對稱矩陣的性質及其應用【文獻綜述】

1、1畢業(yè)論文文獻綜述畢業(yè)論文文獻綜述數(shù)學與應用數(shù)學數(shù)學與應用數(shù)學對稱矩陣性質及其應用對稱矩陣性質及其應用1、對稱矩陣性質及其應用的研究方向現(xiàn)代科學技術的迅速發(fā)展，使得古典的線性代數(shù)知識已不能滿足現(xiàn)代科技的需要，矩陣的理論和方法業(yè)已稱為現(xiàn)代科技領域必不可少的工具。而一系列的分解則可以方便方程的數(shù)值計算。作為數(shù)學的一個重要分支，矩陣理論具有極為豐富的內容。矩陣理論的應用隨著人們對科學研究的深入變得愈來愈廣。同其他的數(shù)學形式一樣，矩陣是一種數(shù)量

2、表達形式，而這一形式一方面可以簡潔地表達出我們平時遇到的如線性方程和協(xié)方差關系的協(xié)方差矩陣等，另一方面又給進一步的研究或者問題的簡化提供了一個平臺。如特征值分析、穩(wěn)定性分析就對應著諸如統(tǒng)計分布和系統(tǒng)穩(wěn)定性等實際問題。而對稱矩陣作為矩陣中的特殊一分子，在數(shù)學各個學科的研究中有著特殊的地位。若nnPA??且滿足AA?（A是A的轉置矩陣），則稱A為數(shù)域P上的對稱矩陣。對稱矩陣是矩陣理論的重要組成部分，它在高等代數(shù)和其他科技領域中占有重要的位置

3、。同時，它又貫穿了高等代數(shù)的許多重要方面。對稱矩陣作為一類常用矩陣其在數(shù)學學科和其他科學技術領域的應用也非常廣泛。對稱矩陣是計算數(shù)學、數(shù)學物理、控制論等領域中具有廣泛應用的重要矩陣類，其應用引起人們極大的研究興趣。對稱矩陣的研究，主要集中在理論與工程應用方面。理論方面主要是研究對稱矩陣在對稱矩陣的相關性質，包含實對稱矩陣的基本性質、二次型矩陣基本性質以及K次對稱矩陣的基本性質等，并在研究性質的基礎上運用這些性質解決有關對稱矩陣的分解問題

4、、對角化問題、特征值問題，二次型及其標準化問題、正定性問題、及其合同問題等。對稱矩陣的應用很廣泛也很有實用性。實對陣矩陣可應用到幾何上化簡直角坐標系下二次曲面的方程，以及討論二次曲面的分類。如：在直角坐標系下，二次曲面的一般方程是0222222321231312233222211??????????dzbybxbyzaxzaxyazayaxa令.321332313232212131211?????????????????????????

5、????????bbbBzyxXaaaaaaaaaA則二次曲面方程可表示成。經過轉軸，變換公式為.其中為正02???dXBAXX1CXX?C3換化為只含有平方項的形式，以便于對二次型進行分類討論。二次型與歐氏空間內積計算問題，二次規(guī)劃的最優(yōu)解問題等密切相關，物理及工程問題也可見其身影。因此，對稱矩陣作為特殊的矩陣，由二次型出發(fā)延伸出一些重要的概念性質以及諸多的的應用。對稱矩陣是計算數(shù)學、數(shù)學物理、控制論等領域中具有廣泛應用的重要矩陣類。

6、三、對稱矩陣及其性質的國內外研究現(xiàn)狀及存在問題實對稱矩陣在實二次型的研究中起著重要作用。實對稱矩陣有著其特殊的性質。對于任一實對稱矩陣，其特征值均為實數(shù)，相應于不同特征值的特征向量是正交的。且對任意的實對稱矩陣，均可以正交相似于對角矩陣。相應的任意實二次型均可以通過正交替換化為標準型。實二次型中最為重要的是正定二次型，相應的矩陣為正定矩陣。正定矩陣的性質及其判定構成矩陣研究的重要內容。在許多文獻中對正定矩陣的性質，正定矩陣的判定，一些特

7、殊正定矩陣的特征值估計以及正定矩陣的應用做了論述。與實對稱矩陣的研究相對應的有復數(shù)域上的Hemite矩陣。只因為對稱矩陣的特殊性質，其應用具有廣泛性。正因為其應用的廣泛性，它的研究領域也逐漸拓寬了，對于廣義正定矩陣的性質，復正定矩陣性質，亞正定矩陣性質等等這些方面的應用的關注和探究是現(xiàn)在研究的主要內容。四、主要參考依據(jù)[1]王萼芳石生明.高等代數(shù).[M].北京:高等教育出版社2003.9:162397.[2]王品超.高等代數(shù)新方法[M]

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