地下水污染源解析的貝葉斯監(jiān)測設(shè)計與參數(shù)反演方法.pdf

1、由于具有水量穩(wěn)定，水質(zhì)好等優(yōu)點，地下水是人類最為重要的飲用水源之一。然而人類活動往往導(dǎo)致地下水系統(tǒng)受到各類污染物的污染。為了更好地管理地下水以及評價地下水污染的環(huán)境風(fēng)險，我們需要借助于數(shù)值模擬對污染物的去向進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測。而地下水溶質(zhì)運移模型的關(guān)鍵參數(shù)，例如污染源位置、污染源釋放強度、含水層的滲透系數(shù)等，往往難以直接獲得，需要基于監(jiān)測井獲取的觀測數(shù)據(jù)，通過求解反問題來獲得對它們的估計。
　　如何進(jìn)行監(jiān)測井網(wǎng)的最優(yōu)設(shè)計，為反問題提供最

2、有價值的觀測值，從而準(zhǔn)確地獲得對模型參數(shù)的估計，是地下水水文學(xué)的一個研究熱點。此外，監(jiān)測設(shè)計和參數(shù)反演往往需要進(jìn)行數(shù)以萬計的模型調(diào)用，這在大尺度問題中會造成極高的計算代價。針對這些問題，本文以地下水污染物運移中的源識別為研究目標(biāo)，發(fā)展了基于替代系統(tǒng)的貝葉斯不確定性分析方法，進(jìn)行高效、準(zhǔn)確的監(jiān)測設(shè)計和參數(shù)反演，具體工作如下:
　　(1)為了使觀測數(shù)據(jù)的價值最大化，我們以參數(shù)先驗到后驗相對熵的期望為目標(biāo)函數(shù)實施了監(jiān)測井網(wǎng)的最優(yōu)設(shè)計，其

3、中使目標(biāo)函數(shù)值最大的采樣位置即為最優(yōu)采樣方案。在利用最優(yōu)采樣方案獲得濃度觀測值之后，我們采用了馬爾科夫鏈蒙特卡洛(Markov chain Monte Carlo，MCMC)法來反演未知模型參數(shù)。為了提高計算效率，我們使用自適應(yīng)稀疏格子插值（adaptive sparse grid interpolation）法在參數(shù)的先驗空間上構(gòu)造了多項式替代系統(tǒng)，并將它應(yīng)用到了監(jiān)測設(shè)計和參數(shù)反演中，避免了反復(fù)求解原始模型，即地下水流與溶質(zhì)運移控制方

4、程。為了消除替代系統(tǒng)帶來的誤差，我們采用了一種兩階段MCMC模擬來反演未知參數(shù)，即先采用替代系統(tǒng)對參數(shù)的后驗分布進(jìn)行充分探索，再使用原始模型對參數(shù)后驗進(jìn)行準(zhǔn)確采樣。數(shù)值算例的結(jié)果表明，在滲透系數(shù)非均質(zhì)性條件下，我們提出的方法可以有效而準(zhǔn)確地識別出污染源參數(shù)和滲透系數(shù)參數(shù)。
　　(2)在兩階段MCMC模擬的第二階段里，我們?nèi)耘f需要多次求解原始模型，因而兩階段MCMC模擬所需的計算量依然較高。為了進(jìn)一步降低計算代價，我們提出了在參數(shù)后

5、驗空間上自適應(yīng)地構(gòu)造替代系統(tǒng)的思想。這里，我們使用了高斯過程(Gaussian process，GP)來構(gòu)造替代系統(tǒng)，并在反演參數(shù)時將MCMC模擬與替代系統(tǒng)構(gòu)造耦合起來，通過自適應(yīng)地增加接近后驗的基點，來不斷提高替代系統(tǒng)在參數(shù)后驗空間上的精度。此外，由于GP的優(yōu)良特性，我們得以量化替代系統(tǒng)的誤差并將之反映到參數(shù)的后驗分布中。數(shù)值模擬的結(jié)果表明，基于后驗替代系統(tǒng)的過程要比基于先驗替代系統(tǒng)的過程更加高效和準(zhǔn)確。
　　(3)在高維問題里

6、，替代系統(tǒng)構(gòu)造和MCMC反演的效果都欠佳。為了解決高維問題中的最優(yōu)監(jiān)測設(shè)計和參數(shù)反演問題，我們提出了一種基于集合(ensemble)的方法。我們采用了數(shù)據(jù)價值分析(data-worth analysis)來尋找信息量最大的采樣方案，然后使用集合平滑器(ensemble smoother，ES)來對模型參數(shù)進(jìn)行反演。為了驗證方法的效果，我們測試了一個商維的數(shù)值算例。在這個算例里，我們考慮了8個未知污染源參數(shù)和3321個未知滲透系數(shù)參數(shù)。經(jīng)

7、過12個監(jiān)測時間步的設(shè)計，我們獲得了24個最優(yōu)采樣位置。利用這24個最優(yōu)采樣位置上獲得的濃度和水頭觀測值，我們可以將3329個未知參數(shù)準(zhǔn)確地反演出來。
　　(4)雖然ES算法適用于高維情況，但是它基于線性估計理論，無法解決參數(shù)分布為多峰的反演問題。為了解決高維非高斯情況下的參數(shù)反演問題，我們提出了一種名為迭代局部更新集合平滑(iterative local updating ensemble smoother,ILUES)的算法。

8、在實施該算法的過程中，我們沒有直接對集合中的每個樣本進(jìn)行更新，而是對每個樣本的局部樣本集合進(jìn)行更新，來對可能的多峰分布進(jìn)行充分探索。另外，在非線性問題里，為了提高反演效果，我們在ILUES算法中采用了一種簡單的迭代過程。ILUES算法無需聚類分析，就可以準(zhǔn)確地將參數(shù)的多峰分布識別出來。
　　為了驗證ILUES算法的效果，我們測試了五個數(shù)值算例，分別考慮了參數(shù)先驗多峰，參數(shù)后驗多峰和參數(shù)高維等不同的場景。這些算例都很好地展示了ILU

9、ES算法在復(fù)雜模型參數(shù)反演中的效果。與常用的MCMC算法相比，ILUES算法具有計算量上的顯著優(yōu)勢。
　　(5)由于替代系統(tǒng)構(gòu)造在高維問題里效率很低，這極大地限制了替代系統(tǒng)的應(yīng)用范圍。為了解決這個問題，我們提出了將降維和替代系統(tǒng)構(gòu)造結(jié)合的思想，并將它應(yīng)用到地下水污染風(fēng)險評估和分析中。
　　在估計失效概率（即超過風(fēng)險值的概率）的時候，采用直接的蒙特卡洛(Monte Carlo，MC)模擬通常需要大量調(diào)用系統(tǒng)模型。為了減小失效概

10、率分析的計算代價，人們往往會在MC模擬中使用替代系統(tǒng)。然而，直接對高維地下水模型構(gòu)造替代系統(tǒng)非常困難。而且，替代系統(tǒng)的使用會不可避免地引入誤差。為了解決上述問題，我們提出了一種兩階段MC模擬方法，來準(zhǔn)確而有效地開展失效概率分析。在第一階段，我們結(jié)合Karhunen-Loève展開和分段逆回歸(slicedinverse regression)法對空間非均質(zhì)的滲透系數(shù)參數(shù)進(jìn)行充分降維，并在此基礎(chǔ)上利用混沌多項式展開(polynomial

11、chaos expansion)構(gòu)造出較為準(zhǔn)確的替代系統(tǒng)。利用該替代系統(tǒng)，我們可以有效地計算出大量樣本的關(guān)注量(quantity of interest，QoI);在第二階段，為了消除替代系統(tǒng)引入的誤差，我們用原始模型重新計算了失效邊界附近樣本的QoI值。這樣，我們可以消除替代系統(tǒng)引入的誤差，并得到對失效概率的準(zhǔn)確估計。為了驗證上述方法的效果，我們將它應(yīng)用到了一個高維地下水污染物運移模擬的例子里，并將流向下游的總污染物的量作為QoI。結(jié)