原子物理第三章

1、第三章 量子力學(xué)導(dǎo)論,主要內(nèi)容：,2、波粒二象性,3、不確定關(guān)系,4、波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋,5、薛定諤方程,1、玻爾理論的困難,6、量子力學(xué)問題的幾個(gè)簡例,7、量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述,重點(diǎn)：,1、兩個(gè)重要概念：量子化概念及波粒二象性概念,2、一個(gè)重要關(guān)系式：不確定關(guān)系,3、一個(gè)基本原理：態(tài)疊加原理,4、兩個(gè)基本假設(shè)：波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋及薛定諤方程,5、三個(gè)重要實(shí)驗(yàn)： 電子對(duì)晶體的衍射、單縫衍射及雙縫干涉,今天量子力學(xué)的

2、發(fā)展不僅僅在基礎(chǔ)科學(xué)方面，在其他領(lǐng)域也有廣闊的應(yīng)用前景。,量子力學(xué)是關(guān)于微觀世界的基本理論，它能夠正確地描述微觀世界粒子運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，它正確地反映了實(shí)物粒子波粒二象性的客觀事實(shí)。它與某些經(jīng)典物理概念是不相容的，也突破了玻爾理論的局限性。,等等無一不是立足于量子力學(xué)的概念與方法。也可以說，量子物理的科學(xué)已與我們今天的生活息息相關(guān)。,“光電技術(shù)”領(lǐng)域“納米物理與納米技術(shù)”領(lǐng)域“分子器件” 小尺度發(fā)展領(lǐng)域“量子生物”、“量子化學(xué)”交叉

3、學(xué)科領(lǐng)域,量子力學(xué)的建立,1900年，普朗克能量量子化 1905年，愛因斯坦光量子說 1913年，玻爾提出原子結(jié)構(gòu)模型 1924年，德布羅意提出物質(zhì)波概念 1925-1928年，海森堡、玻恩、薛定諤、狄拉克等人建立了完整的量子力學(xué)理論,量子力學(xué)的內(nèi)容,1、產(chǎn)生新概念的一些重要實(shí)驗(yàn)。,2、不同于經(jīng)典理論的新思想。,3、解決具體問題的方法。,§3.1、玻爾理論的困難,原因：將微觀粒子看作經(jīng)典力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)，把經(jīng)典力學(xué)規(guī)律應(yīng)用

4、于微觀粒子。,薛定諤的非難。,盧瑟福的質(zhì)疑。,邏輯上的惡性循環(huán),“遭透的躍遷”,玻爾理論不僅對(duì)這些邏輯上的矛盾和困難束手無策，而且，當(dāng)人們用這一理論去解釋周期表中第二號(hào)元素氦時(shí)，也遇到了無法克服的困難。 對(duì)于更復(fù)雜的原子，則更加暴露玻爾和索末菲理論的不足。就是對(duì)于氫原子，它們也不是十分完善的。例如無法解釋光譜線的強(qiáng)弱，也無法解釋用更加精確的方法測得的“譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)”。,§3.2、波粒二象性,一、經(jīng)典物理中的波和

5、粒子,兩種不同的能量傳播方式，不能同時(shí)使用。,經(jīng)典粒子,完全定域性，可精確確定其質(zhì)量、動(dòng)量和電荷。 可視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，并可根據(jù)牛頓力學(xué)進(jìn)行完全描述。,經(jīng)典的波,是某種實(shí)在的物理量隨空間和時(shí)間作周期性變化，滿足疊加原理，可產(chǎn)生干涉、衍射等現(xiàn)象。具有確定的頻率、波長。 可精確測定頻率和波長，在空間無限擴(kuò)展。,確定的空間位置,,粒子為一質(zhì)點(diǎn),確定波的頻率、波長,,在空間無限擴(kuò)展,波長的測定,拍頻：,觀察一個(gè)拍的時(shí)間：,則,或,可得,又,即

6、,二、光的波粒二象性,1672年，牛頓，光的微粒說,1678年，惠更斯，光的波動(dòng)說,19世紀(jì)末，光是一種電磁波,20世紀(jì)初，光量子,1905年，愛因斯坦,1917年，愛因斯坦,通過h把波動(dòng)性與粒子性聯(lián)系起來！,例1 當(dāng)光投射到物體上時(shí)，將引起光子動(dòng)量的變化，于是物體應(yīng)感受到壓力（光壓）。若激光器以 的時(shí)間寬度的脈沖射出能量 的光束，光束在它垂直的表面上形成直徑

7、 的光斑，表面的反射系數(shù)為 ，求在脈沖時(shí)間內(nèi)此光束對(duì)表面的平均壓強(qiáng)。,解：表面受到的沖力可表示為,表面的壓強(qiáng)為,因?yàn)榉瓷涔庾拥膭?dòng)量改變?yōu)?p，被吸收的光子動(dòng)量的改變?yōu)閜，因此，總的光子動(dòng)量改變?yōu)?這樣可得,這相當(dāng)于表面感受到43個(gè)大氣壓的壓力。,光在傳播時(shí)顯示出波動(dòng)性，而在轉(zhuǎn)移能量時(shí)顯示出粒子性！,—— 康普頓實(shí)驗(yàn)結(jié)論,兩者不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)！,光既不是經(jīng)典意義上的粒子，也不是經(jīng)典意義上的波，是一種兼有波動(dòng)性和粒子性

8、的客觀存在。,1.粒子性,指它與物質(zhì)相互作用的“顆粒性”或“整體性”。,但不是經(jīng)典的粒子！在空間以概率出現(xiàn)。 沒有確定的軌道,應(yīng)摒棄“軌道”的概念！,2. 波動(dòng)性,指它在空間傳播有“可疊加性”，有“干涉”、“衍射”、等現(xiàn)象。,但不是經(jīng)典的波！因?yàn)樗淮韺?shí)在物理量的波動(dòng)。,波粒二象性,三、德布羅意假設(shè),光具有波動(dòng)性和粒子性。那么，實(shí)物粒子，就是那些靜止質(zhì)量不為零的粒子，是否具有波的性質(zhì)呢？,年輕的法國學(xué)者德布羅意（De Brogl

9、ie），當(dāng)時(shí)他在物理界并不知名，在1923年首先提出了這個(gè)問題。,在玻爾理論中，原子中的電子的角動(dòng)量、能量都只能取一些值的整數(shù)倍，如電子軌道的角動(dòng)量 ，他認(rèn)為這種整數(shù)現(xiàn)象是波的特征，如波的衍射現(xiàn)象。,( Louis Victor due de Broglie 1892-1960 ),The Nobel Prize in Physics 1929,發(fā)現(xiàn)電子的波動(dòng)性,在1923年9-10月，德布羅意一連寫了三篇論文

10、，提到所有的物質(zhì)粒子都具有波粒二象性，認(rèn)為任何物體伴隨以波，而且不可能將物體的運(yùn)動(dòng)和波的傳播分開。,對(duì)能量為E，動(dòng)量為p和靜止質(zhì)量為 的粒子。在相對(duì)論情形下,由上面的關(guān)系式可知，粒子速度v增大時(shí)， 則減小 。,若以 表示粒子的動(dòng)能，則,,,,,,當(dāng)粒子速度比光速c小許多時(shí)，為非相對(duì)論情形，由于 ， ，所以有,,人們稱同實(shí)物粒子聯(lián)系著的這種

11、波為德布羅意波，此波長也為德布羅意波長。,普朗克常數(shù)的意義,在普朗克的能量量子說中，h是量子化的度量；而在這里是聯(lián)系物質(zhì)波動(dòng)性和粒子性的橋梁。,量子化和波粒二象性是量子力學(xué)的兩個(gè)最基本的概念，而在這兩個(gè)概念中，都出現(xiàn)了h，說明他們之間有著本質(zhì)的聯(lián)系。,在任何表達(dá)式中，只要出現(xiàn)了h，就必然意味著這一表達(dá)式的量子力學(xué)特征。,1918年普朗克榮獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。他的墓碑上只刻著他的姓名和h = 6.6260755×10－34 J&#

12、183;s。,四、戴維遜-革末實(shí)驗(yàn),德布羅意關(guān)于物質(zhì)波的觀點(diǎn)是否可以用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證呢？實(shí)物粒子的粒子性是由大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)所揭示的。,具有確定的軌跡、能量、動(dòng)量等,,電子是粒子,產(chǎn)生干涉和衍射現(xiàn)象,,具有波動(dòng)性,在各類實(shí)物粒子中，電子的質(zhì)量最小，當(dāng)它低速運(yùn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的波長較長。,戴維遜在1922—1923年期間在貝爾實(shí)驗(yàn)室研究電子和金屬彈性散射的特性，發(fā)現(xiàn)了彈性散射電子的強(qiáng)度隨散射的角度而變化。在德布羅意論文發(fā)表以后，一直到1926年，戴維遜

13、才認(rèn)識(shí)到衍射實(shí)驗(yàn)將能證實(shí)電子波的存在。因而開展了對(duì)一定角度取向的單晶體的彈性散射的研究。,1927年，由戴維遜（Davisson ）和革末（Germer ）合作完成了鎳晶體的電子衍射實(shí)驗(yàn)，對(duì)電子波給出了明確的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。,,考慮一束波入射到原子構(gòu)成的一組平行面上的情況，入射波束與平面之間的夾角是 。如果要在 方向上有強(qiáng)的出射波束，由兩平面衍射的波應(yīng)該有相同的位相，就是說兩束波的波程差應(yīng)該等于波長的整數(shù)倍。,如果兩個(gè)平面的距離是

14、d，波程差是 ，則,對(duì)于晶體的某一組平行面，d是一定的。因此在公式中 和 至少有一個(gè)必須逐漸變化，直到滿足上式，才能得到射出的強(qiáng)波束。,戴維遜在實(shí)驗(yàn)中采用低能電子束，將它們垂直投到晶體表面，如圖所示。他們將經(jīng)過電場加速的電子束射到鎳單晶上，鎳單晶的原子間距是0.215nm，固定 角，通過加速電壓來控制 的變化。,實(shí)驗(yàn)結(jié)果,(1)當(dāng)V不變時(shí)，I與?的關(guān)系如右圖，不同的?，I不同；在有的?上

15、將出現(xiàn)極值。,(2)當(dāng)?不變時(shí)，I與V的關(guān)系如右圖，當(dāng)V改變時(shí)，I亦變；而且隨著V周期性的變化。,電子加速后的動(dòng)能為,因此得到,根據(jù)德布羅意關(guān)系式,因此由加速電壓就可以求得波長。將波長帶入布拉格關(guān)系式中，得,所以上式中右端是一個(gè)常數(shù)的整數(shù)倍。式子表示，當(dāng)V值逐漸變化，其平方根等于一個(gè)常數(shù)的整數(shù)倍時(shí)，接收器收到的電子數(shù)量應(yīng)增加。這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得很好。,另外，實(shí)驗(yàn)中他們測得了散射電子強(qiáng)度隨散射角變化的函數(shù)關(guān)系。例如，當(dāng)加速電壓為54V時(shí)，

16、探測器在散射角 方向上有一個(gè)明顯的峰值。那么通過德布羅意關(guān)系式計(jì)算得出，波長為,再代入到布拉格公式中，得到對(duì)于n=1時(shí)， ，和實(shí)驗(yàn)測量值相符。,同樣也可以通過計(jì)算波長來證明理論與實(shí)驗(yàn)相符。由德布羅意關(guān)系式得出的 ，而由實(shí)驗(yàn)結(jié)果并通過布拉格關(guān)系式得出的波長為 因此這些結(jié)果都證明了電子的波動(dòng)性質(zhì)。,,幾個(gè)月后，湯姆遜（G

17、.P.Thomson）（J.J.Thomson的兒子）用高速電子穿過金屬箔進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，也獲得了電子衍射的圖樣，并證明了測量準(zhǔn)確度范圍內(nèi) 的正確性。,1937年，戴維遜和湯姆遜因電子的衍射現(xiàn)象，證實(shí)了電子波而共同獲得了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。,此后，瓊森(Jonsson)實(shí)驗(yàn)作了大量電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實(shí)驗(yàn)。,基本數(shù)據(jù),電子衍射實(shí)驗(yàn)演示,1993年，Crommie等人用掃描隧道顯微鏡技術(shù)，把蒸發(fā)到銅（111）

18、表面上的鐵原子排列成半徑為7.13nm的圓環(huán)形量子圍欄（quantum corral），在這些鐵原子形成的圓環(huán)內(nèi)，銅的表面態(tài)電子波受到鐵原子的強(qiáng)散射作用，與入射電子波發(fā)生干涉，形成駐波。用實(shí)驗(yàn)觀測到了在圍欄內(nèi)形成的同心圓狀的駐波(“量子圍欄”)，直觀地證實(shí)了電子的波動(dòng)性。,氦原子和氫分子的實(shí)驗(yàn)意義更深刻，它們和電子不同，都是由電子和其它一些粒子組成的復(fù)合體系。原子和分子也具有波動(dòng)性充分表明了波動(dòng)性的普遍存在。實(shí)物粒子的波動(dòng)性已在科學(xué)實(shí)驗(yàn)

19、和技術(shù)中得到了廣泛的應(yīng)用。例如，電子顯微鏡，慢中子衍射技術(shù)等。,后來很多的實(shí)驗(yàn)證實(shí)了，不僅電子，而且質(zhì)子、中子、氦原子、氫分子等都具有波動(dòng)性。而且其波長都符合德布羅意關(guān)系式。,例2、 求動(dòng)能為100eV的電子的德布羅意波長（經(jīng)過100V電壓加速后的電子的德布羅意波長）。,解：電子的靜止質(zhì)量能,它遠(yuǎn)比其動(dòng)能大，所以可以采用非相對(duì)論的公式。,由此可見，當(dāng)動(dòng)能相同時(shí)，質(zhì)量 越大，波長越短，因此，對(duì)于具有相同動(dòng)能的粒子，質(zhì)子的波長比

20、電子的小很多。,例3、 一個(gè)質(zhì)量是0.01kg的小球，以 的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，求它的德布羅意波長。,解：由于小球的速度比光速小得多，則可以采用非相對(duì)論情形，根據(jù)德布羅意關(guān)系式,,小球的動(dòng)量,,因此,,因此，如果要想觀測到小球的德布羅意波，必須采用大小可與波長相比擬的孔徑進(jìn)行干涉、衍射實(shí)驗(yàn)，而在現(xiàn)實(shí)世界中我們無法找到這個(gè)數(shù)量級(jí)的小孔，故無法觀測。,由此可見，德布羅意關(guān)系在宏觀物體上被它的粒子性掩蓋了，它只有在微觀粒子

21、中才顯示出來。,,德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋,1、光的衍射,從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來看：相當(dāng)于光子到達(dá)亮處的幾率要遠(yuǎn)大于光子到達(dá)暗處的幾率。因此可以說，光子在某處附近出現(xiàn)的幾率是與該處波的強(qiáng)度成正比的，而波的強(qiáng)度與波的振幅的平方成正比，所以也可以說，光子在某處附近出現(xiàn)的幾率是與該處的波的振幅的平方成正比的。,根據(jù)光的波動(dòng)性，光是一種電磁波，在衍射圖樣中，亮處波的強(qiáng)度大，暗處波的強(qiáng)度小。而波的強(qiáng)度與振幅的平方成正比，所以衍射圖樣中，亮處的波的振幅的平方大

22、，暗處的波的振幅平方小。,根據(jù)光的粒子性：某處光的強(qiáng)度大，表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)該處的光子數(shù)多；某處光的強(qiáng)度小，表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)該處的光子數(shù)少。,2．德布羅意波統(tǒng)計(jì)解釋,普遍地說，在某處德布羅意波的振幅平方是與粒子在該處出現(xiàn)的幾率成正比的。這就是德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋。,從粒子的觀點(diǎn)看，衍射圖樣的出現(xiàn)，是由于電子不均勻地射向照相底片各處形成的，有些地方電子密集，有些地方電子稀疏，表示電子射到各處的幾率是不同的，電子密集的地方幾率大，電子稀疏

23、的地方幾率小。,從波動(dòng)的觀點(diǎn)來看，電子密集的地方表示波的強(qiáng)度大，電子稀疏的地方表示波的強(qiáng)度小，所以，某處附近電子出現(xiàn)的幾率就反映了在該處德布羅意波的強(qiáng)度。對(duì)電子是如此，對(duì)其它粒子也是如此。,3．德布羅意波與經(jīng)典波的不同,德布羅意波——是對(duì)微觀粒子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)描述，它的振幅的平方表示粒子出現(xiàn)的概率，是概率波（幾率波）。,機(jī)械波、電磁波—— 機(jī)械振動(dòng)或電磁場振動(dòng)等實(shí)際的物理量在空間的傳播。,五、德布羅意波和量子態(tài),六、一個(gè)在剛性匣子中的粒子,

24、必須滿足駐波條件,代入德布羅意關(guān)系式和動(dòng)能公式，得,動(dòng)量和能量都是量子化的！,不存在動(dòng)能為零的能級(jí),禁閉的波必然導(dǎo)出量子化條件,粒子 + 波——能量量子化——量子力學(xué),七、波和非定域性,根據(jù)德布羅意觀點(diǎn)，氫原子實(shí)際上就是一個(gè)德布羅意波被關(guān)在庫侖勢場中的情況。,粒子的動(dòng)能,總能量,最小半徑為,氫原子基態(tài)能量,代入總能量表達(dá)式，得,玻爾-德布羅意原子,§3.3、不確定關(guān)系,在經(jīng)典力學(xué)的概念中，一個(gè)粒子的位置和動(dòng)量是可以同時(shí)精確測定

25、的。,但是，由于微觀粒子還具有波動(dòng)性，它的空間位置需要用幾率波來描述，而幾率波只能給出粒子在各處出現(xiàn)的幾率，所以在任一時(shí)刻粒子不具有確定的位置，與此聯(lián)系，粒子在各時(shí)刻也不具有確定的動(dòng)量。,也就是說，由于波粒二象性，在任意時(shí)刻粒子的位置和動(dòng)量都有一個(gè)不確定量。,The Nobel Prize in Physics 1932,Werner Karl Heisenberg （1901-1976）,創(chuàng)立了量子力學(xué)第一種有效形式—矩陣力學(xué),一、不

26、確定關(guān)系的表述和含義,海森伯在1927年提出，粒子的位置不確定量和在該方向上的動(dòng)量的不確定量有一個(gè)簡單的關(guān)系。,,,粒子在客觀上不能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)位置及相應(yīng)的動(dòng)量！,氫原子中，在第一軌道上運(yùn)動(dòng)的電子,則,以10cm/s速度運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為10g的小球,不確定關(guān)系在微觀世界里成為一個(gè)重要的規(guī)律！,當(dāng) 時(shí)，量子物理就過渡到經(jīng)典物理。,二、不確定關(guān)系的簡單導(dǎo)出,利用上一節(jié)中得到的結(jié)果,為了得到一個(gè)孤立波，必須用很多個(gè)波去疊

27、加。,根據(jù)德布羅意關(guān)系，可得,則,即,如圖所示，一束動(dòng)量為p的電子通過寬為 的單縫后發(fā)生衍射而在屏上形成衍射條紋。,如果說它在縫前的 等于零，在過縫后， 就不再是零了。,忽略次極大，我們可以認(rèn)為電子都落在中央亮紋內(nèi)，因而電子在通過縫時(shí)，運(yùn)動(dòng)方向可以有大到 角的偏轉(zhuǎn)。,利用單縫衍射進(jìn)行推導(dǎo),根據(jù)動(dòng)量矢量的合成，可知一個(gè)電子在通過縫時(shí)在x方向動(dòng)量的分量 的大小為下列不等式所限,這表明，一個(gè)電子通過縫時(shí)在x方向

28、上的動(dòng)量不確定量為,考慮到衍射條紋的次極大，可得,由單縫衍射公式，第一級(jí)暗紋中心的角位置滿足,根據(jù)德布羅意公式，有,即,更嚴(yán)格的理論給出,三、應(yīng)用舉例,1、束縛粒子的最小平均動(dòng)能。,粒子被束縛在r線度內(nèi)，則,根據(jù)不確定關(guān)系，動(dòng)量不確定量最小值為,根據(jù)定義,對(duì)于束縛在空間的粒子，其,則,又，對(duì)于三維空間,所以,任何被束縛在空間的粒子，其最小動(dòng)能都不能為零！,2、電子不能落入核內(nèi)。,隨著r越來越小，電子的動(dòng)量將越來越不確定；平均動(dòng)能將越來越

29、大。,沒有其他的能量來源，因此電子不能靠近原子核，更不能落入核內(nèi)。,3、譜線的自然寬度。,根據(jù)時(shí)間與能量間的不確定關(guān)系，電子處在某一能級(jí)具有一定的壽命 ，則能級(jí)必定存在一定的寬度 ，因此譜線不可能是幾何的線，而具有一定的寬度，這稱為譜線的自然寬度。,例如：,減小碰撞加寬的影響。,4、互補(bǔ)原理。,從哲學(xué)的角度概括了波粒二象性。,1928年玻爾首次提出了互補(bǔ)性觀點(diǎn)，試圖回答當(dāng)時(shí)關(guān)于物理學(xué)研究和一些哲學(xué)問題。其基本思想是

30、，任何事物都有許多不同的側(cè)面，對(duì)于同一研究對(duì)象，一方面承認(rèn)了它的一些側(cè)面就不得不放棄其另一些側(cè)面，在這種意義上它們是“互斥”的；另一方面，那些另一些側(cè)面卻又不可完全廢除的，因?yàn)樵谶m當(dāng)?shù)臈l件下，人們還必須用到它們，在這種意義上說二者又是“互補(bǔ)”的。,按照玻爾的看法，追究既互斥又互補(bǔ)的兩個(gè)方面中哪一個(gè)更“根本”，是毫無意義的；人們只有而且必須把所有的方面連同有關(guān)的條件全都考慮在內(nèi)，才能而且必能得到事物的完備描述。,尤其是在他的晚年，他用這種

31、觀點(diǎn)論述了物理科學(xué)、生物科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和哲學(xué)中的無數(shù)問題，對(duì)西方學(xué)術(shù)界產(chǎn)生了相當(dāng)重要的影響。,玻爾認(rèn)為他的互補(bǔ)原理是一條無限廣闊的哲學(xué)原理。在他看來，為了容納和排比“我們的經(jīng)驗(yàn)”，因果性概念已經(jīng)不敷應(yīng)用了，必須用互補(bǔ)性概念這一“更加寬廣的思維構(gòu)架”來代替它。因此他說，互補(bǔ)性是因果性的“合理推廣”。,四、海森伯不確定關(guān)系,以上得出的不確定關(guān)系是海森伯于1927年提出的，因此常被稱為海森伯不確定關(guān)系。它的根源是波粒二象性。,① 由坐標(biāo)和動(dòng)量

32、的不確定關(guān)系可以說明粒子的位置坐標(biāo)不確定量越小，則同方向上的動(dòng)量不確定量越大；同樣，某方向上動(dòng)量不確定量越小，則此方向上粒子位置的不確定量越大。,② 不確定關(guān)系不是由測量儀器或測量技術(shù)造成的，而是微觀粒子本身的屬性所決定的。,③ 海森伯不確定關(guān)系對(duì)于受激原子體系有非常重要的意義。,④ 這個(gè)關(guān)系式有很重要的實(shí)際用途。在理論上通過計(jì)算不穩(wěn)定狀態(tài)的平均壽命，可以來估計(jì)能量的變化范圍。在實(shí)驗(yàn)上可根據(jù)測得的能譜密度，來估計(jì)不穩(wěn)定狀態(tài)的平均壽命，或

33、根據(jù)測得的粒子壽命，來估算粒子的能量寬度。,例4、 在原子內(nèi)部，可以算出電子的速度應(yīng)在 范圍內(nèi)，否則電子就會(huì)從原子中逸出，求電子的位置不確定量。,,解：由于,由不確定關(guān)系可得,,由此可以看到，位置的不確定性同整個(gè)原子一樣大了。電子在原子中的“軌道”便彌散了，因而必須拋棄軌道概念而代之說明電子在空間的概率分布的電子云圖像。,例5、 一質(zhì)量為 的小球，以速度 運(yùn)動(dòng)

34、，其動(dòng)量測量可精確到千分之一，試確定這個(gè)小球位置的最小不確定量。,解：因?yàn)?由不確定關(guān)系,有,代入題中已知條件得到,因此小球這種宏觀物體，它的波動(dòng)性不會(huì)對(duì)它的“經(jīng)典式”運(yùn)動(dòng)帶來任何實(shí)際的影響。,§3.4、波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋,宏觀系統(tǒng),,決定論、因果律,微觀系統(tǒng),,幾率性、統(tǒng)計(jì)律,從前面的學(xué)習(xí)中，我們了解到，光和微觀粒子的波粒二象性。那么它們究竟是粒子還是波呢？,應(yīng)該說，它既不是“經(jīng)典粒子”，也不是“經(jīng)典的波”。,The Nob

35、el Prize in Physics 1954,創(chuàng)立矩陣力學(xué)，對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,Max. Born ( 1882 ～ 1970 ),經(jīng)典粒子 —— 有一定的質(zhì)量、動(dòng)量、電荷等屬性，可以由牛頓力學(xué)來描述它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；,經(jīng)典波 —— 意味著某種實(shí)際的物理量的空間分布有周期性的變化。,如經(jīng)典電磁理論中的電磁波,很具體地和電場強(qiáng)度在空間的周期性的變化聯(lián)系了起來，它的波幅和電場強(qiáng)度相對(duì)應(yīng)。,在宏觀物理中這些經(jīng)典的概念和理論取得了極大的成功。,

36、那么和物質(zhì)粒子相聯(lián)系的德布羅意波或稱物質(zhì)波的波函數(shù)怎么表示呢？,為了描述這種波粒二象性，1927年波恩（Born）提出，粒子的行為是由幾率波支配的，波的強(qiáng)度代表粒子的出現(xiàn)幾率。也就是說，我們可以選用波函數(shù)來對(duì)微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作數(shù)學(xué)上的描述，它的形式必須使得所描述的物質(zhì)粒子運(yùn)動(dòng)能夠顯示出它的波動(dòng)性。,波粒二象性必然導(dǎo)致事物的統(tǒng)計(jì)解釋；統(tǒng)計(jì)性把波與粒子兩個(gè)截然不同的經(jīng)典概念聯(lián)系了起來。,經(jīng)典力學(xué) ? 位置和速度,量子力學(xué) ? 波函

37、數(shù),一、波粒二象性及幾率概念,自由粒子的波函數(shù),對(duì)于實(shí)物粒子，如果不受外力作用，即是自由粒子，它的動(dòng)量和能量將保持不變。根據(jù)德布羅意波長和愛因斯坦公式,自由粒子的德布羅意波長和頻率是不變的。這是一平面單色波。若用 表示波函數(shù)，則平面單色波可以寫為,其中,稱為波矢，它的方向表示波的傳播方向，與粒子的運(yùn)動(dòng)方向一致。若用復(fù)數(shù)形式可表示為,在量子力學(xué)中常用能量和動(dòng)量為參數(shù)來表示，利用,可以得到,這就是自由粒子的波函數(shù)，它表示一個(gè)振幅恒定，

38、在時(shí)間和空間上無限延展的波。,玻恩對(duì)波函數(shù)的解釋,曾有人設(shè)想，波是基本的，粒子只是許多波組合起來的一個(gè)波包，波包的速度就是粒子的速度，波包的活動(dòng)表現(xiàn)出粒子的性質(zhì)。但是隨后被實(shí)驗(yàn)所否定；另一個(gè)設(shè)想，粒子是基本的，波只是大量粒子分布密度的變化。從雙縫干涉的實(shí)驗(yàn)也可以否定這一點(diǎn)。,首先考慮光的雙縫干涉圖樣。屏幕上某點(diǎn)的強(qiáng)度I表示為,,,另一方面，,為了導(dǎo)出波函數(shù)的解釋，類比光子的情況。,N為光子通量。,雖然單個(gè)光子到達(dá)屏幕什么地方無法預(yù)測，但

39、光子到達(dá)某個(gè)區(qū)域的幾率是確定的，它到達(dá)亮帶的幾率大，到達(dá)暗帶的幾率小，在屏幕上一點(diǎn)的光子通量N，就是該點(diǎn)附近發(fā)現(xiàn)光子幾率的一個(gè)量度。,根據(jù)以上兩式，可知,說明，在某處發(fā)現(xiàn)一個(gè)光子的幾率與光波的電場強(qiáng)度的平方成正比。這就是愛因斯坦早在1917年對(duì)光輻射的量子統(tǒng)計(jì)解釋。,由于電子也產(chǎn)生類似的干涉條紋，幾率大的地方，出現(xiàn)的電子多，形成亮條紋；幾率小的地方，出現(xiàn)的電子少，形成暗條紋。,與愛因斯坦把 解釋為“光子密度的幾率量度”相似，波

40、恩在1927年提出了德布羅意波的統(tǒng)計(jì)意義，認(rèn)為波函數(shù)代表發(fā)現(xiàn)粒子的幾率，這是每個(gè)粒子在它所處環(huán)境中所具有的性質(zhì)。,在某處的粒子的密度與此處發(fā)現(xiàn)一個(gè)粒子的幾率成正比。這樣，某處發(fā)現(xiàn)一個(gè)實(shí)物粒子的幾率同德布羅意波函數(shù)的平方 成正比。,如果 是復(fù)數(shù)， 就用 代替 。我們把在體積 中發(fā)現(xiàn)一個(gè)粒子的幾率表達(dá)為,玻恩把 解釋為給定時(shí)間，在一定空間間隔（單位體積）內(nèi)發(fā)現(xiàn)一個(gè)粒子的幾率，因而

41、稱為幾率密度 。這就是德布羅意波函數(shù)的物理意義。波恩指出“對(duì)應(yīng)空間的一個(gè)狀態(tài)，就有一個(gè)由伴隨這個(gè)狀態(tài)的德布羅意波確定的幾率”，波恩由此獲得了1954年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。,經(jīng)典的波振幅如電場強(qiáng)度E都是可以測量的，而 卻一般不能被測量。,在量子理論中，測量與描述不是一回事。如果硬要說 的物理意義，只能說t時(shí)刻，測量粒子處在 空間中的幾率正比于 。,由此

42、可見，只有 才有測量上的意義，它的含義是幾率。而對(duì)于幾率分布來說，重要的是相對(duì)幾率分布，顯而易見， 和 所描述的相對(duì)幾率分布是完全相同的，而經(jīng)典波不同，若振幅增加了一倍，則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來的4倍，完全代表了不同的波動(dòng)狀態(tài)。,波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件,按照物理上的要求，描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)應(yīng)具備以下條件：,（1）在任何地方的波函數(shù) 必須是單值函數(shù)。,（2）由于幾

43、率不能在某處發(fā)生突變，所以波函數(shù)必須處處連續(xù)。,（3）由于在某處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率不可能無限大，所以波函數(shù) 必須是有限的。,波函數(shù)的單值、連續(xù)和有限通常稱為波函數(shù)必須具備的標(biāo)準(zhǔn)條件。這些標(biāo)準(zhǔn)條件在應(yīng)用量子力學(xué)解實(shí)際問題時(shí)非常有用。,二、雙縫干涉實(shí)驗(yàn)（對(duì)電子波粒二象性的理解）,為了說明波粒二象性的含義，我們從雙縫干涉來進(jìn)行理解。,光的楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)是光的波動(dòng)理論最重要的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)之一，如圖所示。干涉圖樣為,如果在S處換上一

44、架機(jī)關(guān)槍，子彈向兩孔掃射，當(dāng)然小孔的大小剛好能讓子彈透過，按照經(jīng)典理論，我們將得到如圖的結(jié)果。,這里并不存在干涉現(xiàn)象！,如果在S處放一把電子槍，結(jié)果會(huì)怎樣？電子束從S射出，經(jīng)過雙縫到達(dá)屏幕，在屏上記錄到電子強(qiáng)度分布，依照經(jīng)典觀點(diǎn)應(yīng)得到第二種情況的圖像，而實(shí)際上得到的卻類似于第一種情況。,實(shí)驗(yàn)中我們可以做到讓入射的電子流強(qiáng)度很弱，比如讓電子一個(gè)一個(gè)地入射，再重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)，開始屏上得到的分布似乎毫無規(guī)律，時(shí)間長了，我們?nèi)匀坏玫搅穗p縫干涉圖像

45、。因此，大量電子的一次性行為與單個(gè)電子的多次性行為表現(xiàn)出同樣的波動(dòng)性。,弱電子流長時(shí)間“曝光”,強(qiáng)電子流短時(shí)間“曝光”,相同的衍射花樣,,波動(dòng)性是單個(gè)粒子的本征屬性,“一個(gè)電子”就具有的波動(dòng)性，,但一定條件下（如雙縫）， 它在空間某處出現(xiàn)的概率是可以確定的。,盡管單個(gè)電子的去向具有不確定性，,電子波并不是電子間相互作用的結(jié)果。,這些結(jié)果充分表明，干涉圖像的出現(xiàn)體現(xiàn)了微觀粒子的共同特性，它并不是由微觀粒子相互之間作用產(chǎn)生的，而是微觀

46、粒子其個(gè)性的集體表現(xiàn)。,人們在試圖觀察電子如何通過雙縫的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，“觀察效應(yīng)使干涉消失”在原則上無法避免。,總之，粒子的波粒二象性，是指微觀粒子從量子觀點(diǎn)看，它既是粒子，又是波，所謂粒子性是它具有質(zhì)量、能量、動(dòng)量等粒子屬性；所謂波動(dòng)性是指其具有頻率、波長，在一定條件下，可觀察出干涉和衍射。,三、態(tài)的疊加原理,從初態(tài)i到末態(tài)f的躍遷幾率振幅為,則躍遷的幾率為,幾率幅滿足以下幾個(gè)規(guī)則：,規(guī)則三：,規(guī)則四：,獨(dú)立事件的幾率相乘律,四、干涉實(shí)

47、驗(yàn)的解釋,假定電子從初態(tài)S出發(fā)，經(jīng)過兩個(gè)中間態(tài)1、2，最后到達(dá)屏幕上末態(tài)x。,電子在x處被記錄的幾率,如果只打開狹縫1，則,類似地，有,如果雙縫齊開，則,則，幾率為,可見，除了兩個(gè)幾率之和，還多了兩項(xiàng)，正是它們形成了電子從初態(tài)到末態(tài)的幾率幅的干涉項(xiàng)，引起了干涉圖像。,在利用光子進(jìn)行檢查的過程中，首先考慮光子不能檢查出電子的走向時(shí)，即光子的波長較長的情況。,對(duì)電子而言,對(duì)光子而言,1、考慮電子在x處被記錄，光子同時(shí)在D1被記錄時(shí)的幾率幅,

48、過程一：電子通過縫1到達(dá)x，光子在1附近散射到達(dá)D1。,過程二：電子通過縫2到達(dá)x，光子在1附近散射到達(dá)D1。,兩個(gè)過程不可區(qū)分，因此根據(jù)規(guī)則一，得,2、同理，考慮電子在x處被記錄，光子同時(shí)在D2被記錄時(shí)的幾率幅為,綜上所述，根據(jù)規(guī)則二，電子在x處被記錄，同時(shí)光子被記錄的幾率為,經(jīng)過推導(dǎo)，可得在x處電子被記錄的幾率,第二項(xiàng)反映了干涉效應(yīng)。,如果光子能夠檢查出電子的走向，即光子波長需變短，相應(yīng)的 大大減小，當(dāng)其減為零時(shí)，則,干涉圖

49、像消失。,當(dāng) 時(shí)，有,當(dāng)兩過程可區(qū)分程度增加時(shí)，干涉效應(yīng)就逐漸消失。,完全可以區(qū)分,完全不可區(qū)分,電子干涉圖樣的出現(xiàn)是由于幾率幅的線性疊加。當(dāng)雙縫齊開時(shí)，即使對(duì)一個(gè)電子，也要用 去描述它，雙縫確實(shí)同時(shí)在起作用。,在雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，是一個(gè)電子的兩個(gè)態(tài)的疊加，干涉是自己與自己的干涉，決不是兩個(gè)電子的干涉。,物質(zhì)波與經(jīng)典波具有完全不同的意義！,五、評(píng)注,量子物理的基本規(guī)律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而經(jīng)典物理的

50、基本規(guī)律是決定論、嚴(yán)格的因果律。大自然的一切規(guī)律都是統(tǒng)計(jì)性的，經(jīng)典因果律只是統(tǒng)計(jì)規(guī)律的極限。,量子物理與經(jīng)典物理的根本區(qū)別：,經(jīng)典物理中，“幾率”是統(tǒng)計(jì)規(guī)律的關(guān)鍵概念；量子物理中，“幾率幅”才是最核心的概念。,經(jīng)典物理中，統(tǒng)計(jì)規(guī)律只是對(duì)待多粒子體系的一種方法、一種工具、一種權(quán)宜之計(jì)；量子物理中，個(gè)別粒子都體現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)屬性。,§3.5、薛定諤方程,The Nobel Prize in Physics 1933,Erwin Schr

51、odinger (1887～1961),創(chuàng)立了量子力學(xué)另一種有效形式—波動(dòng)力學(xué),1925年在瑞士，德拜（Debye）讓他的學(xué)生薛定諤作一個(gè)關(guān)于德布羅意的學(xué)術(shù)報(bào)告。報(bào)告后，德拜提醒薛定諤“有了波，應(yīng)該有一個(gè)波動(dòng)方程”。薛定諤此前就曾注意到愛因斯坦對(duì)德布羅意假設(shè)的評(píng)價(jià)，此時(shí)又受到了德拜的鼓勵(lì)，于是就努力鉆研。幾個(gè)月后，薛定諤果然提出了一個(gè)波動(dòng)方程，當(dāng)時(shí)誰也沒有想到這個(gè)方程會(huì)變得如此重要，以致成了著名的薛定諤方程。,,,由自由粒子的平面波方程

52、可以寫成,對(duì)x，y，z取二階偏導(dǎo)，得到,把三個(gè)式子相加，得,一、薛定諤方程的建立,其中， 為拉普拉斯算符，定義為,把第一個(gè)式子對(duì)t取一階偏導(dǎo)，得,如果自由粒子的速度比光速小得多，它的能量公式是,兩邊乘以 ，得,把前面的結(jié)果代入上式，得到,,這樣就得到了一個(gè)自由粒子的薛定諤方程。,對(duì)于一個(gè)處在力場中的非自由粒子，它的總能量等于動(dòng)能加勢能,兩邊乘以,所以自由粒子的薛定諤方程可以推廣成,薛定諤波動(dòng)方程揭示了微觀世界中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)

53、律，提供了系統(tǒng)地、定量地處理微觀粒子運(yùn)動(dòng)的理論。,量子力學(xué)中的薛定諤方程，相當(dāng)于經(jīng)典力學(xué)中的牛頓運(yùn)動(dòng)定律，是不能從什么更基本的原理中推出來的，它的正確與否，只能由科學(xué)實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)。,薛定諤方程本身是一種類型的波動(dòng)方程，薛定諤所創(chuàng)建的力學(xué)曾被稱為波動(dòng)力學(xué)，這反映了粒子波動(dòng)性的一面。,薛定諤方程中有虛數(shù)單位i，所以 一般是復(fù)數(shù)形式。表示幾率波， 表示粒子在t時(shí)刻出現(xiàn)的空間某處的幾率，因而薛定諤方程所描述的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律，是一

54、種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,二、定態(tài)薛定諤方程,在玻爾理論中提到的能量不隨時(shí)間變化的狀態(tài)，稱為定態(tài)。,薛定諤方程是一個(gè)偏微分方程，解這種方程時(shí)經(jīng)常采用分離變量的方法。,我們可以把波函數(shù)寫成,代入薛定諤方程，并在兩邊都除以,得到,這樣等式左邊是坐標(biāo)的函數(shù)，右邊是時(shí)間的函數(shù)，彼此無關(guān)。因此等式兩邊都必須等于一個(gè)既不依賴于t也和r無關(guān)的常數(shù)，這樣等式才能成立。,設(shè)常數(shù)為E，于是,其解可以表示為,將上式代入波函數(shù)表達(dá)式，將 并入u，得到,這就是定態(tài)的

55、波函數(shù)形式。,同理，等式左邊也等于同一個(gè)常數(shù)E，于是,u只是坐標(biāo)的函數(shù)，這個(gè)方程不含時(shí)間。這就是定態(tài)的薛定諤方程。,定態(tài)方程解得的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱為定態(tài)。,在上面分離變量的運(yùn)算中加入的常數(shù)E就是粒子的總能量。說明處于定態(tài)的粒子的總能量不隨時(shí)間變化。,幾率密度只取決于u，說明粒子出現(xiàn)在空間的幾率密度分布不隨時(shí)間變化。,只有滿足單值性、有限性和連續(xù)性，這三個(gè)條件的波函數(shù)才能滿足物理上的要求。因此，定態(tài)能量E相應(yīng)的也只能取一些特定的值。,

56、三、應(yīng)用舉例,1、一維無限深勢阱,考慮在一維空間運(yùn)動(dòng)的粒子，其所處的勢場分布為,這種勢場稱為一維無限深勢阱。,由于粒子做一維運(yùn)動(dòng)，所以有 ，又由于勢能 中不顯含時(shí)間，因此用定態(tài)薛定諤方程求解。,因此一維定態(tài)薛定諤方程為,（1）方程的通解,當(dāng) 時(shí)， ，方程為,令,即,得,二階齊次微分方程，它的通解為,式中A、B為兩常數(shù)。,當(dāng)

57、 時(shí)， ，則,其中,設(shè)其特解具有形式,即,代入上式，得到,其通解為,第一項(xiàng)無限大，不符合波函數(shù)條件，舍去；第二項(xiàng)為零，所以 。,說明粒子不可能跑到阱外去，所以波函數(shù)為零。,當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí)，x是負(fù)值，代入有,同理，有 。,所以,（2）常數(shù)的確定及能量量子化,根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，波函數(shù)應(yīng)連續(xù)，即,,,即

58、,當(dāng) 時(shí)，,表明幾率處處恒為0，即不存在粒子，這是不可能的。,因?yàn)榱Ｗ釉谡麄€(gè)空間出現(xiàn)的幾率必定是1，波函數(shù)的歸一化：,所以,則,能量是量子化的！,,（3）討論,能量是量子化的，最低能量 。這是由薛定諤方程加上標(biāo)準(zhǔn)條件自然地導(dǎo)出的，不用再做量子化的假定。這是粒子波動(dòng)性的反映。,粒子在勢壘中的幾率分布是不均勻的，而且有若干幾率為零的點(diǎn) 。,一維無限深勢阱中,粒子的波函數(shù)及幾率,含時(shí)間

59、的波函數(shù) 是一個(gè)駐波，在形式上像一個(gè)兩端固定的弦的駐波振動(dòng)。,2、一維有限深勢阱,該勢阱勢場分布為,第一種情況前面已經(jīng)給出結(jié)果。下面考慮第二種情況，薛定諤方程為,其解為指數(shù)函數(shù)，由波函數(shù)的有限條件得到,粒子有幾率出現(xiàn)在阱外！,由不確定關(guān)系決定了微觀客體永遠(yuǎn)不會(huì)靜止。,微觀客體在有限勢阱中有一定透出的幾率。,由不確定關(guān)系知,對(duì)于無限深勢阱，在阱外 ，,即,相應(yīng)于,對(duì)于有限深勢阱

60、，在阱外假如 有限，,即,相應(yīng)于,3、隧道效應(yīng)（勢壘貫穿）,考慮一個(gè)方勢壘,在經(jīng)典力學(xué)中,若 ,粒子的動(dòng)能為正,它只能在 I區(qū)中運(yùn)動(dòng)。即粒子運(yùn)動(dòng)到勢壘左邊緣就被反射回去，不能穿過勢壘。,但在量子力學(xué)中, 無論粒子能量是大于還是小于 都有一定的幾率穿過勢壘，也有一定的幾率被反射。,三個(gè)區(qū)域中的情況分別為,（1）在區(qū)域I，V=0，則,其解為,（2）在區(qū)域II，V=V0〉E，則,其解為,由此可見，在區(qū)域II

61、I中的波函數(shù)不為零，即粒子有從I區(qū)穿過II區(qū)到達(dá)III區(qū)的可能性。,（3）在區(qū)域III，V=0，則,其解為,其中常數(shù)可由波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件和歸一化條件得到。,定義粒子穿過勢壘的穿透幾率：,可見，勢壘厚度越大，粒子通過的幾率越??；粒子的能量越大，穿透幾率也越大。而且兩者都呈指數(shù)關(guān)系。,例6、試計(jì)算總能量為1eV的電子，穿越高度 ，寬度為 的勢壘的幾率以及當(dāng)粒子

62、為質(zhì)子時(shí)的透射系數(shù)。,解：因?yàn)?所以,對(duì)于電子：電子的質(zhì)量為0.511MeV，所以,則,對(duì)于質(zhì)子：質(zhì)子質(zhì)量為938Mev，則,隧道效應(yīng)已有很多應(yīng)用，在理論方面如對(duì)放射性原子核的 衰變的理論解釋，在技術(shù)上，如電子器件隧道二極管已廣泛使用。利用量子隧道效應(yīng)，可以解釋很多現(xiàn)象。,隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM,由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱悖窃诒砻嬉酝獬手笖?shù)形式衰減，衰

63、減長度約為1nm。,Scanning tunneling microscopy,隧道電流對(duì)針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏。,利用STM可以分辨表面上原子的臺(tái)階、平臺(tái)和原子陣列?？梢灾苯永L出表面的三維圖象,使人類第一次能夠?qū)崟r(shí)地觀測到單個(gè)原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān)的性質(zhì)。在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景。,

64、隧道電流I與樣品和針尖間距離S 的關(guān)系,掃描隧道顯微鏡是1981年由IBM公司的賓尼格（Binning）和羅赫爾（Rohrer）首先研究成功的，他們因此與魯斯卡分享了1986年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。,4、一維諧振子勢阱,簡諧振動(dòng)是物理學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的一類運(yùn)動(dòng)。,粒子受力為,勢能為,則薛定諤方程為,可得能量及波函數(shù)為,,式中， 是厄密（Hermite）多項(xiàng)式，可以按下式計(jì)算,,習(xí)慣上把能級(jí)畫在勢能曲線內(nèi)，這樣一來，能級(jí)橫線的長

65、度就表示了經(jīng)典簡諧振動(dòng)中粒子的活動(dòng)范圍，即等于振幅的兩倍。,簡諧振子的能級(jí),特點(diǎn)：,等間距分布，間距為,具有“零點(diǎn)能”,躍遷只能逐級(jí)進(jìn)行,,§3.6、平均值與算符,經(jīng)典情況,量子力學(xué),如何表示動(dòng)量表象 ？,一、平均值的求法,二、算符的引入,在量子力學(xué)中，算符代表了對(duì)波函數(shù)的一種運(yùn)算。,,即,,,所以動(dòng)量 可以用算符 來表示。,同理，其他分量以及總動(dòng)量平方的算符為,,,,代

66、表位置的r的算符就是r本身，因此，只與坐標(biāo)有關(guān)的V，其算符也就是其本身。,所以代表能量E的算符是,—— 哈密頓算符,哈密頓算符可記為,這個(gè)算符只包含空間變量，不包含時(shí)間。所以將它作用于 ，就得到,這也就是定態(tài)的薛定諤方程。,一般來說，在量子力學(xué)中有關(guān)微觀粒子運(yùn)動(dòng)的每個(gè)力學(xué)量都可用一個(gè)算符來表示。下面列出一些與常見力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符。,① 位矢所對(duì)應(yīng)的算符就是r本身，這表示以r相乘的運(yùn)算。,② 只與坐標(biāo)有關(guān)的勢能 ，其

67、算符就是,③ 動(dòng)量算符：,④ 動(dòng)能算符：,⑤ 能量算符：哈密頓量 ，則,⑥ 角動(dòng)量算符：（見書上P120）,三、本征方程、本征函數(shù)和本征值,如果一個(gè)算符作用到一個(gè)函數(shù)后，等于一個(gè)常數(shù)乘以這個(gè)函數(shù)，則稱這個(gè)方程為該函數(shù)的本征方程。這個(gè)函數(shù)為算符的本征函數(shù)，常數(shù)稱為算符的本征值。,例如，定態(tài)薛定諤方程,該方程稱為本征方程，E稱為哈密頓算符的本征值， 稱為哈密頓算符的本征函數(shù)。,假設(shè)粒子處于某一量子態(tài)

68、 。當(dāng)測量這個(gè)粒子的力學(xué)量時(shí)，往往得不到確定的結(jié)果。但有的力學(xué)量可以。如力學(xué)量 在 態(tài)有數(shù)值A(chǔ)，則稱 是 的本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值是A。這樣必有 。,若一個(gè)本征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)本征函數(shù)，則稱這個(gè)本征函數(shù)所表示的狀態(tài)是非簡并的；否則就是簡并的。,一個(gè)粒子可以有多個(gè)可測的物理量。若某粒子處于力學(xué)量A的本征態(tài)，則測量A時(shí)將得到確定值，若在A的本征態(tài)測量另一個(gè)力學(xué)量B