大規(guī)模線性時(shí)不變系統(tǒng)的最優(yōu)H-,2-模型降階.pdf

1、線性時(shí)不變系統(tǒng)在生產(chǎn)實(shí)踐上經(jīng)常出現(xiàn).隨著科技的不斷發(fā)展，處理的問題越來越復(fù)雜，系統(tǒng)隨之變得越來越龐大.這使得系統(tǒng)的模擬、控制和性能分析變得越來越困難.模型降階正是解決這一問題的關(guān)鍵技術(shù).模型降階的基本思想是在盡可能保持原始大規(guī)模系統(tǒng)的主要特征(如本征結(jié)構(gòu)、傳遞函數(shù)的矩、脈沖響應(yīng)等)的條件下，尋找一個(gè)降階系統(tǒng)使得在某種范數(shù)意義下(如H2范數(shù)、H∞范數(shù)或者Hankel范數(shù))能夠很好地或最優(yōu)逼近原始大規(guī)模系統(tǒng).
　　 本文主要研究了大

2、規(guī)模線性時(shí)不變系統(tǒng)的最優(yōu)H2模型降階問題.本文首先闡明了目前流行的基于矩陣投影的模型降階方法本質(zhì)上對應(yīng)于Grassmann流形上的數(shù)值方法，并根據(jù)這一想法將最優(yōu)H2模型降階問題轉(zhuǎn)化為Grassmann流形上的最優(yōu)化問題.在此基礎(chǔ)上提出一系列的數(shù)值算法求解最優(yōu)H2模型降階問題.具體說來，本文的工作可分為以下幾個(gè)部分.
　　 首先，由于正交投影能更好地保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，本文討論了基于正交投影的最優(yōu)H2模型降階的數(shù)值解法.正交投影的H

3、2最優(yōu)模型降階問題可以看成是單變量的Grassmann流形上最優(yōu)化問題.本文提出的第一個(gè)算法是一個(gè)全局收斂的Grassmann流形上的快速梯度流方法(FGFA)，并證明了該算法與文章[119]中提出的Stiefel流形上的梯度流算法(GFNB)數(shù)學(xué)上等價(jià).由于需要計(jì)算矩陣的指數(shù)，Stiefel流形上的梯度流算法(GFNB)的算法復(fù)雜度是O(n3)，其中n是系統(tǒng)的階.而本文提出的算法FGFA不需要計(jì)算矩陣的指數(shù)，對于稀疏性比較好的系統(tǒng)，每

4、一個(gè)迭代步可以達(dá)到線性復(fù)雜度O(n).在快速梯度流算法(FGFA)的基礎(chǔ)上，本文提出了一個(gè)超線性收斂的共軛梯度算法(CGA).最后通過逐步構(gòu)造二次函數(shù)最小化問題，得到了逐步正交迭代算法(SOIA)和Newton-like算法(NTA).同樣地，對于稀疏性比較好的系統(tǒng)，算法CGA、SOIA和NTA的每一個(gè)迭代步的計(jì)算復(fù)雜度可以達(dá)到線性O(shè)(n).本文證明了當(dāng)系統(tǒng)矩陣A滿足A+AT是負(fù)定的情況下，算法FGFA，CGA和NTA能夠保證降階系統(tǒng)的

5、穩(wěn)定性和無源性.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了算法FGFA、CGA、SOIA和NTA的有效性.
　　 然后，由于斜投影模型降階能夠獲得更高的逼近精度，本文研究了基于兩個(gè)雙正交投影矩陣的斜投影的H2最優(yōu)模型降階問題.其主要思想是將基于斜投影的最優(yōu)H2模型降階問題轉(zhuǎn)化為雙變量Grassmann流形上的最優(yōu)化問題.在基于正交投影的最優(yōu)H2模型降階算法FGFA、CGA和NTA的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了基于斜投影的三種模型降階方法：雙邊迭代算法(TSIA)、交替方

6、向迭代算法(ADIA)和交替方向搜索算法(ADSA).雙邊迭代算法TSIA的基本思想是基于代價(jià)函數(shù)的一階必要條件，在每一個(gè)迭代步同時(shí)求解兩個(gè)斜投影矩陣.而交替方向迭代算法ADIA則是通過每一個(gè)迭代步交替求解兩個(gè)投影矩陣.最后，在算法ADIA的基礎(chǔ)上，通過交替求解兩個(gè)單變量的Grassmann流形上的最優(yōu)化問題，我們提出了交替方向搜索算法(ADSA).本文證明了算法TSIA、ADIA和ADSA在最佳情況下，每一個(gè)迭代步的計(jì)算復(fù)雜度可以達(dá)到

7、線性復(fù)雜度O(n).這三個(gè)算法中，TSIA和ADIA的計(jì)算量較小，但不能保證降階系統(tǒng)的穩(wěn)定性和算法的收斂性.本文證明了ADSA能保持降階系統(tǒng)穩(wěn)定性，另外經(jīng)數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明算法ADSA收斂.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了算法TSIA、ADIA和ADSA的有效性.
　　 由于大部分研究者都是利用某種一階必要條件來構(gòu)造數(shù)值算法，本文的最后一章證明了最優(yōu)H2模型降階的一階必要條件之間的等價(jià)性.文章[51]證明了單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)具有簡單極點(diǎn)的插值