fir數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)

1、第7章 FIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì),FIR數(shù)字濾波器是非遞歸型的線性時(shí)不變因果系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)的差分方程可以表示為： (7.1),7.1 FIR數(shù)字濾波器的差分方程、沖激響應(yīng)、 系統(tǒng)函數(shù)及其零極點(diǎn),令輸入信號(hào)x(n) =δ(n)，代入上式，有： (7.2)于是得到：,又由(7.2)式可知，當(dāng)nN-1時(shí)，h(n)=0

2、, 即這個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(n) 是有限長(zhǎng)度的。將ai =h(i)(i=0,1,…,N-1) 代入(7.1)式得到： (7.3),將(7.3)式的兩邊進(jìn)行z變換后，可以得到FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： (7.4)又由(7.4)式有：,因此，F(xiàn)IR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)都位于z=0處，為N-1階極點(diǎn)；而N-

3、1個(gè)零點(diǎn)由沖激響應(yīng)h(n)決定，一般來說，可以位于有限 z 平面的任何位置。由于FIR數(shù)字濾波器的極點(diǎn)都集中在單位園內(nèi)的原點(diǎn)z=0處，與系數(shù)h(n)無關(guān)，因此FIR濾波器總是穩(wěn)定的，這是FIR數(shù)字系統(tǒng)的一大優(yōu)點(diǎn)。,FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為： (7.5)所謂線性相位濾波器，就是說此濾波器的相位特性，或者說其頻率響應(yīng)H(ejω) 的幅角θ(ω)，是頻率ω的線性函數(shù)。,7.2 線性

4、相位FIR濾波器,7.2.1 恒延時(shí)濾波數(shù)字濾波器的相延時(shí)為 (7.6)數(shù)字濾波器的群延時(shí)為 (7.7)所謂恒延時(shí)濾波就是要求τp(ω) 或τg(ω) 是不隨ω變化的常量。,要使τp(ω) 與τg(ω)都是不隨ω變化的常量，θ(ω) 的圖象必定是一條過原點(diǎn)的直線，即有： θ

5、(ω)= -τω, τ為一常數(shù) (7.8),7.2.2 線性相位FIR濾波器滿足的條件,7.2.2.1 要求恒相延時(shí)與恒群延時(shí)同時(shí)成立,因?yàn)?故有： （7.9）,由 (7.8) 式和 (7.9) 式有： 利用三角公式，由上式可以得到：

6、 （7.10）,可以證明，當(dāng)滿足： (7.11)以及 0≤n≤N-1 (7.12)時(shí)，(7.10) 式成立。這就是說，如果 (7.11) 式和 (7.12) 式滿足，便有：θ(ω)=-τω，是ω的線性函數(shù)，而且有 ，即恒相延時(shí)與恒群延時(shí)同時(shí)成立。,(7.

7、12)式說明沖激響應(yīng)h(n)關(guān)于中心點(diǎn)偶對(duì)稱，無論N為偶數(shù)還是奇數(shù)，對(duì)稱中心都位于 。,若只要求群延時(shí)τg(ω) 為一常數(shù)，則相位特性是一條可以不經(jīng)過原點(diǎn)的直線，即： （7.13）并且有θ0=±π/2（這在下面會(huì)給予解釋），即有 (7.1

8、4),7.2.2.2 只要求恒群延時(shí)成立,由 (7.9) 式和 (7.14) 式可得： 利用三角公式，由上式可以得到： （7.15）,可以證明，當(dāng)滿足: (7.16)以及 0≤n≤N-1 (7.17) 時(shí)，(7.15) 式成立。這就是說，如果 (7.16) 式和 (7.17) 式滿足，便有

9、 , 是ω的線性函數(shù)，而且有τg(ω)=τ，即恒群延時(shí)成立。,(7.17)式說明沖激響應(yīng)h(n) 關(guān)于中心點(diǎn)奇對(duì)稱，無論N為偶數(shù)還是奇數(shù)，對(duì)稱中心都位于 。當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)有 。,總的來說，當(dāng)FIR濾波器的沖激響應(yīng)h(n) 偶對(duì)稱或者奇對(duì)稱時(shí)，此濾波器的相位特性是線性的，而且群延時(shí)是恒定的，為τ = 。,7.2.3 線性相位FIR濾波器的特性由沖激響應(yīng)h(n)為偶對(duì)稱或者奇

10、對(duì)稱的對(duì)稱條件，可以導(dǎo)出線性相位FIR數(shù)字濾波器的一些特性。 7.2.3.1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)根據(jù)h(n)的對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化FIR濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，詳見下面8.3節(jié)。,7.2.3.2 頻率響應(yīng)FIR濾波器的頻率響應(yīng)為:(7.18)如果FIR濾波器是線性相位的，那末h(n)具有對(duì)稱性，由此可以導(dǎo)出線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特有形式。,1. 偶對(duì)稱 ， N為奇數(shù)此時(shí)有h(n)=h(N-1-n)。對(duì)(7.18)式分段求和，得到：

11、,令 ，則上式為：,其中： (7.20)(7.19)式中求和號(hào)部分為實(shí)數(shù)，故H(ejω) 的相位為,2. 偶對(duì)稱 ， N為偶數(shù)此時(shí)有h(n)=h(N-1-n)。對(duì)(7.18)式分段求和，得到：,于是得到： (7.21)其中： (

12、7.22),3．奇對(duì)稱 ， N為奇數(shù)此時(shí)有h(n)= -h(N-1-n)。對(duì)(7.18)式分段求和，得到：,于是得到： (7.23)其中： (7.24),4．奇對(duì)稱 ， N為偶數(shù)此時(shí)有 h(n)= -h(N-1-n)。將(7.18)式分段求和，得到：,于是得到：

13、 (7.25)其中： (7.26),上述四種情況有一個(gè)統(tǒng)一的形式，即： (7.27) 其中，H(ω) 是ω的實(shí)函數(shù)，是三角函數(shù)的線性組合；因此H(ejω)的相位由θ(ω) 決定，而θ(ω) 是ω的線性函數(shù)。當(dāng)h(n)偶對(duì)

14、稱時(shí)， ；當(dāng)h(n) 奇對(duì)稱時(shí)， 。,現(xiàn)在可以解釋為什么7.2.2.2節(jié)中的θ0只能夠取 ±π/2了。從上面討論的第3、4種情況我們看到，只要h(n)是奇對(duì)稱的，所推導(dǎo)出的頻率響應(yīng)的表達(dá)式(7.27)中，必然有 ；另外，(7.27)式中的H(ω)可能為負(fù)數(shù)，也就是與模值可能相差 -1=e-jπ，因?yàn)椋é?2）-π=-π/2，所以θ0 也可

15、能為 –π/2。 就是說，θ0 只能取±π/2。,另外，幅度函數(shù)H(ω)是三角函數(shù)的線性組合，在四種情況下各有不同的形式，但是，并不是每一種形式都能夠用于低通、高通、帶通、帶阻等各種類型的濾波器。例如，在第4種情況下， ，由于是正弦函數(shù)的線性組合，故顯然當(dāng)ω=0時(shí)有H(ω)=0，也就是說，ω=0不可以在相應(yīng)的濾波器的通帶，因此，這種形式不能夠用于低通和帶阻濾波器。,7.2.3.3 零點(diǎn)

16、分布如果FIR濾波器是線性相位的，則其N-1個(gè)零點(diǎn)在z平面上的分布是有一定的規(guī)律的。對(duì)一線性相位FIR濾波器有： ， 0≤n≤N-1 因此有：,令m=N-1-n，則： 也即 (7.28),因此，如果z=zi 是H(z)的零點(diǎn)，那末zi-1 也是H(z)的零點(diǎn)；此外，由于h(n)為實(shí)序列，故zi* 也

17、是H(z)的零點(diǎn)，由此又得出(zi*)-1 也是零點(diǎn)。這四個(gè)零點(diǎn)構(gòu)成了互為倒數(shù)、互為復(fù)共軛對(duì)的四點(diǎn)組。,幾種特殊情況：若 ，則零點(diǎn)為單位圓上的復(fù)共軛對(duì)；若zi是不為0的實(shí)數(shù)，則零點(diǎn)為實(shí)軸上的倒數(shù)對(duì)；若zi= 1或zi= -1，則零點(diǎn)為單點(diǎn)。,7.3 窗口法從本節(jié)開始，討論設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的一些主要方法。注意，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器不能夠借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)，而是直接逼近所要求的頻率響應(yīng)。窗口法是設(shè)計(jì)FI

18、R濾波器的重要的基本方法。,7.3.1 窗口法的基本思想用傅里葉反變換可以求得圖7.6所示的理想低通濾波器的沖激響應(yīng)：,（7.29）,將此無限長(zhǎng)的hd(n)截?cái)嗑偷玫接邢揲L(zhǎng)的沖激響應(yīng)h(n)： (7.30),這里已經(jīng)假設(shè)了h(n)的長(zhǎng)度N為奇數(shù)。(7.30)式等價(jià)于： (7.31)其中

19、 (7.32),7.3.2 理論分析 h(n) 是兩個(gè)序列的乘積，故H(ejω) 是這兩個(gè)序列的傅里葉變換的卷積，即： (7.33)其中Hd(ejω) 是hd(n) 的傅里葉變換，也即理想的頻響，而WR(ejω) 是矩形窗wR(n) 的頻譜。,(7.34)WR(ejω)是ω的偶函數(shù)。,圖 7.7

20、 矩形窗的頻譜,由 (7.33) 式有： （7.35）式中積分等于θ由 -ωc到ωc區(qū)間曲線WR[ej(ω-θ)]下的面積，如圖7.8中陰影所示。當(dāng)主瓣的中心ω變化時(shí)，此曲線左右移動(dòng)，此面積也就發(fā)生變化。,圖 7.8 由 -ωc 到ωc 區(qū)間曲線WR[ej(ω-θ)] 下的面積,當(dāng) ω=0時(shí)： 當(dāng)ω逐漸增大，隨著圖中不同正負(fù)、不同大小的旁瓣移出和移入積分區(qū)間，使得H(

21、ejω) 的大小產(chǎn)生波動(dòng)。,當(dāng) ： H(ejω) 取最大值，約為1.0895 H(ej0)，此處稱為上臂峰，或正肩峰。當(dāng)ω=ωc： 主瓣的中心移到了ωc處， 。當(dāng) ：H(ejω) 取最小值，約為 -0.0895 H(ej0)，此處稱為下臂峰，或負(fù)肩峰。ω繼續(xù)增大到π，H(ejω) 隨著積分區(qū)間內(nèi)旁瓣的移動(dòng)而在阻帶內(nèi)波動(dòng)。,圖7.9表示了H(ejω)在ω

22、由0到π范圍內(nèi)變化的情況，圖中已經(jīng)假定H(ej0)=1。在 與 之間為過渡帶。,圖 7.9 加矩形窗后的頻響與理想頻響的比較,因此，加窗后所得到的FIR濾波器的頻響H(ejω) 出現(xiàn)了過渡帶、肩峰以及通帶和阻帶內(nèi)的波動(dòng)。與這些特征有關(guān)的因素：1. 過渡帶：正、負(fù)肩峰之間的過渡帶的寬度等于窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度。對(duì)于矩形窗頻譜WR(ejω)，此寬度為4π/N。因此，過渡帶寬度與所選窗函數(shù)

23、有關(guān)；而對(duì)于一定的窗函數(shù)，增加窗口長(zhǎng)度N可以使過渡帶變陡。,2．肩峰及波動(dòng)：是由窗函數(shù)頻譜的旁瓣引起的。旁瓣越多，波動(dòng)就越快；旁瓣相對(duì)值越大，波動(dòng)就越厲害，肩峰也越強(qiáng)。因此，肩峰及波動(dòng)與所選窗函數(shù)有關(guān)。長(zhǎng)度N的增加能夠使頻響的波動(dòng)加快，但是不能夠改變肩峰和波動(dòng)的相對(duì)大小。,因此，加窗法設(shè)計(jì)FIR濾波器，h(n) 之長(zhǎng)度也即窗口長(zhǎng)度N可以影響過渡帶的寬度；而所選窗函數(shù)不僅可以影響過渡帶的寬度，還能影響肩峰和波動(dòng)的大小。選擇窗函數(shù)應(yīng)使其頻譜

24、：a）主瓣寬度盡量小，以使濾波器的過渡帶盡量陡；b）旁瓣相對(duì)于主瓣越小越好，這樣可使濾波器頻響的肩峰和波動(dòng)減小。,然而，一般情況是，若選擇的窗口頻譜旁瓣較小，其主瓣就會(huì)較寬，反之亦然。因此，常常要根據(jù)需要進(jìn)行折衷的選擇。,7.3.3 幾種常用窗函數(shù)這里介紹幾種常用窗函數(shù)，它們的長(zhǎng)度均設(shè)為N，并且都是因果窗，即定義在0≤n≤N-1區(qū)間，N可以是奇數(shù)或偶數(shù)，但w(n)都是偶對(duì)稱的。由7.2.3.2節(jié)可以知道，w(n)的頻譜可表示為：

25、 （7.36）其中幅度函數(shù)W(ω) 是ω的實(shí)函數(shù)，而相位函數(shù)： (7.37)因此，對(duì)每種窗，只需考察其w(n) 和W(ω) 的表示式。,7.3.3.1 矩形窗(7.32)式已給出以n=0為對(duì)稱中心的非因果矩形窗wR(n)的定義，下面是實(shí)際使用的因果矩形窗： (7.38),這個(gè)矩形窗的對(duì)稱中心在

26、(N-1)/2，它是wR(n)向右移位(N-1)/2的結(jié)果，即有： (7.39)這兩個(gè)窗函數(shù)的頻譜之間的關(guān)系： (7.40),如果序列以n=0為對(duì)稱中心，則其延時(shí)τ= 0，同時(shí)相位函數(shù)θ(ω)=0。因此，對(duì)稱中心也即延時(shí)為0的非因果矩形窗的頻譜是： (7

27、.43)而對(duì)稱中心也即延時(shí)為 的因果矩形窗的頻譜是： (7.44),7.3.3.2 升余弦窗-----漢寧(Hanning)窗 (7.45) (N>>1) (7.46),圖 7.10 升余弦窗的頻譜,從圖7.10中可以看到，由于三部分頻譜的相加，使總的頻譜W(ω)的旁瓣大大抵消，從

28、而使能量有效地集中在主瓣內(nèi)，但其代價(jià)是使主瓣與矩形窗相比加寬了一倍。,7.3.3.3 改進(jìn)的升余弦窗——哈明(Hamming)窗對(duì)升余弦窗作一點(diǎn)調(diào)整，得到： （7.47） (7.48)結(jié)果是，99.96% 的能量集中在主瓣內(nèi)，而主瓣寬度仍與漢寧窗相同。,顯然，漢寧窗和哈明窗可以統(tǒng)一表示為： (

29、7.49)對(duì)于漢寧窗，α =0.5；對(duì)于哈明窗，α =0.54。,7.3.3.4 二階升余弦窗———布萊克曼(Blackman)窗如果還要進(jìn)一步抑制旁瓣，可以對(duì)升余弦窗再加一個(gè)二次諧波的余弦分量： 而 (7.51),（7.50）,以上幾種窗函數(shù)的時(shí)域圖像，除矩形窗之外，都是在對(duì)稱中心 處取最大值，并且向兩邊逐漸減小，而在n=0和n=N-1處取最小值。,

30、7.3.3.5 凱塞(Kaiser)窗這種窗通過調(diào)整一個(gè)參數(shù)來進(jìn)行主瓣寬度與旁瓣衰減之間比重的選擇。凱塞窗利用零階貝塞爾函數(shù)I0(x)構(gòu)成： 0≤n≤N-1 (7.52)w(n)從對(duì)稱中心 向兩邊逐漸減小，β越大，減小越快。,參數(shù)β值越大，其頻譜的旁瓣越小，但主瓣寬度也相應(yīng)增加，因而改變?chǔ)轮稻涂梢栽谥靼陮挾扰c旁瓣衰減之間進(jìn)行選擇。,圖 7.11

31、 Kaiser 窗函數(shù)隨參數(shù)β而變化,以上所討論的五種窗函數(shù)的主要性能歸納于表7.1中，可以看出，從上到下，旁瓣衰減越來越厲害，而主瓣卻越來越寬。不過，哈明窗與漢寧窗的主瓣寬度相同，但是旁瓣衰減特性卻好于漢寧窗。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常采用哈明窗。表7.2則表示凱塞窗在不同β值下的性能。,7.3.4 設(shè)計(jì)方法小結(jié)上面關(guān)于窗口法的基本思想以及理論分析雖然是關(guān)于非因果矩形窗的，但其基本原則和得出的那些結(jié)論對(duì)于采用其它窗、采用因果窗也完全適

32、合。在實(shí)際應(yīng)用中，濾波器的沖激響應(yīng)h(n)都應(yīng)該是因果序列；所加的窗當(dāng)然也是因果窗，并且窗口長(zhǎng)度N既可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)。,線性相位FIR系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(n)是偶對(duì)稱或者奇對(duì)稱的，其頻率響應(yīng)H(ejω)是h(n)的傅里葉變換，并且可以表示為： H(ejω)=H(ω)ejθ(ω) (7.53)不管h(n)是有限長(zhǎng)還是無限長(zhǎng)，θ(ω)=-τω只與h(n)的對(duì)稱中心τ有關(guān)； 而h

33、(n)是否是無限長(zhǎng)的，只對(duì)應(yīng)著H(ω)是否是理想的矩形函數(shù)。,可以得到用窗口法設(shè)計(jì)線性相位因果FIR數(shù)字濾波器的步驟：1．對(duì)給定的理想的頻率響應(yīng)（比如圖7.6所示）進(jìn)行傅里葉反變換，得到的是一個(gè)以n=0為對(duì)稱中心的無限長(zhǎng)序列，用hd(n)來表示。,2．如果所要求的濾波器沖激響應(yīng)的長(zhǎng)度為N(可以是奇數(shù)或者偶數(shù))，則將hd(n)向右移位 ，于是得到一個(gè)以 為對(duì)稱中心的無限長(zhǎng)序列，用h’(n)來表示，

34、即有h’(n)=hd(n- )。,3．用所選定的窗函數(shù)和所要求的長(zhǎng)度N，對(duì)h’(n)加窗，即有：h(n)=h’(n)w(n)。由于h’(n)和w(n)的對(duì)稱中心都在 ，于是就得到了長(zhǎng)度為N、對(duì)稱中心在 的序列h(n)。,圖7.13 非因果理想濾波器沖激響應(yīng)的移位,有時(shí)，理想濾波器的頻率響應(yīng)是這樣給出的： （7.54）,對(duì)這一Hd(ejω)直

35、接進(jìn)行傅里葉反變換，就得到了以α為對(duì)稱中心的無限長(zhǎng)序列h’(n)。以低通濾波器為例，有 這里α = τ = 。這樣的做法相當(dāng)于將上面的第1步和第2步合并為一步。,例7.1 用矩形窗設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位因果FIR濾波器，它在0～π區(qū)間的理想頻率響應(yīng)為：,例7.1 用矩形窗設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位因果FIR濾波器，它在0～π區(qū)間的理想頻率響應(yīng)為：,設(shè)所求的FIR濾波器的沖激響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為N，則 。

36、而,h’(n)還可以按照下面的方法求出：,將hd(n)向右移位 ，就得到h’(n)： ，與上面得到的結(jié)果相同。這里要特別注意，雖然sin(nπ)=0，但是一定要保留hd(n)中的sin(nπ)，這樣，移位后才能得到正確的h’(n)。,例7.2 一個(gè)帶通FIR數(shù)字濾波器的衰減指標(biāo)如圖7.14所示，用窗口法設(shè)計(jì)這個(gè)線性相位因果濾波器。,圖7.14 一個(gè)帶通濾波器的衰減指標(biāo),解：要求阻帶最小衰減為45d

37、B, 查表7.1, 可知應(yīng)該選哈明窗。 過渡帶寬度：Δω1 =ωp1 –ωs1 =0.13π, Δω2 =ωs2 –ωp2 =0.15π, 應(yīng)選較窄的，故 Δω=0.13π。由表7.1, 可知對(duì)于哈明窗，Δω=8π/N, 于是得到: N=8π/(Δω)=8/0.13=61.54, 于是取 N=62。,求截止頻率：,先用傅里葉反變換求得以0為對(duì)稱中心的無限長(zhǎng)序列：,將hd(n)移位： -∞<n<∞對(duì)h’(n

38、)加哈明窗，就得到要求的線性相位因果帶通FIR數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)： h(n)=h’(n)w(n),其中：,7.6 Maltab方法,用Matlab進(jìn)行基于窗函數(shù)的FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),7.6.1,7.6.1.1 常用的窗函數(shù)Matlab中提供了很多常用的窗函數(shù)，其中的一些窗函數(shù)的調(diào)用形式為：矩形窗： w = boxcar ( N )漢寧窗： w = hanning ( N )哈明窗： w = hamming (

39、N )布萊克曼窗： w = blackman ( N )凱塞（Kaiser）窗： w = kaiser (N, beta) 其中輸入?yún)?shù)N表示窗口的長(zhǎng)度，返回的變量w是一個(gè)長(zhǎng)度為N的列向量，表示窗函數(shù)在這N點(diǎn)的取值。Beta是控制Kaiser窗形狀的參數(shù)。,Matlab還提供了函數(shù) [M,Wn,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev)，以利用Kaiser窗來估計(jì)濾波器階數(shù)M、參數(shù)Beta、截止頻率Wn和需選用的

40、濾波器類型ftype。如果ftype為空，表示濾波器為低通；如果ftype=’high’，濾波器為高通；ftype=’stop’，濾波器為帶阻；ftype=’DC-0’，則表示多帶濾波器第一個(gè)頻帶為阻帶；ftype=’DC-1’，表示多帶濾波器第一個(gè)頻帶為通帶。輸入?yún)?shù)f表示需設(shè)計(jì)的FIR濾波器的頻帶；a表示FIR濾波器在f定義的頻帶中的幅度值，一般對(duì)通帶取值為1，阻帶取值為0；dev表示FIR濾波器在f定義的頻帶內(nèi)的波動(dòng)值。,7.6.

41、1.2 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器1. b=fir1(N,Wn) fir1函數(shù)用來設(shè)計(jì) FIR 濾波器，其中N為濾波器的階數(shù)，因此h(n)的長(zhǎng)度為N+1；Wn是截止頻率，其取值在0～1之間，這是以抽樣頻率為基準(zhǔn)頻率的標(biāo)稱值，故1對(duì)應(yīng)抽樣頻率；b對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)好的濾波器的系數(shù)h(n)。若Wn是一標(biāo)量，則用來設(shè)計(jì)低通濾波器；如果Wn是1×2的向量，則可以用來設(shè)計(jì)帶通濾波器；如果Wn是1×L的向量，則可以用來設(shè)計(jì)L通帶

42、濾波器，注意這時(shí)的調(diào)用方式為： b=fir1(N,Wn,’DC-1’) 或 b=fir1(N,Wn,’DC-0’)前者保證第一個(gè)帶為通帶，后者保證第一個(gè)帶為阻帶。,fir1 函數(shù)還有以下多種調(diào)用形式： b = fir1(N,Wn,'ftype') 當(dāng)ftype 中的輸入?yún)?shù)為 ‘high’ 字串，即可用來設(shè)計(jì)高通濾波器；當(dāng)ftype 中的輸入?yún)?shù)為 ‘stop’ 字串，即可用來設(shè)計(jì)帶阻濾波器，此時(shí)Wn

43、是1×2的向量。 b = fir1(N,Wn,window) b = fir1(N,Wn,'ftype',window) 參量 ‘window’ 表示設(shè)計(jì) FIR 濾波器所采用的窗函數(shù)類型，以列向量形式表示。向量window 的長(zhǎng)度必須為 N+1。若 window 缺省，則 fir1 默認(rèn)使用哈明窗。,2． b = fir2(N,f,m)該函數(shù)采用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)具有任意頻率響應(yīng)的FIR數(shù)字濾波

44、器。其中 f是頻率向量，其值在0～1（標(biāo)稱值）之間，1 對(duì)應(yīng)抽樣頻率，其第一個(gè)點(diǎn)必須是 0，最后一個(gè)點(diǎn)必須是 1，而且頻率點(diǎn)必須是遞增的。m 是對(duì)應(yīng)于頻率點(diǎn) f 處的期望的幅頻響應(yīng)， f和m的長(zhǎng)度必須相等。 如同fir1函數(shù)，b = fir2(n,f,m,window)可以根據(jù)windows的值來選取不同的窗函數(shù)，缺省時(shí)自動(dòng)選用哈明窗。fir1和fir2函數(shù)可以用來設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻和通用多帶 FIR 濾波器。,例7.3 利

45、用矩形窗和哈明窗設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器，已知ωc =0.25π，N=10。運(yùn)行結(jié)果如圖7.16所示。,圖7.16 分別加矩形窗和哈明窗后的幅頻響應(yīng)曲線,例7.4 利用窗函數(shù)法完成數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)，并畫出所設(shè)計(jì)的濾波器的幅頻響應(yīng)圖。濾波器的性能指標(biāo)如下：低端阻帶邊界頻率：ωs1=0.2π, 高端阻帶邊界頻率：ωs2=0.8π； 阻帶最小衰減：As=60dB。 低端通帶邊界頻率：ωp1=0.35π, 高端通帶邊界頻

46、率：ωp2=0.65π； 通帶最大衰減：Rp=1dB。,圖7.17 例7.4中帶通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線,解：因?yàn)?As=60dB，所以應(yīng)該選用Blackman窗。程序運(yùn)行結(jié)果如下：M = 75（濾波器階數(shù)）Rp =0.0028（實(shí)際通帶波動(dòng)）As =75（最小阻帶衰減）從運(yùn)行結(jié)果來看，75 階 Blackman 窗的 FIR 數(shù)字濾波器的實(shí)際阻帶衰減為 75dB，通帶波動(dòng)為 0.0028dB，顯然滿足上面所提的技術(shù)要求，其幅

47、頻響應(yīng)曲線如上圖所示。,例7.5 利用Kaiser窗設(shè)計(jì)一個(gè)滿足下列指標(biāo)的數(shù)字高通濾波器，并畫出幅頻響應(yīng)曲線圖。通帶邊界頻率ωp=0.6π, 阻帶邊界頻率ωs=0.45π， 阻帶波紋δ=0.03。,圖7.18 例7.5的高通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線,7.6.2 用Matlab進(jìn)行等波紋FIR濾波器的設(shè)計(jì)1、b = remez(N,f,a,w,'ftype')它的幾種調(diào)用形式為：（1） b = remez(N,

48、f,a) 用來設(shè)計(jì)一個(gè)N階（h(n)的長(zhǎng)度為 N+1）的FIR 數(shù)字濾波器。f是頻率向量，其單位為π，范圍為 0≤ f ≤1，這些頻率是順序遞增的；數(shù)組 a 對(duì)應(yīng)f中為各指定頻率上理想的幅頻響應(yīng)，f 和 a 的長(zhǎng)度必須相等，且為偶數(shù)；每個(gè)頻率帶中所用的權(quán)函數(shù)等于 1，這說明在每個(gè)頻率帶中的容限（δi）是相同的。數(shù)組 b 返回濾波器的系數(shù)（即沖激響應(yīng)）。,（2） b = remez(N,f,a,w) 數(shù)組 w 是每個(gè)頻率帶的加權(quán)向量，

49、其它參數(shù)與（1）中類似。 （3） b = remez(N,f,a,'ftype') 當(dāng) ftype 是字符串 ‘hilbert’ 或 ‘differentiator’ 時(shí)，這個(gè)函數(shù)可以用來設(shè)計(jì)數(shù)字希爾伯特變換器或數(shù)字微分器。,2、[N,fo,ao,w] = remezord(f,a,dev) 該函數(shù)用來確定當(dāng)用切比雪夫最佳一致逼近設(shè)計(jì)FIR 濾波器時(shí)所需要的階數(shù)、歸一化邊界頻率、頻帶幅度以及加權(quán)系數(shù)。輸入?yún)⒘?f

50、是頻率帶邊界頻率，范圍為 0 到 fs/2（抽樣頻率的一半）；a 是所期望的幅度值，f 的長(zhǎng)度是 a 的長(zhǎng)度的 2 倍減 2。參數(shù) dev 是每個(gè)頻率帶允許的最大波動(dòng)或誤差。,需要注意的是，在某些情況下，remezord 可能高估或低估濾波器的階數(shù) N，因此，得到濾波器的系數(shù) b 后，必須檢查最小阻帶衰減，并與給定的As 比較，如果濾波器不能滿足技術(shù)指標(biāo)要求，則應(yīng)提高濾波器的階數(shù)，例如 N+1、N+2 等。,若設(shè)計(jì)者事先不能確定要設(shè)計(jì)的

51、濾波器的階數(shù)，可以調(diào)用remezord 函數(shù)，根據(jù)得到的結(jié)果，再利用函數(shù)b = remez(n,fo,ao,w) 來設(shè)計(jì)等波紋逼近的 FIR 濾波器。,例 7.6 設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的等波紋線性相位FIR低通濾波器：,圖7.19 例7.6中等波紋線性相位FIR低通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線,程序生成的輸出數(shù)據(jù)為：,從上面的結(jié)果可以看到，與預(yù)料的一樣，濾波器系數(shù)滿足對(duì)稱約束條件 h(n)=h(N-n)，h(n)的長(zhǎng)度是29（階數(shù)N=28），它

52、是一個(gè)線性相位 FIR 濾波器。,例7.7 設(shè)計(jì)滿足例7.4中指標(biāo)的等波紋線性相位FIR帶通濾波器，即濾波器的性能指標(biāo)如下：低端阻帶邊界頻率：ωs1=0.2π, 高端阻帶邊界頻率：ωs2=0.8π； 阻帶最小衰減：As=60dB。低端通帶邊界頻率：ωp1=0.35π, 高端通帶邊界頻率：ωp2=0.65π； 通帶最大衰減：Rp=1dB。,程序生成的輸出數(shù)據(jù)為：,其幅頻響應(yīng)曲線如圖7.20(a)所示。,(a) N =