第一章 物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

1、第一篇 力 學(xué),第一篇　經(jīng)典力學(xué),第一章　質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,§1.1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述,一 參照物和參照系,1.恒定物體運(yùn)動(dòng)、靜止的標(biāo)準(zhǔn)——引入?yún)⒄瘴锱c參照系2.參照物與參照系,二 理想物理模型,1.質(zhì)點(diǎn)模型 2.剛體模型,三 描述物體運(yùn)動(dòng)的物理參量,1.位置矢量與運(yùn)動(dòng)方程 2. 位移與路程 3.速度與速率 4.平均加速度與加速度 5.法向加速度與切向加速度,(一) 描述物

2、體運(yùn)動(dòng)的線參量,(二) 描述物體運(yùn)動(dòng)的角參量,1.角位移 2.角速度 3.角加速度 4.線參量與角參量的關(guān)系,四 物體勻變速運(yùn)動(dòng)的描述,一 參照物和參照系,1.恒定物體運(yùn)動(dòng)、靜止的標(biāo)準(zhǔn)——引入?yún)⒄瘴锱c參照系,哲學(xué)論斷：a.人不能兩次踏入同一條河流?！　　　　.人不能同時(shí)踏入同一條河流。,運(yùn)動(dòng)是普遍的、絕對(duì)的，但對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述卻是相對(duì)的。描述一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，總得選擇另一物體或幾個(gè)彼此之間相對(duì)靜止的物體作為參考，這就要求引入?yún)⒄瘴锘騾?/p>

3、考系。,2.參照物與參照系,參照物：被選取、且能用來描述物體運(yùn)動(dòng)狀況的物體,參照系：固定與參照物之上，用來確定待描述物體空間位置　　　　和方向而引入的數(shù)學(xué)坐標(biāo)系。,參照物與參照系的關(guān)系：參照系是參照物的數(shù)學(xué)抽象，必須　能夠建立坐標(biāo)系的物體才能充當(dāng)參照物。,二 理想物理模型,1.質(zhì)點(diǎn)模型：當(dāng)物體的線度(大小和幾何形狀)對(duì)所研究物體運(yùn)　　 　動(dòng)狀態(tài)的影響可以忽略不計(jì)時(shí)， 用一個(gè)集中了物體所有　　　　質(zhì)量的數(shù)學(xué)點(diǎn)來代表物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，

4、該點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)。,2.剛體模型：當(dāng)物體的形變對(duì)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響可以忽略不　計(jì)時(shí)，將物體看作為一個(gè)不發(fā)生形變的幾何體,三 描述物體運(yùn)動(dòng)的物理參量,1.位置矢量與運(yùn)動(dòng)方程,(1).位置矢量：時(shí)刻t，由坐標(biāo)原點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)的有向線段。,(一) 描述物體運(yùn)動(dòng)的線參量,(2).位置矢量的特征,相對(duì)性——參照系瞬時(shí)性——時(shí)刻t矢量性——大小、方向、運(yùn)算法則,(2).運(yùn)動(dòng)方程：位置矢量的時(shí)間函數(shù)。,(3).軌道方程 ：質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡方程，稱為

5、軌道方程,說明：運(yùn)動(dòng)方程一般應(yīng)寫成矢量形式B,說明：軌道方程可由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間參量t 得到。 數(shù)學(xué)表示為： f(x,y,z)=0,例：質(zhì)點(diǎn)從如圖所示位置開始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)求：運(yùn)動(dòng)方程與軌道方程,解：運(yùn)動(dòng)方程：,軌道方程：,2. 位移與路程,(1).位移：在時(shí)間t內(nèi)，由初始位矢指向末位矢的有向線段。,直角坐標(biāo)表示,說明：矢量性——大小、方向、運(yùn)算法則　　　位移函數(shù)消去時(shí)間t，得軌道方程。

6、　　　位移矢量通常用r 矢量，而不是?r 矢量表示　 　 位移與位矢的關(guān)系,(2).路程：在時(shí)間t 內(nèi)，物體運(yùn)動(dòng)軌跡的長度，稱時(shí)間t內(nèi)物體 的路程。,注意：路程與位移的區(qū)別、聯(lián)系(略)問題：A.什么情形下物體路程與位移相等？B.判斷：物體在時(shí)間t內(nèi)路程為0，則物體一定保持相對(duì)靜止　　　　物體在時(shí)間t內(nèi)位移為0，則物體一定保持相對(duì)靜止,3.速度與速率,(1).平均速度,直角坐標(biāo)表示:,(2).即時(shí)

7、速度,直角坐標(biāo)表示,平均速率,即時(shí)速率,說明：a.即時(shí)速度不一定等于平均速度，只有在勻速直線　運(yùn)動(dòng)情形下兩者相等　　　b.平均速率不一定等于即時(shí)速率,c.即時(shí)速率與即時(shí)速度的大小相等,例：判斷下列寫法是否正確,解,作為特例，討論例子：,可見，兩種表達(dá)式結(jié)果不同；幾何意義的區(qū)別如圖,例：已知一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，t 時(shí)刻的坐標(biāo)為：　　x=4.5t2-2t3求：(1).第二秒內(nèi)的平均速度　　(2).第二秒末的即時(shí)速度　　(3)

8、.第二秒內(nèi)的平均速率,解：(1).第二秒內(nèi)的平均速度,(如何理解平均速度前的負(fù)號(hào)？),(2).第二秒末的即時(shí)速度,當(dāng)t=2s時(shí),(3).第二秒內(nèi)的平均速率,解得： t=1.5s,說明：求解平均速率前，一定考慮物體運(yùn)動(dòng)方向是否有改變,4.平均加速度與加速度,(1).平均加速度,直角坐標(biāo)表示,說明：平均加速度與速度改變量的方向一致，與速度本身方向　　　沒有必然聯(lián)系。,(2).即時(shí)加速度,直角坐標(biāo)表示,說明：加速度與速度改變量的方向一

9、致，與速度本身方向無關(guān)　　加速度方向總指向軌跡曲線的凹側(cè) (由高數(shù)二階導(dǎo)數(shù)知識(shí)),例：描述以作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況，并證明其速 度方向沿圓周切線方向，加速度方向指向圓心。,解：如圖建立坐標(biāo)系,A.運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,于是,B.軌道方程,C. 速度,D. 加速度,E. 證明其速度方向沿圓周切線方向,速度方向沿圓周切線方向,F. 加速度方向指向圓心,加速度方向與徑向方向相反，指向圓心,說明：(1).對(duì)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述或分

10、析物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就是給出描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所有參量的表達(dá)式。即：運(yùn)動(dòng)方程、軌道方程、速度、加速度。如P34.例3-4(自己分析),(2).討論矢量方向的通用方法是：證明該矢量的單位矢量與　 一已知矢量的單位矢量的標(biāo)積，從而確定其方向,(3).求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程或軌道方程，一般是首先求出各分量坐　標(biāo)隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式，然后求運(yùn)動(dòng)方程或軌道方程,例：燈距地面的高度為H，身高為h的人在燈下以勻速率v沿水　　平直線行走，如圖3-4所

11、示求：他的頭頂在地面上的影子M點(diǎn)沿地面的移動(dòng)速度。,解 ： 對(duì)矢徑未知的問題,需先建立坐標(biāo)系,找出矢徑再用求導(dǎo)的　　 方法處理。本題中影子M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向向左，故只需建　 立如圖所示的一維(x)坐標(biāo),解得,由三角形MCD與三角形MAB相似,注意到,故影子M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為,例: 質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，加速度和速度的關(guān)系是: a =-kv,式中k為　　常量，t=0時(shí)， x =x 0 ，v =v0 求：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。,完成積分得,

12、解,完成積分就得運(yùn)動(dòng)方程,又由,有,5.向心加速度和切向加速度,(1).自然坐標(biāo)：建立在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡上，以其切向和法向兩個(gè)方向的單位矢量作為其獨(dú)立的坐標(biāo)方向的坐標(biāo)系，稱為自然坐標(biāo)系。自然坐標(biāo)系在描述物體曲線運(yùn)動(dòng)方面有較大優(yōu)越性,(2).法向加速度與切向加速度,故,又,討論 A.物理意義,表沿切線方向速度大小(速率)的變化率，稱切向加速度,表速度方向變化快慢，方向指向圓心，稱向心加速度,C.標(biāo)量、矢量的求導(dǎo)法則 矢量的導(dǎo)數(shù)=矢量

13、大小的導(dǎo)數(shù)+矢量方向的導(dǎo)數(shù) 標(biāo)量的導(dǎo)數(shù)=標(biāo)量大小的導(dǎo)數(shù),例：判斷下列寫法是否正確,——錯(cuò)，應(yīng)是,或,——錯(cuò)，應(yīng)是,因,——錯(cuò)，因,而,顯然,類似地,由an=| at | 得:,解得,(2)由,解：(1)由公式,例：求斜拋體在任一時(shí)刻的法向加速度an 、切向加速度at和軌　　道曲率半徑?(設(shè)初速為v0，仰角為?)。,解：設(shè)坐標(biāo)x、y沿水平和豎直兩個(gè)方向，如圖示?？偧铀俣取　?重力加速度)g是已知的;所以an 、at只是重力加速度g

14、沿　 　　軌道法向和切向的分量,由圖可得：,討論：(1).在軌道的最高點(diǎn)，顯然?=0，vy=0,故該點(diǎn)：an=g, at=0,,(2). 因速率v可由已知公式直接寫出，于是此題也可先求：,例：一質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沿半徑r=3m的圓周運(yùn)動(dòng)，切向加速度　　　at=3m/s。求：　(1)第1s末加速度的大??；(2)經(jīng)多少時(shí)間加速度a與速度v成450,解：(1).由,(2).加速度a與速度v成450，意味著a與an 和at都成450，即表示

15、　　 an= at，于是有： 3t2=3, 求出 t=1s,(二) 描述物體運(yùn)動(dòng)的角參量,1.引入描寫物體運(yùn)動(dòng)角參量的原因,對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)問題，剛體各點(diǎn)線參量不同，用線參量描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)要求對(duì)剛體每點(diǎn)都進(jìn)行描述。而剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角參量卻各點(diǎn)都一樣，使用角參量描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題是方便的。,2.描寫物體運(yùn)動(dòng)的角參量,A.角位移：在t時(shí)間內(nèi)，物體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度，且規(guī)定逆 時(shí)針方向角位移為正，順時(shí)針方向角位移為負(fù)。,B.角速度：某

16、一時(shí)刻t，角位移隨時(shí)間變化的快慢。,說明：角速度是矢量，方向按右手螺旋法則判定(下頁圖)。,C.角加速度：某一時(shí)刻t，角速度隨時(shí)間變化的快慢。,3.角參量與線參量之間的關(guān)系,(1).條件:下述關(guān)系對(duì)圓周運(yùn)動(dòng) 成立,(2).角參量與線參量之間的關(guān)系,A.數(shù)值大小關(guān)系,B.矢量關(guān)系,四 物體勻變速運(yùn)動(dòng)的描述,作為上述運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律的重要應(yīng)用，我們簡單回顧勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律，包括勻變速直線運(yùn)動(dòng)和勻變速圓周運(yùn)動(dòng)。勻變速運(yùn)動(dòng)具有相似的物理規(guī)律，請(qǐng)大家

17、從物理和數(shù)學(xué)角度仔細(xì)體會(huì)下面比較列表。,附表：常見勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述,,勻變速直線運(yùn)動(dòng),勻變速圓周運(yùn)動(dòng),,,,,,狀態(tài)參量,,位置,位移,,,速　度,加速度,,運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述,,勻速運(yùn)動(dòng),,右手螺旋定則,勻變速運(yùn)動(dòng),例 :一半徑R=1m的飛輪，角坐標(biāo)?=2?+12?t-?t3 (SI)求：(1)飛輪邊緣上一點(diǎn)在第1s末的法向加速度和切向加速度； (2)經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈飛輪將停止轉(zhuǎn)動(dòng)？,an=R?2=(12?-3

18、?t2)2 , at=R? =-6?t 代入t=1s, an=81 ?2 , at= -6 ? (SI)(2)停止轉(zhuǎn)動(dòng)條件：?=12?-3?t2=0, 求出：t=2s。 t=0, ?0=2?, 而 t=2s, ?2=18?， 所以轉(zhuǎn)過角度：??=?2-?0=16?=8圈。,解: (1),例: 質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)

19、，角加速度?為常量求：(1).該質(zhì)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)一周又回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間？　　(2).此時(shí)它的加速度的大小是多少？,解：由角加速度?為常量，注意到此處?0=0 ，于是,(2). an=R?2=4? R ?，at=R?。故加速度的大小為：,得,例：質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)從靜止開始沿半徑R=2m的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè) 計(jì)時(shí)起點(diǎn)的角位移為0，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律表述為：?=kt2， k為常數(shù)，已知質(zhì)點(diǎn)在第2s末的線速度為3

20、2m/s求：t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的線速度、加速度、角位移,解：(1).質(zhì)點(diǎn)的線速度,由題意，運(yùn)動(dòng)常數(shù)k應(yīng)是確定的。,(2).質(zhì)點(diǎn)的加速度,質(zhì)點(diǎn)的加速度包含切向加速度和向心加速度,(3).質(zhì)點(diǎn)的角位移,說明：A.熟悉角參量與線參量的關(guān)系，用角參量和線參量對(duì)物 體運(yùn)動(dòng)規(guī)律描述的對(duì)應(yīng)關(guān)系。B.物體作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度包含切向加速度和向心加速度，　　求矢量時(shí)，應(yīng)給出大小、方向。C.運(yùn)動(dòng)學(xué)的應(yīng)用包含兩類問題：一是由運(yùn)動(dòng)學(xué)方

21、程通過求導(dǎo)計(jì)　　算速度、加速度；一是由運(yùn)動(dòng)參量加速度(或速度)通過積　　分計(jì)算運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。(參見書P33~P36),,§1.2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題,內(nèi)容結(jié)構(gòu),一 相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題的提出,二 慣性系下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論,三 慣性系下相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論的應(yīng)用,一 相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題的提出,參照系的選擇是任意的，因此，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的描述問題，不僅在于用同一參照系對(duì)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述，還必須解決用不同參照系對(duì)同一運(yùn)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)描述所得的結(jié)果之間的

22、轉(zhuǎn)化問題(變換問題)。物理規(guī)律在不同坐標(biāo)系之間的變換是任何物理領(lǐng)域中的重要和關(guān)鍵問題。,二 慣性系下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論,慣性系：牛頓定律嚴(yán)格成立的參照系，稱為慣性系。,說明：對(duì)非慣性系，牛頓定律是不成立的，我們現(xiàn)在只限　　　于討論慣性系問題。,1.慣性系,2.慣性系下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論,基本模型：假定參考系S和S’之間只　有相對(duì)平移而無相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，且各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸在運(yùn)動(dòng)中始終保持平行。,上式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),討論：(1).上述理論的適用

23、條件,A.只對(duì)慣性參考系成立,B.建立理論的基礎(chǔ)是宏觀、低速的牛頓時(shí)空觀。,在上述推理過程中，用到兩個(gè)前提假設(shè)：一是認(rèn)為在不同參照系下測得的位矢長度都相同(在k系和k’系測得的rk’相同，否則，就不能應(yīng)用平行四邊形法則——平行四邊形法則只能對(duì)同一參照系適用)。,二是認(rèn)為在不同坐標(biāo)系下測得的時(shí)間都相同(否則就不能在等式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo))。這兩個(gè)前提假設(shè)稱牛頓絕對(duì)時(shí)空觀，相對(duì)論時(shí)空觀則否認(rèn)這兩個(gè)基本假設(shè)。,(2).物理意義,A.

24、絕對(duì)速度(絕對(duì)加速度)——將物體相對(duì)于靜止參考系的速度　(加速度)稱為絕對(duì)速度(絕對(duì)加速度),B.相對(duì)速度(相對(duì)加速度)——將物體相對(duì)于運(yùn)動(dòng)參考系的速度　(加速度)稱為相對(duì)速度(相對(duì)加速度),C.牽連速度——運(yùn)動(dòng)參照系相對(duì)于靜止參考系的速度,于是，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物理意義可以理解為：,絕對(duì)速度=相對(duì)速度+牽連速度,絕對(duì)加速度=相對(duì)加速度+牽連加速度,(3).應(yīng)用方法：A.確定描述對(duì)象，選擇靜止系和運(yùn)動(dòng)參照系　　B.確定絕對(duì)速度，相對(duì)速度

25、，牽連速度　　　C.利用(2)~(4)或物理意義列方程并求解。,例：飛機(jī)羅盤顯示飛機(jī)機(jī)頭以速度215km/h向正東飛行，風(fēng)速 為65km/h，風(fēng)速方向向正北求：(1).飛機(jī)相對(duì)地面的速度　　(2).飛機(jī)欲向正東飛行，機(jī)頭應(yīng)指向什么方位,解：(1).飛機(jī)相對(duì)地面的速度A.選擇描述對(duì)象，確定靜止參照系和運(yùn)動(dòng)參照系　描述對(duì)象：飛機(jī)；靜止系：地面；運(yùn)動(dòng)系：風(fēng)B.確定絕對(duì)速度，相對(duì)速度，牽連速度　V絕=飛機(jī)相對(duì)于地

26、面的速度,V相＝飛機(jī)相對(duì)于風(fēng)的速度=215km/h 正東 V牽=風(fēng)相對(duì)于地面的速度=65km/h　 正北,C.利用公式物理意義列方程并求解。　由　　絕對(duì)速度=相對(duì)速度+牽連速度,飛機(jī)相對(duì)地面的速度為：,(2).飛機(jī)欲向正東飛行，機(jī) 頭應(yīng)指向什么方位,飛機(jī)欲向正東飛行，即飛機(jī)的絕對(duì)速度方向指向正,東，相對(duì)速度、牽連速度不變，則：,討論：討論相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題的關(guān)鍵在于正確確定靜止參照系、　運(yùn)動(dòng)參照系，并準(zhǔn)確確定三種速度，作

27、題時(shí)，一定按上　述步驟求解，否則，很容易出錯(cuò)。,例：當(dāng)自行車向正東方向以5m/s的速度行駛時(shí)，感覺風(fēng)從正北　向正南方向吹，當(dāng)自行車速度增加2倍時(shí)，感覺風(fēng)從北偏東　45０方向吹來求：風(fēng)相對(duì)于地面的速度,解：設(shè)研究對(duì)象為風(fēng)，地面為絕對(duì)系，自行車為相對(duì)參考系。,自行車向正東方向以5m/s的速度行駛時(shí),v絕=風(fēng)相對(duì)于地面的速度(待求)v相=風(fēng)相對(duì)于自行車的速度,v牽=自行車相對(duì)于地的速度,自行車向正東方向以15m/s的速度行駛時(shí),聯(lián)立

28、求解上述四個(gè)方程得：,解：對(duì)于 相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題，首先要正確寫出速度合成定理：,注意：上式是一個(gè)矢量關(guān)系式。求解上式的辦法有兩個(gè)：一是畫出矢量三角形，再解這個(gè)三角形；二是建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，把每個(gè)速度矢量用單位矢量表示出來，用代數(shù)方法求解。(1).矢量三角形法.按速度合成定理畫出的三角形如圖所示。,例： 一人騎自行車以速率v向正西行駛，今有風(fēng)以相同速率從北偏東300方向吹來，試問：人感到的風(fēng)速大小是多少？風(fēng)從哪個(gè)方向吹來？,由

29、于v人對(duì)地=v風(fēng)對(duì)地=v,由圖可求得風(fēng)對(duì)人速度的大小是：,人感到的風(fēng)向是：東偏南300。,大?。?v風(fēng)對(duì)人= v 方向：與x 軸正方向成-300。,(2) 坐標(biāo)法 如圖，由速度合成定理可得：,例：當(dāng)火車靜止時(shí)，乘客發(fā)現(xiàn)雨滴下落方向偏向車頭,偏角300當(dāng)火車以35m/s的速率沿水平直路行駛時(shí)，發(fā)現(xiàn)雨滴下落方向偏向車尾，偏角450,假設(shè)雨滴相對(duì)于地面的速度保持不變求雨滴相對(duì)地的速度的大小。,矢量三角形如圖3-