第2章線性時不變系統(tǒng)

1、第2章 線性時不變系統(tǒng),Linear Time-Invariant Systems,LTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。,本章主要內(nèi)容：,,信號的時域分解——用 表示離散時間信號；　用 表示連續(xù)時間信號。,LTI系統(tǒng)的時域分析——卷積積分與卷積和。,LTI系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示。,奇異函數(shù)。,2.0 引言 ( Introduction ),基本思想：如果能把任意輸入信號分解成基本信號的線性組合，那么只要得到了LTI系統(tǒng)對基本信號

2、的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)對任意輸入信號產(chǎn)生的響應(yīng)表示成系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)的線性組合。,由于LTI系統(tǒng)滿足齊次性和可加性，并且具有時不變性的特點，因而為建立信號與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定了基礎(chǔ)。,,,,問題的實質(zhì)：,1. 研究信號的分解：即以什么樣的信號作為構(gòu)成任意信號的基本信號單元，如何用基本信號單元的線性組合來構(gòu)成任意信號；2. 如何得到LTI系統(tǒng)對基本單元信號的響應(yīng)。,,作為基本單元的信號應(yīng)滿足以下要求：,1.

3、本身盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示（構(gòu)成）盡可能廣泛的其它信號；2. LTI系統(tǒng)對這種信號的響應(yīng)易于求得。,如果解決了信號分解的問題，即：若有,則,,將信號分解可以在時域進行，也可以在頻域或變換域進行，相應(yīng)地就產(chǎn)生了對LTI系統(tǒng)的時域分析法、頻域分析法和變換域分析法。,分析方法：,離散時間信號中,最簡單的是 ,可以由它的線性組合構(gòu)成 ，即：,2.1 離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和,一. 用單位脈沖表示離散時間信號

4、,,對任何離散時間信號 ,如果每次從其中取出一個點，就可以將信號拆開來，每次取出的一個點都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖。,（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）,二. 卷積和（Convolution sum）,于是有：,表明：任何信號 都可以被分解成移位加權(quán)的單位脈沖信號的線性組合。,如果一個線性系統(tǒng)對 的響應(yīng)是 ，由線性特性就有

5、系統(tǒng)對任何輸入 的響應(yīng)為：,若系統(tǒng)具有時不變性，即：,若 ，則,因此，只要得到了LTI系統(tǒng)對 的響應(yīng),,單位脈沖響應(yīng)( impulse response )，,就可以得到LTI系統(tǒng)對任何輸入信號 的響應(yīng)：,這表明：一個LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運算關(guān)系稱為卷積和（The convolution sum）。,三. 卷積和的計算,計算方法：,

6、有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)值解法）。,運算過程：,將一個信號 不動，另一個信號經(jīng)反轉(zhuǎn)后成為 ,再隨參變量 移位。在每個 值的情況下，將 與 對應(yīng)點相乘，再把乘積的各點值累加，即得到 時刻的 。,例1：,例2：,① 時，,,② 時，,③

7、 時，,④ 時，,⑤ 時，,通過圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號的區(qū)間表示，對于確定卷積和計算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。,例3. 列表法,分析卷積和的過程，可以發(fā)現(xiàn)有如下特點：,① 與 的所有各點都要遍乘一次；,② 在遍乘后，各點相加時，根據(jù) ，,參與相加的各點都具有 與 的宗量

8、之和為 的特點。,優(yōu)點：缺點：,計算非常簡單。①只適用于兩個有限長序列的卷積和；②一般情況下，無法寫出 的封閉表達式。,卷積和：對位相乘法,卷和計算有解析法、圖解法和變換法 對位乘加法：當(dāng)兩個序列都是有限長序列時，可使用“對位乘加法”計算卷和。此方法實際上是用對位排列運算巧妙地取代翻轉(zhuǎn)平移運算。 該方法首先把兩序列的樣本值右端對齊地排列，然后把逐個樣本值對應(yīng)相乘但不要進位，最后把同一列上的乘積值對位求和，就得到所

9、需卷和。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,卷積和：對位相乘法,計算 ，其中,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對位相乘法需注意的問題,卷積后的序列起止點需注意上題中兩個序列的起始點不同，卷積后起點為1，不是0。,對位相乘法需注意的問題,參與卷積運算的序列中間有若干信號值

10、為零，需補零處理,對位相乘法需注意的問題,此外，對有限長序列的卷積運算可通過z變換求解或者將序列表示為兩個有限個樣值序列移位加權(quán)和形式，直接用卷積的性質(zhì)求解,直接利用有限長序列求解卷積,卷積后的序列起止點需注意,利用z變換求解,,與離散時間信號分解的思想相一致，連續(xù)時間信號應(yīng)該可以分解成一系列移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。至少單位階躍與單位沖激之間有這種關(guān)系：,對一般信號 ，可以將其分成很多 寬度的區(qū)段，用一個階梯信號

11、 近似表示 。當(dāng) 時，有,（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）,一. 用沖激信號表示連續(xù)時間信號,2.2 連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分,引用 ，即：,則有：,當(dāng) 　　時，,第 個矩形可表示為： 　這些矩形疊加起來就成為階梯形信號 ，即：

12、,表明：,任何連續(xù)時間信號 都可以被分解成移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。,于是：,二. 卷積積分（The convolution integral）,與離散時間系統(tǒng)的分析類似，如果一個線性系統(tǒng)對 的響應(yīng)為 ，則該系統(tǒng)對 的響應(yīng)可表示為：,若系統(tǒng)是時不變的，即：若 ，則有: 于是系統(tǒng)對任意輸入 的響應(yīng)可表示為：,三. 卷積積分的計算,卷積積分的計算與卷積

13、和很類似，也有圖解法、解析法和數(shù)值解法。 運算過程的實質(zhì)也是：參與卷積的兩個信號中，一個不動，另一個反轉(zhuǎn)后隨參變量 移動。對每一個 的值，將 和 對應(yīng)相乘，再計算相乘后曲線所包圍的面積。 通過圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很有用的。,例1:,例2 :,,,,,① 當(dāng) 時，,② 當(dāng) 時，,③ 當(dāng) 時，,④ 當(dāng) 時，,⑤ 當(dāng) 時，,例題：,信號與

14、系統(tǒng),信號與系統(tǒng),例： 計算,解：,信號與系統(tǒng),例：計算,解：因果信號與一個有限長信號卷積，可利用解析法直接計算,信號與系統(tǒng),例題：計算,,,注意此處的處理方式,信號與系統(tǒng),簡化方法,利用卷積性質(zhì)：,,舉例,已知某線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和激勵信號分別為： ， ，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為？,信號與系統(tǒng),信號與系統(tǒng),卷積計算的圖解法,卷積計算的運算步驟：變量更換：把信號的時間變量 更換成 ，得

15、 和 ；翻轉(zhuǎn)：把信號 翻轉(zhuǎn)成 ；平移：把翻轉(zhuǎn)后的信號 右移 成 ；加權(quán)積分：把信號 用 加權(quán)后，對時間變量 進行積分，得 。,,2.3 線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)（ Properties of Linear Time-Invariant Systems）,一. 卷積積分與卷積和的性質(zhì),1. 交換律：,,結(jié)論： 一個

16、單位沖激響應(yīng)是h(t)的LTI系統(tǒng)對輸入信號x(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個單位沖激響應(yīng)是x(t)的LTI系統(tǒng)對輸入信號h(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。,2. 分配律：,結(jié)論：兩個LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖(沖激)響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位脈沖(沖激)響應(yīng)之和。,3. 結(jié)合律:,兩個LTI系統(tǒng)級聯(lián)時，系統(tǒng)總的單位沖激(脈沖)響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激(脈沖)響應(yīng)的卷積。,由于卷積運算滿足交換律，因此，系統(tǒng)級聯(lián)的先后次序可以調(diào)換。,結(jié)論：,產(chǎn)生以上結(jié)論

17、的前提條件：,①系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)；②所有涉及到的卷積運算必須收斂。,如：,若交換級聯(lián)次序，即成為：,又如：若 ，雖然系統(tǒng)都是LTI系統(tǒng)。當(dāng) 時，如果交換級聯(lián)次序，則由于 不收斂，因而也是不允許的。,顯然與原來是不等價的。因為系統(tǒng)不是LTI系統(tǒng)。,4. 卷積運算還有如下性質(zhì)：,②若

18、 ，則,卷積積分滿足微分、積分及時移特性：,①若 ，則,② 若 ，則,卷積和滿足差分、求和及時移特性：,① 若 ，則,恰當(dāng)?shù)乩镁矸e的性質(zhì)可以簡化卷積的計算：,將 微分一次有:,例如：2.2 中的例2,根據(jù)微分特性有:,利用積分特性即可得:,信號與系統(tǒng),卷積計算的圖解法例題,例：用圖解法計算 ，其中 解：卷

19、積結(jié)果如圖,Matlab求解舉例：,信號與系統(tǒng),Matlab求解舉例：,信號與系統(tǒng),信號與系統(tǒng),例題：,如圖所示系統(tǒng)由四個子系統(tǒng)組成，各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)分別為積分器 ，單位延遲器 和倒相器 ，求系統(tǒng)沖激響應(yīng)。,信號與系統(tǒng),例題：,解：根據(jù)卷積運算的性質(zhì)有：,信號與系統(tǒng),卷積的性質(zhì)匯總,微積分性質(zhì)：微分性質(zhì)：卷積運算與微分運算可交換 ；積分性質(zhì)：卷積運算與積分運算可交換 ；

20、N階導(dǎo)數(shù)性質(zhì)： 特殊地,舉例,已知兩信號求,信號與系統(tǒng),卷積微積分性質(zhì)使用注意,卷積微積分性質(zhì)中，被微分的信號需要滿足條件即該信號中不能包含有直流分量，此時不能直接應(yīng)用該性質(zhì)求解卷積，需將直流分量的卷積分離出來單獨計算。,信號與系統(tǒng),舉例,計算卷積：,信號與系統(tǒng),舉例,一般的直流信號卷積指數(shù)衰減信號為：,信號與系統(tǒng),信號與系統(tǒng),例題：,計算（1） ；,信號與

21、系統(tǒng),例題：,計算,信號與系統(tǒng),卷積的性質(zhì)匯總,信號與延遲沖激信號的卷積等于延遲信號信號與階躍信號的卷積等于信號積分,信號與系統(tǒng),卷積的性質(zhì)匯總,信號與沖激偶的卷積等于信號微分信號與沖激的m階導(dǎo)數(shù)的卷積等于信號的m階導(dǎo)數(shù),信號與系統(tǒng),例題,計算矩形脈沖 的自卷積。解：,,信號與系統(tǒng),例題：,計算矩形脈沖 與指數(shù)信號 的卷積。,信號與系統(tǒng),卷積的應(yīng)

22、用舉例,,信號與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,信號與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,加入椒鹽噪聲的圖像空間域去噪，可利用卷積實現(xiàn),信號與系統(tǒng),卷積的應(yīng)用舉例,,二.LTI系統(tǒng)的性質(zhì),1. 記憶性：,,LTI 系統(tǒng)可以由它的單位沖激/脈沖響應(yīng)來表征，因而其特性（記憶性、可逆性、

23、因果性、穩(wěn)定性）都應(yīng)在其單位沖激/脈沖響應(yīng)中有所體現(xiàn)。,則在任何時刻 ， 都只能和 時刻的輸入有關(guān)，和式中只能有 時的一項為非零，因此必須有：,根據(jù) ，如果系統(tǒng)是無記憶的，,即：,所以，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖/沖激響應(yīng)為：,當(dāng) 時系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)。,如果LTI系統(tǒng)的單位沖激/脈沖響應(yīng)不滿足上述要求，則系統(tǒng)是記憶的。,2. 可逆性：,如果LTI系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個逆系統(tǒng)，且逆系統(tǒng)

24、也是LTI系統(tǒng)，它們級聯(lián)起來構(gòu)成一個恒等系統(tǒng)。,此時，,,,,,,,,因此有：,例如：延時器是可逆的LTI系統(tǒng)， ，其逆系統(tǒng)是 ，顯然有：,累加器是可逆的LTI系統(tǒng)，其 ，其逆系統(tǒng)是 ，顯然也有：,3. 因果性：,對連續(xù)時間系統(tǒng)有:這是LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件。,但差分器是不可逆的。,根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由

25、 ，若 有界，則 ;若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要 求 必有界，由,可知，必須有:,對連續(xù)時間系統(tǒng)，相應(yīng)有:,這是LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。,4. 穩(wěn)定性：,5. LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：,在工程實際中，也常用單位階躍響應(yīng)來描述LTI系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對 或　 所產(chǎn)生的響應(yīng)。因此有:,LTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。,2.4 用微分和差分方程描述的因果L

26、TI系統(tǒng),在工程實際中有相當(dāng)普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可以用線性常系數(shù)微分方程或線性常系數(shù)差分方程來描述。分析這類LTI系統(tǒng)，就是要求解線性常系數(shù)微分方程或差分方程。,一.線性常系數(shù)微分方程（Linear Constant-Coefficient Differential Equation）,均為常數(shù),( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equ

27、ations ),求解該微分方程，通常是求出通解 和一個特解 ，則 。特解 是與輸入 同類型的函數(shù)，通解 是齊次方程的解，即 的解。欲求得齊次解，可根據(jù)齊次方程建立一個特征方程： 求出其特征根。在特征根均為單階根時，可得出齊次解的形式為：,其中 是待定的常數(shù)。,要確定系數(shù) ，

28、需要有一組條件，稱為附加條件。僅僅從確定待定系數(shù) 的角度來看，這一組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及給出附加條件的時刻都可以是任意的。 當(dāng)微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須滿足系統(tǒng)零輸入—零輸出的特性。也就是系統(tǒng)在沒有輸入，即 時， 。此時，微分方程就蛻變成齊次方程，因而描述線性系統(tǒng)的微分方程其齊次解必須為零，這就要求所有的 都為零。,可以證明：當(dāng)這組零附加條件在信號加入的時刻給出時，LCC

29、DE描述的系統(tǒng)不僅是線性的，也是因果的和時不變的。,也就是要求確定待定系數(shù)所需的一組附加條件的值必須全部為零，即： LCCDE具有一組零附加條件時，才能描述線性系統(tǒng)。,在信號加入的時刻給出的零附加條件稱為零初始條件。,結(jié)論：,LCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描述一個LTI因果系統(tǒng)。這組條件是：,如果一個因果的LTI系統(tǒng)由LCCDE描述，且方程具有零初始條件，就稱該系統(tǒng)初始是靜止的或最初是松弛的?！∪绻鸏CCDE具有一組不全為零

30、的初始條件，則可以證明它所描述的系統(tǒng)是增量線性的。,信號與系統(tǒng),系統(tǒng)響應(yīng)的一般表示,系統(tǒng)響應(yīng)的表示式：系統(tǒng)的響應(yīng)還可分解為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng),信號與系統(tǒng),例題1：,描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：,信號與系統(tǒng),例題1：,信號與系統(tǒng),例題2：,描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：,信號與系統(tǒng),例題2,信號與系統(tǒng),例題3：,描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：,信號與系統(tǒng),例題3：,二. 線性常系數(shù)差分方程:(Linear Consta

31、nt-Coefficient Difference Equation),一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為： 與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個特解 和通解，即齊次解 來進行，其過程與解微分方程類似。,要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組附加條件。同樣地，當(dāng)LCCDE具有一組全部為零的初始條件時，所描述的系統(tǒng)是線性、因果、時不變的。,對于差分方程，可以將其改寫為：,可以看出：要求出 ，不僅要知道所有

32、的 ，還要知道 ，這就是一組初始條件，由此可以得出 。進一步，又可以通過 和 ，求得 ，依次類推可求出所有 時的解。,若將差分方程改寫為：,則可由 求得 ，進而由 可求得 ，依次可推出 時的解。 由于這種差分方程可

33、以通過遞推求解，因而稱為遞歸方程（recursive equation）。,當(dāng) 時，差分方程變?yōu)椋?此時,求解方程不再需要迭代運算，因而稱為非遞歸方程（nonrecursive equation）顯然，此時方程就是一個卷積和的形式，相當(dāng)于 　此時，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) 是有限長的,因而把這種方程描述的LTI系統(tǒng)稱為FIR（Finite Impulse Response）系統(tǒng)。將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為IIR（I

34、nfinite Impulse Response）系統(tǒng),此時系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個無限長的序列。,FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時間LTI系統(tǒng)中兩類很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計方法都存在很大的差異。,由于無論微分方程還是差分方程的特解都具有與輸入相同的函數(shù)形式，即特解是由輸入信號完全決定的，因而特解所對應(yīng)的這一部分響應(yīng)稱為受迫響應(yīng)或強迫響應(yīng)。齊次解所對應(yīng)的部分由于與輸入信號無關(guān)，也稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)。,零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),

35、,零輸入響應(yīng) 邊界值,零狀態(tài)響應(yīng) 邊界值,,增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)由于與輸入信號無關(guān)，因此它屬于自然響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)既與輸入信號有關(guān)，也與系統(tǒng)特性有關(guān)，因而它包含了受迫響應(yīng)，也包含有一部分自然響應(yīng)。,三.由微分和差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示 （Block-Diagram Respresentation of the LTI System described by LCCDE）,由LCCDE

36、 描述的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型是由一些基本運算來實現(xiàn)的，如果能用一種圖形表示方程的運算關(guān)系，就會更加形象直觀；另一方面, 分析系統(tǒng)很重要的目的是為了設(shè)計或?qū)崿F(xiàn)一個系統(tǒng), 用圖形表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 將對系統(tǒng)的特性仿真、硬件或軟件實現(xiàn)具有重要意義。,不同的結(jié)構(gòu)也會在設(shè)計和實現(xiàn)一個系統(tǒng)時帶來不同的影響：如系統(tǒng)的成本、靈敏度、誤差及調(diào)試難度等方面都會有差異。,1. 由差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：,由

37、 可看出：方程中包括三種基本運算：乘系數(shù)、相加、移位（延遲） ?？捎靡韵路柋硎荆?若令 ,則,直接Ⅰ型,據(jù)此可得方框圖：,將其級聯(lián)起來,就成為LCCDE描述的系統(tǒng)，它具有與差分方程完全相同的運算功能。顯然, 它可以看成是兩個級聯(lián)的系統(tǒng)，可以調(diào)換其級聯(lián)的次序, 并將移位單元合并，于是得到：,由 看出它也包括三種基本運算：微分、相加、乘系數(shù)。

38、但由于微分器不僅在工程實現(xiàn)上有困難，而且對誤差及噪聲極為靈敏，因此，工程上通常使用積分器而不用微分器。 將微分方程兩邊同時積分 N 次，即可得到一個積分方程：,2. 由微分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：,直接Ⅰ型,對此積分方程完全按照差分方程的辦法有：,直接Ⅱ型,通過交換級聯(lián)次序，合并積分器可得直接Ⅱ型：,信號與系統(tǒng),沖激函數(shù)的性質(zhì),偶函數(shù)積分篩選 相乘,信號與系統(tǒng),沖激函數(shù)的尺度性質(zhì),沖激函數(shù)的尺度性質(zhì)證明

39、：利用沖激函數(shù)的偶性、階躍函數(shù)的尺度性和沖激函數(shù)是階躍函數(shù)的微分，有,信號與系統(tǒng),沖激函數(shù)的檢零性質(zhì),當(dāng)沖激函數(shù)應(yīng)用于非線性函數(shù)時，具有檢測其零點，并反映其導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。 由于函數(shù)在其零點 ，i=1, 2, …, n有 ，使得在其零點領(lǐng)域，有根據(jù)尺度性質(zhì)，有,,信號與系統(tǒng),沖激偶的性質(zhì),面積“篩選”,信號與系統(tǒng),例: 計算,,,信號與系統(tǒng),例 計算,,,信號與系統(tǒng),舉例：計算下列信號的一階微分,,,,信號與系統(tǒng)

40、,舉例：計算下列信號的一階微分,,,,舉例：計算下列信號的一階微分,,信號與系統(tǒng),舉例：計算下列信號的一階微分,,信號與系統(tǒng),舉例：簡化下列式子,用沖激信號與階躍信號的性質(zhì)和定義來進行化簡,信號與系統(tǒng),舉例：簡化下列式子,用沖激信號與階躍信號的性質(zhì)和定義來進行化簡,信號與系統(tǒng),舉例：簡化下列式子,,信號與系統(tǒng),舉例：簡化下列式子,,信號與系統(tǒng),信號與系統(tǒng),補充：增量線性系統(tǒng),根據(jù)電路的線性疊加原理，有：零狀態(tài)線性：起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)

41、的零狀態(tài)響應(yīng)對輸入信號呈現(xiàn)線性（包括可加性和齊次性）零輸入線性：當(dāng)外部激勵為零時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對系統(tǒng)初始狀態(tài)呈現(xiàn)線性線性系統(tǒng)擴展定義：一個既具有零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分解特性，又具有零輸入線性和零狀態(tài)線性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，否則稱為非線性系統(tǒng)全響應(yīng)：系統(tǒng)在初始條件下對初始時刻后的輸入在初始時刻后產(chǎn)生的響應(yīng)成為全響應(yīng)全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)只有在起始狀態(tài)為零的條件下，系統(tǒng)才是線性時不變

42、的，并且是因果的,信號與系統(tǒng),例：使用零狀態(tài)線性和零輸入線性計算系統(tǒng)響應(yīng),LTI系統(tǒng)在某初始條件下，對激勵 和 的全響應(yīng)分別為 和 ，求在該初始狀態(tài)下，對激勵 的全響應(yīng) 。核心：利用線性系統(tǒng)擴展的定義求解,信號與系統(tǒng),例：使用零狀態(tài)線性和零輸入線性計算系統(tǒng)響應(yīng),LTI系統(tǒng)在某初始條件下，對激勵 和 的全響應(yīng)分別為

43、 和 ，求在該初始狀態(tài)下，對激勵 的全響應(yīng) 。解：,信號與系統(tǒng),補充例題：,已經(jīng)某系統(tǒng)激勵與響應(yīng)、初始條件符合：根據(jù)廣義線性的定義，上述系統(tǒng)零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)可分解；零輸入響應(yīng)具備線性性；但零狀態(tài)響應(yīng)不符合線性性；因此整個系統(tǒng)不是廣義線性系統(tǒng),信號與系統(tǒng),補充例題：沖激響應(yīng)的計算,使用零狀態(tài)線性概念計算系統(tǒng)沖激響應(yīng)例:某LTI系統(tǒng)，對激勵

44、 的零狀態(tài)響應(yīng)是 ，對激勵 的零狀態(tài)響應(yīng)是 ，求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解,信號與系統(tǒng),補充例題：沖激響應(yīng)的計算,使用零狀態(tài)線性概念計算系統(tǒng)沖激響應(yīng)例:某LTI系統(tǒng)，對激勵 的零狀態(tài)響應(yīng)是 ，對激勵 的零狀態(tài)響應(yīng)是 ，求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解,在第一章介紹單位沖激時，開

45、始將 定義為 　　　　 顯然是不嚴(yán)密的，因為 在 不連續(xù)。進而采用極限的觀點，將 視為 在 　　時的極限。這種定義或描述 的方法在數(shù)學(xué)上仍然是不嚴(yán)格的，因為可以有許多不同函數(shù)在 時都表現(xiàn)為與 有相同的特性。,（Singularity function）,例如:以下信號的面積都等于1，而且在 時，它們的極限都表現(xiàn)為單位沖激。,2.5 奇異函數(shù),之所以產(chǎn)生這

46、種現(xiàn)象，是因為 是一個理想化的非常規(guī)函數(shù)，被稱為奇異函數(shù)。通常采用在卷積或積分運算下函數(shù)所表現(xiàn)的特性來定義奇異函數(shù)。,一. 通過卷積定義,從系統(tǒng)的角度,可以說 是一個恒等系統(tǒng)的 單位沖激響應(yīng),因此， —— 這就是在卷積運算下 的定義。 根據(jù)定義可以得出 的如下性質(zhì)：,,⒈,⒉ 當(dāng) 時，有,⒊ 由此定義可得：,若 ，則有：,,此式即可作為在積分運算下

47、 的定義式。,二. 通過積分定義,,積分表達式 也可以作為在積分運算下的定義，這就是分配函數(shù)的定義方法。,,據(jù)此定義又可以推出：⒋ 若 是奇函數(shù)，則 ，因此 是偶函數(shù)， 即： 若令 ，代入積分定義式就有：,這就是卷積運算下的定義。⒌ 根據(jù)積分下的定義有：,若 ，則可推出,因此，若有 ,則,三.

48、 單位沖激偶及其他奇異函數(shù),理想微分器的單位沖激響應(yīng)應(yīng)該是 的微分，記為 ，從卷積運算或LTI系統(tǒng)分析的角度應(yīng)該有：,所以 稱為單位沖激偶（Unit doublet）,⒈ 當(dāng) 時，有：,⒉ 考察 當(dāng) 時，有 ，此積分可作為 在積分意義下的定義。,由此定義出發(fā)可以推出：,⒊ 若 是一個偶函數(shù)，則

49、 。由此可推得 是奇函數(shù)，即：,⒋ 考察,⒌ 若 ，進而有： 因此，若有 ，則,按此定義方法推廣下去，有：,在積分運算下有：,例如：,是理想積分器的單位沖激響應(yīng)。,四. 的積分,用類似方法也可以定義 的積分。 若用 ，則有：,因此：,稱為單位斜坡函數(shù)（Unit ramp function ）,,事實上， 的各

50、次積分已經(jīng)是常規(guī)函數(shù)了，當(dāng)然可以按常規(guī)函數(shù)定義的方法去描述。,⒉ LTI系統(tǒng)的時域分析——卷積和與卷積積分⒊ LTI系統(tǒng)的描述方法：①用 描述系統(tǒng)（也可用 述）；②用LCCDE連同零初始條件描述LTI系統(tǒng)；,2.6 小結(jié)（Summary）,本章主要討論了以下內(nèi)容：,⒈ 信號的時域分解:,⒌ 奇異函數(shù)。,③ 用方框圖描述系統(tǒng)（等價于LCCDE描述）。,記憶性、因果性、穩(wěn)定性、可逆性與