第六章 多元函數(shù)微分學(xué)(下)

1、五、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)五、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定理定理1設(shè)，在點(diǎn)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，)(yxu??()vxy??)(yx在相應(yīng)的點(diǎn)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù))(vufz?)(vu在點(diǎn)處有偏導(dǎo)數(shù)，且(()())zfxyxy???)(yxxvvzxuuzxz??????????????yvvzyuuzyz??????????????為了更清楚地表示復(fù)合函數(shù)中變量之間的關(guān)系常用圖61表示稱這種圖為函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖.圖61多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)和一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

2、類似.在進(jìn)行多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)時(shí)一般是先寫出函數(shù)與中間變量、自變量的結(jié)構(gòu)圖求函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，看函數(shù)到該自變量有幾條路線，則求導(dǎo)公式中就有幾項(xiàng)，每條路線有幾根連線，每項(xiàng)就有幾個(gè)偏導(dǎo)數(shù)相乘.如果只有唯一的自變量，偏導(dǎo)數(shù)就成為了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（稱為全導(dǎo)數(shù)）例8設(shè)求sincosxyuextyt???dtdu解作函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖.由結(jié)構(gòu)圖可得dtdyyudtdxxudtdu??????1sin222sincos2cos(sin)(coss

3、in)cos2xyxytttyetxetttete??????例9，求，arcsinzu?22uxy??xz??yz??解作函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖.由結(jié)構(gòu)圖可得xz??222212211()dzuxxduxuxy??????????.222212211()zdzuyyyduyuxy????????????例1010求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù))sin(yxezxy??解設(shè)，則，xyu?yxv??vezusin?xvvzxuuzxz????????????二元函

4、數(shù)極值的定義與一元函數(shù)極值的定義是類似的定義定義3設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)該鄰)(yxfz?)(00yx域內(nèi)異于的點(diǎn)都滿足不等式，則稱為)(00yx)(yx)()(00yxfyxf?)(00yxf函數(shù)的極大值極大值；如果都滿足不等式，則稱為)(yxf)()(00yxfyxf?)(00yxf函數(shù)的極小值極小值，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值，使函數(shù)為極值的點(diǎn))(yxf稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn))(00yx例1414函數(shù)在取得極小值－1，因

5、為當(dāng)或1)(22???yxyxf)00(0?x時(shí)，(如圖62).0?y)00(11)(22fyxyxf??????例1515函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值.因?yàn)樵邳c(diǎn)221yxz???)00(1)00(?f附近處有(如圖63)其函數(shù)對(duì)應(yīng)的)00()(yx)00(11)(22fyxyxf?????曲面是上半球面，顯然高于周圍的點(diǎn))100(圖6－2圖6－3定理定理4（極值存在的必要條件極值存在的必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有極值，)(yxfz?)(00yx并

6、且在該點(diǎn)有偏導(dǎo)數(shù)，存在，則有，)(00yxfx)(00yxfy0)(00?yxfx。0)(00?yxfy使，同時(shí)成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn)，0?)(yxfx0?)(yxfy)(yx解得駐點(diǎn)為（1，1）。22=022=0zzxyxy?????????令由定理4可知，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).例如是函數(shù)的駐點(diǎn)，但在的任何一個(gè)鄰域內(nèi)，既存在使)00(xyz?)00(取負(fù)值的點(diǎn)，又存在使取正值的點(diǎn)，因而駐點(diǎn)不是極值點(diǎn)

7、zz)00(定理定理5（極值存在的充分條件極值存在的充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰)(yxfz?)(000yxP域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且若記，0)(00?yxfx0)(00?yxfy)(00yxfAxx?，則)(00yxfBxy?)(00yxfCyy?(1)當(dāng)時(shí)，為極值，時(shí)為極大值，時(shí)為極02??ACB)(00yxf0?A0?A小值(2)當(dāng)時(shí)，不是極值；02??ACB)(00yxf(3)當(dāng)時(shí)，可能是極值也可能不是極值02??ACB)(00