數(shù)學文化課匯報[0001]

1、數(shù)學義務教育的“四基”及小學案例解讀,南開大學 顧 沛 2013年7月3日 河北省教科所 石家莊,1,,2,2012年起，進入課程改革的一個新時期,2011年12月28日，教育部頒布了《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在內的19種課程標準。 為落實課程標準，教育部強調：組織開展 全員學習和培訓，全面理解、深刻領會、準確把握修訂后課程標準的精神實質和主要變化。根據(jù)修訂后印發(fā)的各

2、學科課程標準，組織教科書的修訂和審查工作。2012年秋季已在所有起始年級使用新教材。其他年級也要依據(jù)新課程標準組織教學，改進評價方法。加強組織領導，統(tǒng)籌規(guī)劃，全面部署新課程標準的學習、宣傳、培訓和教研工作，確保新課程標準的全面落實。 （ 教基二司[2011]9號文，2011年12月28日

3、 《中國教育報》 2012年2月8日 CCTV 1 新聞直通車 2月12日 ）,3,媒體的報道,,4,,《課程標準》是國家的法定文件，應該特別重視。我國基礎教育現(xiàn)在實行“一標多本”的教材建設和選用制度，“課標”的地位和重要性遠遠高于各出版社出版的教材。希望教師養(yǎng)成經(jīng)常研讀“課標”的習慣。教師

4、備課，應該避免“重教材，輕課標”的情況；看《課程標準》，應該避免“重內容部分，輕理念部分”的情況。教任何一個年級的教師，都應該盡量了解教學全局，包括數(shù)學課程的教學全局，也包括語文、科學等課程的相關情況。教材，由于編寫和審定需要時間，一本一本地逐年出版，教師難以胸有全局，其實弊病很大?！墩n程標準》對于教學內容，是按照學段表述的，不是按照年級表述的。天津市和平區(qū)的小學教研，從2011年10月開始布置“教師說課標”活動，一直延續(xù)至201

5、2年6月，是很好的措施。,5,報告的提綱,一、數(shù)學基礎教育的“雙基”如何發(fā)展為“四基”二、小學教學中“數(shù)學思想”與“數(shù)學活動”的案例三、小學數(shù)學若干節(jié)課舉例（聽課、評課）四、教學建議,6,一、數(shù)學基礎教育的“雙基”如何發(fā)展為“四基”,7,數(shù)學基礎教育中的“雙基”如何發(fā)展為“四基”,8,數(shù)學基礎教育中的“雙基”如何發(fā)展為“四基”,9,數(shù)學基礎教育中的“雙基”如何發(fā)展為“四基”（顧沛，《數(shù)學教育學報》2012年第1期）,一、“雙基

6、”為什么要發(fā)展為“四基”二、關于數(shù)學的“基本思想”三、關于數(shù)學的“基本活動經(jīng)驗”四、“四基”是一個有機的整體,10,一、“雙基”為什么要發(fā)展為“四基”,“雙基”發(fā)展為“四基”，在《課標》中的表述為：“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。” “知識與技能”、“過程與方法”、“情感態(tài)度與價值觀” 三維目標結合數(shù)學學科的特點的具體化。,11,,“雙基

7、”的歷史貢獻應該肯定。但是，對于“雙基”的內容，即對于什么是學生應該掌握的“基礎知識”和“基本技能”，在“知識爆炸”的時代，在現(xiàn)代信息技術突飛猛進的時代，在獲取知識、技能的渠道大大增加的時代，應該與時俱進。過去提到數(shù)學的“雙基”時，通常是指：數(shù)學的基本概念、基本公式、基本運算、基本性質、基本法則、基本程式、基本定理、基本作圖、基本推理、基本語言、基本方法、基本操作、基本技巧，等等。,12,,許多年來，“雙基”概念一直在發(fā)展中深化。至

8、2000年，中華人民共和國教育部制定的《九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱（試驗修訂版）》中的表述，數(shù)學“基礎知識是指：數(shù)學中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數(shù)學思想和方法。基本技能是指：能夠按照一定的程序與步驟進行運算、作圖或畫圖、進行簡單的推理。” 并且，“雙基”在此已經(jīng)是與思維能力、運算能力、空間觀念等相互聯(lián)系表述的。 在“知識爆炸”的時代，對于過去數(shù)學“雙基”的某些內容，如繁雜的計算、細枝末節(jié)

9、的證明技巧等，需要有所刪減；而對于估算、算法、數(shù)感、符號意識、收集和處理數(shù)據(jù)、概率初步、統(tǒng)計初步、數(shù)學建模初步等，又要有所增加。這就是數(shù)學“雙基”內容的與時俱進。,13,,為什么有了“雙基”還不夠，現(xiàn)在還要增加兩條，成為“四基”？第一，因為“雙基”僅僅涉及上述三維目標中的一個目標——“知識與技能”。新增加的兩條則還涉及三維目標的另外兩個目標——“過程與方法”和“情感態(tài)度與價值觀”。第二，因為某些教師有時片面地理解“雙基”，往往在實施

10、中“以本為本”，見物不見人，而教育必須以人為本，新增加的“數(shù)學思想”和“活動經(jīng)驗”就直接與人相關，也符合“素質教育”的理念。第三，因為僅有“雙基”還難以培養(yǎng)創(chuàng)新性人才，“雙基”只是培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的一個基礎，但創(chuàng)新性人才不能僅靠熟練掌握已有的知識和技能來培養(yǎng)，獲得數(shù)學思想和數(shù)學活動經(jīng)驗等也十分重要，這就是新增加的兩條。,14,二、關于數(shù)學的“基本思想”,數(shù)學課程固然應該教會學生許多必要的結論，但絕不僅僅以教會這些定理、公式和計算程序、解

11、題方法為目標，更重要的是讓學生在學習這些結論的過程中獲得數(shù)學思想。數(shù)學思想是數(shù)學科學發(fā)生、發(fā)展的根本，也是數(shù)學課程教學的精髓。但是，《課標》在這里并沒有展開闡述“數(shù)學的基本思想” ，這就給我們留下了討論的空間。而且由于它過去并沒有被充分地討論過，所以可能仁者見仁，智者見智，不同的學者可能會有不完全一樣的說法。我這里也談談自己不成熟的觀點，與大家交流。,15,,數(shù)學思想的內涵和外延都很豐富，通俗地說，例如有從數(shù)學角度看問題的出發(fā)點，把客

12、觀事物簡化和量化的思想，周到、嚴密、系統(tǒng)地思考問題，以及建立數(shù)學模型的思想，合理地運籌帷幄，等等。一個人進入社會后，如果不是在與數(shù)學相關的領域工作，他學過的數(shù)學定理和公式可能大多都用不到，而在學習數(shù)學知識的過程中獲得的這些數(shù)學思想?yún)s一定會使他終生受益；雖然有些人對此是有意識的，有些人是無意識的。“課標”在這里的措詞為數(shù)學的“基本思想”，而不是數(shù)學的“基本思想方法”，我以為，這是明智的、恰當?shù)?，因為“思想方法”可能更多地讓人?lián)想到具體

13、的“方法”，如換元法、代入法、配方法，層次就降低了，且沖淡了“思想”這個關鍵詞。并且，其實雙基中已經(jīng)含有數(shù)學的這些具體方法。,16,,數(shù)學的基本思想，主要可以有數(shù)學抽象的思想、數(shù)學推理的思想、數(shù)學模型的思想、數(shù)學審美的思想。人類通過數(shù)學抽象，從客觀世界中得到數(shù)學的概念和法則，建立了數(shù)學學科及其眾多的分支；通過數(shù)學推理，進一步得到大量結論，數(shù)學科學得以豐富和發(fā)展；通過數(shù)學模型，把數(shù)學應用到客觀世界中，產(chǎn)生了巨大的社會效益，又反過來促進

14、了數(shù)學科學的發(fā)展；通過數(shù)學審美，看到數(shù)學“透過現(xiàn)象看本質”、“和諧統(tǒng)一眾多事物”中美的成份，感受到數(shù)學“以簡馭繁”、“天衣無縫”給我們帶來的愉悅，并且從“美”的角度發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造新的數(shù)學。,17,,當然，由上述數(shù)學的“基本思想”演變、派生、發(fā)展出來的數(shù)學思想還有很多。例如由“數(shù)學抽象的思想”派生出來的可以有：分類的思想，集合的思想，“變中有不變”的思想，符號表示的思想，對應的思想，有限與無限的思想，等等。例如由“數(shù)學推理的思想”派生出來

15、的可以有：歸納的思想，演繹的思想，公理化思想，數(shù)形結合的思想，轉換化歸的思想，聯(lián)想類比的思想，逐步逼近的思想，運籌的思想，算法的思想，代換的思想，特殊與一般的思想，等等。例如由“數(shù)學建模的思想”派生出來的可以有：簡化的思想，量化的思想，函數(shù)的思想，方程的思想，優(yōu)化的思想，隨機的思想，統(tǒng)計的思想，等等。例如由“數(shù)學審美的思想”派生出來的可以有：簡潔的思想，對稱的思想，統(tǒng)一的思想，和諧的思想，以簡馭繁的思想，“透過現(xiàn)象看本質”的思想，等

16、等。,18,,舉例說，“分類的思想”和“集合的思想”可以是這樣由“數(shù)學抽象的思想”派生出來的：人們對客觀世界進行觀察時，常常從研究需要的某個角度分析聯(lián)想，排除那些次要的、非本質的因素，保留那些主要的、本質的因素，一種有效的做法就是對事物按照其某種本質進行分類，分類的結果就產(chǎn)生了“集合”。把它們上升到思想的層面上，就形成了“分類的思想”和“集合的思想”。,19,,在用數(shù)學思想解決具體問題時，對某一類問題反復推敲，會逐漸形成某一類程序化的

17、操作，就構成了“數(shù)學方法”。數(shù)學方法也是具有層次的。處于較高層次的，例如有：邏輯推理的方法，合情推理的方法，變量替換的方法，等價變形的方法，分情況討論的方法，等等。低一些層次的數(shù)學方法，還有很多。例如有：分析法，綜合法，窮舉法，反證法，抽樣法，構造法，待定系數(shù)法，數(shù)學歸納法，遞推法，消元法，降冪法，換元法，坐標法，配方法，列表法，圖像法，等等。,20,,數(shù)學方法不同于數(shù)學思想“數(shù)學思想”往往是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的

18、、內在的、概括的；而“數(shù)學方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的。數(shù)學思想常常通過數(shù)學方法去體現(xiàn)；數(shù)學方法又常常反映了某種數(shù)學思想。數(shù)學思想是數(shù)學教學的核心和精髓，教師在講授數(shù)學方法時應該努力反映和體現(xiàn)數(shù)學思想，讓學生體會和領悟數(shù)學思想，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。,21,三、關于數(shù)學的“基本活動經(jīng)驗”,數(shù)學教學，本質上是師生共同進行數(shù)學活動的教學，所以學生獲得相關的活動經(jīng)驗當然應該是數(shù)學課程的一個目標。特別

19、是，其中有些精神“只能意會，難以言傳”，必須要學生自己在親身經(jīng)歷的過程中獲得經(jīng)驗；有些內容雖能言傳，但是如果沒有學生在數(shù)學活動中親身體會，理解也難以深刻。但是，《課標》并沒有展開闡述“數(shù)學的基本活動經(jīng)驗” ，這也給我們留下了討論的空間。我在這里也談談自己不成熟的觀點，與大家交流。,22,,什么是數(shù)學活動經(jīng)驗？我以為，“活動經(jīng)驗”與“活動”密不可分，所說的“活動”，當然要有“動”，手動、口動和腦動。它們既包括學生在課堂上學習數(shù)學時的

20、探究性學習活動，也包括與數(shù)學課程相聯(lián)系的學生實踐活動；既包括生活、生產(chǎn)中實際進行的數(shù)學活動，也包括數(shù)學課程教學中特意設計的活動?！盎顒印笔且粋€過程，因此也體現(xiàn)出，不但學習結果是課程目標，而且學習過程也是課程目標。,23,,其次，“活動經(jīng)驗”還與“經(jīng)驗”密不可分，當然就與“人”密不可分。學生本人要把在活動中的經(jīng)歷、體會總結上升為“經(jīng)驗”。這既可以是活動當時的經(jīng)驗，也可以是延時反思的經(jīng)驗；既可以是學生自己摸索出的經(jīng)驗，也可以是受別人啟

21、發(fā)得出的經(jīng)驗；既可以是從一次活動中得到的經(jīng)驗，也可以是從多次活動中互相比較得到的經(jīng)驗。特別關鍵的是，這些“經(jīng)驗”必須轉化和建構為屬于學生本人的東西，才可以認為學生獲得了“活動經(jīng)驗”。應該注意的是，所說的“活動”都必須有明確的數(shù)學內涵和數(shù)學目的，體現(xiàn)數(shù)學的本質，才能稱得上是“數(shù)學活動”，它們是數(shù)學教學的有機組成部分。教師的課堂講授、學生的課堂學習，是最主要的“數(shù)學活動”，這種講授和學習，應該是漸進式的、啟發(fā)式的、探究式的、互動式的。此

22、外，還有其他形式的“數(shù)學活動”，例如學生的自主學習，調查研究，獨立思考，合作交流，小組討論，探討分析、參觀實踐，以及作業(yè)練習和操作計算工具，等等。,24,,還應該強調的是，學生在進行“數(shù)學活動”的過程中，除了能夠獲得邏輯推理的經(jīng)驗，還能夠獲得合情推理的經(jīng)驗。例如，根據(jù)條件“預測結果”的經(jīng)驗和根據(jù)結果“探究成因”的經(jīng)驗。這兩種經(jīng)驗對于培養(yǎng)創(chuàng)新人才也是非常重要的。數(shù)學活動的教育意義在于，學生主體通過親身經(jīng)歷數(shù)學活動過程，能夠獲得具有個性

23、特征的感性認識、情感體驗、以及數(shù)學意識、數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng)。,25,,讓學生獲得“數(shù)學活動經(jīng)驗”，還能夠培養(yǎng)學生在活動中從數(shù)學的角度思考問題，直觀地、合情地獲得一些結果，這些是數(shù)學創(chuàng)造的根本，是得到新結果的主要途徑。數(shù)學活動經(jīng)驗并不僅僅是實踐的經(jīng)驗，也不僅僅是解題的經(jīng)驗，更加重要的是思維的經(jīng)驗，是在數(shù)學活動中思考的經(jīng)驗。因為，創(chuàng)新依賴的是思考，是數(shù)學活動中創(chuàng)造性的思維。而思維方法是依靠長期活動經(jīng)驗積累獲得的，思維品質是依靠有效的、多方

24、面的數(shù)學活動改善的，并不是僅僅依靠接受教師的傳授獲得的。愛因斯坦說：“獨立思考是創(chuàng)新的基礎”。獲得數(shù)學活動經(jīng)驗，最重要的是積累“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”的經(jīng)驗，以及“分析問題、解決問題”的經(jīng)驗，總之，是“從頭”想問題、思考問題、做問題全過程的經(jīng)驗。,26,,學生形成智慧，不可能僅依靠掌握豐富的知識，一定還需要經(jīng)歷實踐及在實踐中取得經(jīng)驗。數(shù)學思想也不僅在探索推演中形成，還需要在數(shù)學活動經(jīng)驗積累的基礎上形成。,27,,數(shù)學的基本活動經(jīng)驗可以

25、按不同的標準分成若干類型。比如，有的學者把它分為如下四種： 直接的活動經(jīng)驗，間接的活動經(jīng)驗，設計的活動經(jīng)驗和思考的活動經(jīng)驗。直接的活動經(jīng)驗是與學生日常生活直接聯(lián)系的數(shù)學活動中所獲得的經(jīng)驗，如購買物品、校園設計等。間接的活動經(jīng)驗是學生在教師創(chuàng)設的情景、構建的模型中所獲得的數(shù)學經(jīng)驗，如雞兔同籠、順水行舟等。設計的活動經(jīng)驗是學生從教師特意設計的數(shù)學活動中所獲得的經(jīng)驗，如隨機摸球、地面拼圖等。思考的活動經(jīng)驗是通過分析、歸納等思

26、考獲得的數(shù)學經(jīng)驗，如預測結果、探究成因等。學生只有積極參與數(shù)學課程的教學過程，經(jīng)過獨立思考，經(jīng)過探索實踐，經(jīng)過合作交流，才有可能積累數(shù)學活動經(jīng)驗。,28,,《課標》中還專門設計了“綜合與實踐”的課程內容，強調以問題為載體，讓學生在綜合運用知識、技能解決問題的實踐中獲得數(shù)學活動經(jīng)驗。在學生積累和獲得數(shù)學的基本活動經(jīng)驗的過程中，就必然有情感態(tài)度與價值觀的提升。這樣，“四基”就全面體現(xiàn)了《綱要》中“三維目標”的要求。,29,四、“四基”是一

27、個有機的整體,“四基”雖然是由四個部分構成的，但“四基”不應僅僅看作是四個事物簡單的疊加或混合，而應是一個有機的整體，是互相聯(lián)系、互相促進的。,30,,基礎知識和基本技能是數(shù)學教學的主要載體，需要花費較多的課堂時間；數(shù)學思想則是數(shù)學教學的精髓，是統(tǒng)領課堂教學的主線；數(shù)學活動是不可或缺的教學形式與過程?！八幕奔热槐仍瓉碓黾恿藘蓷l，教師在課堂教學的安排上就應該有意識地給數(shù)學思想的教學預留適當?shù)臅r間；但是數(shù)學思想的教學不能空洞地進行，一定

28、要以數(shù)學知識為載體進行，并且應該注意將數(shù)學知識與數(shù)學思想融為一體，因勢利導，水到渠成，畫龍點睛；教師在講解數(shù)學思想時，應該避免“兩層皮”，避免生硬牽強，避免長篇大論。在課堂數(shù)學活動的時間安排上，大量的應該是教師啟發(fā)式傳授和學生在教師指導下獨立思考、自主探究的時間；其他形式的數(shù)學活動也應安排適當?shù)臅r間。此外，“四基”既然比原來增加了兩條，那么，在教學評價上也應該給數(shù)學思想和數(shù)學活動以適當?shù)奈恢煤涂臻g。,31,二、小學教學中“數(shù)學思想”與

29、“數(shù)學活動”的案例,,學習數(shù)學思想積累數(shù)學活動經(jīng)驗提高數(shù)學素養(yǎng)十分重要,小學、中學和大學，學習內容不同，但 這一點是共同的。,33,小學的案例,《課標（2011年版）》中若干案例（原序號）該案例怎樣展開數(shù)學活動該案例滲透什么數(shù)學思想該案例還體現(xiàn)《課標》的 其他哪些方面,34,《基礎教育課程》上發(fā)表的文章（小學、初中）,35,第一學段,例1 用算盤上的算珠表示三位數(shù)。 配合教具、學具

30、的數(shù)學活動；計數(shù)與記數(shù) 符號表示的思想；實物的“位置制”（513）,36,,例6.學校組織987名學生去公園游玩。如果公園的門票每張8元，帶8000元錢夠不夠？解決簡單實際問題的活動；滲透簡化的思想；估算的方法； 第一學段學習估算的核心，是結合具體情境選擇合適的單位，而不是“近似計算”，不是“四舍五入，湊整計算”。,37,,例8. 估計每分鐘脈搏跳動的次數(shù)、閱讀的字數(shù)、跳繩的次數(shù)、走路

31、的步數(shù)。設計的數(shù)學活動；指導學生實際測量解決問題的多種策略；滲透優(yōu)化的思想,38,,例10 在下面的圖1中，描出橫排和豎排上兩個數(shù)相加等于10 的格子，再分別描出相加等于6，9的格子，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律。 設計的、自主探索的活動； 滲透數(shù)形結合的思想； 滲透函數(shù)的思想； 滲透數(shù)學審美的思想； 情感態(tài)度和價值觀（從簡單的情形入手，都是直線?。?圖1,,例17 分別選擇三個不同的標準把全班同學分為兩類

32、，記錄調查結果。 調查、記錄、分類的活動； 積累思考的活動經(jīng)驗 滲透分類的思想；統(tǒng)計的思想 培養(yǎng)從數(shù)據(jù)出發(fā)的觀念,40,,例18 新年聯(lián)歡會準備買水果，調查班級同學最喜歡吃的水果，設計購買方案。 調查、記錄、整理數(shù)據(jù)的活動； 設計的數(shù)學活動，鼓勵學生討論收集數(shù)據(jù)的方法（每一提案舉手；填調查表；羅列全部提案表決）；按照約定決定購買水果的方案；積累直接的活動經(jīng)驗 滲透數(shù)據(jù)分析的

33、思想； “統(tǒng)計”無對錯，但是要符合最初設定的原則。,41,,例19 對全班同學的身高進行調查分析。 指導學生把身高的數(shù)據(jù)保留下來； 積累直接的活動經(jīng)驗 滲透數(shù)據(jù)分析的思想；情感態(tài)度和價值觀 養(yǎng)成保存資料的習慣；在數(shù)學活動中體會數(shù)學思維和數(shù)學精神。,42,,在三個學段，《標準》都舉了對全班同學的身高進行分析的例子，并且鼓勵學生把每年測量身高的數(shù)據(jù)都保留下來，根據(jù)不同學段的特點對

34、于數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，提取信息，從而經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的過程。具體闡述和要求如下。 三個學段中對于數(shù)據(jù)分析過程的例子第一學段（《課標》例19）：對全班同學的身高進行調查分析。 [說明] 學校一般每年都要測量學生的身高，這為學習統(tǒng)計提供了很好的數(shù)據(jù)資源，因此這個問題可以貫穿第一學段和第二學段，根據(jù)不同學段的學生特點，要求可以有所不同。希望學生把每年測量身高的數(shù)據(jù)都保留下來，養(yǎng)成保存資料的習慣。在第一學段，主要讓學生

35、感悟可以從數(shù)據(jù)中得到一些信息。第二學段（《課標》例38）： 對全班同學的身高的數(shù)據(jù)進行整理和分析。 [說明] 在上面的例子中，已經(jīng)引導學生對全班同學的身高的數(shù)據(jù)進行初步分析。在這個學段中，要求學生結合以前積累的身高數(shù)據(jù)，進行進一步的整理，然后進行分析。整理的目的是為了便于分析，例如，條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學生占全班學生的比例及其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解幾

36、年來學生身高變化的情況，預測未來身高變化趨勢。學生還可以討論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學的身高，自己的身高在全班的什么位置。第三學段（《課標》例70）： 比較自己班級與別的班級同學的身高狀況。,43,,例20 （扣子）圖形分類。 圖6設計的數(shù)學活動，鼓勵學生討論分類的標準（扣子的顏色、形狀、扣眼個數(shù)）；積累思考的活動經(jīng)驗 分類的思想；集

37、合的思想,44,,,[說明] 本活動適合于本學段的各個年級，可以在要求上有所區(qū)分。本活動的目的是希望學生能夠清楚，分類是要依賴分類標準的，例如扣子的形狀、扣子的顏色或者扣眼的數(shù)量都可以作為分類的標準，而在不同的分類標準下分類的結果可能是不同的。本活動將有利于培養(yǎng)學生把握圖形的特征、抽象出多個圖形的共性的能力。另一方面，活動還要求學生運用文字、圖畫或表格等方法記錄對扣子進行分類后的結果，這有利于培養(yǎng)學生整理數(shù)據(jù)的能力。,45,教師在此活動

38、的教學中可以作如下設計：（1）教師提出問題，引導學生討論分類標準?？梢詥l(fā)學生這樣思考：先關注一個指標作為分類標準，如先關注顏色；在此基礎上，再進一步關注兩個指標作為分類標準，如進一步關注顏色和形狀；最后再關注顏色、形狀和扣眼數(shù)。這樣可以避免出現(xiàn)混亂。（2）根據(jù)已經(jīng)討論確定的分類標準對學生分組，引導學生實際操作，合作完成計數(shù)；各小組呈現(xiàn)統(tǒng)計結果。（3）教師組織學生報告統(tǒng)計結果，引導學生作出評價，幫助學生整理思路。,46,47,（扣

39、子分類問題的延伸）,按不同的標準分類，結果不同；兼用兩種標準分類；兼用兩種標準分類，順序不同，注意其結果；再兼用兩種標準分類，順序不同，注意其結果；猜測規(guī)律 —— 交換率；驗證規(guī)律 —— 窮舉法；規(guī)律能否推廣 —— 任何兩個獨立的指標，在“運算”時都滿足 交換率？試驗推廣的規(guī)律 —— 按行和列兩個獨立的指標加方表中的

40、數(shù)……；找出不獨立的兩個指標的情況 —— 平面的旋轉和平移； 灌水和燒水……,,例21 生活中的軸對稱圖形。 組織學生收集生活中的軸對稱圖形，嘗試畫出它們的對稱軸。積累直接的活動 經(jīng)驗、思考的活動經(jīng)驗； 滲透對稱的思想；數(shù)學審美的思想；

41、 情感態(tài)度和價值觀的提升,48,,,例22 上學時間。讓學生記錄自己在一個星期內每天上學途中所需要的時間，并從這些數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)有用的信息。 積累直接的活動經(jīng)驗； 滲透數(shù)據(jù)分析的思想；隨機的思想 數(shù)據(jù)較多時的穩(wěn)定性，從中可以得到很多信息； 培養(yǎng)學生認真做事的習慣。,49,第二學段,例24 某學校為學生編號，設定末尾用1表示男生，用2表示女生，例如，200903321表示“2009年入學的三班的

42、32號同學，該同學是男生”。那么，201004302表示什么？ 積累直接的活動經(jīng)驗、思考的活動經(jīng)驗； 滲透符號意識；數(shù)據(jù)分析的觀念 數(shù)，具有表示的作用，可以表示數(shù)量（基數(shù)），也可以表示順序（序數(shù)），還可以用來測量、計算和命名。（數(shù)感?。?50,,例26 李阿姨去商店購物，帶了100元，她買了兩袋面，每袋30.4元，又買了一塊牛肉，用了19.4元，她還想買一條魚，大一些的每條25.2元，小一些的

43、每條15.8元。請幫助李阿姨估算一下，她帶的錢夠不夠買小魚？能不能買大魚？ 結合生活情境，選擇合適的方法，進行估算活動，解決簡單的問題。 滲透簡化的思想，估算的思想 估算的方法：選取合適的單位；適當放大或者適當縮小。,51,,例28 利用計算器計算15×15，25×25，…，95×95，并探索規(guī)律。 運用計算工具的活動，通過設計的活動探索規(guī)律， 積

44、累思考活動的經(jīng)驗； 滲透“變中有不變”的思想15×15=225=1×2×100+25，25×25=625=2×3×100+25，35×35=1225=3×4×100+25， …,52,,例29 彩帶每米售價3.2元，購買2米，3米，…，10米彩帶分別需要多少元？在方格紙上把與數(shù)對（長度，價錢）相對應的點描出，并且回答下列問題：（

45、1）所描的點是否在一條直線上？（2）估計一下買1.5米的彩帶大約要花多少元？（3）小剛買的彩帶長度是小紅的3倍，他所花的錢是小紅的幾倍？設計的數(shù)學活動，積累自主探索的活動經(jīng)驗； 滲透數(shù)形結合的思想（幾何直觀）；數(shù)學審美的思想,53,,“數(shù)”和“形”是數(shù)學中最基本的兩個概念，數(shù)學家華羅庚先生說“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微”，這就是數(shù)形結合思想。在分數(shù)的教學中，我們常用餅形圖幫助學生理解分數(shù)的含義；而在有理數(shù)的教學中，我們需

46、要借助數(shù)軸表示相反數(shù)、理解絕對值的意義、比較有理數(shù)大小，表示不等式組的共解集等。在平時的教學中，教師要對具體的數(shù)學知識進行深入的分析，挖掘這部分內容蘊涵的數(shù)學思想，進行反復滲透，提高學生的認識水平。,54,,例30 聯(lián)歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個綠氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你知道第16個氣球是什么顏色嗎？ 間接的數(shù)學活動；積累思考的活動經(jīng)驗； 滲透數(shù)學模型的思想，“變中有不變”的思想，符號表示的

47、思想,55,AAABBCAAABBC…,,例31 一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有60個，那么有幾個椅子和幾個凳子？ 設計的數(shù)學活動；積累思考的活動經(jīng)驗； 滲透數(shù)學推理的思想；歸納的思想，符號表示的思想，數(shù)學模型的思想 探索規(guī)律的觀念；由簡至繁的方法；解決問題多種策略椅子數(shù) 凳子數(shù) 腿的總數(shù) 16

48、 0 4×16=64 15 1 4×15+3×1=63 14 2 4×14+3×2=62 ，…… 模型：由4×16 – 60 = 凳子數(shù) 推知 4×（椅子和凳子的總數(shù)） – 腿的總

49、數(shù) = 凳子數(shù) （擴展：雞兔同籠）,56,數(shù)學模型的思想,事實上，這個問題可以用三種方法建立模型。在第二學段討論過的方法是基于四則運算，到第三學段還可以用一元一次方程的方法或二元一次方程組的方法解決。啟發(fā)學生從不同的角度思考同一個問題，有利于學生進行比較，加深對于模型的理解。 例51題目與例31完全一樣，但是有方程語言的闡述；可以讓學生比較解決問題的不同策略。,57,,例32 觀察下圖（圖8）： 

50、0;   請指出從前面、右面、上面看到的相應圖形（圖9）：  設計的數(shù)學活動；積累思考的活動經(jīng)驗； 滲透空間觀念 （先想后看）,58,,例34 測量一個土豆的體積。 設計的數(shù)學活動，指導學生實際測量； 積累思考的活動經(jīng)驗； 滲透轉換的思想；簡化的思想； 體現(xiàn)化繁為簡的方法、等量替換的方法,59,,例

51、35 圖畫還原。 打亂由幾塊積木或者幾幅圖畫構成的平面畫面，請學生還原并利用平移和旋轉記錄還原步驟。 圖11設計的數(shù)學活動；積累思考的活動經(jīng)驗（由簡至繁）滲透空間觀念；符號表示的思想 （記錄幾何運動）,60,,例37 小青坐在教室的第3行第4列，請用數(shù)對表示，并在方

52、格紙上描出來。在同樣的規(guī)則下，小明坐在教室的第1行第3列應當怎樣表示？ 直接的數(shù)學活動；積累思考的活動經(jīng)驗 滲透數(shù)形結合的思想，一一對應的思想 坐標法（滲透）,61,,例38 對全班同學身高的數(shù)據(jù)進行整理和分析。 指導學生討論并且明確畫各種統(tǒng)計圖（條扇折）的基本標準； 直接的數(shù)學活動；積累思考的活動經(jīng)驗 滲透數(shù)據(jù)分析的思想； 養(yǎng)成保存資料的習慣；組織討論用什么數(shù)

53、據(jù)來代表全班同學的身高；在數(shù)學活動中體會數(shù)學思維和數(shù)學精神。 情感態(tài)度和價值觀的提升,例40 袋中裝有5個球、4個紅球和1個白球。只告訴學生袋中球的顏色為紅色和白色，不告訴他們紅球數(shù)目與白球數(shù)目，讓學生通過多次有放回的摸球，統(tǒng)計摸出紅球和白球的數(shù)量及各自所占比例，由此估計袋中紅球和白球數(shù)目的情況。 先鼓勵學生思考，不打開袋子，如何估計其中紅球和白球數(shù)目的比。然后組織摸球活動，明確規(guī)則：有放回、搖勻 設計的數(shù)

54、學活動；積累思考的活動經(jīng)驗 滲透隨機的思想；數(shù)據(jù)分析的方法,例42 繪制學校平面圖。 按照確定的比例和方位，繪制校園的平面圖，包括圍墻、主要建筑、主要活動場所、道路等等。 “綜合與實踐”的活動是積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要載體； 理解-位置、方向、比例；掌握-測量的方法 滲透空間觀念 ；操作比較復雜，小組合作交流,例44 象征性長跑。 為了迎接奧運會的召開，某小學決定組織“迎接

55、圣火、跑向北京”的象征性長跑活動，學校向同學們征集活動方案，請你參與設計，其中要解決的問題有： （1）調查你所在的學校到北京天安門的距離約有多少千米？（2）如果一個人每天跑一個“馬拉松”，要幾天能完成這項長跑？（3）如果全班用接力方式開展這項活動，請你設計一個合理的活動方案。（4）全班交流、展出同學們的不同方案，說明各個方案的特點，同學之間評價方案的優(yōu)缺點，推薦本班的最佳活動方案。 綜合與實踐的活動； 解決問題的

56、不同策略，優(yōu)化的思想；生生互評,65,,《課標》在“四基”的表述前用了“獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的”這樣一個限制性定語，這樣，一方面避免了在“四基”的名義下不適當?shù)財U大教學內容，一方面也強調了學生獲得數(shù)學“四基”的現(xiàn)實意義和長遠意義。其現(xiàn)實意義是——學生適應社會生活所必需；其長遠意義是——學生進一步發(fā)展所必需。如果數(shù)學課程能夠使我們的學生獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，那

57、么培養(yǎng)全面發(fā)展的創(chuàng)新性人才就具備了很好的條件。,66,其他案例,,67,被刪去的例84 探索數(shù)量關系的變化規(guī)律 （實施建議之第三學段） 教師可以先給出題目，求 1+3+5+…+19=？ 教學的目的當然不是希望學生通過加法運算得到結果，而是希望學生通過求解的過程歸納出規(guī)律?？?/p>

58、以有各種途徑引導學生探索規(guī)律。 例如，學生可以利用由簡單到復雜的策略來探索規(guī)律。從題目的最簡單的情況開始計算（這里也體現(xiàn)了 問題特殊化 的方法）： 1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16

59、 1+3+5+7+9=25,68,學生可能會發(fā)現(xiàn)上述計算結果均為平方數(shù)，甚至可能會發(fā)現(xiàn)均為算式中數(shù)字個數(shù)的平方，于是可以預測 1+3+5+…+19=102=100 這個時候，學生可能已經(jīng)知道了一般的計算公式，但是要讓全體學生都能夠用數(shù)學符號把計算公式表達出來還是有一定困難的。可以先引導學生考慮奇數(shù)的符號表達，考慮這個表達與題目中數(shù)字個數(shù)的關系，然后可

60、以得到一般的結論： 1+3+5+7+…+(2n -1)= n2 這種由最簡單情況出發(fā)探索規(guī)律的方法似乎非常笨拙，但在數(shù)學探究中往往是最有效的方法。在教學過程中要讓學生關注：分析計算結果的數(shù)量關系，尋求規(guī)律、提出猜想、符號表達、驗證規(guī)律。 （這里也體現(xiàn)了 變中有不變 的思想）,69,為了幫助學生思考，教師也可以提供一些工具，比如下面的點陣，啟發(fā)學

61、生從數(shù)與形的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：  圖30  可以看到，圖30中的折線中得到的就是平方數(shù)，引導學生用算式表達出來，然后得到一般的結論。 （此例也體現(xiàn)了 數(shù)形結合

62、 的思想 和幾何直觀 及數(shù)學審美 的思想 ）,70,71,“對應”的思想,教小孩識數(shù)，教會“一一對應”是關鍵?！笆M制”的產(chǎn)生，也是由于數(shù)數(shù)時用人的十個手指頭與所數(shù)若干物體“一一對應”。,72,討論“個數(shù)”時，“一一對應”是關鍵,一個集合中元素的個數(shù)兩個集合中元素的個數(shù)是否相等 （“點名”數(shù)空座； 大足石刻的千手觀音有多少只手，貼金箔，1007）

63、推廣到無限集合時，仍然用“一一對應”的觀點,73,大足石刻千手觀音,74,討論“個數(shù)”時，“一一對應”是關鍵,一個集合中元素的個數(shù)兩個集合中元素的個數(shù)是否相等 （“點名”數(shù)空座； 大足石刻的千手觀音有多少只手，貼金箔，1007）推廣到無限集合時，仍然用“一一對應”的觀點,75,抽象的思想,3個蘋果+2個蘋果=5個蘋果3個桔子+2個桔子=5個桔子3條鯉魚+2條鯉魚=5條鯉魚3+2=53個蘋果

64、+2個桔子=？,運算概念的建立和運算的背景、含義,“數(shù)的運算”非常重要，在小學數(shù)學中占了一半以上的內容。加法運算的含義和背景，相對比較容易理解，但是減法、乘法、除法則不然，學生需要較長的時間，較多的情境，獲得較豐富的經(jīng)驗后，才能全面理解這些運算的各種含義。例如，減法除了“取走”的意思外，還有“比較”的含義：6個人比4個人多2個人；攝氏6度比攝氏零下4度高10度。例如，乘法除了“相同加數(shù)的相加”的意思外（乘整數(shù)），還有其他的含義：計

65、算長方形的面積9.2厘米×4.3厘米；計算96元打8折后的金額96 ×0.8（元）等。例如，除法除了“等分”的意思外，還有其他的含義：“比”的含義；“變化率”的含義等。,76,77,希望通過這些例子，達到舉一反三的效果。,,教學過程中傳授或者滲透數(shù)學思想應該注意的地方,傳授數(shù)學思想，與傳授數(shù)學知識不是分離的，更不是對立的，而是統(tǒng)一的、融合的。數(shù)學思想、數(shù)學能力、數(shù)學素養(yǎng)這些“精髓”都不能脫離知識肉體而存在。

66、它們都不是單獨地、空洞地被傳授的，而一定是以知識為載體傳授的。并且不是在講授知識時生拉硬扯、牽強附會地傳授的，而是融入其中，因勢利導、水到渠成地滲透的；也不是擺開架勢、長篇大論地傳授的，而是潛移默化、畫龍點睛地滲透的；更不是浮皮潦草、淺嘗輒止地傳授的，而是細致貼切、深入淺出地滲透的。,78,三、小學數(shù)學若干節(jié)課程舉例（聽課、評課）,,顧沛教授 點評數(shù)學課現(xiàn)場,80,,每一例都是40分鐘的一節(jié)課因為時間關系，不能介紹該節(jié)課的全過程

67、僅點評其中的亮點及可以改進的地方有詳有略,81,《小學教學》（數(shù)學版）上發(fā)表的文章,82,《小學教學》（數(shù)學版）上發(fā)表的文章,83,《小學教學》（數(shù)學版）上發(fā)表的文章,84,例1. 9的乘法口訣（二年級）,這本來是一節(jié)操作性的課程，但是教師注重了操作性與思維性的結合，在讓學生記住口訣的同時也培養(yǎng)了他們的思維品質。同桌討論5分鐘，自己編口訣（已有基礎，探究、思考！），然后表述。表述時要求按照這樣的句型：6個9是54，乘法口

68、訣是“六九五十四”（設計直達乘法的本質?。?。教師發(fā)問：這些口訣中哪句比較好記？生答：一九得九；九九八十一（因為簡單；西游記故事中九九八十一難）。師：這些口訣中有不好記的嗎？生答：八九七十二。教師說：那么，集體讀兩遍（正反兩個方面學習；問話照顧到“情感”?。?。多種形式背口訣：個人背；師出卡片齊答背；兩個學生一問一答；接力背；男女生分別接力背；……（雙基-必要的適當重復！） 18-右,編口訣之前，教師以“小熊跳格”的情境做引導,

69、86,,學生編口訣之前，教師以“小熊跳格”的情境，引導出“一九得九”和“二九十八”兩句口訣，然后發(fā)問：為什么第一句要添加一個“得”字？生答：因為積比10小。教師鼓掌并口頭肯定。（看來過去就有這樣的問題，而學生回答得不太好，這次才值得鼓掌。但是，“積比10小”未必是其本質的原因，“四字順口，易讀易記”可能才是真正的原因?？谠E：重要、簡短、上口，易記。）教師在有規(guī)律地板書所有關于9的個位數(shù)乘法后，再讓學生背相關口訣，并且問“誰找到了規(guī)律？