原子物理第三章

1、第三章 量子力學導論,主要內(nèi)容：,2、波粒二象性,3、不確定關系,4、波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋,5、薛定諤方程,1、玻爾理論的困難,6、量子力學問題的幾個簡例,7、量子力學對氫原子的描述,重點：,1、兩個重要概念：量子化概念及波粒二象性概念,2、一個重要關系式：不確定關系,3、一個基本原理：態(tài)疊加原理,4、兩個基本假設：波函數(shù)的統(tǒng)計解釋及薛定諤方程,5、三個重要實驗： 電子對晶體的衍射、單縫衍射及雙縫干涉,今天量子力學的

2、發(fā)展不僅僅在基礎科學方面，在其他領域也有廣闊的應用前景。,量子力學是關于微觀世界的基本理論，它能夠正確地描述微觀世界粒子運動的基本規(guī)律，它正確地反映了實物粒子波粒二象性的客觀事實。它與某些經(jīng)典物理概念是不相容的，也突破了玻爾理論的局限性。,等等無一不是立足于量子力學的概念與方法。也可以說，量子物理的科學已與我們今天的生活息息相關。,“光電技術”領域“納米物理與納米技術”領域“分子器件” 小尺度發(fā)展領域“量子生物”、“量子化學”交叉

3、學科領域,量子力學的建立,1900年，普朗克能量量子化 1905年，愛因斯坦光量子說 1913年，玻爾提出原子結構模型 1924年，德布羅意提出物質(zhì)波概念 1925-1928年，海森堡、玻恩、薛定諤、狄拉克等人建立了完整的量子力學理論,量子力學的內(nèi)容,1、產(chǎn)生新概念的一些重要實驗。,2、不同于經(jīng)典理論的新思想。,3、解決具體問題的方法。,§3.1、玻爾理論的困難,原因：將微觀粒子看作經(jīng)典力學中的質(zhì)點，把經(jīng)典力學規(guī)律應用

4、于微觀粒子。,薛定諤的非難。,盧瑟福的質(zhì)疑。,邏輯上的惡性循環(huán),“遭透的躍遷”,玻爾理論不僅對這些邏輯上的矛盾和困難束手無策，而且，當人們用這一理論去解釋周期表中第二號元素氦時，也遇到了無法克服的困難。 對于更復雜的原子，則更加暴露玻爾和索末菲理論的不足。就是對于氫原子，它們也不是十分完善的。例如無法解釋光譜線的強弱，也無法解釋用更加精確的方法測得的“譜線的精細結構”。,§3.2、波粒二象性,一、經(jīng)典物理中的波和

5、粒子,兩種不同的能量傳播方式，不能同時使用。,經(jīng)典粒子,完全定域性，可精確確定其質(zhì)量、動量和電荷。 可視為一個質(zhì)點，并可根據(jù)牛頓力學進行完全描述。,經(jīng)典的波,是某種實在的物理量隨空間和時間作周期性變化，滿足疊加原理，可產(chǎn)生干涉、衍射等現(xiàn)象。具有確定的頻率、波長。 可精確測定頻率和波長，在空間無限擴展。,確定的空間位置,,粒子為一質(zhì)點,確定波的頻率、波長,,在空間無限擴展,波長的測定,拍頻：,觀察一個拍的時間：,則,或,可得,又,即

6、,二、光的波粒二象性,1672年，牛頓，光的微粒說,1678年，惠更斯，光的波動說,19世紀末，光是一種電磁波,20世紀初，光量子,1905年，愛因斯坦,1917年，愛因斯坦,通過h把波動性與粒子性聯(lián)系起來！,例1 當光投射到物體上時，將引起光子動量的變化，于是物體應感受到壓力（光壓）。若激光器以 的時間寬度的脈沖射出能量 的光束，光束在它垂直的表面上形成直徑

7、 的光斑，表面的反射系數(shù)為 ，求在脈沖時間內(nèi)此光束對表面的平均壓強。,解：表面受到的沖力可表示為,表面的壓強為,因為反射光子的動量改變?yōu)?p，被吸收的光子動量的改變?yōu)閜，因此，總的光子動量改變?yōu)?這樣可得,這相當于表面感受到43個大氣壓的壓力。,光在傳播時顯示出波動性，而在轉(zhuǎn)移能量時顯示出粒子性！,—— 康普頓實驗結論,兩者不會同時出現(xiàn)！,光既不是經(jīng)典意義上的粒子，也不是經(jīng)典意義上的波，是一種兼有波動性和粒子性

8、的客觀存在。,1.粒子性,指它與物質(zhì)相互作用的“顆粒性”或“整體性”。,但不是經(jīng)典的粒子！在空間以概率出現(xiàn)。 沒有確定的軌道,應摒棄“軌道”的概念！,2. 波動性,指它在空間傳播有“可疊加性”，有“干涉”、“衍射”、等現(xiàn)象。,但不是經(jīng)典的波！因為它不代表實在物理量的波動。,波粒二象性,三、德布羅意假設,光具有波動性和粒子性。那么，實物粒子，就是那些靜止質(zhì)量不為零的粒子，是否具有波的性質(zhì)呢？,年輕的法國學者德布羅意（De Brogl

9、ie），當時他在物理界并不知名，在1923年首先提出了這個問題。,在玻爾理論中，原子中的電子的角動量、能量都只能取一些值的整數(shù)倍，如電子軌道的角動量 ，他認為這種整數(shù)現(xiàn)象是波的特征，如波的衍射現(xiàn)象。,( Louis Victor due de Broglie 1892-1960 ),The Nobel Prize in Physics 1929,發(fā)現(xiàn)電子的波動性,在1923年9-10月，德布羅意一連寫了三篇論文

10、，提到所有的物質(zhì)粒子都具有波粒二象性，認為任何物體伴隨以波，而且不可能將物體的運動和波的傳播分開。,對能量為E，動量為p和靜止質(zhì)量為 的粒子。在相對論情形下,由上面的關系式可知，粒子速度v增大時， 則減小 。,若以 表示粒子的動能，則,,,,,,當粒子速度比光速c小許多時，為非相對論情形，由于 ， ，所以有,,人們稱同實物粒子聯(lián)系著的這種

11、波為德布羅意波，此波長也為德布羅意波長。,普朗克常數(shù)的意義,在普朗克的能量量子說中，h是量子化的度量；而在這里是聯(lián)系物質(zhì)波動性和粒子性的橋梁。,量子化和波粒二象性是量子力學的兩個最基本的概念，而在這兩個概念中，都出現(xiàn)了h，說明他們之間有著本質(zhì)的聯(lián)系。,在任何表達式中，只要出現(xiàn)了h，就必然意味著這一表達式的量子力學特征。,1918年普朗克榮獲諾貝爾物理學獎。他的墓碑上只刻著他的姓名和h = 6.6260755×10－34 J&#

12、183;s。,四、戴維遜-革末實驗,德布羅意關于物質(zhì)波的觀點是否可以用實驗來驗證呢？實物粒子的粒子性是由大量實驗事實所揭示的。,具有確定的軌跡、能量、動量等,,電子是粒子,產(chǎn)生干涉和衍射現(xiàn)象,,具有波動性,在各類實物粒子中，電子的質(zhì)量最小，當它低速運動時，相應的波長較長。,戴維遜在1922—1923年期間在貝爾實驗室研究電子和金屬彈性散射的特性，發(fā)現(xiàn)了彈性散射電子的強度隨散射的角度而變化。在德布羅意論文發(fā)表以后，一直到1926年，戴維遜

13、才認識到衍射實驗將能證實電子波的存在。因而開展了對一定角度取向的單晶體的彈性散射的研究。,1927年，由戴維遜（Davisson ）和革末（Germer ）合作完成了鎳晶體的電子衍射實驗，對電子波給出了明確的實驗驗證。,,考慮一束波入射到原子構成的一組平行面上的情況，入射波束與平面之間的夾角是 。如果要在 方向上有強的出射波束，由兩平面衍射的波應該有相同的位相，就是說兩束波的波程差應該等于波長的整數(shù)倍。,如果兩個平面的距離是

14、d，波程差是 ，則,對于晶體的某一組平行面，d是一定的。因此在公式中 和 至少有一個必須逐漸變化，直到滿足上式，才能得到射出的強波束。,戴維遜在實驗中采用低能電子束，將它們垂直投到晶體表面，如圖所示。他們將經(jīng)過電場加速的電子束射到鎳單晶上，鎳單晶的原子間距是0.215nm，固定 角，通過加速電壓來控制 的變化。,實驗結果,(1)當V不變時，I與?的關系如右圖，不同的?，I不同；在有的?上

15、將出現(xiàn)極值。,(2)當?不變時，I與V的關系如右圖，當V改變時，I亦變；而且隨著V周期性的變化。,電子加速后的動能為,因此得到,根據(jù)德布羅意關系式,因此由加速電壓就可以求得波長。將波長帶入布拉格關系式中，得,所以上式中右端是一個常數(shù)的整數(shù)倍。式子表示，當V值逐漸變化，其平方根等于一個常數(shù)的整數(shù)倍時，接收器收到的電子數(shù)量應增加。這與實驗結果符合得很好。,另外，實驗中他們測得了散射電子強度隨散射角變化的函數(shù)關系。例如，當加速電壓為54V時，

16、探測器在散射角 方向上有一個明顯的峰值。那么通過德布羅意關系式計算得出，波長為,再代入到布拉格公式中，得到對于n=1時， ，和實驗測量值相符。,同樣也可以通過計算波長來證明理論與實驗相符。由德布羅意關系式得出的 ，而由實驗結果并通過布拉格關系式得出的波長為 因此這些結果都證明了電子的波動性質(zhì)。,,幾個月后，湯姆遜（G

17、.P.Thomson）（J.J.Thomson的兒子）用高速電子穿過金屬箔進行實驗，也獲得了電子衍射的圖樣，并證明了測量準確度范圍內(nèi) 的正確性。,1937年，戴維遜和湯姆遜因電子的衍射現(xiàn)象，證實了電子波而共同獲得了諾貝爾物理學獎。,此后，瓊森(Jonsson)實驗作了大量電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實驗。,基本數(shù)據(jù),電子衍射實驗演示,1993年，Crommie等人用掃描隧道顯微鏡技術，把蒸發(fā)到銅（111）

18、表面上的鐵原子排列成半徑為7.13nm的圓環(huán)形量子圍欄（quantum corral），在這些鐵原子形成的圓環(huán)內(nèi)，銅的表面態(tài)電子波受到鐵原子的強散射作用，與入射電子波發(fā)生干涉，形成駐波。用實驗觀測到了在圍欄內(nèi)形成的同心圓狀的駐波(“量子圍欄”)，直觀地證實了電子的波動性。,氦原子和氫分子的實驗意義更深刻，它們和電子不同，都是由電子和其它一些粒子組成的復合體系。原子和分子也具有波動性充分表明了波動性的普遍存在。實物粒子的波動性已在科學實驗

19、和技術中得到了廣泛的應用。例如，電子顯微鏡，慢中子衍射技術等。,后來很多的實驗證實了，不僅電子，而且質(zhì)子、中子、氦原子、氫分子等都具有波動性。而且其波長都符合德布羅意關系式。,例2、 求動能為100eV的電子的德布羅意波長（經(jīng)過100V電壓加速后的電子的德布羅意波長）。,解：電子的靜止質(zhì)量能,它遠比其動能大，所以可以采用非相對論的公式。,由此可見，當動能相同時，質(zhì)量 越大，波長越短，因此，對于具有相同動能的粒子，質(zhì)子的波長比

20、電子的小很多。,例3、 一個質(zhì)量是0.01kg的小球，以 的速度運動時，求它的德布羅意波長。,解：由于小球的速度比光速小得多，則可以采用非相對論情形，根據(jù)德布羅意關系式,,小球的動量,,因此,,因此，如果要想觀測到小球的德布羅意波，必須采用大小可與波長相比擬的孔徑進行干涉、衍射實驗，而在現(xiàn)實世界中我們無法找到這個數(shù)量級的小孔，故無法觀測。,由此可見，德布羅意關系在宏觀物體上被它的粒子性掩蓋了，它只有在微觀粒子

21、中才顯示出來。,,德布羅意波的統(tǒng)計解釋,1、光的衍射,從統(tǒng)計的觀點來看：相當于光子到達亮處的幾率要遠大于光子到達暗處的幾率。因此可以說，光子在某處附近出現(xiàn)的幾率是與該處波的強度成正比的，而波的強度與波的振幅的平方成正比，所以也可以說，光子在某處附近出現(xiàn)的幾率是與該處的波的振幅的平方成正比的。,根據(jù)光的波動性，光是一種電磁波，在衍射圖樣中，亮處波的強度大，暗處波的強度小。而波的強度與振幅的平方成正比，所以衍射圖樣中，亮處的波的振幅的平方大

22、，暗處的波的振幅平方小。,根據(jù)光的粒子性：某處光的強度大，表示單位時間內(nèi)到達該處的光子數(shù)多；某處光的強度小，表示單位時間內(nèi)到達該處的光子數(shù)少。,2．德布羅意波統(tǒng)計解釋,普遍地說，在某處德布羅意波的振幅平方是與粒子在該處出現(xiàn)的幾率成正比的。這就是德布羅意波的統(tǒng)計解釋。,從粒子的觀點看，衍射圖樣的出現(xiàn)，是由于電子不均勻地射向照相底片各處形成的，有些地方電子密集，有些地方電子稀疏，表示電子射到各處的幾率是不同的，電子密集的地方幾率大，電子稀疏

23、的地方幾率小。,從波動的觀點來看，電子密集的地方表示波的強度大，電子稀疏的地方表示波的強度小，所以，某處附近電子出現(xiàn)的幾率就反映了在該處德布羅意波的強度。對電子是如此，對其它粒子也是如此。,3．德布羅意波與經(jīng)典波的不同,德布羅意波——是對微觀粒子運動的統(tǒng)計描述，它的振幅的平方表示粒子出現(xiàn)的概率，是概率波（幾率波）。,機械波、電磁波—— 機械振動或電磁場振動等實際的物理量在空間的傳播。,五、德布羅意波和量子態(tài),六、一個在剛性匣子中的粒子,

24、必須滿足駐波條件,代入德布羅意關系式和動能公式，得,動量和能量都是量子化的！,不存在動能為零的能級,禁閉的波必然導出量子化條件,粒子 + 波——能量量子化——量子力學,七、波和非定域性,根據(jù)德布羅意觀點，氫原子實際上就是一個德布羅意波被關在庫侖勢場中的情況。,粒子的動能,總能量,最小半徑為,氫原子基態(tài)能量,代入總能量表達式，得,玻爾-德布羅意原子,§3.3、不確定關系,在經(jīng)典力學的概念中，一個粒子的位置和動量是可以同時精確測定

25、的。,但是，由于微觀粒子還具有波動性，它的空間位置需要用幾率波來描述，而幾率波只能給出粒子在各處出現(xiàn)的幾率，所以在任一時刻粒子不具有確定的位置，與此聯(lián)系，粒子在各時刻也不具有確定的動量。,也就是說，由于波粒二象性，在任意時刻粒子的位置和動量都有一個不確定量。,The Nobel Prize in Physics 1932,Werner Karl Heisenberg （1901-1976）,創(chuàng)立了量子力學第一種有效形式—矩陣力學,一、不

26、確定關系的表述和含義,海森伯在1927年提出，粒子的位置不確定量和在該方向上的動量的不確定量有一個簡單的關系。,,,粒子在客觀上不能同時具有確定的坐標位置及相應的動量！,氫原子中，在第一軌道上運動的電子,則,以10cm/s速度運動的質(zhì)量為10g的小球,不確定關系在微觀世界里成為一個重要的規(guī)律！,當 時，量子物理就過渡到經(jīng)典物理。,二、不確定關系的簡單導出,利用上一節(jié)中得到的結果,為了得到一個孤立波，必須用很多個波去疊

27、加。,根據(jù)德布羅意關系，可得,則,即,如圖所示，一束動量為p的電子通過寬為 的單縫后發(fā)生衍射而在屏上形成衍射條紋。,如果說它在縫前的 等于零，在過縫后， 就不再是零了。,忽略次極大，我們可以認為電子都落在中央亮紋內(nèi)，因而電子在通過縫時，運動方向可以有大到 角的偏轉(zhuǎn)。,利用單縫衍射進行推導,根據(jù)動量矢量的合成，可知一個電子在通過縫時在x方向動量的分量 的大小為下列不等式所限,這表明，一個電子通過縫時在x方向

28、上的動量不確定量為,考慮到衍射條紋的次極大，可得,由單縫衍射公式，第一級暗紋中心的角位置滿足,根據(jù)德布羅意公式，有,即,更嚴格的理論給出,三、應用舉例,1、束縛粒子的最小平均動能。,粒子被束縛在r線度內(nèi)，則,根據(jù)不確定關系，動量不確定量最小值為,根據(jù)定義,對于束縛在空間的粒子，其,則,又，對于三維空間,所以,任何被束縛在空間的粒子，其最小動能都不能為零！,2、電子不能落入核內(nèi)。,隨著r越來越小，電子的動量將越來越不確定；平均動能將越來越

29、大。,沒有其他的能量來源，因此電子不能靠近原子核，更不能落入核內(nèi)。,3、譜線的自然寬度。,根據(jù)時間與能量間的不確定關系，電子處在某一能級具有一定的壽命 ，則能級必定存在一定的寬度 ，因此譜線不可能是幾何的線，而具有一定的寬度，這稱為譜線的自然寬度。,例如：,減小碰撞加寬的影響。,4、互補原理。,從哲學的角度概括了波粒二象性。,1928年玻爾首次提出了互補性觀點，試圖回答當時關于物理學研究和一些哲學問題。其基本思想是

30、，任何事物都有許多不同的側(cè)面，對于同一研究對象，一方面承認了它的一些側(cè)面就不得不放棄其另一些側(cè)面，在這種意義上它們是“互斥”的；另一方面，那些另一些側(cè)面卻又不可完全廢除的，因為在適當?shù)臈l件下，人們還必須用到它們，在這種意義上說二者又是“互補”的。,按照玻爾的看法，追究既互斥又互補的兩個方面中哪一個更“根本”，是毫無意義的；人們只有而且必須把所有的方面連同有關的條件全都考慮在內(nèi)，才能而且必能得到事物的完備描述。,尤其是在他的晚年，他用這種

31、觀點論述了物理科學、生物科學、社會科學和哲學中的無數(shù)問題，對西方學術界產(chǎn)生了相當重要的影響。,玻爾認為他的互補原理是一條無限廣闊的哲學原理。在他看來，為了容納和排比“我們的經(jīng)驗”，因果性概念已經(jīng)不敷應用了，必須用互補性概念這一“更加寬廣的思維構架”來代替它。因此他說，互補性是因果性的“合理推廣”。,四、海森伯不確定關系,以上得出的不確定關系是海森伯于1927年提出的，因此常被稱為海森伯不確定關系。它的根源是波粒二象性。,① 由坐標和動量

32、的不確定關系可以說明粒子的位置坐標不確定量越小，則同方向上的動量不確定量越大；同樣，某方向上動量不確定量越小，則此方向上粒子位置的不確定量越大。,② 不確定關系不是由測量儀器或測量技術造成的，而是微觀粒子本身的屬性所決定的。,③ 海森伯不確定關系對于受激原子體系有非常重要的意義。,④ 這個關系式有很重要的實際用途。在理論上通過計算不穩(wěn)定狀態(tài)的平均壽命，可以來估計能量的變化范圍。在實驗上可根據(jù)測得的能譜密度，來估計不穩(wěn)定狀態(tài)的平均壽命，或

33、根據(jù)測得的粒子壽命，來估算粒子的能量寬度。,例4、 在原子內(nèi)部，可以算出電子的速度應在 范圍內(nèi)，否則電子就會從原子中逸出，求電子的位置不確定量。,,解：由于,由不確定關系可得,,由此可以看到，位置的不確定性同整個原子一樣大了。電子在原子中的“軌道”便彌散了，因而必須拋棄軌道概念而代之說明電子在空間的概率分布的電子云圖像。,例5、 一質(zhì)量為 的小球，以速度 運動

34、，其動量測量可精確到千分之一，試確定這個小球位置的最小不確定量。,解：因為,由不確定關系,有,代入題中已知條件得到,因此小球這種宏觀物體，它的波動性不會對它的“經(jīng)典式”運動帶來任何實際的影響。,§3.4、波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋,宏觀系統(tǒng),,決定論、因果律,微觀系統(tǒng),,幾率性、統(tǒng)計律,從前面的學習中，我們了解到，光和微觀粒子的波粒二象性。那么它們究竟是粒子還是波呢？,應該說，它既不是“經(jīng)典粒子”，也不是“經(jīng)典的波”。,The Nob

35、el Prize in Physics 1954,創(chuàng)立矩陣力學，對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,Max. Born ( 1882 ～ 1970 ),經(jīng)典粒子 —— 有一定的質(zhì)量、動量、電荷等屬性，可以由牛頓力學來描述它的運動狀態(tài)；,經(jīng)典波 —— 意味著某種實際的物理量的空間分布有周期性的變化。,如經(jīng)典電磁理論中的電磁波,很具體地和電場強度在空間的周期性的變化聯(lián)系了起來，它的波幅和電場強度相對應。,在宏觀物理中這些經(jīng)典的概念和理論取得了極大的成功。,

36、那么和物質(zhì)粒子相聯(lián)系的德布羅意波或稱物質(zhì)波的波函數(shù)怎么表示呢？,為了描述這種波粒二象性，1927年波恩（Born）提出，粒子的行為是由幾率波支配的，波的強度代表粒子的出現(xiàn)幾率。也就是說，我們可以選用波函數(shù)來對微觀粒子的運動狀態(tài)作數(shù)學上的描述，它的形式必須使得所描述的物質(zhì)粒子運動能夠顯示出它的波動性。,波粒二象性必然導致事物的統(tǒng)計解釋；統(tǒng)計性把波與粒子兩個截然不同的經(jīng)典概念聯(lián)系了起來。,經(jīng)典力學 ? 位置和速度,量子力學 ? 波函

37、數(shù),一、波粒二象性及幾率概念,自由粒子的波函數(shù),對于實物粒子，如果不受外力作用，即是自由粒子，它的動量和能量將保持不變。根據(jù)德布羅意波長和愛因斯坦公式,自由粒子的德布羅意波長和頻率是不變的。這是一平面單色波。若用 表示波函數(shù)，則平面單色波可以寫為,其中,稱為波矢，它的方向表示波的傳播方向，與粒子的運動方向一致。若用復數(shù)形式可表示為,在量子力學中常用能量和動量為參數(shù)來表示，利用,可以得到,這就是自由粒子的波函數(shù)，它表示一個振幅恒定，

38、在時間和空間上無限延展的波。,玻恩對波函數(shù)的解釋,曾有人設想，波是基本的，粒子只是許多波組合起來的一個波包，波包的速度就是粒子的速度，波包的活動表現(xiàn)出粒子的性質(zhì)。但是隨后被實驗所否定；另一個設想，粒子是基本的，波只是大量粒子分布密度的變化。從雙縫干涉的實驗也可以否定這一點。,首先考慮光的雙縫干涉圖樣。屏幕上某點的強度I表示為,,,另一方面，,為了導出波函數(shù)的解釋，類比光子的情況。,N為光子通量。,雖然單個光子到達屏幕什么地方無法預測，但

39、光子到達某個區(qū)域的幾率是確定的，它到達亮帶的幾率大，到達暗帶的幾率小，在屏幕上一點的光子通量N，就是該點附近發(fā)現(xiàn)光子幾率的一個量度。,根據(jù)以上兩式，可知,說明，在某處發(fā)現(xiàn)一個光子的幾率與光波的電場強度的平方成正比。這就是愛因斯坦早在1917年對光輻射的量子統(tǒng)計解釋。,由于電子也產(chǎn)生類似的干涉條紋，幾率大的地方，出現(xiàn)的電子多，形成亮條紋；幾率小的地方，出現(xiàn)的電子少，形成暗條紋。,與愛因斯坦把 解釋為“光子密度的幾率量度”相似，波

40、恩在1927年提出了德布羅意波的統(tǒng)計意義，認為波函數(shù)代表發(fā)現(xiàn)粒子的幾率，這是每個粒子在它所處環(huán)境中所具有的性質(zhì)。,在某處的粒子的密度與此處發(fā)現(xiàn)一個粒子的幾率成正比。這樣，某處發(fā)現(xiàn)一個實物粒子的幾率同德布羅意波函數(shù)的平方 成正比。,如果 是復數(shù)， 就用 代替 。我們把在體積 中發(fā)現(xiàn)一個粒子的幾率表達為,玻恩把 解釋為給定時間，在一定空間間隔（單位體積）內(nèi)發(fā)現(xiàn)一個粒子的幾率，因而

41、稱為幾率密度 。這就是德布羅意波函數(shù)的物理意義。波恩指出“對應空間的一個狀態(tài)，就有一個由伴隨這個狀態(tài)的德布羅意波確定的幾率”，波恩由此獲得了1954年諾貝爾物理學獎。,經(jīng)典的波振幅如電場強度E都是可以測量的，而 卻一般不能被測量。,在量子理論中，測量與描述不是一回事。如果硬要說 的物理意義，只能說t時刻，測量粒子處在 空間中的幾率正比于 。,由此

42、可見，只有 才有測量上的意義，它的含義是幾率。而對于幾率分布來說，重要的是相對幾率分布，顯而易見， 和 所描述的相對幾率分布是完全相同的，而經(jīng)典波不同，若振幅增加了一倍，則相應的波動能量將為原來的4倍，完全代表了不同的波動狀態(tài)。,波函數(shù)的標準條件,按照物理上的要求，描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)應具備以下條件：,（1）在任何地方的波函數(shù) 必須是單值函數(shù)。,（2）由于幾

43、率不能在某處發(fā)生突變，所以波函數(shù)必須處處連續(xù)。,（3）由于在某處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率不可能無限大，所以波函數(shù) 必須是有限的。,波函數(shù)的單值、連續(xù)和有限通常稱為波函數(shù)必須具備的標準條件。這些標準條件在應用量子力學解實際問題時非常有用。,二、雙縫干涉實驗（對電子波粒二象性的理解）,為了說明波粒二象性的含義，我們從雙縫干涉來進行理解。,光的楊氏雙縫干涉實驗是光的波動理論最重要的實驗基礎之一，如圖所示。干涉圖樣為,如果在S處換上一

44、架機關槍，子彈向兩孔掃射，當然小孔的大小剛好能讓子彈透過，按照經(jīng)典理論，我們將得到如圖的結果。,這里并不存在干涉現(xiàn)象！,如果在S處放一把電子槍，結果會怎樣？電子束從S射出，經(jīng)過雙縫到達屏幕，在屏上記錄到電子強度分布，依照經(jīng)典觀點應得到第二種情況的圖像，而實際上得到的卻類似于第一種情況。,實驗中我們可以做到讓入射的電子流強度很弱，比如讓電子一個一個地入射，再重復上述實驗，開始屏上得到的分布似乎毫無規(guī)律，時間長了，我們?nèi)匀坏玫搅穗p縫干涉圖像

45、。因此，大量電子的一次性行為與單個電子的多次性行為表現(xiàn)出同樣的波動性。,弱電子流長時間“曝光”,強電子流短時間“曝光”,相同的衍射花樣,,波動性是單個粒子的本征屬性,“一個電子”就具有的波動性，,但一定條件下（如雙縫）， 它在空間某處出現(xiàn)的概率是可以確定的。,盡管單個電子的去向具有不確定性，,電子波并不是電子間相互作用的結果。,這些結果充分表明，干涉圖像的出現(xiàn)體現(xiàn)了微觀粒子的共同特性，它并不是由微觀粒子相互之間作用產(chǎn)生的，而是微觀

46、粒子其個性的集體表現(xiàn)。,人們在試圖觀察電子如何通過雙縫的實驗中發(fā)現(xiàn)，“觀察效應使干涉消失”在原則上無法避免。,總之，粒子的波粒二象性，是指微觀粒子從量子觀點看，它既是粒子，又是波，所謂粒子性是它具有質(zhì)量、能量、動量等粒子屬性；所謂波動性是指其具有頻率、波長，在一定條件下，可觀察出干涉和衍射。,三、態(tài)的疊加原理,從初態(tài)i到末態(tài)f的躍遷幾率振幅為,則躍遷的幾率為,幾率幅滿足以下幾個規(guī)則：,規(guī)則三：,規(guī)則四：,獨立事件的幾率相乘律,四、干涉實

47、驗的解釋,假定電子從初態(tài)S出發(fā)，經(jīng)過兩個中間態(tài)1、2，最后到達屏幕上末態(tài)x。,電子在x處被記錄的幾率,如果只打開狹縫1，則,類似地，有,如果雙縫齊開，則,則，幾率為,可見，除了兩個幾率之和，還多了兩項，正是它們形成了電子從初態(tài)到末態(tài)的幾率幅的干涉項，引起了干涉圖像。,在利用光子進行檢查的過程中，首先考慮光子不能檢查出電子的走向時，即光子的波長較長的情況。,對電子而言,對光子而言,1、考慮電子在x處被記錄，光子同時在D1被記錄時的幾率幅,

48、過程一：電子通過縫1到達x，光子在1附近散射到達D1。,過程二：電子通過縫2到達x，光子在1附近散射到達D1。,兩個過程不可區(qū)分，因此根據(jù)規(guī)則一，得,2、同理，考慮電子在x處被記錄，光子同時在D2被記錄時的幾率幅為,綜上所述，根據(jù)規(guī)則二，電子在x處被記錄，同時光子被記錄的幾率為,經(jīng)過推導，可得在x處電子被記錄的幾率,第二項反映了干涉效應。,如果光子能夠檢查出電子的走向，即光子波長需變短，相應的 大大減小，當其減為零時，則,干涉圖

49、像消失。,當 時，有,當兩過程可區(qū)分程度增加時，干涉效應就逐漸消失。,完全可以區(qū)分,完全不可區(qū)分,電子干涉圖樣的出現(xiàn)是由于幾率幅的線性疊加。當雙縫齊開時，即使對一個電子，也要用 去描述它，雙縫確實同時在起作用。,在雙縫干涉實驗中，是一個電子的兩個態(tài)的疊加，干涉是自己與自己的干涉，決不是兩個電子的干涉。,物質(zhì)波與經(jīng)典波具有完全不同的意義！,五、評注,量子物理的基本規(guī)律是統(tǒng)計規(guī)律，而經(jīng)典物理的

50、基本規(guī)律是決定論、嚴格的因果律。大自然的一切規(guī)律都是統(tǒng)計性的，經(jīng)典因果律只是統(tǒng)計規(guī)律的極限。,量子物理與經(jīng)典物理的根本區(qū)別：,經(jīng)典物理中，“幾率”是統(tǒng)計規(guī)律的關鍵概念；量子物理中，“幾率幅”才是最核心的概念。,經(jīng)典物理中，統(tǒng)計規(guī)律只是對待多粒子體系的一種方法、一種工具、一種權宜之計；量子物理中，個別粒子都體現(xiàn)出統(tǒng)計屬性。,§3.5、薛定諤方程,The Nobel Prize in Physics 1933,Erwin Schr

51、odinger (1887～1961),創(chuàng)立了量子力學另一種有效形式—波動力學,1925年在瑞士，德拜（Debye）讓他的學生薛定諤作一個關于德布羅意的學術報告。報告后，德拜提醒薛定諤“有了波，應該有一個波動方程”。薛定諤此前就曾注意到愛因斯坦對德布羅意假設的評價，此時又受到了德拜的鼓勵，于是就努力鉆研。幾個月后，薛定諤果然提出了一個波動方程，當時誰也沒有想到這個方程會變得如此重要，以致成了著名的薛定諤方程。,,,由自由粒子的平面波方程

52、可以寫成,對x，y，z取二階偏導，得到,把三個式子相加，得,一、薛定諤方程的建立,其中， 為拉普拉斯算符，定義為,把第一個式子對t取一階偏導，得,如果自由粒子的速度比光速小得多，它的能量公式是,兩邊乘以 ，得,把前面的結果代入上式，得到,,這樣就得到了一個自由粒子的薛定諤方程。,對于一個處在力場中的非自由粒子，它的總能量等于動能加勢能,兩邊乘以,所以自由粒子的薛定諤方程可以推廣成,薛定諤波動方程揭示了微觀世界中物質(zhì)運動的基本規(guī)

53、律，提供了系統(tǒng)地、定量地處理微觀粒子運動的理論。,量子力學中的薛定諤方程，相當于經(jīng)典力學中的牛頓運動定律，是不能從什么更基本的原理中推出來的，它的正確與否，只能由科學實驗來檢驗。,薛定諤方程本身是一種類型的波動方程，薛定諤所創(chuàng)建的力學曾被稱為波動力學，這反映了粒子波動性的一面。,薛定諤方程中有虛數(shù)單位i，所以 一般是復數(shù)形式。表示幾率波， 表示粒子在t時刻出現(xiàn)的空間某處的幾率，因而薛定諤方程所描述的狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律，是一

54、種統(tǒng)計規(guī)律。,二、定態(tài)薛定諤方程,在玻爾理論中提到的能量不隨時間變化的狀態(tài)，稱為定態(tài)。,薛定諤方程是一個偏微分方程，解這種方程時經(jīng)常采用分離變量的方法。,我們可以把波函數(shù)寫成,代入薛定諤方程，并在兩邊都除以,得到,這樣等式左邊是坐標的函數(shù)，右邊是時間的函數(shù)，彼此無關。因此等式兩邊都必須等于一個既不依賴于t也和r無關的常數(shù)，這樣等式才能成立。,設常數(shù)為E，于是,其解可以表示為,將上式代入波函數(shù)表達式，將 并入u，得到,這就是定態(tài)的

55、波函數(shù)形式。,同理，等式左邊也等于同一個常數(shù)E，于是,u只是坐標的函數(shù)，這個方程不含時間。這就是定態(tài)的薛定諤方程。,定態(tài)方程解得的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱為定態(tài)。,在上面分離變量的運算中加入的常數(shù)E就是粒子的總能量。說明處于定態(tài)的粒子的總能量不隨時間變化。,幾率密度只取決于u，說明粒子出現(xiàn)在空間的幾率密度分布不隨時間變化。,只有滿足單值性、有限性和連續(xù)性，這三個條件的波函數(shù)才能滿足物理上的要求。因此，定態(tài)能量E相應的也只能取一些特定的值。,

56、三、應用舉例,1、一維無限深勢阱,考慮在一維空間運動的粒子，其所處的勢場分布為,這種勢場稱為一維無限深勢阱。,由于粒子做一維運動，所以有 ，又由于勢能 中不顯含時間，因此用定態(tài)薛定諤方程求解。,因此一維定態(tài)薛定諤方程為,（1）方程的通解,當 時， ，方程為,令,即,得,二階齊次微分方程，它的通解為,式中A、B為兩常數(shù)。,當

57、 時， ，則,其中,設其特解具有形式,即,代入上式，得到,其通解為,第一項無限大，不符合波函數(shù)條件，舍去；第二項為零，所以 。,說明粒子不可能跑到阱外去，所以波函數(shù)為零。,當 時,當 時，x是負值，代入有,同理，有 。,所以,（2）常數(shù)的確定及能量量子化,根據(jù)波函數(shù)的標準條件，波函數(shù)應連續(xù)，即,,,即

58、,當 時，,表明幾率處處恒為0，即不存在粒子，這是不可能的。,因為粒子在整個空間出現(xiàn)的幾率必定是1，波函數(shù)的歸一化：,所以,則,能量是量子化的！,,（3）討論,能量是量子化的，最低能量 。這是由薛定諤方程加上標準條件自然地導出的，不用再做量子化的假定。這是粒子波動性的反映。,粒子在勢壘中的幾率分布是不均勻的，而且有若干幾率為零的點 。,一維無限深勢阱中,粒子的波函數(shù)及幾率,含時間

59、的波函數(shù) 是一個駐波，在形式上像一個兩端固定的弦的駐波振動。,2、一維有限深勢阱,該勢阱勢場分布為,第一種情況前面已經(jīng)給出結果。下面考慮第二種情況，薛定諤方程為,其解為指數(shù)函數(shù)，由波函數(shù)的有限條件得到,粒子有幾率出現(xiàn)在阱外！,由不確定關系決定了微觀客體永遠不會靜止。,微觀客體在有限勢阱中有一定透出的幾率。,由不確定關系知,對于無限深勢阱，在阱外 ，,即,相應于,對于有限深勢阱

60、，在阱外假如 有限，,即,相應于,3、隧道效應（勢壘貫穿）,考慮一個方勢壘,在經(jīng)典力學中,若 ,粒子的動能為正,它只能在 I區(qū)中運動。即粒子運動到勢壘左邊緣就被反射回去，不能穿過勢壘。,但在量子力學中, 無論粒子能量是大于還是小于 都有一定的幾率穿過勢壘，也有一定的幾率被反射。,三個區(qū)域中的情況分別為,（1）在區(qū)域I，V=0，則,其解為,（2）在區(qū)域II，V=V0〉E，則,其解為,由此可見，在區(qū)域II

61、I中的波函數(shù)不為零，即粒子有從I區(qū)穿過II區(qū)到達III區(qū)的可能性。,（3）在區(qū)域III，V=0，則,其解為,其中常數(shù)可由波函數(shù)標準條件和歸一化條件得到。,定義粒子穿過勢壘的穿透幾率：,可見，勢壘厚度越大，粒子通過的幾率越??；粒子的能量越大，穿透幾率也越大。而且兩者都呈指數(shù)關系。,例6、試計算總能量為1eV的電子，穿越高度 ，寬度為 的勢壘的幾率以及當粒子

62、為質(zhì)子時的透射系數(shù)。,解：因為,所以,對于電子：電子的質(zhì)量為0.511MeV，所以,則,對于質(zhì)子：質(zhì)子質(zhì)量為938Mev，則,隧道效應已有很多應用，在理論方面如對放射性原子核的 衰變的理論解釋，在技術上，如電子器件隧道二極管已廣泛使用。利用量子隧道效應，可以解釋很多現(xiàn)象。,隧道效應和掃描隧道顯微鏡STM,由于電子的隧道效應，金屬中的電子并不完全局限于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱?，而是在表面以外呈指?shù)形式衰減，衰

63、減長度約為1nm。,Scanning tunneling microscopy,隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏。,利用STM可以分辨表面上原子的臺階、平臺和原子陣列?？梢灾苯永L出表面的三維圖象,使人類第一次能夠?qū)崟r地觀測到單個原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關的性質(zhì)。在表面科學、材料科學和生命科學等領域中有著重大的意義和廣闊的應用前景。,

64、隧道電流I與樣品和針尖間距離S 的關系,掃描隧道顯微鏡是1981年由IBM公司的賓尼格（Binning）和羅赫爾（Rohrer）首先研究成功的，他們因此與魯斯卡分享了1986年諾貝爾物理學獎。,4、一維諧振子勢阱,簡諧振動是物理學中經(jīng)常出現(xiàn)的一類運動。,粒子受力為,勢能為,則薛定諤方程為,可得能量及波函數(shù)為,,式中， 是厄密（Hermite）多項式，可以按下式計算,,習慣上把能級畫在勢能曲線內(nèi)，這樣一來，能級橫線的長

65、度就表示了經(jīng)典簡諧振動中粒子的活動范圍，即等于振幅的兩倍。,簡諧振子的能級,特點：,等間距分布，間距為,具有“零點能”,躍遷只能逐級進行,,§3.6、平均值與算符,經(jīng)典情況,量子力學,如何表示動量表象 ？,一、平均值的求法,二、算符的引入,在量子力學中，算符代表了對波函數(shù)的一種運算。,,即,,,所以動量 可以用算符 來表示。,同理，其他分量以及總動量平方的算符為,,,,代

66、表位置的r的算符就是r本身，因此，只與坐標有關的V，其算符也就是其本身。,所以代表能量E的算符是,—— 哈密頓算符,哈密頓算符可記為,這個算符只包含空間變量，不包含時間。所以將它作用于 ，就得到,這也就是定態(tài)的薛定諤方程。,一般來說，在量子力學中有關微觀粒子運動的每個力學量都可用一個算符來表示。下面列出一些與常見力學量對應的算符。,① 位矢所對應的算符就是r本身，這表示以r相乘的運算。,② 只與坐標有關的勢能 ，其

67、算符就是,③ 動量算符：,④ 動能算符：,⑤ 能量算符：哈密頓量 ，則,⑥ 角動量算符：（見書上P120）,三、本征方程、本征函數(shù)和本征值,如果一個算符作用到一個函數(shù)后，等于一個常數(shù)乘以這個函數(shù)，則稱這個方程為該函數(shù)的本征方程。這個函數(shù)為算符的本征函數(shù)，常數(shù)稱為算符的本征值。,例如，定態(tài)薛定諤方程,該方程稱為本征方程，E稱為哈密頓算符的本征值， 稱為哈密頓算符的本征函數(shù)。,假設粒子處于某一量子態(tài)

68、 。當測量這個粒子的力學量時，往往得不到確定的結果。但有的力學量可以。如力學量 在 態(tài)有數(shù)值A，則稱 是 的本征函數(shù)，相應的本征值是A。這樣必有 。,若一個本征值只對應一個本征函數(shù)，則稱這個本征函數(shù)所表示的狀態(tài)是非簡并的；否則就是簡并的。,一個粒子可以有多個可測的物理量。若某粒子處于力學量A的本征態(tài)，則測量A時將得到確定值，若在A的本征態(tài)測量另一個力學量B