第二章有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-read

1、第二章 有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),兩方面問題： 抽象 物理現(xiàn)象 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)工具：解決實際問題,,處理可看作是對矩陣進行變換。矢量→圖像也可看作變換→增強，特征提取，數(shù)據(jù)壓縮采樣與量化→模擬的轉(zhuǎn)換成數(shù)字的正交矩陣：A’=A-1 ’轉(zhuǎn)置

2、-1逆酉矩陣：(A*) ’ =A-1 * 共軛,2.1 圖像的向量表示：二維圖像矩陣 N×N象素,表示成矢量形式為：,矢量,矩陣和矢量間關(guān)系：,（n=k時提取第k列理解）,當輸入輸出圖像均為向量表示時，則處理之可表示為：,,此處 和 可能不同維數(shù) 如： M2×1 N2×1 [T]為M2&

3、#215;N2也可表示為：,其中：p=1…M, q=1,2…M,,,,總之，圖象三種表達方式：矩陣、矢量和∑，如gij=∑…,2.2 隨機場－－圖像的統(tǒng)計表示 一幅圖像并不是全圖各部分特征相同，相同無信息，不同才有信息，任一圖像特征為隨機的。且全場各部分間亦非均勻（隨機的）不存在全圖統(tǒng)一的特征。 圖像可作為二維隨機場中一個樣本來分析常是必要的。在某些場合使用確定的表示來描述圖像有困難，然而用平均特性能方便地描述，

4、如描述紋理結(jié)構(gòu)圖象可能很方便。圖像為實函數(shù)，只討論二維實隨機場。 二維隨機場：僅一個時間變量函數(shù)，一維隨機過程。圖象為二維實隨機場。,一個圖象完備集包含所有圖象，任一圖像可看作其中一個樣本，圖像集可看作隨機場，在此集中某一象素亮度fi隨x,y而變化； 對確定的（x0,y0）其值又隨i而變化(i為第i幅圖)，即任一點fi(x0,y0)均為隨機變量，每一點均有統(tǒng)計特性來描述。 隨機場中特定（x0,

5、y0）為一隨機變量，對場上所有（x，y），不一定具有相同的統(tǒng)計特性，即f(x,y)之分布函數(shù)與（x, y）密度函數(shù)有關(guān)。 令P{f(x,y)<z} 代表 f(x,y)<z 之概率， 隨機變量f(x,y)在點(x,y)處分布函數(shù) 表為：,,f(x,y)在（x,y）處密度函數(shù)：,類似地總體平均特征：隨機場均值函數(shù)（各點均值不同）,在（x,y）處均值是（x,y）的函數(shù),方差函數(shù) :,,自相關(guān)函數(shù) :,

6、互相關(guān)函數(shù)：,,二階聯(lián)合密度函數(shù),2.3 正交變換：（圖像中多數(shù)為此變換） 一個實函數(shù)或復(fù)函數(shù)若用x（t）表示，其定義域為（t0,t0+T）在此區(qū)間可展開為：,,若：,并且：,則Φm稱正交函數(shù)，當c=1時稱標準正交函數(shù)。 圖像處理中用到變換核均為正交函數(shù)。 變換是個工具，一個域特征不突出到另一個域則突出，信號處理中空域和頻域之間的相互變換常用。 例如： ● Fourier變換

7、后的平均值，正比于圖像的平均亮度，而高頻分量可指示圖像中邊沿幅度和方向； ● 用于圖像的變換編碼的壓縮頻帶，如對幅度小的變換系數(shù)或者丟棄，或者粗量化。 ● 縮減計算維數(shù)，把Hotelling變換小幅度系數(shù)丟棄不用。,2.4 付氏變換 對圖像函數(shù)f(x,y) ，其付氏正變換：,其反變換：,由反變換看物理意義，變換核：,,右圖可見：,,之最大值之連線,沿：x軸單位長度上u周 y軸單位長度上v周,

8、空間周期：,,也類似，移動1/4周，可見：,,是二維周期分別為u，v之函數(shù)，,周期為：,對x軸傾角為：,可見逆變換的物理含義為：f(x,y)可看作,,型的線性組合。 F(u,v)即為權(quán)值函數(shù)。,由x,y間頻率定空間分量為u,v,因此F(u,v)稱為f(x,y)的頻譜。 交待概念：,卷積：,,相關(guān)：,,,互相關(guān)：,,卷積定理：,即： 兩個函數(shù)的卷積的付氏變換 = 各自付氏變換的乘積,,2.5 離散圖像付氏變換( DFT )

9、,離散圖像,變換可定義如下：,,,為M×M,,為N×N,可展開之：,u=0,1…M-1v=0,1…N-1,[P]和[Q] 為非奇異的。,對離散付氏變換：變換核[P]=[WMM] [Q]=[WNN],對通用J,其[WJJ]的元為：,J=M或N,故離散付氏變換可寫成：,反變換：,這里 ：,當M=N時，即N×N圖象。,令 ：

10、,變換陣[P]、[Q]用W表示,這里wn ： n=0～(N-1)(N-1) 周期性變化（為快速付氏變換提供基礎(chǔ)）,注意到：,陣為對稱、正交、二維可分離、可簡化計算、快速變換的基礎(chǔ)。,,,圖像的二維離散傅立葉變換的頻率成分分布示意圖,變換結(jié)果的左上、右上、左下、右下四個角部分對應(yīng)于低頻成分，中央部分對應(yīng)于高頻成分。,（a）lenna圖 （b）傅氏變換的頻譜圖

11、 圖像及其頻譜圖像示意圖,對于一幅圖像，圖像中灰度變化比較緩慢的區(qū)域?qū)?yīng)較低的頻譜，而灰度變化比較大的邊緣地帶對應(yīng)較高的頻譜。而且一幅圖像中大部分都是灰度變化緩慢的區(qū)域，只有一小部分是邊緣，因此，其變換域的圖像，能量主要集中在低頻部分（對應(yīng)值較高），只有一小部分能量集中在高頻部分（對應(yīng)值較低）。,離散圖像付氏變換性質(zhì),1、可分離性 二維傅立葉變換式可以分離成如下形式：,,一個二維離散傅立葉變換可以先后兩次

12、運用一維傅立葉變換來實現(xiàn)。,,,2．平移性指將,乘以一個指數(shù)項相當于把其二維離散傅立葉變換,的頻域中心移動到新的位置。,乘以一個指數(shù)項，就相當于把其二維離散傅立葉反變換,的空域中心移動到新的位置。 這個性質(zhì)可以表示為：,傅立葉變換的幅值不變 ：,,將,的原點移到,方陣的中心，以使能清楚地分析傅立葉變換譜的情況。要做到這一點，只需令：,則,,可得：,5．分配性和比例性 傅立葉變換的分配性表明傅立葉變換對于加法可以

13、分配，而對乘法則不行。即,,,傅立葉變換的比例性表明為對于二個標量a和b，有：,,,離散圖像付氏變換應(yīng)用,實例1 正弦波去噪,實例2 去噪實例 圖像受白噪聲干擾的原理如圖所示，對于一幅不受白噪聲干擾的圖像，假設(shè)其頻譜為圖(a)所示的形式，其中橫坐標為頻率，縱坐標為幅值，對應(yīng)低頻部分幅值較高，高頻部分幅值較低。對于高斯白噪聲，其頻譜如圖(b)所示，其幅值是一個常數(shù)，那么當原始圖像受到白噪聲干擾時

14、，它的頻譜將變成(c)中的形式。,要去除圖像中的白噪聲，在頻域中減去白噪聲的幅值即可。 理想的方法： 知道白噪聲的模型，一般情況下很難遇到。在未知噪聲幅值的情況下，可以先對噪聲圖像求頻譜，并計算頻譜幅值的平均值，用該平均值作為噪聲的近似幅值，就可以對圖像去噪。,2.6 快速付氏變換FFT （略）,2.7 其它常用變換（離散余弦、哈達碼變換）,1、離散余弦變換（DCT）,[P]=[WNN][Q] [W

15、NN],歐拉展開：,為簡化變換核（FFT為復(fù)數(shù)變換），只取實部則為離散余弦變換（去相關(guān)次最佳），只取（-1和1）則為哈達碼變換。,對于,注意：當f(m,n)為實對稱時，后面sin項為零，只余cos項。一般f(m,n)不對稱可拼為對稱，四幅N×N拼成2N×2N為實對稱； 沿圖f(m,n)的水平、垂直二邊界拼接四幅圖，就成右圖的2N×2N圖片。有 ：,四幅拼合對稱點在(-1/2,-1/2)之處

16、,有：,詳細推導(dǎo)見書,全圖共N2項，實際操作中，卷積核可事先算好，用LUT實現(xiàn)。DCT變換矩陣可寫如下：,,,另：奇數(shù)點的DCT變換見有關(guān)書。,2、哈達碼變換 [P]，[Q]可以為其它函數(shù)，最常用為Hardamard Transform。 用方波，而不用正弦，只用加減不用乘除，簡單、容易用硬件實現(xiàn)，軟件模擬時可以方便地由計算機產(chǎn)生，不需預(yù)先存儲起來，缺點：去相關(guān)能力差。 2×2的哈達碼

17、陣為：,對稱，正交 H=H’=H-1,高階哈達碼矩陣可由下法構(gòu)成：（見Castleman P171頁付氏變換）,小結(jié)：FFT——DCT—哈達碼 [F]=H[f]H 復(fù)數(shù)域 實數(shù) 整數(shù) [f]=H[F]H,2.8 K-L變換（Karhunen-Loeve變換，Hotelling, 特征矢量， 主分量） [把連

18、續(xù)信號用一組不相關(guān)的系數(shù)表示，是由karhunen Loeve提出，Hotelling則提出離散信號的不相關(guān)系數(shù)表示法，習(xí)慣上不論對連續(xù)或離散信號這種去相關(guān)變換，統(tǒng)稱為karhuner-Loeve(K-L)變換或Hotelling變換，也有叫特征矢量變換或主成份分解的。 Hotelling變換是從圖象的統(tǒng)計性質(zhì)出發(fā)實現(xiàn)變換。它在數(shù)據(jù)壓縮、圖象旋轉(zhuǎn)、遙感多光譜圖象的特征選擇和統(tǒng)計識別等中很有用。] castleman P454,彩

19、色：3個波段R、G、B 遙感多 ：128個波段   數(shù)據(jù)太多，能不能通過某種形式，保留主要的，棄掉次要的。 下面討論：一個隨機圖象N×N矢量，多光譜每個象素可看作一個矢量。（F是N×N階）,寫成矢量,,是N2×1維

20、的，即：,,,（矢量中各個分量都是隨機分量）,矢量均值為：,,,協(xié)方差矩陣：,相關(guān)矩陣,,[一般情況下，自協(xié)方差矩陣是對稱的，對角線上的陣元反映矢量各個分量的方差 ，而非對角線上各陣元反映矢量的各個分量間的互方差]， 注意到圖象都是實數(shù)，協(xié)方差矩陣都是實對稱方陣，存在完備特征矢量體系（特征空間） 特征矩陣：A=[a1 a2 … aQ],對非零aiaj 如正交，則有：atiaj = 1 i = j

21、 = 0 i不等于j(主分量變換矩陣，與原圖象有關(guān)，去相關(guān)性最好的變換),如對,,,做K-L變換得：,,…………(1),,則矢量 的均值和協(xié)方差矩陣為：,,[Σg為對角陣，表示 經(jīng)K-L變換得到的 已去相關(guān)性，即已刪除了它的冗余度，這時 的各分量方差和為：,,,,由（1）,,將λ由大到小排列：λ1〉λ2〉λ3〉…〉

22、λQ 保留前面m項，舍去m+1～Q項，用對應(yīng)的m個矢量ai 構(gòu)成矩陣Am ，其余（Q-m）個 的分量只用它們對應(yīng)均值表示，即：,,與原來誤差為：,由于λi x遞減排列，所以誤差也將最小。[談起來抽象，舉例看一看具體含義],K-L變換去相關(guān)性最好，但求A不方便。實際操作中的各種變換往往把圖象縮小成小方塊，對其做DCT變換如8×8。4×4。,2.9 圖像的采樣問題：如何將二維模擬信號轉(zhuǎn)化為

23、二維離散信號——圖像數(shù)字化。（現(xiàn)實一幅黑白照片各點的灰度值可用其位置坐標（x，y）的函數(shù)f(x,y)描述，f(x,y)是二維連續(xù)函數(shù)，有無窮多個值，連續(xù)函數(shù)表示的圖像無法用計算機處理，也無法在各種數(shù)字系統(tǒng)中傳輸或存貯。）圖像數(shù)字化包括： 采樣：圖像在空間上的離散化。 量化：對采樣點灰度級值的離散化過程稱為量化。（很關(guān)鍵環(huán)節(jié)，保證圖像質(zhì)量）以一維舉例：,一維曲線用離散化數(shù)字表示：

24、?以ΔＸ為間隔，取為常值——采樣。?量化后值用有限個離散值來表示，常用8bits，256級。取值0～255， 那么ΔＸ取多大合理？y1值量化級數(shù)多少才合適？,,,,,,,,ΔＸ,x,y,0,,y1,理論上越細越準，采樣間隔縮小，量化級數(shù)增大，圖象更真實。但細了，則數(shù)據(jù)量大，計算量，傳輸量，存貯量大；粗了，太粗人感覺到不像個圖。最終是人眼來識別。超過人眼分辨率不必要；有時傳感器也達不到。一般孔徑——2～5HZ/度，512×

25、;512已足夠，超過20HZ/度不敏感。具體圖象ΔＸ取多少呢，同樣幅面圖象細節(jié)不同，ΔＸ不同。,,,Lena 256*256圖 64*64 圖 16*16圖,,,,,,,,f(x),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,m(x),采樣可理解為f(x)與m(x)之乘積（數(shù)學(xué)描述）,采樣定理：,1、矩形脈沖：,),脈沖(沖擊)函數(shù)：,,,,,,-1/2 0

26、 1/2,,1,,,0,,1,,,,梳狀函數(shù)：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x,,,,F變換,,,,,,,,,,,,,,,,,[注意：無窮系列才有此關(guān)系，實際情況并非如此],2）梳狀函數(shù)采樣輸出:g(x) = m(x/ )f(x) 兩邊付氏變換（到頻率域）,,（間隔為 ，與F(s)不同，為一系列F(s)）,,,,,,,,,,f(x),,,g(x),,,F(s),,,,,,,,,,,梳狀函數(shù)

27、采樣,,,f(x),,,,,,,,,G(s),,,,,,,,,序列,[采樣后能否恢復(fù)原函數(shù)？],,僅在G（s）中保留中間部分，即為F（s）（濾波） G（S）→ F（S）→ 反變換可得f(x),選取一個矩形脈沖 以滿足下式：,滿足此條件則可恢復(fù)。,,,,,,,,,,,,,,,,序列,,,,1,Shannon(香農(nóng))采樣定理： f(x)有限帶寬， 滿足：,或：,即當有限帶寬函數(shù)

28、 時，可以從采樣函數(shù)中恢復(fù)原函數(shù)。,恢復(fù)f(x):,,SinC函數(shù),對g(x)用SinC函數(shù)做插值,進一步討論，帶寬很寬時，如何呢？ 大 小，當 很大時，取樣不足，形成混迭（aliasing）,,,,,,,,,,,頻帶出現(xiàn)搭接現(xiàn)象,混迭是不可避免的：1．實際中圖像信號為無限帶寬。2．采樣間隔ΔＸ，ΔＹ不可能無限小——實際設(shè)備決定最小有限帶寬。3．脈沖有寬度，采樣孔徑不是點，是面積平均值，有低通濾波效果。（由于實際輸

29、出圖像樣本是光的時間積分，這就相當于取樣脈沖是有一定寬度而不是一系列沖激，由此引起圖像模糊，等效于對理想圖像起一個低通濾波器作用，取樣脈沖寬度效應(yīng)。）4．邊緣有限插值截斷（采樣梳狀函數(shù)是有限序列）（在取樣圖像經(jīng)過內(nèi)插重建時，由于內(nèi)插函數(shù)尾部在邊界被截斷會造成邊界誤差） 實際中有失真，但人眼分辨率也是有限的。,2.10二值圖像的采樣1．拓補結(jié)構(gòu)（采樣網(wǎng)格型式）：正方型 與六邊形 正方形：

30、易實現(xiàn)，但采樣孔一般圓形，因此有相互重疊現(xiàn)象，且有四鄰域與八鄰域問題）。 一個象素，8個鄰點，4個距離近（邊相鄰,直接相鄰），4個距離遠（ 點相鄰,間接相鄰）六角形：各元與鄰元之間邊界相同，但各元與鄰元間距——水平及垂直各不相同，便于采樣但不便于計算。（概念上不能忘，有人在研究，工程實現(xiàn)不方便）,,,,,,,,,,2．連通性問題：若ＸＸＸＸＸ…為線。連續(xù)域內(nèi)，一條線將平面分為不連續(xù)兩個區(qū)。但離散空間，按8鄰域定義，則

31、一條線未把背景劃分兩個區(qū)，若按4個鄰域，則不連續(xù)的點將背景劃分為兩個區(qū)。實際解決辦法： 圖形用8鄰域，背景用4鄰域。臨時解決方法，現(xiàn)在無根本解決好辦法，比如：連續(xù)域上線無寬度而離散域上有寬度。,,,3．保持圖畫細節(jié)的最大采樣間隔  線寬b,采樣間隔h, 當b>h，不丟失線，否則，丟失。,,,,,h,b,2.11 圖像的量化問題[經(jīng)過取樣的圖像,只是在空間上被離散為象素(樣本)的陣列，而每

32、一個樣本灰度值，還是一個有無窮多個取值的連續(xù)變化量，必須將其轉(zhuǎn)化為有限個離散值，賦于不同的碼字才成為真的數(shù)字圖像。這樣的轉(zhuǎn)化過程稱其為量化]。,量化：包括均勻量化和非均勻量化。,均勻量化：連續(xù)灰值等間隔分層。層越多，產(chǎn)生的量化誤差越小。非均勻量化：不等間隔分層，目的減少量化誤差，按灰值出現(xiàn)的概率不同進行量化——灰值經(jīng)常出現(xiàn)，量化細；灰值不常出現(xiàn)，量化粗。但是：量化級別不能取得過多，當噪聲幅度大于量化間隔，量化器輸出量化值會產(chǎn)生錯誤

33、。屏幕圖像上灰值鄰近區(qū)域邊界會出現(xiàn)“忙動”現(xiàn)象。 下面看一看使總量化誤差最小的量化方案（實際中往往是等間隔量化的。）已知：p(z)為概率（直方圖），給定Z1 及Zk+1 ，量化級數(shù)為k級。求：按量化誤差最小來確定Zi 和qi (i=1,2…k)。,量化誤差：,[當量化層數(shù)K很大時，對每一個層內(nèi)P（Z）可近似看作一個常數(shù)] 對Zk 進行求導(dǎo)，并令其為0得：,兩個重心的中點,,對qk求導(dǎo) ：,在zk和zk+1的

34、P(z)重心處,,k=1,2…K.可見，得不到顯函數(shù)解，只能根據(jù)具體p(z), Z1 ,Zk使用中逐次逼近，用試湊的方法解決。結(jié)論：1、 Zk 在qk和qk+1的中間； 2、 qk 在Zk和Zk+1 之間p(z)的重心處。量化誤差最小。舉例：（見講義）,采樣與量化的關(guān)系： N×N點采樣，每點灰級Ｋ級，K=2b，占b位。 總數(shù)據(jù)量N×N×b位二