第2章線性時(shí)不變系統(tǒng)

1、第2章 線性時(shí)不變系統(tǒng),Linear Time-Invariant Systems,LTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。,本章主要內(nèi)容：,,信號(hào)的時(shí)域分解——用 表示離散時(shí)間信號(hào)；　用 表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)。,LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析——卷積積分與卷積和。,LTI系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示。,奇異函數(shù)。,2.0 引言 ( Introduction ),基本思想：如果能把任意輸入信號(hào)分解成基本信號(hào)的線性組合，那么只要得到了LTI系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)

2、的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)表示成系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)的線性組合。,由于LTI系統(tǒng)滿足齊次性和可加性，并且具有時(shí)不變性的特點(diǎn)，因而為建立信號(hào)與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定了基礎(chǔ)。,,,,問題的實(shí)質(zhì)：,1. 研究信號(hào)的分解：即以什么樣的信號(hào)作為構(gòu)成任意信號(hào)的基本信號(hào)單元，如何用基本信號(hào)單元的線性組合來構(gòu)成任意信號(hào)；2. 如何得到LTI系統(tǒng)對(duì)基本單元信號(hào)的響應(yīng)。,,作為基本單元的信號(hào)應(yīng)滿足以下要求：,1.

3、本身盡可能簡(jiǎn)單，并且用它的線性組合能夠表示（構(gòu)成）盡可能廣泛的其它信號(hào)；2. LTI系統(tǒng)對(duì)這種信號(hào)的響應(yīng)易于求得。,如果解決了信號(hào)分解的問題，即：若有,則,,將信號(hào)分解可以在時(shí)域進(jìn)行，也可以在頻域或變換域進(jìn)行，相應(yīng)地就產(chǎn)生了對(duì)LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析法、頻域分析法和變換域分析法。,分析方法：,離散時(shí)間信號(hào)中,最簡(jiǎn)單的是 ,可以由它的線性組合構(gòu)成 ，即：,2.1 離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和,一. 用單位脈沖表示離散時(shí)間信號(hào)

4、,,對(duì)任何離散時(shí)間信號(hào) ,如果每次從其中取出一個(gè)點(diǎn)，就可以將信號(hào)拆開來，每次取出的一個(gè)點(diǎn)都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖。,（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）,二. 卷積和（Convolution sum）,于是有：,表明：任何信號(hào) 都可以被分解成移位加權(quán)的單位脈沖信號(hào)的線性組合。,如果一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì) 的響應(yīng)是 ，由線性特性就有

5、系統(tǒng)對(duì)任何輸入 的響應(yīng)為：,若系統(tǒng)具有時(shí)不變性，即：,若 ，則,因此，只要得到了LTI系統(tǒng)對(duì) 的響應(yīng),,單位脈沖響應(yīng)( impulse response )，,就可以得到LTI系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào) 的響應(yīng)：,這表明：一個(gè)LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為卷積和（The convolution sum）。,三. 卷積和的計(jì)算,計(jì)算方法：,

6、有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)值解法）。,運(yùn)算過程：,將一個(gè)信號(hào) 不動(dòng)，另一個(gè)信號(hào)經(jīng)反轉(zhuǎn)后成為 ,再隨參變量 移位。在每個(gè) 值的情況下，將 與 對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘，再把乘積的各點(diǎn)值累加，即得到 時(shí)刻的 。,例1：,例2：,① 時(shí)，,,② 時(shí)，,③

7、 時(shí)，,④ 時(shí)，,⑤ 時(shí)，,通過圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號(hào)的區(qū)間表示，對(duì)于確定卷積和計(jì)算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。,例3. 列表法,分析卷積和的過程，可以發(fā)現(xiàn)有如下特點(diǎn)：,① 與 的所有各點(diǎn)都要遍乘一次；,② 在遍乘后，各點(diǎn)相加時(shí)，根據(jù) ，,參與相加的各點(diǎn)都具有 與 的宗量

8、之和為 的特點(diǎn)。,優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：,計(jì)算非常簡(jiǎn)單。①只適用于兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的卷積和；②一般情況下，無法寫出 的封閉表達(dá)式。,卷積和：對(duì)位相乘法,卷和計(jì)算有解析法、圖解法和變換法 對(duì)位乘加法：當(dāng)兩個(gè)序列都是有限長(zhǎng)序列時(shí)，可使用“對(duì)位乘加法”計(jì)算卷和。此方法實(shí)際上是用對(duì)位排列運(yùn)算巧妙地取代翻轉(zhuǎn)平移運(yùn)算。 該方法首先把兩序列的樣本值右端對(duì)齊地排列，然后把逐個(gè)樣本值對(duì)應(yīng)相乘但不要進(jìn)位，最后把同一列上的乘積值對(duì)位求和，就得到所

9、需卷和。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,卷積和：對(duì)位相乘法,計(jì)算 ，其中,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對(duì)位相乘法需注意的問題,卷積后的序列起止點(diǎn)需注意上題中兩個(gè)序列的起始點(diǎn)不同，卷積后起點(diǎn)為1，不是0。,對(duì)位相乘法需注意的問題,參與卷積運(yùn)算的序列中間有若干信號(hào)值

10、為零，需補(bǔ)零處理,對(duì)位相乘法需注意的問題,此外，對(duì)有限長(zhǎng)序列的卷積運(yùn)算可通過z變換求解或者將序列表示為兩個(gè)有限個(gè)樣值序列移位加權(quán)和形式，直接用卷積的性質(zhì)求解,直接利用有限長(zhǎng)序列求解卷積,卷積后的序列起止點(diǎn)需注意,利用z變換求解,,與離散時(shí)間信號(hào)分解的思想相一致，連續(xù)時(shí)間信號(hào)應(yīng)該可以分解成一系列移位加權(quán)的單位沖激信號(hào)的線性組合。至少單位階躍與單位沖激之間有這種關(guān)系：,對(duì)一般信號(hào) ，可以將其分成很多 寬度的區(qū)段，用一個(gè)階梯信號(hào)

11、 近似表示 。當(dāng) 時(shí)，有,（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）,一. 用沖激信號(hào)表示連續(xù)時(shí)間信號(hào),2.2 連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分,引用 ，即：,則有：,當(dāng) 　　時(shí)，,第 個(gè)矩形可表示為： 　這些矩形疊加起來就成為階梯形信號(hào) ，即：

12、,表明：,任何連續(xù)時(shí)間信號(hào) 都可以被分解成移位加權(quán)的單位沖激信號(hào)的線性組合。,于是：,二. 卷積積分（The convolution integral）,與離散時(shí)間系統(tǒng)的分析類似，如果一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì) 的響應(yīng)為 ，則該系統(tǒng)對(duì) 的響應(yīng)可表示為：,若系統(tǒng)是時(shí)不變的，即：若 ，則有: 于是系統(tǒng)對(duì)任意輸入 的響應(yīng)可表示為：,三. 卷積積分的計(jì)算,卷積積分的計(jì)算與卷積

13、和很類似，也有圖解法、解析法和數(shù)值解法。 運(yùn)算過程的實(shí)質(zhì)也是：參與卷積的兩個(gè)信號(hào)中，一個(gè)不動(dòng)，另一個(gè)反轉(zhuǎn)后隨參變量 移動(dòng)。對(duì)每一個(gè) 的值，將 和 對(duì)應(yīng)相乘，再計(jì)算相乘后曲線所包圍的面積。 通過圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很有用的。,例1:,例2 :,,,,,① 當(dāng) 時(shí)，,② 當(dāng) 時(shí)，,③ 當(dāng) 時(shí)，,④ 當(dāng) 時(shí)，,⑤ 當(dāng) 時(shí)，,例題：,信號(hào)與

14、系統(tǒng),信號(hào)與系統(tǒng),例： 計(jì)算,解：,信號(hào)與系統(tǒng),例：計(jì)算,解：因果信號(hào)與一個(gè)有限長(zhǎng)信號(hào)卷積，可利用解析法直接計(jì)算,信號(hào)與系統(tǒng),例題：計(jì)算,,,注意此處的處理方式,信號(hào)與系統(tǒng),簡(jiǎn)化方法,利用卷積性質(zhì)：,,舉例,已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和激勵(lì)信號(hào)分別為： ， ，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為？,信號(hào)與系統(tǒng),信號(hào)與系統(tǒng),卷積計(jì)算的圖解法,卷積計(jì)算的運(yùn)算步驟：變量更換：把信號(hào)的時(shí)間變量 更換成 ，得

15、 和 ；翻轉(zhuǎn)：把信號(hào) 翻轉(zhuǎn)成 ；平移：把翻轉(zhuǎn)后的信號(hào) 右移 成 ；加權(quán)積分：把信號(hào) 用 加權(quán)后，對(duì)時(shí)間變量 進(jìn)行積分，得 。,,2.3 線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)（ Properties of Linear Time-Invariant Systems）,一. 卷積積分與卷積和的性質(zhì),1. 交換律：,,結(jié)論： 一個(gè)

16、單位沖激響應(yīng)是h(t)的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)x(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個(gè)單位沖激響應(yīng)是x(t)的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)h(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。,2. 分配律：,結(jié)論：兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖(沖激)響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位脈沖(沖激)響應(yīng)之和。,3. 結(jié)合律:,兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激(脈沖)響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激(脈沖)響應(yīng)的卷積。,由于卷積運(yùn)算滿足交換律，因此，系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的先后次序可以調(diào)換。,結(jié)論：,產(chǎn)生以上結(jié)論

17、的前提條件：,①系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)；②所有涉及到的卷積運(yùn)算必須收斂。,如：,若交換級(jí)聯(lián)次序，即成為：,又如：若 ，雖然系統(tǒng)都是LTI系統(tǒng)。當(dāng) 時(shí)，如果交換級(jí)聯(lián)次序，則由于 不收斂，因而也是不允許的。,顯然與原來是不等價(jià)的。因?yàn)橄到y(tǒng)不是LTI系統(tǒng)。,4. 卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：,②若

18、 ，則,卷積積分滿足微分、積分及時(shí)移特性：,①若 ，則,② 若 ，則,卷積和滿足差分、求和及時(shí)移特性：,① 若 ，則,恰當(dāng)?shù)乩镁矸e的性質(zhì)可以簡(jiǎn)化卷積的計(jì)算：,將 微分一次有:,例如：2.2 中的例2,根據(jù)微分特性有:,利用積分特性即可得:,信號(hào)與系統(tǒng),卷積計(jì)算的圖解法例題,例：用圖解法計(jì)算 ，其中 解：卷

19、積結(jié)果如圖,Matlab求解舉例：,信號(hào)與系統(tǒng),Matlab求解舉例：,信號(hào)與系統(tǒng),信號(hào)與系統(tǒng),例題：,如圖所示系統(tǒng)由四個(gè)子系統(tǒng)組成，各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)分別為積分器 ，單位延遲器 和倒相器 ，求系統(tǒng)沖激響應(yīng)。,信號(hào)與系統(tǒng),例題：,解：根據(jù)卷積運(yùn)算的性質(zhì)有：,信號(hào)與系統(tǒng),卷積的性質(zhì)匯總,微積分性質(zhì)：微分性質(zhì)：卷積運(yùn)算與微分運(yùn)算可交換 ；積分性質(zhì)：卷積運(yùn)算與積分運(yùn)算可交換 ；

20、N階導(dǎo)數(shù)性質(zhì)： 特殊地,舉例,已知兩信號(hào)求,信號(hào)與系統(tǒng),卷積微積分性質(zhì)使用注意,卷積微積分性質(zhì)中，被微分的信號(hào)需要滿足條件即該信號(hào)中不能包含有直流分量，此時(shí)不能直接應(yīng)用該性質(zhì)求解卷積，需將直流分量的卷積分離出來單獨(dú)計(jì)算。,信號(hào)與系統(tǒng),舉例,計(jì)算卷積：,信號(hào)與系統(tǒng),舉例,一般的直流信號(hào)卷積指數(shù)衰減信號(hào)為：,信號(hào)與系統(tǒng),信號(hào)與系統(tǒng),例題：,計(jì)算（1） ；,信號(hào)與

21、系統(tǒng),例題：,計(jì)算,信號(hào)與系統(tǒng),卷積的性質(zhì)匯總,信號(hào)與延遲沖激信號(hào)的卷積等于延遲信號(hào)信號(hào)與階躍信號(hào)的卷積等于信號(hào)積分,信號(hào)與系統(tǒng),卷積的性質(zhì)匯總,信號(hào)與沖激偶的卷積等于信號(hào)微分信號(hào)與沖激的m階導(dǎo)數(shù)的卷積等于信號(hào)的m階導(dǎo)數(shù),信號(hào)與系統(tǒng),例題,計(jì)算矩形脈沖 的自卷積。解：,,信號(hào)與系統(tǒng),例題：,計(jì)算矩形脈沖 與指數(shù)信號(hào) 的卷積。,信號(hào)與系統(tǒng),卷積的應(yīng)

22、用舉例,,信號(hào)與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號(hào)與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號(hào)與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號(hào)與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號(hào)與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號(hào)與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號(hào)與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號(hào)與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,加入椒鹽噪聲的圖像空間域去噪，可利用卷積實(shí)現(xiàn),信號(hào)與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,二.LTI系統(tǒng)的性質(zhì),1. 記憶性：,,LTI 系統(tǒng)可以由它的單位沖激/脈沖響應(yīng)來表征，因而其特性（記憶性、可逆性、

23、因果性、穩(wěn)定性）都應(yīng)在其單位沖激/脈沖響應(yīng)中有所體現(xiàn)。,則在任何時(shí)刻 ， 都只能和 時(shí)刻的輸入有關(guān)，和式中只能有 時(shí)的一項(xiàng)為非零，因此必須有：,根據(jù) ，如果系統(tǒng)是無記憶的，,即：,所以，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖/沖激響應(yīng)為：,當(dāng) 時(shí)系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)。,如果LTI系統(tǒng)的單位沖激/脈沖響應(yīng)不滿足上述要求，則系統(tǒng)是記憶的。,2. 可逆性：,如果LTI系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個(gè)逆系統(tǒng)，且逆系統(tǒng)

24、也是LTI系統(tǒng)，它們級(jí)聯(lián)起來構(gòu)成一個(gè)恒等系統(tǒng)。,此時(shí)，,,,,,,,,因此有：,例如：延時(shí)器是可逆的LTI系統(tǒng)， ，其逆系統(tǒng)是 ，顯然有：,累加器是可逆的LTI系統(tǒng)，其 ，其逆系統(tǒng)是 ，顯然也有：,3. 因果性：,對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)有:這是LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件。,但差分器是不可逆的。,根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由

25、 ，若 有界，則 ;若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要 求 必有界，由,可知，必須有:,對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，相應(yīng)有:,這是LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。,4. 穩(wěn)定性：,5. LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：,在工程實(shí)際中，也常用單位階躍響應(yīng)來描述LTI系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì) 或　 所產(chǎn)生的響應(yīng)。因此有:,LTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。,2.4 用微分和差分方程描述的因果L

26、TI系統(tǒng),在工程實(shí)際中有相當(dāng)普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可以用線性常系數(shù)微分方程或線性常系數(shù)差分方程來描述。分析這類LTI系統(tǒng)，就是要求解線性常系數(shù)微分方程或差分方程。,一.線性常系數(shù)微分方程（Linear Constant-Coefficient Differential Equation）,均為常數(shù),( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equ

27、ations ),求解該微分方程，通常是求出通解 和一個(gè)特解 ，則 。特解 是與輸入 同類型的函數(shù)，通解 是齊次方程的解，即 的解。欲求得齊次解，可根據(jù)齊次方程建立一個(gè)特征方程： 求出其特征根。在特征根均為單階根時(shí)，可得出齊次解的形式為：,其中 是待定的常數(shù)。,要確定系數(shù) ，

28、需要有一組條件，稱為附加條件。僅僅從確定待定系數(shù) 的角度來看，這一組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及給出附加條件的時(shí)刻都可以是任意的。 當(dāng)微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時(shí)，必須滿足系統(tǒng)零輸入—零輸出的特性。也就是系統(tǒng)在沒有輸入，即 時(shí)， 。此時(shí)，微分方程就蛻變成齊次方程，因而描述線性系統(tǒng)的微分方程其齊次解必須為零，這就要求所有的 都為零。,可以證明：當(dāng)這組零附加條件在信號(hào)加入的時(shí)刻給出時(shí)，LCC

29、DE描述的系統(tǒng)不僅是線性的，也是因果的和時(shí)不變的。,也就是要求確定待定系數(shù)所需的一組附加條件的值必須全部為零，即： LCCDE具有一組零附加條件時(shí)，才能描述線性系統(tǒng)。,在信號(hào)加入的時(shí)刻給出的零附加條件稱為零初始條件。,結(jié)論：,LCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描述一個(gè)LTI因果系統(tǒng)。這組條件是：,如果一個(gè)因果的LTI系統(tǒng)由LCCDE描述，且方程具有零初始條件，就稱該系統(tǒng)初始是靜止的或最初是松弛的。　如果LCCDE具有一組不全為零

30、的初始條件，則可以證明它所描述的系統(tǒng)是增量線性的。,信號(hào)與系統(tǒng),系統(tǒng)響應(yīng)的一般表示,系統(tǒng)響應(yīng)的表示式：系統(tǒng)的響應(yīng)還可分解為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng),信號(hào)與系統(tǒng),例題1：,描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：,信號(hào)與系統(tǒng),例題1：,信號(hào)與系統(tǒng),例題2：,描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：,信號(hào)與系統(tǒng),例題2,信號(hào)與系統(tǒng),例題3：,描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：,信號(hào)與系統(tǒng),例題3：,二. 線性常系數(shù)差分方程:(Linear Consta

31、nt-Coefficient Difference Equation),一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為： 與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個(gè)特解 和通解，即齊次解 來進(jìn)行，其過程與解微分方程類似。,要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組附加條件。同樣地，當(dāng)LCCDE具有一組全部為零的初始條件時(shí)，所描述的系統(tǒng)是線性、因果、時(shí)不變的。,對(duì)于差分方程，可以將其改寫為：,可以看出：要求出 ，不僅要知道所有

32、的 ，還要知道 ，這就是一組初始條件，由此可以得出 。進(jìn)一步，又可以通過 和 ，求得 ，依次類推可求出所有 時(shí)的解。,若將差分方程改寫為：,則可由 求得 ，進(jìn)而由 可求得 ，依次可推出 時(shí)的解。 由于這種差分方程可

33、以通過遞推求解，因而稱為遞歸方程（recursive equation）。,當(dāng) 時(shí)，差分方程變?yōu)椋?此時(shí),求解方程不再需要迭代運(yùn)算，因而稱為非遞歸方程（nonrecursive equation）顯然，此時(shí)方程就是一個(gè)卷積和的形式，相當(dāng)于 　此時(shí)，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) 是有限長(zhǎng)的,因而把這種方程描述的LTI系統(tǒng)稱為FIR（Finite Impulse Response）系統(tǒng)。將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為IIR（I

34、nfinite Impulse Response）系統(tǒng),此時(shí)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)無限長(zhǎng)的序列。,FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時(shí)間LTI系統(tǒng)中兩類很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計(jì)方法都存在很大的差異。,由于無論微分方程還是差分方程的特解都具有與輸入相同的函數(shù)形式，即特解是由輸入信號(hào)完全決定的，因而特解所對(duì)應(yīng)的這一部分響應(yīng)稱為受迫響應(yīng)或強(qiáng)迫響應(yīng)。齊次解所對(duì)應(yīng)的部分由于與輸入信號(hào)無關(guān)，也稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)。,零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),

35、,零輸入響應(yīng) 邊界值,零狀態(tài)響應(yīng) 邊界值,,增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)由于與輸入信號(hào)無關(guān)，因此它屬于自然響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)既與輸入信號(hào)有關(guān)，也與系統(tǒng)特性有關(guān)，因而它包含了受迫響應(yīng)，也包含有一部分自然響應(yīng)。,三.由微分和差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示 （Block-Diagram Respresentation of the LTI System described by LCCDE）,由LCCDE

36、 描述的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型是由一些基本運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)的，如果能用一種圖形表示方程的運(yùn)算關(guān)系，就會(huì)更加形象直觀；另一方面, 分析系統(tǒng)很重要的目的是為了設(shè)計(jì)或?qū)崿F(xiàn)一個(gè)系統(tǒng), 用圖形表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 將對(duì)系統(tǒng)的特性仿真、硬件或軟件實(shí)現(xiàn)具有重要意義。,不同的結(jié)構(gòu)也會(huì)在設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)一個(gè)系統(tǒng)時(shí)帶來不同的影響：如系統(tǒng)的成本、靈敏度、誤差及調(diào)試難度等方面都會(huì)有差異。,1. 由差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：,由

37、 可看出：方程中包括三種基本運(yùn)算：乘系數(shù)、相加、移位（延遲） ?？捎靡韵路?hào)表示：,若令 ,則,直接Ⅰ型,據(jù)此可得方框圖：,將其級(jí)聯(lián)起來,就成為L(zhǎng)CCDE描述的系統(tǒng)，它具有與差分方程完全相同的運(yùn)算功能。顯然, 它可以看成是兩個(gè)級(jí)聯(lián)的系統(tǒng)，可以調(diào)換其級(jí)聯(lián)的次序, 并將移位單元合并，于是得到：,由 看出它也包括三種基本運(yùn)算：微分、相加、乘系數(shù)。

38、但由于微分器不僅在工程實(shí)現(xiàn)上有困難，而且對(duì)誤差及噪聲極為靈敏，因此，工程上通常使用積分器而不用微分器。 將微分方程兩邊同時(shí)積分 N 次，即可得到一個(gè)積分方程：,2. 由微分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：,直接Ⅰ型,對(duì)此積分方程完全按照差分方程的辦法有：,直接Ⅱ型,通過交換級(jí)聯(lián)次序，合并積分器可得直接Ⅱ型：,信號(hào)與系統(tǒng),沖激函數(shù)的性質(zhì),偶函數(shù)積分篩選 相乘,信號(hào)與系統(tǒng),沖激函數(shù)的尺度性質(zhì),沖激函數(shù)的尺度性質(zhì)證明

39、：利用沖激函數(shù)的偶性、階躍函數(shù)的尺度性和沖激函數(shù)是階躍函數(shù)的微分，有,信號(hào)與系統(tǒng),沖激函數(shù)的檢零性質(zhì),當(dāng)沖激函數(shù)應(yīng)用于非線性函數(shù)時(shí)，具有檢測(cè)其零點(diǎn)，并反映其導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。 由于函數(shù)在其零點(diǎn) ，i=1, 2, …, n有 ，使得在其零點(diǎn)領(lǐng)域，有根據(jù)尺度性質(zhì)，有,,信號(hào)與系統(tǒng),沖激偶的性質(zhì),面積“篩選”,信號(hào)與系統(tǒng),例: 計(jì)算,,,信號(hào)與系統(tǒng),例 計(jì)算,,,信號(hào)與系統(tǒng),舉例：計(jì)算下列信號(hào)的一階微分,,,,信號(hào)與系統(tǒng)

40、,舉例：計(jì)算下列信號(hào)的一階微分,,,,舉例：計(jì)算下列信號(hào)的一階微分,,信號(hào)與系統(tǒng),舉例：計(jì)算下列信號(hào)的一階微分,,信號(hào)與系統(tǒng),舉例：簡(jiǎn)化下列式子,用沖激信號(hào)與階躍信號(hào)的性質(zhì)和定義來進(jìn)行化簡(jiǎn),信號(hào)與系統(tǒng),舉例：簡(jiǎn)化下列式子,用沖激信號(hào)與階躍信號(hào)的性質(zhì)和定義來進(jìn)行化簡(jiǎn),信號(hào)與系統(tǒng),舉例：簡(jiǎn)化下列式子,,信號(hào)與系統(tǒng),舉例：簡(jiǎn)化下列式子,,信號(hào)與系統(tǒng),信號(hào)與系統(tǒng),補(bǔ)充：增量線性系統(tǒng),根據(jù)電路的線性疊加原理，有：零狀態(tài)線性：起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)

41、的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)輸入信號(hào)呈現(xiàn)線性（包括可加性和齊次性）零輸入線性：當(dāng)外部激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)初始狀態(tài)呈現(xiàn)線性線性系統(tǒng)擴(kuò)展定義：一個(gè)既具有零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分解特性，又具有零輸入線性和零狀態(tài)線性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，否則稱為非線性系統(tǒng)全響應(yīng)：系統(tǒng)在初始條件下對(duì)初始時(shí)刻后的輸入在初始時(shí)刻后產(chǎn)生的響應(yīng)成為全響應(yīng)全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)只有在起始狀態(tài)為零的條件下，系統(tǒng)才是線性時(shí)不變

42、的，并且是因果的,信號(hào)與系統(tǒng),例：使用零狀態(tài)線性和零輸入線性計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng),LTI系統(tǒng)在某初始條件下，對(duì)激勵(lì) 和 的全響應(yīng)分別為 和 ，求在該初始狀態(tài)下，對(duì)激勵(lì) 的全響應(yīng) 。核心：利用線性系統(tǒng)擴(kuò)展的定義求解,信號(hào)與系統(tǒng),例：使用零狀態(tài)線性和零輸入線性計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng),LTI系統(tǒng)在某初始條件下，對(duì)激勵(lì) 和 的全響應(yīng)分別為

43、 和 ，求在該初始狀態(tài)下，對(duì)激勵(lì) 的全響應(yīng) 。解：,信號(hào)與系統(tǒng),補(bǔ)充例題：,已經(jīng)某系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)、初始條件符合：根據(jù)廣義線性的定義，上述系統(tǒng)零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)可分解；零輸入響應(yīng)具備線性性；但零狀態(tài)響應(yīng)不符合線性性；因此整個(gè)系統(tǒng)不是廣義線性系統(tǒng),信號(hào)與系統(tǒng),補(bǔ)充例題：沖激響應(yīng)的計(jì)算,使用零狀態(tài)線性概念計(jì)算系統(tǒng)沖激響應(yīng)例:某LTI系統(tǒng)，對(duì)激勵(lì)

44、 的零狀態(tài)響應(yīng)是 ，對(duì)激勵(lì) 的零狀態(tài)響應(yīng)是 ，求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解,信號(hào)與系統(tǒng),補(bǔ)充例題：沖激響應(yīng)的計(jì)算,使用零狀態(tài)線性概念計(jì)算系統(tǒng)沖激響應(yīng)例:某LTI系統(tǒng)，對(duì)激勵(lì) 的零狀態(tài)響應(yīng)是 ，對(duì)激勵(lì) 的零狀態(tài)響應(yīng)是 ，求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解,在第一章介紹單位沖激時(shí)，開

45、始將 定義為 　　　　 顯然是不嚴(yán)密的，因?yàn)?在 不連續(xù)。進(jìn)而采用極限的觀點(diǎn)，將 視為 在 　　時(shí)的極限。這種定義或描述 的方法在數(shù)學(xué)上仍然是不嚴(yán)格的，因?yàn)榭梢杂性S多不同函數(shù)在 時(shí)都表現(xiàn)為與 有相同的特性。,（Singularity function）,例如:以下信號(hào)的面積都等于1，而且在 時(shí)，它們的極限都表現(xiàn)為單位沖激。,2.5 奇異函數(shù),之所以產(chǎn)生這

46、種現(xiàn)象，是因?yàn)?是一個(gè)理想化的非常規(guī)函數(shù)，被稱為奇異函數(shù)。通常采用在卷積或積分運(yùn)算下函數(shù)所表現(xiàn)的特性來定義奇異函數(shù)。,一. 通過卷積定義,從系統(tǒng)的角度,可以說 是一個(gè)恒等系統(tǒng)的 單位沖激響應(yīng),因此， —— 這就是在卷積運(yùn)算下 的定義。 根據(jù)定義可以得出 的如下性質(zhì)：,,⒈,⒉ 當(dāng) 時(shí)，有,⒊ 由此定義可得：,若 ，則有：,,此式即可作為在積分運(yùn)算下

47、 的定義式。,二. 通過積分定義,,積分表達(dá)式 也可以作為在積分運(yùn)算下的定義，這就是分配函數(shù)的定義方法。,,據(jù)此定義又可以推出：⒋ 若 是奇函數(shù)，則 ，因此 是偶函數(shù)， 即： 若令 ，代入積分定義式就有：,這就是卷積運(yùn)算下的定義。⒌ 根據(jù)積分下的定義有：,若 ，則可推出,因此，若有 ,則,三.

48、 單位沖激偶及其他奇異函數(shù),理想微分器的單位沖激響應(yīng)應(yīng)該是 的微分，記為 ，從卷積運(yùn)算或LTI系統(tǒng)分析的角度應(yīng)該有：,所以 稱為單位沖激偶（Unit doublet）,⒈ 當(dāng) 時(shí)，有：,⒉ 考察 當(dāng) 時(shí)，有 ，此積分可作為 在積分意義下的定義。,由此定義出發(fā)可以推出：,⒊ 若 是一個(gè)偶函數(shù)，則

49、 。由此可推得 是奇函數(shù)，即：,⒋ 考察,⒌ 若 ，進(jìn)而有： 因此，若有 ，則,按此定義方法推廣下去，有：,在積分運(yùn)算下有：,例如：,是理想積分器的單位沖激響應(yīng)。,四. 的積分,用類似方法也可以定義 的積分。 若用 ，則有：,因此：,稱為單位斜坡函數(shù)（Unit ramp function ）,,事實(shí)上， 的各

50、次積分已經(jīng)是常規(guī)函數(shù)了，當(dāng)然可以按常規(guī)函數(shù)定義的方法去描述。,⒉ LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析——卷積和與卷積積分⒊ LTI系統(tǒng)的描述方法：①用 描述系統(tǒng)（也可用 述）；②用LCCDE連同零初始條件描述LTI系統(tǒng)；,2.6 小結(jié)（Summary）,本章主要討論了以下內(nèi)容：,⒈ 信號(hào)的時(shí)域分解:,⒌ 奇異函數(shù)。,③ 用方框圖描述系統(tǒng)（等價(jià)于LCCDE描述）。,記憶性、因果性、穩(wěn)定性、可逆性與