組合數(shù)學(xué)的鼻祖-陳永川個(gè)人主頁(yè)

1、淺談組合數(shù)學(xué),南開大學(xué) 組合數(shù)學(xué)中心 陳永川 2004年7月,組合數(shù)學(xué)概述,現(xiàn)代數(shù)學(xué)可以分為兩大類：一類是研究連續(xù)對(duì)象的，如分析、方程等；另一類就是研究離散對(duì)象的組合數(shù)學(xué)。 計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后，由于離散對(duì)象的處理是計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心，研究離散對(duì)象的組合數(shù)學(xué)得到迅猛發(fā)展。,組合數(shù)學(xué)概述,吳文俊院士指出，每個(gè)時(shí)代都有它特殊的要求，使得數(shù)學(xué)出現(xiàn)一個(gè)新的面

2、貌，產(chǎn)生一些新的數(shù)學(xué)分支，組合數(shù)學(xué)這個(gè)新的分支也是在時(shí)代的要求下產(chǎn)生的。最近，吳文俊院士又指出，信息技術(shù)很可能會(huì)給數(shù)學(xué)本身帶來(lái)一場(chǎng)根本性的變革，而組合數(shù)學(xué)則將顯示出它的重要作用。 Gian-Carlo Rota教授曾提出要向中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人呼吁，組合數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)業(yè)的基礎(chǔ)，中國(guó)最終一定能成為一個(gè)軟件大國(guó)，但是要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)的一個(gè)突破點(diǎn)就是發(fā)展組合數(shù)學(xué)。,組合數(shù)學(xué)的歷史,傳說(shuō)在公元前23世紀(jì)大禹治水的時(shí)候，在黃河支流洛水中，浮現(xiàn)出一個(gè)

3、 大烏龜，甲上背有9種花點(diǎn)的圖案，人們將圖案中的花點(diǎn)數(shù)了一下，競(jìng)驚奇地發(fā)現(xiàn)9種花點(diǎn)數(shù)正巧是1—9這9個(gè)數(shù)，各數(shù)位置的排列也相當(dāng)奇妙，橫的3行、縱的3列以及兩對(duì)角線上各自的數(shù)字之和都為15。,上圖為三階洛書,幻方問題,組合數(shù)學(xué)中有許多象幻方這樣精巧的結(jié)構(gòu)。1977年美國(guó)旅行者1號(hào)、2號(hào)宇宙飛船就帶上了幻方以作為人類智慧的信號(hào)。,４ 階 幻 方,阿基米德手稿,上圖為一份用希臘文寫在羊皮紙上的阿基米德手稿副本, 最近科學(xué)家借助現(xiàn)代科技手段初

4、步破譯了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的這篇論文, 結(jié)論是這篇被稱作Stomachion的論文解決的是組合數(shù)學(xué)問題。,阿基米德手稿,在論文中阿基米德是在計(jì)算把14條不規(guī)則的紙帶拼成正方形一共能有多少種不同的拼法。這在現(xiàn)在被稱為tiling問題。當(dāng)今數(shù)學(xué)家借助計(jì)算機(jī)得出的答案是17152種拼法，這在當(dāng)時(shí)是相當(dāng)困難的。,,,Periodic Tilings,Non-Periodic Tilings,Penrose Tilings,Symmetric

5、 Tilings,Symmetric Tilings,賈憲三角,中國(guó)最早的組合數(shù)學(xué)理論可追溯到宋朝時(shí)期的”賈憲三角”, 后來(lái)被楊輝引用, 所以普遍稱之為”楊輝三角”, 這在西方是1654年由帕斯卡提出，但比中國(guó)晚了400多年。,11，11，2，11，3，3，11，4，6，4，11，5，10，10，5，11，6，15，20，15，6，1,七橋問題,近代圖論的歷史可追溯到18世紀(jì)的七橋問題—穿過(guò)Königsberg城的

6、七座橋，要求每座橋通過(guò)一次且僅通過(guò)一次。Euler1736年證明了不可能存在這樣的路線。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Euler 定理,如果一個(gè)圖包含一條經(jīng)過(guò)每條邊恰好一次的閉途徑，則稱這個(gè)圖為歐拉圖。對(duì)任意的非空連通圖，若它是歐拉的, 當(dāng)且僅當(dāng)它沒有奇度點(diǎn)。,,,,,Königsberg橋?qū)?yīng)的圖,36 軍官問題 (歐拉 1779) Th

7、e Great Frederic的閱兵難題-------歐拉的困惑 拉丁方陣:,正交拉丁方陣:,Euler 猜想,不存在6階正交拉丁方不存在4k+2階正交拉丁方 現(xiàn)在的結(jié)論對(duì)任正整數(shù) n≠2,6， 存在 n 階正交拉丁方,組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用,組合數(shù)學(xué)不僅在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中具有極其重要的地位，在其它的學(xué)科如計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼和密碼學(xué)、物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中，甚至在企業(yè)管理，交通規(guī)劃

8、，戰(zhàn)爭(zhēng)指揮，金融分析，城市物流等領(lǐng)域均有重要應(yīng)用。,組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用,著名的組合數(shù)學(xué)家 Thomas Tutte 在組合數(shù)學(xué)界是泰斗級(jí)的大師。直到最近人們才知道，原來(lái)他對(duì)提前結(jié)束“二戰(zhàn)”有著突出貢獻(xiàn)。Tutte 從德軍的兩條情報(bào)密碼出發(fā)，用組合數(shù)學(xué)的方法，重建了敵人的密碼機(jī)，確定了德軍密碼的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，從而獲得了極為重要的情報(bào)。,組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用,在美國(guó)有一家公司用組合數(shù)學(xué)的方法來(lái)提高企業(yè)管理的效益，這家公司辦得非常成功。在美國(guó)已有專門的

9、公司用組合設(shè)計(jì)的方法開發(fā)軟件，來(lái)解決工業(yè)界中的試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題。德國(guó)一位著名組合數(shù)學(xué)家利用組合數(shù)學(xué)方法研究藥物結(jié)構(gòu)，為制藥公司節(jié)省了大量的費(fèi)用，引起了制藥業(yè)的關(guān)注。,四色問題,在日常生活中我們常常可以遇到組合數(shù)學(xué)的問題。比如一個(gè)著名的世界難題“四色猜想” ：一張地圖，用一種顏色對(duì)一個(gè)地區(qū)著色，那么一共只需要四種顏色就能保證每?jī)蓚€(gè)相鄰的地區(qū)顏色不同。,四色問題,1852年，剛從倫敦大學(xué)畢業(yè)的Francis Guthrie提出了四色猜想。1

10、878年著名的英國(guó)數(shù)學(xué)家Cayley向數(shù)學(xué)界征求解答。此后數(shù)學(xué)家 Heawood 花費(fèi)了畢生的精力致力于四色研究，于1890年證明了五色定理（每個(gè)平面圖都是5頂點(diǎn)可著色的）。直到1976年6月，美國(guó)數(shù)學(xué)家 K. Appel與 W. Haken，在3臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200小時(shí)，才終于完成了“四色猜想”的證明，從而使"四色猜想"成為了四色定理。,中國(guó)郵遞員問題,1962年中國(guó)組合數(shù)學(xué)家管梅谷教授提出了著名

11、的“中國(guó)郵遞員問題”。一個(gè)郵遞員從郵局出發(fā)，要走完他所管轄的每一條街道，然后返回郵局。那么如何選擇一條盡可能短的路線。,中國(guó)郵遞員問題,這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為：給定一個(gè)具有非負(fù)權(quán)的賦權(quán)圖G， （1）用添加重復(fù)邊的方法求G的一個(gè)Euler賦權(quán)母圖G*，使得 盡可能小。 （2）求G*的Euler 環(huán)游。 這個(gè)問題可以由Fleury算法和1973年著名組合數(shù)學(xué)家J. Edmonds和John

12、son 給出的一個(gè)好的算法解決。,貨郎擔(dān)問題,一個(gè)貨郎要去若干城鎮(zhèn)賣貨，然后回到出發(fā)地，給定各城鎮(zhèn)之間所需的旅行時(shí)間后，應(yīng)怎樣計(jì)劃他的路線，使他能去每個(gè)城鎮(zhèn)恰好一次而且總時(shí)間最短？,貨郎擔(dān)問題,用圖論的術(shù)語(yǔ)說(shuō)，就是在一個(gè)賦權(quán)完全圖中，找出一個(gè)具有最小權(quán)的Hamilton 圈（包含圖G的每個(gè)頂點(diǎn)的圈)。這個(gè)問題目前還沒有有效的算法。Hamilton問題是圖論的一個(gè)重要問題，圖論中的許多問題，包括四色問題、圖的因子問題，最終都與Hami

13、lton問題有關(guān)。,相識(shí)問題,1958年，美國(guó)的《數(shù)學(xué)月刊》上登載著這樣一個(gè)有趣的問題：“任何6個(gè)人的聚會(huì)，其中總會(huì)有3個(gè)人相互認(rèn)識(shí)，或3個(gè)人相互不認(rèn)識(shí)”。 用6個(gè)頂點(diǎn)表示6個(gè)人，用紅色連線表示兩者相識(shí)，用藍(lán)色連線表示兩者不相識(shí)。于是問題化為下述命題：,,相識(shí)問題,對(duì)6個(gè)頂點(diǎn)的完全圖K6任意進(jìn)行紅、藍(lán)兩邊著色，則圖中一定存在一個(gè)同色三角形。,,,,,,,Ramsey數(shù),推廣為一般問題：給定任意正整數(shù)a和b，總存在一個(gè)最小整數(shù)

14、 r(a,b)，使得r(a,b) 個(gè)人中或者有 a 個(gè)人互相認(rèn)識(shí)，或者有 b 個(gè)人互相不認(rèn)識(shí)。稱 r(a,b) 為Ramsey數(shù)。,Erdös -Szekeres 定理,Ramsey定理是由Erdös和Szekeres于1935年提出的。它是下述定理的一個(gè)推廣：定理（Erdös和Szekeres） ：若 a, b ∈N，n=ab+1，且x1, … , xn是任一n個(gè)實(shí)數(shù)的序列，則這個(gè)序列包含一個(gè)有a+1項(xiàng)

15、的單調(diào)遞增（遞減）的子序列，或一個(gè)有b+1項(xiàng)的單調(diào)遞減（遞增）的子序列。,Happy End 問題,對(duì)于n≥3，處于平面上一般位置（任意三個(gè)頂點(diǎn)不共線）的g(n)個(gè)頂點(diǎn)中，一定有n個(gè)頂點(diǎn)組成一個(gè)凸n邊形。 5頂點(diǎn)一定含有一個(gè)凸四邊形Erdos 和 Szekeres (1935) 證明了 g(n) 一定存在，并且有,,,,,,,,,,,,5個(gè)頂點(diǎn)時(shí)的情形,,,,,,機(jī)器證明

16、——吳消元法,1976年吳文俊教授開始進(jìn)行研究幾何定理的機(jī)器證明，并在很短的時(shí)間內(nèi)取得重大突破。他的基本思想如下：引進(jìn)坐標(biāo)，將幾何定理用代數(shù)方程組的形式表達(dá)；提出一套完整可行的符號(hào)解法，將此代數(shù)方程組求解。此兩步中，一般第二步更為困難。,機(jī)器證明——吳消元法,周咸青利用并發(fā)展吳方法，編制出計(jì)算機(jī)軟件，證明了500多條有相當(dāng)難度的幾何定理，并在美國(guó)出版了幾何定理機(jī)器證明的專著。吳方法不僅可證明已有的幾何定理，而且可以自動(dòng)發(fā)現(xiàn)新的定理。

17、可以從Kerler定律推導(dǎo)牛頓定律；解決一些非線性規(guī)劃問題；給出Puma型機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)方程的解。吳文俊教授還將其方法推廣到微分幾何定理的機(jī)器證明上。,網(wǎng)絡(luò)流問題,隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)快速的增長(zhǎng)，城市化是未來(lái)中國(guó)的發(fā)展方向。人大通過(guò)的“十五”規(guī)劃，把物流業(yè)作為戰(zhàn)略重點(diǎn)列入要大力發(fā)展的新興服務(wù)產(chǎn)業(yè)。如何制定一個(gè)運(yùn)輸計(jì)劃使生產(chǎn)地到銷售地的產(chǎn)品輸送量最大。這就是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)最大流問題。,,,,,,,,,網(wǎng)絡(luò)流問題,1956年Ford 和Fulkerso

18、n 提出了關(guān)于網(wǎng)絡(luò)流問題的一個(gè)重要定理。最大流最小割定理：在任何網(wǎng)絡(luò)中，最大流的值等于最小割的容量。由這個(gè)定理可以引出求網(wǎng)絡(luò)最大流的一個(gè)算法——標(biāo)號(hào)法。1970年，Edmonds和Karp 對(duì)標(biāo)號(hào)程序加以改進(jìn)，使之成為一個(gè)好的算法。,穩(wěn)定的婚姻問題,組合數(shù)學(xué)中有一個(gè)著名定理：如果一個(gè)村子里每一個(gè)女孩都恰好認(rèn)識(shí)k個(gè)男孩，并且每一個(gè)男孩也恰好認(rèn)識(shí)k個(gè)女孩，那么每一個(gè)女孩都可以嫁給她認(rèn)識(shí)的一個(gè)男孩，并且每一個(gè)男孩都可以娶一個(gè)他認(rèn)識(shí)的女孩

19、。（ k 正則二部圖，一定存在一個(gè)完美匹配）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,穩(wěn)定的婚姻問題,但是這樣的安排方法不一定是最好的。假如能找到兩對(duì)夫婦，彼此都更喜歡對(duì)方的配偶，那么這樣婚姻有潛在的不穩(wěn)定性。用圖論匹配理論中Gale-Shapley算法，可以找到一種婚姻的安排方法，使得沒有上述的不穩(wěn)定情況出現(xiàn)。,穩(wěn)定的婚姻問題,這種組合數(shù)學(xué)的方法有 一個(gè)實(shí)際的用途：美國(guó)的醫(yī)院在確定錄取住院醫(yī)生時(shí)，他們將考慮申請(qǐng)者的志

20、愿的先后次序，同時(shí)也給申請(qǐng)者排序。按這樣的 次序考慮出的總的方案將沒有醫(yī)院和申請(qǐng)者兩者同時(shí)后悔的情況。 實(shí)際上，高考學(xué)生的最后錄取方案也可以用這種方法。,棧排序問題(Knuth, 1960’s),模式: 對(duì)任意一個(gè)排列π , 最小的元素用１代替，次小的元素用２代替……以此類推，這樣得到的排列叫π的模式。例如　　　914的模式為：312　　　37925 的模式為： 24513,棧排序問題(Knuth, 1960’s)

21、,避免３１２排列：一個(gè)排列是避免３１２的，當(dāng)且僅當(dāng)它的任意子序列中沒有３１２模式。例如　　　π＝ 132564是避免 312的排列 π＝ 146235是包含312的排列,棧排序問題(Knuth, 1960’s),,,,,,8,7,6,5,4,3,2,1,,,,,避免312排列,全一問題,假設(shè)博物館里有若干個(gè)房間，每個(gè)房間里有一盞燈和一個(gè)開關(guān)，每次按下某個(gè)房間的開關(guān)，可以改變這個(gè)房間以及它相鄰的房間的燈的狀態(tài)。,

22、全一問題,問是否可以找到一種開燈的方案，使得所有房間的燈由全亮變?yōu)槿珳?？這就是Sutner 于1989年提出的“全一問題”（All-Ones Problem)。,最小全一問題,求操作次數(shù)最少的解稱為最小全一問題。我們已經(jīng)知道，對(duì)于一般圖上的最小全一問題是NP完備的。陳永川教授與他人合作找到了一個(gè)線性時(shí)間算法，很好地解決了樹和單圈圖的最小全一問題。（SIAM Journal on Computing，2004）,網(wǎng)絡(luò)可靠性問題,一個(gè)通

23、訊網(wǎng)絡(luò)怎樣布局穩(wěn)定性最好，而且費(fèi)用最節(jié)?。棵绹?guó)的貝爾實(shí)驗(yàn)室和IBM公司都有世界一流的組合數(shù)學(xué)家在研究這個(gè)問題，這個(gè)問題直接關(guān)系到巨大的經(jīng)濟(jì)利益。,最短網(wǎng)絡(luò)問題,如何用最短的線路將三部電話連起來(lái)？此問題可抽象為設(shè)△ABC為等邊三角形，，連接三頂點(diǎn)的路線（稱為網(wǎng)絡(luò)）。這種網(wǎng)絡(luò)有許多個(gè)，其中最短路線者顯然是二邊之和（如AB∪AC）。,,,,A,B,C,最短網(wǎng)絡(luò)問題,但若增加一個(gè)周轉(zhuǎn)站（新點(diǎn)P），連接4點(diǎn)的新網(wǎng)絡(luò)的最短路線為PA＋PB＋PC

24、。最短新路徑之長(zhǎng)N比原來(lái)只連三點(diǎn)的最短路徑O要短。這樣得到的網(wǎng)絡(luò)不僅比原來(lái)節(jié)省材料，而且穩(wěn)定性也更好。,,,,,,,A,B,C,P,Pollak－Gilbert猜想,由于最短網(wǎng)絡(luò)在運(yùn)輸、通訊和計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)與科技領(lǐng)域中都有重要的應(yīng)用，對(duì)這個(gè)問題的研究也越來(lái)越深入。問題的對(duì)象已由三個(gè)點(diǎn)擴(kuò)展到任意有限個(gè)點(diǎn)集。,Pollak－Gilbert猜想,斯坦納（Steiner）最小樹是可以在給定的點(diǎn)之外再增加若干個(gè)點(diǎn)(稱為斯坦納點(diǎn))，然后將所有這

25、些點(diǎn)連起來(lái)。如果不允許增加任何額外的點(diǎn)作為網(wǎng)絡(luò)的頂點(diǎn)，這種最短網(wǎng)絡(luò)稱為最小生成樹。在前面的例子中Steiner最小樹的長(zhǎng)為 而最小生成樹的長(zhǎng)為2。,Pollak－Gilbert猜想,1968年貝爾實(shí)驗(yàn)室數(shù)學(xué)中心主任波雷克(Pollak)和研究員吉爾伯特(Gilbert)提出如下猜想：平面上任意n點(diǎn)集，斯坦納最小樹長(zhǎng)與最小生成樹之長(zhǎng)的比值的最小值是 。 這個(gè)猜想又被稱為斯坦納比猜想。,,Pollak－Gilbert

26、猜想,Pollak－Gilbert猜想起源于在美國(guó)貝爾電話公司發(fā)生的一個(gè)富有戲劇性的事件。1967年前，貝爾公司按照連結(jié)各分部的最小生成樹的長(zhǎng)度來(lái)收費(fèi)。1967年一家航空公司戳了貝爾公司一個(gè)大洞。當(dāng)時(shí)這家企業(yè)申請(qǐng)要求貝爾公司增加一些服務(wù)點(diǎn)，而這些服務(wù)點(diǎn)恰恰位于構(gòu)造該公司各分部的斯坦納最小樹需增加的斯坦納頂點(diǎn)上。這使得貝爾公司不僅要拉新線，增加服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，而且還要減少收費(fèi)。這一意外事件迫使貝爾公司自此以后便采用了斯坦納最小樹原則 。,Po

27、llak－Gilbert猜想,1990年，中科院應(yīng)用數(shù)學(xué)所研究員堵丁柱與美籍華人黃光明合作，證明了Pollak－Gilbert猜想。在美國(guó)離散數(shù)學(xué)界引起轟動(dòng)，被列為1989—1990年度美國(guó)離散數(shù)學(xué)界與理論計(jì)算機(jī)科學(xué)界的兩項(xiàng)重大成果之一。 在《不列顛百科全書1992年鑒》的數(shù)學(xué)評(píng)論中，該成果被列為世界上當(dāng)年六項(xiàng)數(shù)學(xué)成果首項(xiàng)。該成果被我國(guó)列為1992年十大科技成就之一。,無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò),20世紀(jì)20年代，由Karinthy提出。1950

28、年， Pool 和 Kochen提出這樣一個(gè)問題：“兩個(gè)毫無(wú)關(guān)系的人，要讓他們互相認(rèn)識(shí)，至少要經(jīng)過(guò)多少人？”美國(guó)哈佛大學(xué)社會(huì)心理學(xué)家S. Milgram在1967年做過(guò)一項(xiàng)有趣的實(shí)驗(yàn)，據(jù)說(shuō)他從內(nèi)布拉斯加州的奧馬哈隨機(jī)選了300人，然后請(qǐng)他們每個(gè)人嘗試寄一封信到波士頓的一位證券業(yè)務(wù)員。寄信的規(guī)則很簡(jiǎn)單，就是任何收信者只能把信寄給自己熟識(shí)的人。,重要結(jié)論,“6度分離” —對(duì)每個(gè)人來(lái)說(shuō)，平均大約只需要通過(guò)６個(gè)人就能將信寄到目的地。研究無(wú)尺

29、度網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于防備黑客攻擊、防治流行病、和開發(fā)新藥等，都具有重要的意義。在1999年，Barab´asi et al.發(fā)現(xiàn)在因特網(wǎng)上，任意兩個(gè)網(wǎng)頁(yè)間的鏈接最多為19次。(Nature 401, 1999),無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)例子,因特網(wǎng)是一個(gè)無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)，左圖的星爆形結(jié)構(gòu)描繪了從某一測(cè)試站點(diǎn)到其他約十萬(wàn)個(gè)站點(diǎn)的最短連結(jié)路徑。圖中以相同的顏色來(lái)表示相類似的站點(diǎn)。,Szemerédi 定理,若 k 為一個(gè)正整數(shù)并且σ>

30、;0，則存在一個(gè)正整數(shù) N = N(k,σ) ，使得集合{1，2，…，N}的每一個(gè)σN 長(zhǎng)的子集都包含 k 長(zhǎng)的等差級(jí)數(shù)。N(k,σ) 有一個(gè)很有名的界,Szemerédi 定理,其中下界是由Behrend（對(duì)k=3的情形）和Rankin 給出的，上界是由W. Timothy Gowers 給出的。 Gowers因?yàn)榻o出了這個(gè)上界而獲得了1998年的Fields獎(jiǎng)。,生物數(shù)學(xué),目前，計(jì)算生物學(xué)、基因理論、生物信

31、息學(xué)都是最前沿的研究領(lǐng)域。 隨著人類基因組計(jì)劃的完成和其他基因計(jì)劃的完成，所有公認(rèn)的和潛在的蛋白質(zhì)元都可以被確定，通過(guò)大規(guī)模的實(shí)驗(yàn)技術(shù)，可以生成大量的生物學(xué)數(shù)據(jù)。,生物數(shù)學(xué),如何處理這些數(shù)據(jù)來(lái)獲得生物學(xué)的信息，這里組合數(shù)學(xué)和隨機(jī)圖論都起到了關(guān)鍵的作用。如果將基因看作網(wǎng)絡(luò)中的頂點(diǎn)，將他們之間的作用看作網(wǎng)絡(luò)中的邊，那么每一次大規(guī)模實(shí)驗(yàn)將給我們帶來(lái)關(guān)于基因交互作用網(wǎng)絡(luò)的一些信息。這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)是科學(xué)家們關(guān)心的焦點(diǎn)（如每一個(gè)頂