第五章 數(shù)學基礎知識的學與教

1、浙江省舟山市南海實驗學校鄭偉君13515800518,基礎 方法 能力 ---數(shù)學教育教學感悟,數(shù)學解題教學的建議 ——基礎+方法,1.重視問題的分析——高效的啟發(fā),2.直觀化教學策略-----數(shù)形結合,3.重視總結解題的規(guī)律和方法,4.我們何時需要”講”,5.深刻理解數(shù)學概念促使問題轉化,例1、如圖，已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，且交點為O

2、。求證：OE=OD,三角形中內角、外角的有關性質,角平分線的有關性質,1.重視問題的分析——高效的啟發(fā),證明線段相等的基本知識和方法,對“角平分線”概念的理解,從定義角度理解：∠1＝∠2＝1/2∠AOB從性質角度理解：角平分線上的點到解的兩邊距離相等；從對稱性角度理解：角是軸對稱圖形，平分線所在的直線是對稱軸。,例1、如圖，已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，且交點為O。求證：OE=OD,分

3、析1：由已知你可以得到什么結論？,你還可以得到什么結論？,啟發(fā)：點O有什么特殊性質？,結合結論只需證明什么？,△OME≌△OND,,,所以，只需證明∠OEM=∠ODN！,M,N,分析2：由已知你可以得到什么結論？,你還可以得到什么結論？,啟發(fā)：直線BO有什么特殊性質？,結合結論只需證明什么？,△OMC≌△ODC,所以，只需證明∠MOC=∠DOC！,M,,直線BO是對稱軸，所以取BM=BE時可得：OE=OM。,小結：對角平分線概念從不同

4、的角度進行理解就是知識基礎；分析的過程（要經常用分析思路圖，體現(xiàn)“兩頭湊”思考的過程），啟發(fā)語句的運用等就是方法。,1.重視問題的分析——高效的啟發(fā)例2、如圖，E、F分別是△ABC的邊AB、AC上的兩定點，在BC上求一點M，使△MEF的周長最短。,考試結果11班有24個 學生作出了EF的中垂線與BC的點，占

5、 50%，我班有12人,理解問題 在BC上求一點M，使△MEF的周長最短，即EF+FM+ME最?。僧嫴輬D分析）。制訂計劃 因為E、F為定點，所以EF為定值，所以只要FM+ME最小，問題轉化為在BC上求一點M，使點M到兩定點E、F的距離之和最小。（轉化為一個常見問題）3、執(zhí)行計劃 作點E或F關于BC的對稱點……4、回顧,例3，已知：如圖，平行四邊形ABCD中，G為DC延長線上一點，AG交BD于E，

6、交BC于F，求證：AE：EF=EG：AE,理解問題 正確觀察圖形，并聯(lián)想有關性質，聯(lián)想與結論有關的性質。制訂計劃 采用“兩頭湊”的分析方法。AE：EF可進行怎樣的轉化……（DE：EB或AD：FB），EG：AE可轉化為……（DE：EB或DG：AB），都等于DE：EB，成功！（也可采用箭頭法）3、執(zhí)行計劃 用演繹法表述推理過程4、回顧 特別是前兩步的思考方法。,例4.如圖，三角形ABC和DEF都是正三角形（A與F重

7、合，D、A、C在一條直線上） ，AC=5，DF= ，把三角形DEF沿AC方向平移，當三角形AEC是等腰三角形時，求平移的距離。,先充分理解題意,找到在移動過程中變與不變的”元素”,弄清問題中圖形的變化規(guī)律, 在此基礎上進行歸納和抽象(改變問題).注意不要急于用媒體展示變化過程!,三角形ACE是等腰三角形有下面三種可能①若AC=AE，以A為圓心AC為半徑作圓得點E1；②若AC=CE，以C為圓心CA為半徑作圓得點E2

8、和E3；③若AE=CE，作AC的垂直平分線得點E4。移動距離只要求垂足之間的距離HH2即可。,重視啟發(fā)引導,案例：這樣講題目更好例3：如圖，把正三角形ABC的外接圓對折，使點A落在弧BC的中點A1，若BC=5，則折痕在△ABC內的部分EF的長為 。師：我們先來感覺一下這個圖形的特點，你感覺這個圖形中的哪些線段比較特殊？生1：我感覺線段AA1是直徑。,理解教學——讓學生參與分析題意尋求解題思路的

9、過程,師：為什么？生1：連結BA1，因為A1是弧BC的中點，所以AA1是BAC的平分線，所以∠BAA1=30°，∠BA1A=∠C=60°，所以∠A1BA=90°，AA1是直徑。生2：我是這樣想的，因為△ABC是正三角形，所以弧BA=弧AC，A1是弧BC的中點，所以由垂徑定理，AA1是直徑。生3：因為△ABC是正三角形，所以弧BA=弧AC，所以弧BA是弧BAC的一半，同理弧BA1是弧BA1C的一半，

10、所以弧ABA1是半圓，所以AA1是直徑。師：三個同學用三種不同的說法說 明了AA1是直徑，說明大家很會動 腦筋，知識的應用很靈活，學得很 有效果，希望大家繼續(xù)有好的表現(xiàn)。,理解教學——讓學生參與分析題意尋求解題思路的過程,生4：我感覺MN是直徑，因為MN是對稱軸，而圓的對稱軸過圓心，所以MN是直徑。生5：我感覺MN和EF是平行的，因為他們都垂直于AA1。生6：那么△AEF是正三角形了。師：很好，現(xiàn)在

11、同學們對這個圖形已經有了比較全面和深入的了解，下面可以考慮該如何求EF的長度的問題了。生1：在△ABA1中，AB=5，∠AA1B=60°，所以， ，所以EO=5/3所以EF=10/3。,,,理解教學——讓學生參與分析題意尋求解題思路的過程,生7：我不用求出直徑也可以求EF的長。因為∠A1=60°，所以△A1OB是正三角形，又BC⊥A1O，所以OG=1/2OB=1/2OA，所以E

12、F：BC=AO：AG=2：3，所以EF=10/3生8：我用相交弦定理，更簡單。設EF=x，那么， ，因為AE×EB=ME×EN所以解得x=EF=10/3生9：我還有另一種解法。說著他走到前面在黑板上很自信地寫下：師：請你說明你的思路。,,,,,,理解教學——讓學生參與分析題意尋求解題思路的過程,這時，下面出現(xiàn)了議論聲，并且越來越響，我感覺有事情了，果然，生8：老師

13、，我怎么用他的方法解不出EF的值呢？化簡后的等式沒有x了呀。老師在黑板上演算后，發(fā)現(xiàn)真的出現(xiàn)了不含x的恒等式了，同學們感到很迷惑。師：請大家思考，怎么會出現(xiàn)這種情況，你能發(fā)現(xiàn)其中的原因嗎？同學們展開了熱烈的討論，不一會，生7：這個等式中的EF不管在什么位置都能夠使這個等式成立，所以求不出EF的具體數(shù)值了。,,,,,,理解教學——讓學生參與分析題意尋求解題思路的過程,師：生7講得很好，事實上不論EF的位置如何，只要它平行于BC，都

14、有生9的等式成立，也就是EF的值不能確定了。那么這個思路是否一定不對嗎？我們是否可以做些改正呢？又一輪討論開始了，約一分鐘后，生9有了答案。生9：只要把 改為 就可以了。師：為什么這樣就行了？生9：梯形的高是AO的一半，這樣就確定了EF的位置，所以一定是對的。教室里很安靜，但馬上就出現(xiàn)了大家對生9的

15、贊嘆聲。,,,,,,,,2.直觀化教學策略-----數(shù)形結合,美國數(shù)學家斯蒂恩:如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形,那么思想就整體地把握了問題,并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.圖形表征不僅能夠明確展現(xiàn)問題各個組成部分的拓撲關系和幾何關系,而且圖形表征的相關信息通常處于鄰近的位置,這就使得人們易于識別模式、搜索信息和展開推導。華羅庚曾精辟地說過:數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微,兩者結合萬般好,隔離分家萬事休. 研究表明，文本信息在

16、有圖形描述時比沒有圖形描述時能夠記得更加深刻。學生的問題：為什么要學習函數(shù)圖象？x------圖象------y 函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系,教法1:示意編碼法 這種教法多見于課本.教法2:圖形編碼法 將(a+b)和(c+d)看成長方形的長和寬,利用大長方形的面積等于四個小長方形的面積之和. 這種教法多見于情境創(chuàng)設中.教法3:標簽編碼法（前 + 后）×

17、（前+ 后）=前前+ 前后+ 后前+后后 口訣：前加后乘以前加后，等于前前、前后、后前、后后的和。經過實驗，圖形編碼的學習效果最好。,例:公式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd的教學,例1.已知點A(a,b),O為坐標原點,連結OA,將線段OA繞點O按逆時針方向旋轉90°得到OA1,則點A1的坐標為( )A.(-a,b) B.(a,-b) C.(-b,a) D.(b,-a),1.建議畫一個符合題意

18、的一般圖形(方法);2.怎樣確定點A1的坐標呢?3.思考坐標的本來意義是什么?(知識);4.過點A和A1向坐標軸作垂線!(方法)(也可用特殊的數(shù)代替a,b,其實質是一樣的),例2.二次函數(shù)y=x2-x+a(a>0),當x取m時,y<0,問x取m-1時,y取正數(shù)還是負數(shù)還是0?,1.滿足題意的圖不容易畫出;(注意到:開口向上,對稱軸為x=1/2,與y軸交點在正半軸上)2.由圖可知0＜m＜1;3.所以m-1＜0,又

19、由圖得y取正數(shù),滲透數(shù)形結合思想方法、深入理解函數(shù)的意義，掌握具體的方法.------畫示意圖,例2’.一個二次函數(shù)的圖象,三位同學分別說出了它的一些特點：甲：對稱軸是直線x=4的直線；乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù)；丙：與y軸交點的縱坐標也是整數(shù)，且以這三點為頂點的三角形面積為3。請寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)。,1.通過畫圖可知,這個三角形的底AB和高OC的長度都是整數(shù),且AB·OC=6;2.由拋物線的

20、對稱性可知,AB=2或6;3.y=±1/5(x-3)(x-5)或y=±1/7(x-1)(x-7),例3. 方程 實數(shù)解的個數(shù)為( ) A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個,1.設y1=x2-1,y2=1/x,利用圖象,看它們的交點情況.2.注意符合題意的圖形應是下面的哪一個呢?,滲透數(shù)形結合思想方法、深

21、入理解函數(shù)的意義，掌握具體的方法.------畫示意圖,例4、函數(shù)y1=-2/x, y2=-x-1,當x何值時，y1<y2。,1.函數(shù)值的大小反映在圖象上就是圖象位置的高和低;2.函數(shù)圖象交點(-2,1)和(1,-2)的意義?3.注意x≠0,結合圖象就可確定y1<y2時,x的取值范圍是x＜-2或0＜x＜1,例5.若一元二次方程ax2+bx+c=0的系數(shù)滿足a + b + c＜0, a – b + c=2,則該方程(

22、 ) A. 必有兩個不相等的實數(shù)根； B. 必有兩個相等的實數(shù)根； C. 必無實數(shù)根； D. 無法確定.,3.重視總結解題的規(guī)律和方法,例1.如圖，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點（-1，2），且與x軸的交點的橫

23、坐標分別為，x1，x2，其中-20;②4a-2b+c<0;③2a-b<0;.其中正確的有（ ）A. 0個，B. 1個， C.2個，D.3個,例2.(09黃石)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象(a ≠0)的圖象如圖所示，下列結論①abc>0;②2a+b0.其中正確的個數(shù)有（ ）A. 4個，B.3個， C.2個，D.1個,①錯②對③對,難點是第④a+c>0,可從a和c的意義角度考慮,當二次函數(shù)的開口

24、方向和大小確定時,a的值也隨之確定,再通過平移圖象改變c 值的大小.所以a+c的值有取正、負、0的情況，如當交點為x1=-0.2,x2=2.1時，a+c＜0。選C,這類問題最近幾年較普遍地出現(xiàn)在各類考題中，它能較全面地考查函數(shù)基本性質，充分發(fā)揮函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質中的作用，如增減性與圖象的特征，突出了利用函數(shù)圖象溝通自變量與函數(shù)值這兩個量之間的對應關系，函數(shù)圖象與解析式的關系，正確運用函數(shù)圖象信息的能力等都有較高要求。具有較強的綜合性

25、。這樣的問題其實是鞏固函數(shù)知識的很好載體教學中要引起足夠的重視?；貞涭柟袒A知識：函數(shù)圖象能清楚地反映出函數(shù)中兩個量之間的對應關系，這種關系在解析式中的表現(xiàn)就是關于系數(shù)的方程或者不等式,提煉歸納解決問題的方法：這類問題中的結論可分為三類，一是利用圖象或已知條件中的信息（圖象經過點（-1，2）），可直接得出的結論，如系數(shù)a，c，b2-4ac，等的符號或滿足的等式。二是利用這些符號或不等式可以進一步得出的結論，如b的符號，本題中③

26、2a-b0，可以根據(jù)系數(shù)a,c的本質特征結合題意得到解決。,例3．已知D，E分別是△ABC的邊BC，CA上的點，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。連結AD和BE，它們交于點P。過P分別作PQ∥CA，PR∥CB，它們分別與邊AB交于點Q，R，則△PQR的面積與△ABC的面積的比是________。,作EF∥AD交BC于F，則DF：DC=AE：AC，求得FD=5/7，所以BP：BE=BD：BF=28：33，即PQ：AE=BP：EP=

27、28：33，所以PQ=140/33，則△PQR的面積與△ABC的面積的比是_400：1089_____。,提煉歸納解決問題的方法： 如圖中，點D、E、F把線段BC、AC、AD、BE分成的比中，只要已知其中的兩個比，就可以添加平行線利用相似三角形的性質求得其它線段的比或線段的長度！向學生講透求比的方法比多做題更有效果！,例4.已知：如圖一次函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與一次函數(shù)y

28、＝x＋1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標為(1，0)(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求四邊形BDEC的面積S；(3)在軸上是否存在點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在,求出所有的點P；若不存在,請說明理由．(4)在直線BC下方的拋物線上是否存在一點H,使△HBC的面積最大?若存在,請求出H點的坐標；若不存在,請說明理由．,（第24題）,(4)在直線BC下方的拋物線上是否存在一點H,使△

29、HBC的面積最大?若存在,請求出H點的坐標；若不存在,請說明理由．,（第24題）,總結規(guī)律:第4小題，拋物線上求一點使面積最大（?。D化為坐標系中已知三角形三個點的坐標，求這個三角形的面積最值問題，這類通常有3種不同的思考途徑：一是補成矩形減直角三角形，二是把三角形分為兩個三角形，即面積=1/2×水平長×鉛垂高，三是平行與三角形一邊的直線與拋物線有唯一交點……。,,,相似三角形的判定復習課,浙江省舟山市南海實

30、驗初中 鄭偉君,4、如圖,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,點D是BC邊上的一個動點(不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE=45°，設BD=x，AE=y，求y關于x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍;,,,,,,,E,D,C,B,A,變式：如圖,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC，點D是BC邊上的中點，∠EDF=45°，交AB于M，交

31、AC于N，（1）問：圖中有相似三角形嗎？請說明理由。,（2）連結MN，則圖中又增加了幾對相似三角形？,,,,,,E,D,C,B,A,F,M,N,,變式：如圖,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC，點D是BC邊上的中點，∠EDF=45°，,,,,,,E,D,C,B,A,F,M,N,,（3）當∠EDF繞著點D旋轉，使得DE與BA的延長線交于點M，DF與AC交于點N，問：圖中還存在剛才的幾對相似

32、三角形嗎？請說明理由。,練習：如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1） 寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對；（2） 連結FG，如果α＝45°，AB＝ ，AF＝3，求FG的長．,,,,,,,,,,,M,G,F,E,D,C,B,A,5.正方形邊長為4, M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直。（

33、1）證明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2） 當M點運動到什么位置時， Rt△ABM∽Rt△AMN．,三、拓展提高,對于(2):如果結論成立,應該有什么條件呢?比如哪兩個角應該相等? ……,如果結論成立,應該有什么條件呢?比如哪些邊會成比例呢? ……,思考方法:如果問題的結論成立,應該具有什么條件? …,值得思考的問題,1.有關三角形相似的判定方法及性質等知識你得到加深了嗎?2.你能提煉問題中的基本圖形并會運用它解決問題嗎?3.你

34、知道數(shù)學問題常用的分析方法和策略應該是怎樣的嗎?,1.回顧了三角形相似的四個判定方法及性質的簡單應用；特別是前兩種常用在平行型和相交型這種基本圖形中。,三、歸納總結,,,,A,B,C,,D,,E,,,,A,B,C,,D,,E,,,,,,A,B,C,D,E,,,,,,2、解決了一類如圖所示的一條直線上有三角相等稱為“一線三等角”的圖形，這種圖形往往會有相似的結論。,,,,,,,,,,E,D,C,B,A,,,,,,,,,N,M,D,

35、C,B,A,┓,┏,┓,3.簡單學習了數(shù)學問題常用的分析方法和策略：從已知和求證出發(fā)經過觀察、思考、推理…,探求結論成立的“兩頭湊”方法.感悟到分類討論等數(shù)學思想方法在解題中的指導作用，比如最后一題可以這樣思考：如果結論成立，必須要具有什么條件，而這個條件的成立又應該具備怎樣的條件呢……要學會從不同的角度來分析。,4.我們何時需要”講”,在學生理解膚淺時;在學生思路受阻時;在學生理解有誤時…… 蘇霍姆林斯基認為,探究問題”

36、能增強學生對周圍實際現(xiàn)象的興趣,發(fā)展他們看出多種事物和現(xiàn)象之間的相互聯(lián)系的能力”.課堂教學需要學生探究,當探究困難問題時學生的思路往往受阻,出現(xiàn)”斷路”,這時就需要教師的幫助,而有效的幫助需要教師了解學生思路”卡殼”的原因,因勢利導進行啟發(fā),這樣才能延續(xù)和激發(fā)學生的思維,而不能直接告訴學生答案了事.,例1.已知點A(-1,0)和點B(1,2),在坐標軸上確定點P,使得△ABP為直角三角形,那么滿足這樣條件的P共有( )A.2個

37、B.4個 C.6個 D.7個,解析:分類討論,當點A為直角頂點時過點A做AB的垂線與y軸負半軸有一個點P1,同理,當點B為直角頂點時,可得P2和P3兩個所求的點.當P為直角頂點時,學生產生了困難,教師應當如何幫助?可思考一個問題:對一條線段的張角等于90°,這樣的點有什么規(guī)律?,,例，已知a+b=2，ab=-12，求下列各式的值。這類問題分析時，應告訴學生根據(jù)已知條件和要求的代數(shù)式，可以聯(lián)想到什么公式？（完全

38、平方公式），（思考方法）。進一步，可作如下的提煉和歸納：其實在 中，涉及到了 這4個（或6個）代數(shù)式之間的關系，并且已知其中的2個，就可以就出其余的幾個。,謝謝！,1.已知拋物線y=x2+(b-1)x+c經過點P(-1,-2b).b>3,過點P作直線PA⊥y軸,交

39、點為A,交拋物線于另一點B,且BP=2PA,求這條拋物線所對應的二次函數(shù)關系式.,滲透數(shù)形結合思想方法、深入理解函數(shù)的意義，掌握具體的方法.------畫示意圖,例．如圖，在△ABC中，AB = AC, AD⊥BC, CG∥AB, BG分別交AD,AC于E,F.若EF：BE=a:b，那么GE:BE等于 .,分析1：不添加輔助線，利用平行線與比例線段的關系進行轉化，比較復雜；分析2：注意到四條線段EF、BE、GE

40、、BE且BE=CE，考慮三角形EFC和ECG，相似！分析3：考慮AD是對稱軸，有更簡單的解法。連接CE并延長交AB于點H，則GE：BE=CE：BH=BE：EF=b:a.,,例3。等腰三角形ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P為BC的中點，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點落在點P，三角板繞P點旋轉．（1）如圖（1），當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時．問△BPE與△CFP

41、是否相似，請說明理由；（2）操作：將三角板繞點P旋轉到圖（2）情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F．① 探究１：△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫出結論）② 探究２：連結EF，△BPE與△PFE是否相似？請說明理由；③ 設EF=m，△EPF的面積為S，試用m的代數(shù)式表示S．,② 探究２：連結EF，△BPE與△PFE是否相似？請說明理由；③ 設EF=m，△EPF的面積為S，試用m的代數(shù)式表示S．,對于探究２

42、，只要說明EP：BE=PF：BP，但由于（1）成立，可得EP：BE=PF：PC又BP=PC，所以得證。對于探究3，注意到∠EPF=30°，S=0.5PE×PF×sin30°，又可求得BP= ，接下來，很多同學就不知道怎樣解了，實際上由上題可知，PE：EF=BP：PF，即PE×PF=EF×BP，所以S=,對于探究3需要有較強的分析能力和必要的表述方法，教學時對于這樣的