高中物理競(jìng)賽講義——微積分初步

1、物理競(jìng)賽講義南豐一中彭定輝編寫1tv高中物理競(jìng)賽講義高中物理競(jìng)賽講義——微積分初步微積分初步一：引入一：引入【例】問均勻帶電的立方體角上一點(diǎn)的電勢(shì)是中心的幾倍。分析：①根據(jù)對(duì)稱性，可知立方體的八個(gè)角點(diǎn)電勢(shì)相等；將原立方體等分為八個(gè)等大的小立方體原立方體的中心正位于八個(gè)小立方體角點(diǎn)位置；而根據(jù)電勢(shì)疊加原理，其電勢(shì)即為八個(gè)小立方體角點(diǎn)位置的電勢(shì)之和，即U1=8U2；②立方體角點(diǎn)的電勢(shì)與什么有關(guān)呢電荷密度ρ；二立方體的邊長(zhǎng)a；三立方體的形狀；

2、根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式U=及量綱知識(shí)，可猜想邊長(zhǎng)為a的立方體角點(diǎn)電勢(shì)為KQrU==Ckρa(bǔ)2；其中C為常數(shù)，只與形狀（立方體）及位置（角點(diǎn)）有關(guān)，Q是總電量，CKQaρ是電荷密度；其中Q=ρa(bǔ)3③大立方體的角點(diǎn)電勢(shì)：U0=Ckρa(bǔ)2；小立方體的角點(diǎn)電勢(shì)：U2=Ckρ（）2=a2CKρa(bǔ)24大立方體的中心點(diǎn)電勢(shì)：U1=8U2=2Ckρa(bǔ)2；即U0=U112【小結(jié)】我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)物理問題，其所求的物理量總是與其他已知物理量相關(guān)聯(lián)，或者用數(shù)

3、學(xué)語言來說，所求的物理量就是其他物理量（或者說是變量）的函數(shù)。如果我們能夠把這個(gè)函數(shù)關(guān)系寫出來，或者將其函數(shù)圖像畫出來，那么定量或定性地理解物理量的變化情況，幫助我們解決物理問題。二：導(dǎo)數(shù)二：導(dǎo)數(shù)㈠物理量的變化率物理量的變化率我們經(jīng)常對(duì)物理量函數(shù)關(guān)系的圖像處理，比如vt圖像，求其斜率可以得出加速度a，求其面積可以得出位移s，而斜率和面積是幾何意義上的微積分。我們知道，過vt圖像中某個(gè)點(diǎn)作出切線，其斜率即a=.△v△t下面我們從代數(shù)上考察

4、物理量的變化率：【例】若某質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為上s=3t2t2試求其t時(shí)刻的速度的表達(dá)式。（所有物理量都用國(guó)際制單位，以下同）物理競(jìng)賽講義南豐一中彭定輝編寫3“”表示極限，意思是△t的極限值為0。常規(guī)計(jì)算：0limt??①（△tC）=C②C△t=0③f(△t)=f(0)0limt??0limt??0limt??④f(t△t)=f(t)⑤=10limt??0limt??sin(△t)△t『附錄附錄』常用等價(jià)無窮小關(guān)系常

5、用等價(jià)無窮小關(guān)系（）0x?①；②；③；④；⑤sinxx?tanxx?211cos2xx????ln1xx??1xex??㈢導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)前面我們用了極限“”的表示方法，那么物理量y的變化率的瞬時(shí)值z(mì)可以寫0limt??成:z=并簡(jiǎn)記為z=稱為物理量y函數(shù)對(duì)時(shí)間變量t的導(dǎo)數(shù)。物理上經(jīng)常用0limt??△y△tdydt某物理量的變化率來定義或求解另一物理量，如v=、a=、i=、ε=N等，甚dxdtdvdtdqdtdФdt至不限于對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，如F=

6、、Ex=、ρ=等。dWFdxdUdxdmdl這個(gè)dt（也可以是dx、dv、dm等）其實(shí)相當(dāng)于微元法中的時(shí)間微元△t，當(dāng)然每次這樣用來求物理量變化率的瞬時(shí)值太繁瑣了，畢竟微元法只是草創(chuàng)時(shí)期的微積分。0limt??如果能把常見導(dǎo)數(shù)計(jì)算的基本規(guī)律弄懂，那么我們可以簡(jiǎn)單快速地求解物理量變化率的瞬時(shí)值（導(dǎo)數(shù)）了。同學(xué)們可以課后推導(dǎo)以下公式：⑴導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算①=③=d(uv)dtdudtdvdt②=vud(uv)dtdudtdvdtu