究對于實際計算中遇到的問題是很有作用。比如正態(tài)概率積分用收斂級數(shù)和漸近級數(shù)得到的近似解具有完全不同的功效，x越來越大時，收斂級數(shù)的誤差越來越大，漸近級數(shù)卻越來越精確。三收斂級數(shù)與漸進級數(shù)的區(qū)別若函數(shù)f（x）可以展開成在x0附近的漸近級數(shù)，1）收斂級數(shù)：x固定，N項部分和當(dāng)N趨于無窮大時有極限f(x)；漸近級數(shù)：N固定，N項部分和當(dāng)x趨于x0時有極限f(x)；2）收斂級數(shù)：函數(shù)與級數(shù)的部分和之差的絕對誤差趨于零

5、；漸近級數(shù)：函數(shù)與級數(shù)的部分和之差的相對誤差趨于零；3）收斂級數(shù)：級數(shù)的項當(dāng)n趨于無窮大時一定趨于零；漸近級數(shù)：級數(shù)的項當(dāng)n增大時不一定趨于零——漸近級數(shù)經(jīng)常是發(fā)散的！四漸近級數(shù)的展開為了應(yīng)用于計算數(shù)值積分，我們必須解決一個首要問題，怎樣將一個函數(shù)展開成漸近級數(shù)。簡單的函數(shù)和一些常見的函數(shù)可以利用分部積分展開，大部分函數(shù)必須通過鞍點法和歐拉邁克勞林公式。參考文獻[1]楊祿源冪級數(shù)與漸近級數(shù)[M].長沙:國防科技大學(xué)出版社.2001[2]

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