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1、第7章 FIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì),FIR數(shù)字濾波器是非遞歸型的線性時(shí)不變因果系統(tǒng),這樣的系統(tǒng)的差分方程可以表示為: (7.1),7.1 FIR數(shù)字濾波器的差分方程、沖激響應(yīng)、 系統(tǒng)函數(shù)及其零極點(diǎn),令輸入信號(hào)x(n) =δ(n),代入上式,有: (7.2)于是得到:,又由(7.2)式可知,當(dāng)nN-1時(shí),h(n)=0
2、, 即這個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(n) 是有限長(zhǎng)度的。將ai =h(i)(i=0,1,…,N-1) 代入(7.1)式得到: (7.3),將(7.3)式的兩邊進(jìn)行z變換后,可以得到FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù): (7.4)又由(7.4)式有:,因此,F(xiàn)IR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)都位于z=0處,為N-1階極點(diǎn);而N-
3、1個(gè)零點(diǎn)由沖激響應(yīng)h(n)決定,一般來說,可以位于有限 z 平面的任何位置。由于FIR數(shù)字濾波器的極點(diǎn)都集中在單位園內(nèi)的原點(diǎn)z=0處,與系數(shù)h(n)無關(guān),因此FIR濾波器總是穩(wěn)定的,這是FIR數(shù)字系統(tǒng)的一大優(yōu)點(diǎn)。,FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為: (7.5)所謂線性相位濾波器,就是說此濾波器的相位特性,或者說其頻率響應(yīng)H(ejω) 的幅角θ(ω),是頻率ω的線性函數(shù)。,7.2 線性
4、相位FIR濾波器,7.2.1 恒延時(shí)濾波數(shù)字濾波器的相延時(shí)為 (7.6)數(shù)字濾波器的群延時(shí)為 (7.7)所謂恒延時(shí)濾波就是要求τp(ω) 或τg(ω) 是不隨ω變化的常量。,要使τp(ω) 與τg(ω)都是不隨ω變化的常量,θ(ω) 的圖象必定是一條過原點(diǎn)的直線,即有: θ
5、(ω)= -τω, τ為一常數(shù) (7.8),7.2.2 線性相位FIR濾波器滿足的條件,7.2.2.1 要求恒相延時(shí)與恒群延時(shí)同時(shí)成立,因?yàn)?故有: (7.9),由 (7.8) 式和 (7.9) 式有: 利用三角公式,由上式可以得到:
6、 (7.10),可以證明,當(dāng)滿足: (7.11)以及 0≤n≤N-1 (7.12)時(shí),(7.10) 式成立。這就是說,如果 (7.11) 式和 (7.12) 式滿足,便有:θ(ω)=-τω,是ω的線性函數(shù),而且有 ,即恒相延時(shí)與恒群延時(shí)同時(shí)成立。,(7.
7、12)式說明沖激響應(yīng)h(n)關(guān)于中心點(diǎn)偶對(duì)稱,無論N為偶數(shù)還是奇數(shù),對(duì)稱中心都位于 。,若只要求群延時(shí)τg(ω) 為一常數(shù),則相位特性是一條可以不經(jīng)過原點(diǎn)的直線,即: (7.13)并且有θ0=±π/2(這在下面會(huì)給予解釋),即有 (7.1
8、4),7.2.2.2 只要求恒群延時(shí)成立,由 (7.9) 式和 (7.14) 式可得: 利用三角公式,由上式可以得到: (7.15),可以證明,當(dāng)滿足: (7.16)以及 0≤n≤N-1 (7.17) 時(shí),(7.15) 式成立。這就是說,如果 (7.16) 式和 (7.17) 式滿足,便有
9、 , 是ω的線性函數(shù),而且有τg(ω)=τ,即恒群延時(shí)成立。,(7.17)式說明沖激響應(yīng)h(n) 關(guān)于中心點(diǎn)奇對(duì)稱,無論N為偶數(shù)還是奇數(shù),對(duì)稱中心都位于 。當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)有 。,總的來說,當(dāng)FIR濾波器的沖激響應(yīng)h(n) 偶對(duì)稱或者奇對(duì)稱時(shí),此濾波器的相位特性是線性的,而且群延時(shí)是恒定的,為τ = 。,7.2.3 線性相位FIR濾波器的特性由沖激響應(yīng)h(n)為偶對(duì)稱或者奇
10、對(duì)稱的對(duì)稱條件,可以導(dǎo)出線性相位FIR數(shù)字濾波器的一些特性。 7.2.3.1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)根據(jù)h(n)的對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化FIR濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),詳見下面8.3節(jié)。,7.2.3.2 頻率響應(yīng)FIR濾波器的頻率響應(yīng)為:(7.18)如果FIR濾波器是線性相位的,那末h(n)具有對(duì)稱性,由此可以導(dǎo)出線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特有形式。,1. 偶對(duì)稱 , N為奇數(shù)此時(shí)有h(n)=h(N-1-n)。對(duì)(7.18)式分段求和,得到:
11、,令 ,則上式為:,其中: (7.20)(7.19)式中求和號(hào)部分為實(shí)數(shù),故H(ejω) 的相位為,2. 偶對(duì)稱 , N為偶數(shù)此時(shí)有h(n)=h(N-1-n)。對(duì)(7.18)式分段求和,得到:,于是得到: (7.21)其中: (
12、7.22),3.奇對(duì)稱 , N為奇數(shù)此時(shí)有h(n)= -h(N-1-n)。對(duì)(7.18)式分段求和,得到:,于是得到: (7.23)其中: (7.24),4.奇對(duì)稱 , N為偶數(shù)此時(shí)有 h(n)= -h(N-1-n)。將(7.18)式分段求和,得到:,于是得到:
13、 (7.25)其中: (7.26),上述四種情況有一個(gè)統(tǒng)一的形式,即: (7.27) 其中,H(ω) 是ω的實(shí)函數(shù),是三角函數(shù)的線性組合;因此H(ejω)的相位由θ(ω) 決定,而θ(ω) 是ω的線性函數(shù)。當(dāng)h(n)偶對(duì)
14、稱時(shí), ;當(dāng)h(n) 奇對(duì)稱時(shí), 。,現(xiàn)在可以解釋為什么7.2.2.2節(jié)中的θ0只能夠取 ±π/2了。從上面討論的第3、4種情況我們看到,只要h(n)是奇對(duì)稱的,所推導(dǎo)出的頻率響應(yīng)的表達(dá)式(7.27)中,必然有 ;另外,(7.27)式中的H(ω)可能為負(fù)數(shù),也就是與模值可能相差 -1=e-jπ,因?yàn)椋é?2)-π=-π/2,所以θ0 也可
15、能為 –π/2。 就是說,θ0 只能取±π/2。,另外,幅度函數(shù)H(ω)是三角函數(shù)的線性組合,在四種情況下各有不同的形式,但是,并不是每一種形式都能夠用于低通、高通、帶通、帶阻等各種類型的濾波器。例如,在第4種情況下, ,由于是正弦函數(shù)的線性組合,故顯然當(dāng)ω=0時(shí)有H(ω)=0,也就是說,ω=0不可以在相應(yīng)的濾波器的通帶,因此,這種形式不能夠用于低通和帶阻濾波器。,7.2.3.3 零點(diǎn)
16、分布如果FIR濾波器是線性相位的,則其N-1個(gè)零點(diǎn)在z平面上的分布是有一定的規(guī)律的。對(duì)一線性相位FIR濾波器有: , 0≤n≤N-1 因此有:,令m=N-1-n,則: 也即 (7.28),因此,如果z=zi 是H(z)的零點(diǎn),那末zi-1 也是H(z)的零點(diǎn);此外,由于h(n)為實(shí)序列,故zi* 也
17、是H(z)的零點(diǎn),由此又得出(zi*)-1 也是零點(diǎn)。這四個(gè)零點(diǎn)構(gòu)成了互為倒數(shù)、互為復(fù)共軛對(duì)的四點(diǎn)組。,幾種特殊情況:若 ,則零點(diǎn)為單位圓上的復(fù)共軛對(duì);若zi是不為0的實(shí)數(shù),則零點(diǎn)為實(shí)軸上的倒數(shù)對(duì);若zi= 1或zi= -1,則零點(diǎn)為單點(diǎn)。,7.3 窗口法從本節(jié)開始,討論設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的一些主要方法。注意,F(xiàn)IR數(shù)字濾波器不能夠借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì),而是直接逼近所要求的頻率響應(yīng)。窗口法是設(shè)計(jì)FI
18、R濾波器的重要的基本方法。,7.3.1 窗口法的基本思想用傅里葉反變換可以求得圖7.6所示的理想低通濾波器的沖激響應(yīng):,(7.29),將此無限長(zhǎng)的hd(n)截?cái)嗑偷玫接邢揲L(zhǎng)的沖激響應(yīng)h(n): (7.30),這里已經(jīng)假設(shè)了h(n)的長(zhǎng)度N為奇數(shù)。(7.30)式等價(jià)于: (7.31)其中
19、 (7.32),7.3.2 理論分析 h(n) 是兩個(gè)序列的乘積,故H(ejω) 是這兩個(gè)序列的傅里葉變換的卷積,即: (7.33)其中Hd(ejω) 是hd(n) 的傅里葉變換,也即理想的頻響,而WR(ejω) 是矩形窗wR(n) 的頻譜。,(7.34)WR(ejω)是ω的偶函數(shù)。,圖 7.7
20、 矩形窗的頻譜,由 (7.33) 式有: (7.35)式中積分等于θ由 -ωc到ωc區(qū)間曲線WR[ej(ω-θ)]下的面積,如圖7.8中陰影所示。當(dāng)主瓣的中心ω變化時(shí),此曲線左右移動(dòng),此面積也就發(fā)生變化。,圖 7.8 由 -ωc 到ωc 區(qū)間曲線WR[ej(ω-θ)] 下的面積,當(dāng) ω=0時(shí): 當(dāng)ω逐漸增大,隨著圖中不同正負(fù)、不同大小的旁瓣移出和移入積分區(qū)間,使得H(
21、ejω) 的大小產(chǎn)生波動(dòng)。,當(dāng) : H(ejω) 取最大值,約為1.0895 H(ej0),此處稱為上臂峰,或正肩峰。當(dāng)ω=ωc: 主瓣的中心移到了ωc處, 。當(dāng) :H(ejω) 取最小值,約為 -0.0895 H(ej0),此處稱為下臂峰,或負(fù)肩峰。ω繼續(xù)增大到π,H(ejω) 隨著積分區(qū)間內(nèi)旁瓣的移動(dòng)而在阻帶內(nèi)波動(dòng)。,圖7.9表示了H(ejω)在ω
22、由0到π范圍內(nèi)變化的情況,圖中已經(jīng)假定H(ej0)=1。在 與 之間為過渡帶。,圖 7.9 加矩形窗后的頻響與理想頻響的比較,因此,加窗后所得到的FIR濾波器的頻響H(ejω) 出現(xiàn)了過渡帶、肩峰以及通帶和阻帶內(nèi)的波動(dòng)。與這些特征有關(guān)的因素:1. 過渡帶:正、負(fù)肩峰之間的過渡帶的寬度等于窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度。對(duì)于矩形窗頻譜WR(ejω),此寬度為4π/N。因此,過渡帶寬度與所選窗函數(shù)
23、有關(guān);而對(duì)于一定的窗函數(shù),增加窗口長(zhǎng)度N可以使過渡帶變陡。,2.肩峰及波動(dòng):是由窗函數(shù)頻譜的旁瓣引起的。旁瓣越多,波動(dòng)就越快;旁瓣相對(duì)值越大,波動(dòng)就越厲害,肩峰也越強(qiáng)。因此,肩峰及波動(dòng)與所選窗函數(shù)有關(guān)。長(zhǎng)度N的增加能夠使頻響的波動(dòng)加快,但是不能夠改變肩峰和波動(dòng)的相對(duì)大小。,因此,加窗法設(shè)計(jì)FIR濾波器,h(n) 之長(zhǎng)度也即窗口長(zhǎng)度N可以影響過渡帶的寬度;而所選窗函數(shù)不僅可以影響過渡帶的寬度,還能影響肩峰和波動(dòng)的大小。選擇窗函數(shù)應(yīng)使其頻譜
24、:a)主瓣寬度盡量小,以使濾波器的過渡帶盡量陡;b)旁瓣相對(duì)于主瓣越小越好,這樣可使濾波器頻響的肩峰和波動(dòng)減小。,然而,一般情況是,若選擇的窗口頻譜旁瓣較小,其主瓣就會(huì)較寬,反之亦然。因此,常常要根據(jù)需要進(jìn)行折衷的選擇。,7.3.3 幾種常用窗函數(shù)這里介紹幾種常用窗函數(shù),它們的長(zhǎng)度均設(shè)為N,并且都是因果窗,即定義在0≤n≤N-1區(qū)間,N可以是奇數(shù)或偶數(shù),但w(n)都是偶對(duì)稱的。由7.2.3.2節(jié)可以知道,w(n)的頻譜可表示為:
25、 (7.36)其中幅度函數(shù)W(ω) 是ω的實(shí)函數(shù),而相位函數(shù): (7.37)因此,對(duì)每種窗,只需考察其w(n) 和W(ω) 的表示式。,7.3.3.1 矩形窗(7.32)式已給出以n=0為對(duì)稱中心的非因果矩形窗wR(n)的定義,下面是實(shí)際使用的因果矩形窗: (7.38),這個(gè)矩形窗的對(duì)稱中心在
26、(N-1)/2,它是wR(n)向右移位(N-1)/2的結(jié)果,即有: (7.39)這兩個(gè)窗函數(shù)的頻譜之間的關(guān)系: (7.40),如果序列以n=0為對(duì)稱中心,則其延時(shí)τ= 0,同時(shí)相位函數(shù)θ(ω)=0。因此,對(duì)稱中心也即延時(shí)為0的非因果矩形窗的頻譜是: (7
27、.43)而對(duì)稱中心也即延時(shí)為 的因果矩形窗的頻譜是: (7.44),7.3.3.2 升余弦窗-----漢寧(Hanning)窗 (7.45) (N>>1) (7.46),圖 7.10 升余弦窗的頻譜,從圖7.10中可以看到,由于三部分頻譜的相加,使總的頻譜W(ω)的旁瓣大大抵消,從
28、而使能量有效地集中在主瓣內(nèi),但其代價(jià)是使主瓣與矩形窗相比加寬了一倍。,7.3.3.3 改進(jìn)的升余弦窗——哈明(Hamming)窗對(duì)升余弦窗作一點(diǎn)調(diào)整,得到: (7.47) (7.48)結(jié)果是,99.96% 的能量集中在主瓣內(nèi),而主瓣寬度仍與漢寧窗相同。,顯然,漢寧窗和哈明窗可以統(tǒng)一表示為: (
29、7.49)對(duì)于漢寧窗,α =0.5;對(duì)于哈明窗,α =0.54。,7.3.3.4 二階升余弦窗———布萊克曼(Blackman)窗如果還要進(jìn)一步抑制旁瓣,可以對(duì)升余弦窗再加一個(gè)二次諧波的余弦分量: 而 (7.51),(7.50),以上幾種窗函數(shù)的時(shí)域圖像,除矩形窗之外,都是在對(duì)稱中心 處取最大值,并且向兩邊逐漸減小,而在n=0和n=N-1處取最小值。,
30、7.3.3.5 凱塞(Kaiser)窗這種窗通過調(diào)整一個(gè)參數(shù)來進(jìn)行主瓣寬度與旁瓣衰減之間比重的選擇。凱塞窗利用零階貝塞爾函數(shù)I0(x)構(gòu)成: 0≤n≤N-1 (7.52)w(n)從對(duì)稱中心 向兩邊逐漸減小,β越大,減小越快。,參數(shù)β值越大,其頻譜的旁瓣越小,但主瓣寬度也相應(yīng)增加,因而改變?chǔ)轮稻涂梢栽谥靼陮挾扰c旁瓣衰減之間進(jìn)行選擇。,圖 7.11
31、 Kaiser 窗函數(shù)隨參數(shù)β而變化,以上所討論的五種窗函數(shù)的主要性能歸納于表7.1中,可以看出,從上到下,旁瓣衰減越來越厲害,而主瓣卻越來越寬。不過,哈明窗與漢寧窗的主瓣寬度相同,但是旁瓣衰減特性卻好于漢寧窗。在實(shí)際應(yīng)用中,經(jīng)常采用哈明窗。表7.2則表示凱塞窗在不同β值下的性能。,7.3.4 設(shè)計(jì)方法小結(jié)上面關(guān)于窗口法的基本思想以及理論分析雖然是關(guān)于非因果矩形窗的,但其基本原則和得出的那些結(jié)論對(duì)于采用其它窗、采用因果窗也完全適
32、合。在實(shí)際應(yīng)用中,濾波器的沖激響應(yīng)h(n)都應(yīng)該是因果序列;所加的窗當(dāng)然也是因果窗,并且窗口長(zhǎng)度N既可以是奇數(shù),也可以是偶數(shù)。,線性相位FIR系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(n)是偶對(duì)稱或者奇對(duì)稱的,其頻率響應(yīng)H(ejω)是h(n)的傅里葉變換,并且可以表示為: H(ejω)=H(ω)ejθ(ω) (7.53)不管h(n)是有限長(zhǎng)還是無限長(zhǎng),θ(ω)=-τω只與h(n)的對(duì)稱中心τ有關(guān); 而h
33、(n)是否是無限長(zhǎng)的,只對(duì)應(yīng)著H(ω)是否是理想的矩形函數(shù)。,可以得到用窗口法設(shè)計(jì)線性相位因果FIR數(shù)字濾波器的步驟:1.對(duì)給定的理想的頻率響應(yīng)(比如圖7.6所示)進(jìn)行傅里葉反變換,得到的是一個(gè)以n=0為對(duì)稱中心的無限長(zhǎng)序列,用hd(n)來表示。,2.如果所要求的濾波器沖激響應(yīng)的長(zhǎng)度為N(可以是奇數(shù)或者偶數(shù)),則將hd(n)向右移位 ,于是得到一個(gè)以 為對(duì)稱中心的無限長(zhǎng)序列,用h’(n)來表示,
34、即有h’(n)=hd(n- )。,3.用所選定的窗函數(shù)和所要求的長(zhǎng)度N,對(duì)h’(n)加窗,即有:h(n)=h’(n)w(n)。由于h’(n)和w(n)的對(duì)稱中心都在 ,于是就得到了長(zhǎng)度為N、對(duì)稱中心在 的序列h(n)。,圖7.13 非因果理想濾波器沖激響應(yīng)的移位,有時(shí),理想濾波器的頻率響應(yīng)是這樣給出的: (7.54),對(duì)這一Hd(ejω)直
35、接進(jìn)行傅里葉反變換,就得到了以α為對(duì)稱中心的無限長(zhǎng)序列h’(n)。以低通濾波器為例,有 這里α = τ = 。這樣的做法相當(dāng)于將上面的第1步和第2步合并為一步。,例7.1 用矩形窗設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位因果FIR濾波器,它在0~π區(qū)間的理想頻率響應(yīng)為:,例7.1 用矩形窗設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位因果FIR濾波器,它在0~π區(qū)間的理想頻率響應(yīng)為:,設(shè)所求的FIR濾波器的沖激響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為N,則 。
36、而,h’(n)還可以按照下面的方法求出:,將hd(n)向右移位 ,就得到h’(n): ,與上面得到的結(jié)果相同。這里要特別注意,雖然sin(nπ)=0,但是一定要保留hd(n)中的sin(nπ),這樣,移位后才能得到正確的h’(n)。,例7.2 一個(gè)帶通FIR數(shù)字濾波器的衰減指標(biāo)如圖7.14所示,用窗口法設(shè)計(jì)這個(gè)線性相位因果濾波器。,圖7.14 一個(gè)帶通濾波器的衰減指標(biāo),解:要求阻帶最小衰減為45d
37、B, 查表7.1, 可知應(yīng)該選哈明窗。 過渡帶寬度:Δω1 =ωp1 –ωs1 =0.13π, Δω2 =ωs2 –ωp2 =0.15π, 應(yīng)選較窄的,故 Δω=0.13π。由表7.1, 可知對(duì)于哈明窗,Δω=8π/N, 于是得到: N=8π/(Δω)=8/0.13=61.54, 于是取 N=62。,求截止頻率:,先用傅里葉反變換求得以0為對(duì)稱中心的無限長(zhǎng)序列:,將hd(n)移位: -∞<n<∞對(duì)h’(n
38、)加哈明窗,就得到要求的線性相位因果帶通FIR數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng): h(n)=h’(n)w(n),其中:,7.6 Maltab方法,用Matlab進(jìn)行基于窗函數(shù)的FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),7.6.1,7.6.1.1 常用的窗函數(shù)Matlab中提供了很多常用的窗函數(shù),其中的一些窗函數(shù)的調(diào)用形式為:矩形窗: w = boxcar ( N )漢寧窗: w = hanning ( N )哈明窗: w = hamming (
39、N )布萊克曼窗: w = blackman ( N )凱塞(Kaiser)窗: w = kaiser (N, beta) 其中輸入?yún)?shù)N表示窗口的長(zhǎng)度,返回的變量w是一個(gè)長(zhǎng)度為N的列向量,表示窗函數(shù)在這N點(diǎn)的取值。Beta是控制Kaiser窗形狀的參數(shù)。,Matlab還提供了函數(shù) [M,Wn,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev),以利用Kaiser窗來估計(jì)濾波器階數(shù)M、參數(shù)Beta、截止頻率Wn和需選用的
40、濾波器類型ftype。如果ftype為空,表示濾波器為低通;如果ftype=’high’,濾波器為高通;ftype=’stop’,濾波器為帶阻;ftype=’DC-0’,則表示多帶濾波器第一個(gè)頻帶為阻帶;ftype=’DC-1’,表示多帶濾波器第一個(gè)頻帶為通帶。輸入?yún)?shù)f表示需設(shè)計(jì)的FIR濾波器的頻帶;a表示FIR濾波器在f定義的頻帶中的幅度值,一般對(duì)通帶取值為1,阻帶取值為0;dev表示FIR濾波器在f定義的頻帶內(nèi)的波動(dòng)值。,7.6.
41、1.2 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器1. b=fir1(N,Wn) fir1函數(shù)用來設(shè)計(jì) FIR 濾波器,其中N為濾波器的階數(shù),因此h(n)的長(zhǎng)度為N+1;Wn是截止頻率,其取值在0~1之間,這是以抽樣頻率為基準(zhǔn)頻率的標(biāo)稱值,故1對(duì)應(yīng)抽樣頻率;b對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)好的濾波器的系數(shù)h(n)。若Wn是一標(biāo)量,則用來設(shè)計(jì)低通濾波器;如果Wn是1×2的向量,則可以用來設(shè)計(jì)帶通濾波器;如果Wn是1×L的向量,則可以用來設(shè)計(jì)L通帶
42、濾波器,注意這時(shí)的調(diào)用方式為: b=fir1(N,Wn,’DC-1’) 或 b=fir1(N,Wn,’DC-0’)前者保證第一個(gè)帶為通帶,后者保證第一個(gè)帶為阻帶。,fir1 函數(shù)還有以下多種調(diào)用形式: b = fir1(N,Wn,'ftype') 當(dāng)ftype 中的輸入?yún)?shù)為 ‘high’ 字串,即可用來設(shè)計(jì)高通濾波器;當(dāng)ftype 中的輸入?yún)?shù)為 ‘stop’ 字串,即可用來設(shè)計(jì)帶阻濾波器,此時(shí)Wn
43、是1×2的向量。 b = fir1(N,Wn,window) b = fir1(N,Wn,'ftype',window) 參量 ‘window’ 表示設(shè)計(jì) FIR 濾波器所采用的窗函數(shù)類型,以列向量形式表示。向量window 的長(zhǎng)度必須為 N+1。若 window 缺省,則 fir1 默認(rèn)使用哈明窗。,2. b = fir2(N,f,m)該函數(shù)采用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)具有任意頻率響應(yīng)的FIR數(shù)字濾波
44、器。其中 f是頻率向量,其值在0~1(標(biāo)稱值)之間,1 對(duì)應(yīng)抽樣頻率,其第一個(gè)點(diǎn)必須是 0,最后一個(gè)點(diǎn)必須是 1,而且頻率點(diǎn)必須是遞增的。m 是對(duì)應(yīng)于頻率點(diǎn) f 處的期望的幅頻響應(yīng), f和m的長(zhǎng)度必須相等。 如同fir1函數(shù),b = fir2(n,f,m,window)可以根據(jù)windows的值來選取不同的窗函數(shù),缺省時(shí)自動(dòng)選用哈明窗。fir1和fir2函數(shù)可以用來設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻和通用多帶 FIR 濾波器。,例7.3 利
45、用矩形窗和哈明窗設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器,已知ωc =0.25π,N=10。運(yùn)行結(jié)果如圖7.16所示。,圖7.16 分別加矩形窗和哈明窗后的幅頻響應(yīng)曲線,例7.4 利用窗函數(shù)法完成數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì),并畫出所設(shè)計(jì)的濾波器的幅頻響應(yīng)圖。濾波器的性能指標(biāo)如下:低端阻帶邊界頻率:ωs1=0.2π, 高端阻帶邊界頻率:ωs2=0.8π; 阻帶最小衰減:As=60dB。 低端通帶邊界頻率:ωp1=0.35π, 高端通帶邊界頻
46、率:ωp2=0.65π; 通帶最大衰減:Rp=1dB。,圖7.17 例7.4中帶通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線,解:因?yàn)?As=60dB,所以應(yīng)該選用Blackman窗。程序運(yùn)行結(jié)果如下:M = 75(濾波器階數(shù))Rp =0.0028(實(shí)際通帶波動(dòng))As =75(最小阻帶衰減)從運(yùn)行結(jié)果來看,75 階 Blackman 窗的 FIR 數(shù)字濾波器的實(shí)際阻帶衰減為 75dB,通帶波動(dòng)為 0.0028dB,顯然滿足上面所提的技術(shù)要求,其幅
47、頻響應(yīng)曲線如上圖所示。,例7.5 利用Kaiser窗設(shè)計(jì)一個(gè)滿足下列指標(biāo)的數(shù)字高通濾波器,并畫出幅頻響應(yīng)曲線圖。通帶邊界頻率ωp=0.6π, 阻帶邊界頻率ωs=0.45π, 阻帶波紋δ=0.03。,圖7.18 例7.5的高通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線,7.6.2 用Matlab進(jìn)行等波紋FIR濾波器的設(shè)計(jì)1、b = remez(N,f,a,w,'ftype')它的幾種調(diào)用形式為:(1) b = remez(N,
48、f,a) 用來設(shè)計(jì)一個(gè)N階(h(n)的長(zhǎng)度為 N+1)的FIR 數(shù)字濾波器。f是頻率向量,其單位為π,范圍為 0≤ f ≤1,這些頻率是順序遞增的;數(shù)組 a 對(duì)應(yīng)f中為各指定頻率上理想的幅頻響應(yīng),f 和 a 的長(zhǎng)度必須相等,且為偶數(shù);每個(gè)頻率帶中所用的權(quán)函數(shù)等于 1,這說明在每個(gè)頻率帶中的容限(δi)是相同的。數(shù)組 b 返回濾波器的系數(shù)(即沖激響應(yīng))。,(2) b = remez(N,f,a,w) 數(shù)組 w 是每個(gè)頻率帶的加權(quán)向量,
49、其它參數(shù)與(1)中類似。 (3) b = remez(N,f,a,'ftype') 當(dāng) ftype 是字符串 ‘hilbert’ 或 ‘differentiator’ 時(shí),這個(gè)函數(shù)可以用來設(shè)計(jì)數(shù)字希爾伯特變換器或數(shù)字微分器。,2、[N,fo,ao,w] = remezord(f,a,dev) 該函數(shù)用來確定當(dāng)用切比雪夫最佳一致逼近設(shè)計(jì)FIR 濾波器時(shí)所需要的階數(shù)、歸一化邊界頻率、頻帶幅度以及加權(quán)系數(shù)。輸入?yún)⒘?f
50、是頻率帶邊界頻率,范圍為 0 到 fs/2(抽樣頻率的一半);a 是所期望的幅度值,f 的長(zhǎng)度是 a 的長(zhǎng)度的 2 倍減 2。參數(shù) dev 是每個(gè)頻率帶允許的最大波動(dòng)或誤差。,需要注意的是,在某些情況下,remezord 可能高估或低估濾波器的階數(shù) N,因此,得到濾波器的系數(shù) b 后,必須檢查最小阻帶衰減,并與給定的As 比較,如果濾波器不能滿足技術(shù)指標(biāo)要求,則應(yīng)提高濾波器的階數(shù),例如 N+1、N+2 等。,若設(shè)計(jì)者事先不能確定要設(shè)計(jì)的
51、濾波器的階數(shù),可以調(diào)用remezord 函數(shù),根據(jù)得到的結(jié)果,再利用函數(shù)b = remez(n,fo,ao,w) 來設(shè)計(jì)等波紋逼近的 FIR 濾波器。,例 7.6 設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的等波紋線性相位FIR低通濾波器:,圖7.19 例7.6中等波紋線性相位FIR低通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線,程序生成的輸出數(shù)據(jù)為:,從上面的結(jié)果可以看到,與預(yù)料的一樣,濾波器系數(shù)滿足對(duì)稱約束條件 h(n)=h(N-n),h(n)的長(zhǎng)度是29(階數(shù)N=28),它
52、是一個(gè)線性相位 FIR 濾波器。,例7.7 設(shè)計(jì)滿足例7.4中指標(biāo)的等波紋線性相位FIR帶通濾波器,即濾波器的性能指標(biāo)如下:低端阻帶邊界頻率:ωs1=0.2π, 高端阻帶邊界頻率:ωs2=0.8π; 阻帶最小衰減:As=60dB。低端通帶邊界頻率:ωp1=0.35π, 高端通帶邊界頻率:ωp2=0.65π; 通帶最大衰減:Rp=1dB。,程序生成的輸出數(shù)據(jù)為:,其幅頻響應(yīng)曲線如圖7.20(a)所示。,(a) N =
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