疲勞與斷裂第三章疲勞應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)

1、1,第三章 疲勞應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ),3.1 疲勞數(shù)據(jù)的分散性,3.2 正態(tài)分布,3.3 威布爾分布,3.4 二元線性回歸分析,3.5 S-N曲線和P-S-N曲 線的擬合,,返回主目錄,2,第三章 疲勞應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ),3.1 疲勞數(shù)據(jù)的分散性,1) 實驗： 7075-T6鋁 R=-1,恒幅,Sinclair和Dolan,1953.,應(yīng)力水平越低，壽命越長，分散性越大。,,,3,?207MPa下 57件，壽

2、命: 2×106 ?108次；?240MPa下 29件，壽命: 7×105 ?4×106次?275MPa下 34件，壽命：1×105 ?8×105次?310MPa下 29件，壽命：4×104 ?1×105次?430MPa下 25件，壽命：1.5×104?2×104次。,分散性：共174件,,,4,Du

3、o to the random nature of fatigue process, the life of components and structures cannot be predicted by using conventional deterministic approaches. For an accurate fatigue life prediction only probability-based models c

4、an be used in engineering design and systems analysis.,由于疲勞過程中固有的隨機(jī)性，結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的壽命不能用傳統(tǒng)的確定性方法預(yù)測。在工程設(shè)計和系統(tǒng)分析中，準(zhǔn)確的疲勞壽命預(yù)測只有采用以概率為基礎(chǔ)的方法。,,,5,材質(zhì)不均勻，加工質(zhì)量，加載誤差，試驗環(huán)境等。,原因：,裂紋、缺口件的疲勞破壞局限在裂紋或缺口高應(yīng)力局部，上述因素影響較小。,光滑件壽命分散>缺口件>裂紋擴(kuò)展壽命,疲勞

5、壽命常用對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布描述。,,,6,3.2 正態(tài)分布,對數(shù)疲勞壽命lgN常常是服從正態(tài)分布的。 令X=lgN, X 即服從正態(tài)分布。,一、正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù),?是均值；f (x)關(guān)于x=?對稱?為標(biāo)準(zhǔn)差，是非負(fù)的。,,,7,?越小， f (?)越大，曲線越瘦，X的分散性越小。故標(biāo)準(zhǔn)差?反映X的分散性。,(1) f(x)?0 ; 隨機(jī)變量X取值的可能性非負(fù)。,密度函數(shù)性質(zhì)：(無論分布形式如何),,,8,正

6、態(tài)概率分布函數(shù) F(x)為：,F(x)是X小于等于x的概率, 是f(x)在x左邊的面積。,顯然: Pr(X>x)=1-F(x) F(?)=,,,9,二、 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,令, 即有：,注意 dx=?du, 由密度函數(shù)變換公式可得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)為： ( -?<u<? ),u服從均值 ?=0、標(biāo)準(zhǔn)差 ?=1的正態(tài)分布。,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分

7、布函數(shù)則為：,,,10,u<0或?(u)<0.5，利用?(-u)=1-?(u)的關(guān)系求解。,注意有： ?(0)=0.5 ； ?(-u)=1-?(u)； Pr(a<u<b)=?(b)-?(a),u??(u)關(guān)系，還可用近似表達(dá)式表達(dá)，如：,且由 ，還有： F(x)=Pr(X?x)=Pr(U?u)=?(u

8、) 故求正態(tài)分布函數(shù)F(x)，只需求得?(u)即可。,,,11,分布參數(shù)估計：設(shè)在某 si下，樣本含n個疲勞壽命數(shù)據(jù) xi=lgNi；,破壞概率為p的對數(shù)疲勞壽命xp為：,三、給定疲勞壽命下的破壞概率估計,則樣本均值為：,樣本方差s2為：,標(biāo)準(zhǔn)差s是偏差(xi- )2的度量，反映分散性大小。只有(n-1)個偏差獨立。,up可由p確定。存活概率R=1-p。,,,,12,3

9、) 存活率為99.9%的壽命： xp=2.1674-3.09×0.05=2.013 R=99.9%的安全壽命為： Np=lg-1xp=103 (千周),例3.1 在某應(yīng)力水平下，測得表中一組疲勞壽命數(shù) 據(jù)Ni。試確定存活率為99.9%的安全壽命N。,解：將Ni從小到大排列；1)計算樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差；,=2.1674 s=0.05； (n=

10、10),2) 確定標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)偏量up。 p=1-R=0.001=0.1% 查表3.1得：up=-3.09,,,13,若?=95%，意味著100個樣本估計的xp中，有95個小于xp(g)。即有95%的把握認(rèn)為估計量小于真值。,四、置信水平,估計量Np= +ups，若大于真值?+up?，偏于危險。,置信度 ?：估計量小于真值的概率。,破壞率p，置信度?的對數(shù)壽命寫為：,若u?=0, 有k=up，則xp(g)= +

11、ups；?=50%。,,,14,五、 正態(tài)概率紙,問題：X是否服從正態(tài)分布？,已知：x?F(x)關(guān)系： 非線性 x?u 關(guān)系： 線性 F(x)=?(u) ?u：一一對應(yīng) 能否作出 x?F(x) 呈線性關(guān)系的坐標(biāo)紙？,先畫x-u坐標(biāo)，即若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則有線性關(guān)系；再按u-?(u)關(guān)系，依據(jù)u標(biāo)定F(x)，則線性關(guān)系不變。若X服從正態(tài)分布，F(xiàn)(x)-x在概率紙上呈線性。

12、,,,15,利用正態(tài)概率紙檢驗隨機(jī)變量X是否服從正態(tài)分布，需xi?F(xi)數(shù)據(jù)描點，由其是否線性作出判斷。,F(xi)是對數(shù)壽命X小于xi的概率，即破壞概率。其均秩估計量為： F(xi)=pi=i/(n+1) 無論X服從何種分布，此式均適用。,例3.1之xi?F(xi)數(shù)據(jù)如表所列，可在正態(tài)概率紙上描點，觀察是否呈線性，判斷X是否服從正態(tài)分布。,,,16,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s？ 利用p=15.87時，up

13、=-1；由圖得到：xp=2.114；,例3.1之?dāng)?shù)據(jù)描點如圖。,注意：用s=ctgq估計標(biāo)準(zhǔn)差時，必須x、u的坐標(biāo)標(biāo)定一致。,可知：X是否服從正態(tài)分布？,均值？(與50%破壞率對應(yīng)) =2.167,由xp= +ups；有： s=(xp- )/up= -xp =2.167-2.114=0.053,,,17,分析計算框圖：,疲勞試

14、驗 R、S給定,,,18,壽命有大于零的下限, 正態(tài)分布不能反映。,3.3 威布爾分布 Weibull 1951,一、密度函數(shù)和分布函數(shù),1. 密度函數(shù)定義為： ( N?N0 ),指數(shù),Reyleigh,正態(tài)分布,,,19,N=N0，F(xiàn)(N0)=0，即壽命小于N0的概率為

15、零； N=Na，F(xiàn)(Na)=1-1/e=0.632，Na稱特征壽命參數(shù)。,2. 分布函數(shù)：,F(N)--壽命小于等于 N的概率。,令 x=(N-N0)/(Na-N0), 則有 dN=(Na-N0)dx, 可得：,注意 F(N)=F(x), 故得Weibull分布函數(shù)F(N)為：,,,20,變量 lglg[1-F(N)]-1?lg(N-N0) 間有線性關(guān)系；或 lg[1-F(N)]-1?(N-N0) 間有對數(shù)線性關(guān)系。B 是直

16、線的斜率，稱斜率參數(shù)。,將分布函數(shù)式改寫為：,取二次對數(shù)后得到：,3. 二參數(shù)威布爾分布函數(shù),,,21,能否作出威布爾概率紙？N-F(N)，非線性關(guān) 系；lglg[1-F(N)]-1-lg(N-N0)，線性lglg[1-F(N)]-1-F(N)，一一對應(yīng),二、分布參數(shù)的圖解估計,二個問題：N是否服從威布爾分布？如何確定其分布參數(shù)？,結(jié)論：可作威布爾概率紙。若N服從威布爾分布，概率紙上lg(N-N0)-F(N)應(yīng)有線性關(guān)系。

17、,,,22,解：1）Ni排序, 估計F(Ni) 2）估計下限: 0?N0?N1,例3.2 二組疲勞壽命數(shù)據(jù)如表。判斷其是否 服從威布爾分布并估計分布參數(shù)。,B,,B'：N0=N1/2=2×105,A、B：N0=0,,,23,注意 F(N)=0.9時，lglg[1-F(N90)]-1=0, 有：,Na對應(yīng)的破壞概率為63.2%。,3) 估計分布參數(shù)Na和b。,如A：N90-N0

18、=23.5×105, Na-N0=11.5×105。有： b=0.3622/lg(23.5/11.5)=1.17,A組： Na-N0=11.5×105, 因為N0=0，Na=11.5×105；B‘組：Na-N0=6.8×105, N0=2×105，Na=8.8×105。,,,,,24,對于給定應(yīng)力水平的一組壽命數(shù)據(jù)Ni，估

19、計其對應(yīng)的破壞概率F(Ni), 在威布爾概率紙上描點，即可判斷其是否服從威布爾并估計分布參數(shù)。,,,25,框圖：,疲勞試驗 R、S給定,,,26,習(xí)題：3-2，3-5b) (取N0=50 千周),再 見,再 見,再 見,再 見,再見！,謝謝！,第一次課完請繼續(xù)第二次課,,,,返回主目錄,27,第三章 疲勞應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ),3.1 疲勞數(shù)據(jù)的分散性,3.2 正態(tài)分布,3.3 威布爾分布,3.4 二元線性回歸分析,3.5

20、 S-N曲線和P-S-N曲 線的擬合,,,返回主目錄,28,確定性關(guān)系--對變量X的每一確定值，變量Y都 有可以預(yù)測的一個或幾個確定的值與之對應(yīng)， 如，圓周長L=?D的確定性關(guān)系。,3.4 二元線性回歸分析,二個問題：一組數(shù)據(jù)點是否呈線性？ 若呈線性，用什么樣的直線描述？,一、相關(guān)關(guān)系和回歸方程,相關(guān)關(guān)系---變量X取某定值時，變量Y并無確定 的值與之對應(yīng)，與之對應(yīng)的是某唯一確

21、定的概 率分布及其特征數(shù)，如S-N關(guān)系。,,,29,回歸分析的主要任務(wù)是：確定回歸方程的形式及回歸系數(shù)；檢驗回歸方程的可用性；利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測和統(tǒng)計推斷。,設(shè)X、Y間存在著相關(guān)關(guān)系。X=x時，Y的數(shù)學(xué)期望E(Y/X=x)是x的函數(shù)，即： E(Y/X=x)=f(x),,,30,二、最小二乘法擬合回歸方程,獲取數(shù)據(jù)樣本 (xi, yi) n對,,,31,,,32,三、相關(guān)系數(shù)

22、及相關(guān)關(guān)系的檢驗,相關(guān)系數(shù)r定義為：,,,,33,偏差平方和為：,,,,34,,相關(guān)系數(shù)的幾何意義:,,,35,回歸方程能否反映隨機(jī)變量間的相關(guān)關(guān)系？,,,36,四、利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計推斷,,,37,獲取樣 本數(shù)據(jù) (xi,yi) 共n對,下面通過一例題，進(jìn)一步了解其分析步驟。,五、 二元線性回歸分析的基本方法：,,,38,例3.3 表中為某材料在R=0.1下的疲勞試驗結(jié)果， 試估計其S-N曲線。,解：S-N

23、曲線為 SmN=C; 取對數(shù)后有： lgS=lgC/m-(1/m)lgN;,令 y=lgS, x=lgN, 回歸方程可寫為： y=A+Bx 其中： A=lgC/m, B=-(1/m),? 21.6063 8.7478 117.3001 19.1613 47.1351,yi=lgSai2.29892.22012

24、.14982.0799,xi=lgNi 4.97375.16635.4746 5.9917,xi224.737726.6907 29.971235.9005,yi25.28494.92884.62164.3260,xiyi 11.434011.469711.769312.4621,,,39,,,40,破壞率為1%時，up=-2.326, 即有： y=A+Bx-2.326s=3.2

25、362-0.2054x 破壞率為1%的S-N曲線為： (p=0.01),要估計破壞率為1%的S-N曲線，需先計算樣本剩余標(biāo)準(zhǔn)差s。此處有： s=[(Lyy-B2Lxx)/(n-2)]1/2=0.0263,,,41,例3.4 試用最小二乘法進(jìn)行回歸分析，估計例3.2

26、 中B組數(shù)據(jù)的分布參數(shù)。,,,42,,,43,2)設(shè)壽命N服從威布爾分布，有：,回歸方程寫為： Y=A+BX 時， 有： Y=lglg[1-F(N)]-1； X=lg(N-N0)； 系數(shù)： A=lglge-blg(Na-N0)； B=b,,,44,故威布爾分布參數(shù): b=

27、B=1.7196 , Na=lg-1[(lglge-A)/b]+N0=8.84×105。,注意：對于本例，威布爾分布給出比正態(tài)分布更好的擬合精度，即更大的r值。,,,45,3.5 S-N曲線和P-S-N曲線的擬合,實驗得到： Ly12鋁合金板材， 在Smax為199、166、141.2、120.2 Mpa 四種應(yīng)力水平下的疲勞試驗結(jié)果 x=lgN，

28、 循環(huán)應(yīng)力比R=0.1,S-N曲線和P-S-N曲線擬合計算實例,試用最小二乘法擬合S-N曲線和P-S-N曲線。,,,46,,,47,表中數(shù)據(jù)在正態(tài)概率紙上描點結(jié)果如圖。,四種應(yīng)力水平下的 x?ps數(shù)據(jù)，均呈線性，即 x=lgN,服從正態(tài)分布。,Smax=199,Smax=166,Smax=141.2,Smax=120.2,,,48,各應(yīng)力水平下的 x?up擬合結(jié)果,ra=0.765 a=0.01,,,49,由前

29、表所列ps為50%和99.9%時的二組lgS?lgN數(shù)據(jù)，給出了給定存活率ps下的S-N關(guān)系。,p-S-N曲線：存活率為ps 的S-N曲線,如曲線2，是ps=99.9%的S-N曲線。,雙對數(shù)坐標(biāo)圖上，這二組 S-N數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系。,S-N曲線:存活率為50%的S-N曲線，曲線1。是中值S-N曲線。,,,50,式中，S的單位為MPa；N是直到破壞的循環(huán)次數(shù)。,對前圖之二組數(shù)據(jù)，令Y=lgS, X=lgN, 用最小二乘法擬合S-N曲

30、線，結(jié)果列于下表：,可知，對于本例，中值S-N曲線為：ps=99.9%的p-S-N曲線為：,,,51,小 結(jié)：,1）疲勞壽命分散性顯著。S越低，N越長，分散 性越大。分散性：光滑件>缺口件>裂紋擴(kuò)展,3）三參數(shù)威布爾分布為： N0-下限； Na-特征壽命參數(shù)；b-形狀參數(shù)。,4）利用概率紙可估計分布形式、分布參數(shù)。無 論何種分布，破壞率均秩估計量為p=i/(n+1)。,,,5

31、2,5）回歸分析的主要任務(wù)是： 尋找隨機(jī)變量間相關(guān)關(guān)系的近似定量表達(dá)式； 考查變量間的相關(guān)性； 利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測和統(tǒng)計推斷。,,,53,疲勞試驗 R、S給定,給定破壞概率下的疲勞壽命？壽命N對應(yīng)的pf？,8）疲勞壽命統(tǒng)計估計的分析計算框圖,對數(shù)正態(tài)分布 Yi=xi=lgNi, Xi=ui= F -1 (Fi)],威布爾分布Yi=lglg(1-Fi)-1;Xi=lg(Ni-N0); 0?N0?