某年試題分析、詳解和評注

1、12003年考研數(shù)學(xué)（三）真題評注年考研數(shù)學(xué)（三）真題評注一、填空題填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）（1）設(shè)其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范圍是0001cos)(????????xxxxxf若若??.2??【分析分析】當(dāng)0可直接按公式求導(dǎo)，當(dāng)x=0時(shí)要求用定義求導(dǎo).?x【詳解詳解】當(dāng)時(shí)，有1??0001sin1cos)(21????????????xxxxxxxf若若???顯然當(dāng)時(shí)，有，即其導(dǎo)函數(shù)在

2、x=0處連續(xù).2??)0(0)(lim0fxfx?????【評注評注】原題見《考研數(shù)學(xué)大串講》P.21【例5】（此考題是例5的特殊情形）.（2）已知曲線與x軸相切，則可以通過a表示為.bxaxy???2332b?2b64a【分析分析】曲線在切點(diǎn)的斜率為0，即，由此可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件，0??y再根據(jù)在切點(diǎn)處縱坐標(biāo)為零，即可找到與a的關(guān)系.2b【詳解詳解】由題設(shè)，在切點(diǎn)處有，有03322????axy.220ax?又在此點(diǎn)y坐標(biāo)為

3、0，于是有0300230????bxax故.44)3(6422202202aaaxaxb?????【評注評注】有關(guān)切線問題應(yīng)注意斜率所滿足的條件，同時(shí)切點(diǎn)還應(yīng)滿足曲線方程.完全類似例題見《文登數(shù)學(xué)全真模擬試卷》數(shù)學(xué)四P.36第一大題第（3）小題.（3）設(shè)a0，而D表示全平面，則，xaxgxf其他若100)()(???????=.????DdxdyxygxfI)()(2a【分析分析】本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?，但只有?dāng)時(shí)，被積函數(shù)才1010??

4、???xyx不為零，因此實(shí)際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.【詳解詳解】=????DdxdyxygxfI)()(dxdyaxyx???????101023完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P.475【例3.32】的【注】.（6）設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來自總體X的簡單隨機(jī)nXXX21?樣本，則當(dāng)時(shí)，依概率收斂于.??n???niinXnY12121【分析分析】本題考查大數(shù)定律：一組相互獨(dú)立且具有有限期望與方差的隨機(jī)變量，當(dāng)方

5、差一致有界時(shí)，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均nXXX21?值：).(1111???????nEXnXnniipnii【詳解詳解】這里滿足大數(shù)定律的條件，且=22221nXXX?22)(iiiEXDXEX??，因此根據(jù)大數(shù)定律有21)21(412??依概率收斂于???niinXnY121.21112???niiEXn【評注評注】大數(shù)定律見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P.484.二、選擇題二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.

6、每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)）（1）設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù))0(f?xxfxg)()(?(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍間斷點(diǎn)x=0.(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去間斷點(diǎn)x=0.[D]【分析分析】由題設(shè)，可推出f(0)=0再利用在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行討論即可.【詳解詳解】顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn)，且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知，f

7、(0)=0.于是有存在，故x=0為可去間斷點(diǎn).)0(0)0()(lim)(lim)(lim000fxfxfxxfxgxxx?????????【評注評注1】本題也可用反例排除，例如f(x)=x則此時(shí)g(x)=可排除(A)0001??????xxxx(B)(C)三項(xiàng)，故應(yīng)選(D).【評注評注2】若f(x)在處連續(xù)，則.0xx?.)(0)()(lim0000AxfxfAxxxfxx???????本題事實(shí)上相當(dāng)于考查此結(jié)論，詳情可參見《考研數(shù)學(xué)