10快速傅氏變換和離散小波變換

1、1.10快速傅氏變換和快速傅氏變換和離散小波變換離散小波變換長(zhǎng)期以來(lái)，快速傅氏變換快速傅氏變換(FastFourierTransfm)和離散小波變換離散小波變換(DiscreteWaveletTransfm)在數(shù)字信號(hào)處理、石油勘探、地震預(yù)報(bào)、醫(yī)學(xué)斷層診斷、編碼理論、量子物理及概率論等領(lǐng)域中都得到了廣泛的應(yīng)用。各種快速傅氏變換(FFT)和離散小波變換(DWT)算法不斷出現(xiàn)，成為數(shù)值代數(shù)方面最活躍的一個(gè)研究領(lǐng)域，而其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了算法研究

2、的范圍，進(jìn)而為諸多科技領(lǐng)域的研究打開(kāi)了一個(gè)嶄新的局面。本章分別對(duì)FFT和DWT的基本算法作了簡(jiǎn)單介紹，若需在此方面做進(jìn)一步研究，可參考文獻(xiàn)[2]。1.1快速傅里葉變換快速傅里葉變換FFT離散傅里葉變換是20世紀(jì)60年代是計(jì)算復(fù)雜性研究的主要里程碑之一，1965年Cooley和Tukey所研究的計(jì)算離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DiscreteFourierTest)的快速傅氏變換(FFT)將計(jì)算量從О(n2)下降至О(nlogn)，推進(jìn)

3、了FFT更深層、更廣法的研究與應(yīng)用。FFT算法有很多版本，但大體上可分為兩類：迭代法和遞歸法，本節(jié)僅討論迭代法，遞歸法可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]、[2]。1.1.1串行串行FFT迭代算法迭代算法假定a[0]a[1]…a[n1]為一個(gè)有限長(zhǎng)的輸入序列，b[0]b[1]…b[n1]為離散傅里葉變換的結(jié)果序列，則有：，其中W，實(shí)際上，上式可)1...210(][][10??????nkWkakbnmkmnnine?2?寫(xiě)成矩陣W和向量a的乘積形式：??

4、???????????????????????????????????????????????????????1210)1)(1()1(2)1(0)1(2420121000001210nnnnnnnnaaaawwwwwwwwwwwwwwwwbbbb???????????一般的n階矩陣和n維向量相乘，計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度為n2，但由于W是一種特殊矩陣，故可以降低計(jì)算量。FFT的計(jì)算流圖如圖22.1所示，其串行算法如下：算法算法22.1單處理器上

5、的單處理器上的FFT迭代算法迭代算法輸入：輸入：a=(a0a1…an1)輸出：輸出：b=(b0b1…bn1)Begin(1)fk=0ton1dock=akendf(2)fh=logn1downto0do(2.1)p=2h(2.2)q=np(2.3)z=wq2(1.1)t=2il=2(ilogm)q=nlz=wq2j=j1v=2j開(kāi)始j=0(1.2)if((my_rankmodt)=(my_rankmod2t))then本處理器的數(shù)據(jù)作為

6、變換的前項(xiàng)數(shù)據(jù)(i)tt=my_rankpv(ii)接收由tt號(hào)處理器發(fā)來(lái)的數(shù)據(jù)塊，并將接收的數(shù)據(jù)塊存于c[my_rankmnv]到c[my_rankmnvm]之中(iii)fk=0tom1doc[k]=c[k]c[knv]c[knv]=(c[k]c[knv])z(my_rankmk)modlendf(iv)將存于c[my_rankmnv]到c[my_rankmnvm]之中的數(shù)據(jù)塊發(fā)送到tt號(hào)處理器else本處理器的數(shù)據(jù)作為變換的后項(xiàng)數(shù)

7、據(jù)(v)將存于之中的數(shù)據(jù)塊發(fā)送到my_rankpv號(hào)處理器(vi)接收由my_rankpv號(hào)處理器發(fā)來(lái)的數(shù)據(jù)塊存于c中endifendf(2)fi=logm1downto0do第二階段，第logm1步至第0步各處理器之間不需要通信(2.1)l=2iq=nlz=wq2(2.2)fk=0tom1doif((kmodl)=(kmod2l))thenc[k]=c[k]c[kl]c[kl]=(c[k]c[kl])z(my_rankmk)modle

8、ndifendfendfEnd由于各處理器對(duì)其局部存儲(chǔ)器中的m維子向量做變換計(jì)算，計(jì)算時(shí)間為；點(diǎn)對(duì)nmlog點(diǎn)通信次，每次通信量為m，通信時(shí)間為，因此快速傅里葉變換的plog2pmttwslog)(2?并行計(jì)算時(shí)間為。pmttnmTwsplog)(2log???MPI源程序請(qǐng)參見(jiàn)章末附錄。1.2離散小波變換離散小波變換DWT1.2.1離散小波變換離散小波變換DWT及其串行算法及其串行算法先對(duì)一維小波變換作一簡(jiǎn)單介紹。設(shè)f(x)為一維輸入