淺談數(shù)學(xué)歸納法在高考中的應(yīng)用

1、贛南師范學(xué)院2015屆本科生畢業(yè)論文11、數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ)數(shù)學(xué)歸納法，人類(lèi)天才的思維、巧妙的方法、精致的工具，解決無(wú)限的問(wèn)題。它體現(xiàn)的是利用有限解決無(wú)限問(wèn)題的思想，這一思想凝結(jié)了數(shù)學(xué)家們無(wú)限的想象力和創(chuàng)造力，這無(wú)疑形成了數(shù)學(xué)證明中一道絢麗多彩的風(fēng)景線。它的巧妙讓人回味無(wú)窮，這一思想的發(fā)現(xiàn)為后來(lái)數(shù)學(xué)的發(fā)展開(kāi)辟了道路，如用有限維空間代替無(wú)限維空間（多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)）用有限過(guò)程代替無(wú)限過(guò)程（積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)用有限項(xiàng)和

2、答題，導(dǎo)數(shù)用差分代替）。1.11.1數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展歷史數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展歷史自古以來(lái)，人們就會(huì)想到問(wèn)題的推廣，由特殊到一般、由有限到無(wú)限，可人類(lèi)對(duì)無(wú)限的把握不順利。在對(duì)無(wú)窮思考的過(guò)程中，古希臘出現(xiàn)了許多悖論，如芝諾悖論，在數(shù)列中為了確保結(jié)論的正確，則必須考慮無(wú)限。還有生活中一些現(xiàn)象，如烽火的傳遞，鞭炮的燃放等，觸動(dòng)了人類(lèi)的思想。安提豐用圓周內(nèi)接正多邊形無(wú)窮地逼近圓的方法解決化圓為方；劉徽、祖沖之用圓內(nèi)接正多邊形去無(wú)窮地逼迫圓，無(wú)窮的問(wèn)題

3、層出不窮，后來(lái)古希臘歐幾里得對(duì)命題“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的”的證明，通過(guò)了有限去實(shí)現(xiàn)無(wú)限，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)歸納法遞推思想。但要形成數(shù)學(xué)歸納法中明確的遞推，清晰的步驟確是一件不容易的事，作為自覺(jué)運(yùn)用進(jìn)行數(shù)學(xué)證明卻是近代的事。伊本海塞姆（10世紀(jì)末）、凱拉吉（11世紀(jì)上葉）、伊本穆思依姆（12世紀(jì)末）、伊本班納（13世紀(jì)末）等都使用了歸納推理，這表明數(shù)學(xué)歸納法使用較普遍，尤其是凱拉吉利用數(shù)學(xué)歸納法證明22333(1)124nnn???????????

4、這是數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的最早證明。接著法國(guó)數(shù)學(xué)家萊維.本.熱爾松(13世紀(jì)末)用“逐步的無(wú)限遞進(jìn)“，即歸納推理證明有關(guān)整數(shù)命題和排列組合命題。他比伊斯蘭數(shù)學(xué)家更清楚地體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法證明的基礎(chǔ)，遞進(jìn)歸納兩個(gè)步驟。到16世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家毛羅利科對(duì)與全體和全體自然數(shù)有關(guān)的命題的證明作了深入的考察在1575年，毛羅利科證明了21nnaan???其中12312kak?????????????????他利用了逐步推理鑄就了“遞歸推理”的思路，

5、成為了較早找到數(shù)學(xué)歸納中“遞歸推理”的數(shù)學(xué)家，為無(wú)限的把握提供了思維。17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡為數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)明作了巨大貢獻(xiàn)，他首先明確而清晰地闡述數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用程序，并完整地使用數(shù)學(xué)歸納法，證明了他所贛南師范學(xué)院2015屆本科生畢業(yè)論文3證明證明:（1）當(dāng)時(shí)，左邊=1=右邊命題成立1n?（2）假設(shè)時(shí)命題成立，即nk?22333(k1)124kk???????????那么當(dāng)時(shí)，1nk??223333(k1)12(1)(1)4kkk??

6、????????????22(1)(k2)4k???即當(dāng)時(shí)命題也成立，所以原命題成立。1nk??2.22.2第二數(shù)學(xué)歸納法第二數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題如果滿(mǎn)足:()pnn()pn(1)成立；(1)p(2)假設(shè)對(duì)于所有滿(mǎn)足的自然數(shù)成立，則也成立；()pnak?a()pk那么命題對(duì)一切自然數(shù)都成立。()pnn證明:設(shè)又設(shè)(差集)n|()Mpn??成立，nNANM??假設(shè)不空由自然數(shù)的最小數(shù)原理有最小數(shù)AA0a由條件(1)知故1M?0

7、1a?因此又由條件(2)知必有0121aM????01aM??0aM?這與矛盾所以A為空集0aA?從而則命題對(duì)一切自然數(shù)n都成立。MN?()pn第二數(shù)學(xué)歸納法是第一數(shù)學(xué)歸納法的加強(qiáng)，在高考數(shù)學(xué)中不做要求，但是了解此方法很大程度上可以開(kāi)拓一個(gè)學(xué)生的思維，體會(huì)其中的思想奧妙，在一定程度上可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促使學(xué)生去創(chuàng)新，與此同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。2.32.3數(shù)學(xué)歸納法其他類(lèi)型數(shù)學(xué)歸納法其他類(lèi)型（1）跳躍數(shù)學(xué)歸納法①當(dāng)ln321??