第七章多元函數(shù)微分學-上海中醫(yī)藥大學

1、第七章 多元函數(shù)微分學,一 多元函數(shù)與極限二 多元函數(shù)的偏導數(shù)三 多元函數(shù)的全微分及其應用四 多元復合函數(shù)的微分法五 多元函數(shù)的極值,1.實例分析,一、多元函數(shù),一、多元函數(shù)的概念,定義1 ：設在某一過程中有三個變量 x , y 和 z，如果對于 變量 x , y 在其變化范圍 D 內(nèi)的每一對值 ( x , y )， 按照法則 f 有

2、唯一確定的值 z ∈R 與之對應， 那么這種法則就規(guī)定了一個函數(shù)： 其中 x ，y 稱為自變量，z 稱為因變量， D為定義域。 D中任一對數(shù) ( x , y )在法則 f 下的對應值 z ，稱為 f 在 點( x , y )的函數(shù)值，記作 z = f ( x , y ) 。,多元函數(shù)的概念,函數(shù) f 的函數(shù)值的全體稱為

3、函數(shù) f 的值域。,函數(shù)的兩個要素:定義域，對應法則,設 z = f (x, y) 的定義域是平面區(qū)域 D .,按二元函數(shù)定義, ? (x, y)?D. 可以唯一確定實數(shù) z , 從而確定了空間一個點 M (x, y, z).,二元函數(shù)的幾何意義,當(x , y) 在D中變動時, 點M (x, y, z)在空間中變動,當 (x , y)取遍 D 中一切點時, M (x, y, z)在三維空間中"織"出一片曲面.,,即

4、, 二元函數(shù)表示空間中一片曲面, D是該曲面在 x y 面上的投影區(qū)域.,,,,,M (x, y, z),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,例如,,圖形如右圖.,例如,,左圖球面.,單值分支:,與一元函數(shù)相類似，對于定義域約定：,定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點集.,例1 求 的定義域．,解,所求定義域為,這是一個無界

5、開區(qū)域。,這是一個閉區(qū)域。,（1）鄰域,回憶,（1）鄰域,,,°,°,定義2： 若函數(shù) z = f ( x , y ) 在點 附近有定義 （在點 可以沒有定義）， P ( x , y )是 鄰域內(nèi)的點，如果當 P 以任意的方式無限的趨向 于點

6、時。 f ( x , y ) 無限的趨向于某一個常 數(shù) A ，那么我們就說當 或 時，函數(shù) f ( x , y )以 A 為極限，記作,說明：,（1）定義中 的方式是任意的；,（2）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似．

7、,（3）二重極限的幾何意義：,?? > 0，?P0 的去心? 鄰域,在,內(nèi)，函數(shù),的圖形總在平面,及,之間。,例2 求證,證,當 時，,原結(jié)論成立．,,,注意： 是指 P 以任何方式趨于P0 .,一元中,多元中,,,,確定極限不存在的方法：,例3 設,解,但取,其值隨 k 的不同而變化。,不存在．,故,,考察 P(x, y)沿平面直線 y = k x 趨于(0, 0)的

8、情形.,如圖,對應函數(shù)值,定義3：設函數(shù) z = f ( x , y )在點 及其附近有定義 如果 ，就稱函數(shù) f ( x , y )在點 連續(xù)。如果 f

9、 ( x , y )在區(qū)域 D 的 每一點都連續(xù)，就稱 f ( x , y ) 在區(qū)域 D 連續(xù)。,例4 求,解,例5 求極限,解,其中,多元初等函數(shù)： 由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四 則運算和復合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表 示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。,一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．,在定義域內(nèi)的連續(xù)點求極限可用“代入法”：,例７,解,一、

10、 偏導數(shù),多元函數(shù)的偏導數(shù),在二元函數(shù) z = f (x, y)中, 有兩個自變量 x, y, 但若固定其中一個自變量, 比如, 令y = y0, 而讓 x 變化.,則 z 成為一元函數(shù) z = f (x, y0),,我們可用討論一元,函數(shù)的方法來討論它的導數(shù), 稱為偏導數(shù).,一、偏導數(shù)的定義,則稱這個極限值為 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 處對 x 的偏導數(shù).,即,此時也稱 f (x, y)在(x0, y0) 處對x

11、 的偏導數(shù)存在. 否則稱f (x, y)在(x0, y0) 處對x的偏導數(shù)不存在.,類似, 若固定 x = x0, 而讓 y 變, z = f (x0, y)成為 y 的一元函數(shù).,則稱它為z = f (x, y) 在 (x0, y0) 處對 y 的偏導數(shù).,即,定義：設函數(shù) z = f ( x , y ) 在點 的某個鄰域內(nèi)有定義。 固定

12、，給 x 增量 ，相應的函數(shù) z 有增量 ，稱為 z 關于 x 的偏增量。如果極限 存在，就稱其為函數(shù) f ( x ,

13、y )在點 處對 x 的偏導數(shù)，記作,函數(shù) f ( x , y ) 在點 處對 y 的偏導數(shù)，記作,若 z = f (x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)每一點 (x, y) 處時x的偏導數(shù)都存在, 即?(x, y)?D,,存在.,此時, 它是 x, y的二元函數(shù). 稱為 z 對 x 的偏導函數(shù). 簡稱偏導數(shù).記作,類似定義 z 對 y 的偏導

14、函數(shù).,1.由偏導數(shù)定義知, 所謂 f (x, y) 對x 的偏導數(shù), 就是將 y 看作常數(shù), 將 f (x, y) 看作一元函數(shù)來定義的.,,,注,因此,在實際計算時, 求 f 'x (x, y)時, 只須將 y 看作常數(shù),用一元函數(shù)求導公式求即可.,求 f 'y (x, y)時, 只須將 x 看作常數(shù),用一元函數(shù)求導公式求即可.,2. f 'x (x0, y0) 就

15、是 f 'x (x, y), 在點(x0, y0)的值.,算 f 'x (x0, y0),可用3種方法.,f 'y (x0, y0),f 'y (x, y),f 'y (x0, y0),(1) 用定義算.,例1.,解:,或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4,,f 'x(x, 2) = 2x + 6,,故 f 'x(1, 2)

16、= 2+ 6 = 8.,例2.,解:,例3.,解:,偏導數(shù)的概念可推廣到三元以上函數(shù)中去.,比如, 設 u = f (x, y, z) .,它的求法, 就是將 y, z 均看作常數(shù)來求即可.,例4.,解:,由一元函數(shù)的導數(shù)的幾何意義, 可以得到偏導數(shù)的幾何意義.,設 z = f (x, y) 在點 (x0, y0),處的偏導存在, 記 z0 = f (x0, y0 ). 點M0(x0, y0 , z0)則,二、偏導數(shù)的幾何意義,f

17、'x (x0, y0)就是以平面 y = y0與曲面z = f (x, y) 相截, 得到截線 ?1 .,?1 上點 M0(x0, y0 , z0)處切線,對 x 軸的斜率.,而 f 'y (x0, y0)就是以就是以平面 x = x0與曲面 z = f (x, y) 相截, 得到截線 ?2 .,?2 上點 M0(x0, y0 , z0),處切線對 y 軸的斜率.,4、偏導數(shù)的幾何意義,如圖,幾何意義:,故只須搞清一元函

18、數(shù) f (x, y0)的幾何意義. 就可得到 f 'x (x0, y0)的幾何意義.,以平面 y = y0與曲面z = f (x, y)相截, 得截線,?1 :,,z = f (x, y),y = y0,也就是 z = f (x, y0).,且 M0 (x0, y0 , z0)在 ?1 上.,即 z = f (x, y0)表示平面 y = y0與曲面 z = f (x, y)的交線?1.,z = f (x, y0)上點M0處的切

19、線對 x的斜率.,如圖,即 f 'x (x0, y0) 表示 y = y0 與 z = f (x, y)的交線在 M0處的切線對 x 的斜率.,類似得 f 'y (x0, y0)的幾何意義.,如圖,即 f 'y (x0, y0) 表示 x = x0 與 z = f (x, y)的交線在 M0處的切線對 y 的斜率.,在一元函數(shù)中, 可導必連續(xù), 但對多元函數(shù)不適用.,即, 對多元函數(shù) f (x,y)而言,

20、即使它在 (x0， y0 )的對各個自變量的偏導數(shù)都存在, 也不能保證 f (x,y)在 (x0， y0 ) 連續(xù).,三、偏導與連續(xù)的關系,例. 設,,證明z = f (x, y)在(0, 0)的兩個偏導都存在, 但它在 (0, 0)不連續(xù).,證:,前邊已證 z = f (x, y)在(0, 0)的極限不存在, 因此它在 (0, 0)不連續(xù).,= 0,= 0,故 z = f (x, y)在(0, 0)的兩個偏導都存在, 但它在 (0,

21、 0)不連續(xù).,下證 z = f (x, y)在(0, 0)的兩個偏導都存在.,,,從幾何上看, f 'x (x0, y0)存在. 只保證了一元函數(shù) f (x, y0)在 x0 連續(xù).,也即 y = y0 與 z = f (x, y)的截線 ?1 在 M0= (x0, y0 , z0)是連續(xù)的.,同理, f 'y (x0, y0)存在. 只保證了x = x0 與 z = f (x, y)的截線 ?2 在 M0連續(xù).,

22、但都不能保證曲面 z = f (x, y)在 M0連續(xù).,換句話說, 當 (x,y) 從任何方向, 沿任何曲線趨于(x0， y0 )時, f (x,y)的極限都是 f (x0， y0 ).,顯然, 上邊兩個條件都不能保證它成立.,兩個偏導數(shù)都存在的二元函數(shù)未必連續(xù),偏導與連續(xù)的關系：,例.,,易知, f (x, y)在(0,0)的兩個偏導都存在,且為0.,但它在(0, 0)不連續(xù).,如圖,由于它們還是 x, y 的函數(shù). 因此, 可繼

23、續(xù)討論,高階偏導數(shù),稱為 z = f (x, y)的二階偏導數(shù).,類似, 可得三階, 四階, …, n 階偏導數(shù).,例1.,解:,若不是, 那么滿足什么條件時, 二階混合偏導數(shù)才相等呢?,問題:,是否任何函數(shù)的二階混合偏導數(shù)都相等?,若 z = f (x, y)的兩個混合偏導數(shù),則,定理1,一般說來, 算這個改變量較麻煩, 希望找計算它的近似公式.,該近似公式應滿足(1)好算. (2)有起碼的精度.,在實際中,常需計算當兩個自變量都改變

24、時, 二元函數(shù) z = f (x, y)的改變量 f (x0+?x, y0 +?y) – f (x0, y0).,一、全微分的概念,多元函數(shù)的全微分,類似一元函數(shù)的微分概念, 引進記號和定義.,記 ?z = f (x0+?x, y0 +?y) – f (x0, y0).,稱為 z = f (x, y)在點 (x0, y0) 的全增量.,全微分的定義,定義,對照一元函數(shù)的微分, z = f (x , y), 若?z = A?x

25、 +0(?x) 則dz = A?x = f ' (x) ·?x .,自然會提出以下問題.,(1)若z = f (x, y)在點(x0, y0)可微, 微分式 dz = A?x +B?y中系數(shù) A, B 如何求, 是否與z的偏導有關?,(2)在一元函數(shù)中, 可微與可導是等價的. 在二元函數(shù)中, 可微與存在兩個偏導是否也等價?,(3)在一元函數(shù)中, 可微?連續(xù), 對二元函數(shù)是否也對?,事實上,結(jié)論: 對二元函數(shù) z =

26、f (x, y), z 在(x0, y0)可微(不是存在兩個偏導) ? z 在(x0, y0)連續(xù).,可微的條件,證,總成立,,分別稱為函數(shù)z = f (x, y)關于自變量 x，y 的偏微分。,一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在,多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在,例如，,,？,,微分存在．,全微分存在．,則,說明：多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在并不能保證全微分存在。,,證略。,,多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系,解,(2, 1) 處的全微分,它們均連續(xù)。因此，函數(shù)

27、可微分。,解,全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù),解,所求全微分,全微分在近似計算上的應用,估計函數(shù)的絕對誤差,估計函數(shù)的相對誤差,定理1： 如果函數(shù) 在點 ( x , y )有 連續(xù)偏導數(shù) ，函數(shù) z = f ( u , v )

28、 在對應點 ( u , v ) 有連續(xù)偏導數(shù) ，則函數(shù) 在點( x , y )有連續(xù)偏導數(shù) 且,復合函數(shù)的微分法,一 鏈式法則,鏈式法則如圖示,,,,,,,,,若 z = f ( u , v, w )，都有連續(xù)偏導數(shù)，則,有多個中間變量的情況，連鎖法則仍然適

29、用例如有三個中間變量的情況,特殊地,即,令,其中,,,,區(qū)別類似,上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.,如,以上公式中的導數(shù) 稱為全導數(shù).,解,解,解,解,令,則,二、全微分形式不變性,（1）如果 u，v 是自變量，結(jié)論顯然。,（2）如果 u，v 是中間變量，,在點 ( x , y )有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)Z = f [ u ( x , y ), v ( x , y )]的全微分可表示為：,事實上，,全微分形式不變形

30、的實質(zhì)： 無論 z 是自變量 u，v 的函數(shù)或中間變量 u，v 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.,常用的微分公式,解,解,d ( ) d ( ),,一、多元函數(shù)的極值,二、多元函數(shù)的最大值與最小值,多元函數(shù)的極值,一、多元函數(shù)的極值,不可導點可能是極值點,二、二元函數(shù)的最大值與最小值,1 求下列函數(shù)的偏導數(shù),2 求下列函數(shù)的全微分,3 求下列復合函數(shù)的偏導數(shù),4 設