計量地理學-3.6-趨勢面分析

1、趨勢面分析方法,,什么是趨勢面？,自然資源、環(huán)境、人口社會經(jīng)濟等變量在地理空間上具有一定程度分布規(guī)律。,地理要素在地理空間上的分布可以看作是—— 某變量Z在二維坐標空間(X,Y)上的變化函數(shù)（曲面），此即為趨勢面。,趨勢面是一種抽象的數(shù)學曲面，它抽象簡化并過濾掉了一些局域隨機因素的影響，使地理要素的空間分布規(guī)律明顯化。,所謂趨勢面分析，是利用數(shù)學曲面模擬地理系統(tǒng)要素在空間上的分布及變化趨勢的一種數(shù)學方法。它實質上是通過回歸

2、分析原理，運用最小二乘法擬合一個二維線性或非線性函數(shù)，模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢。,,真實地理曲面,,,趨勢面反映地理要素的宏觀分布規(guī)律，屬于確定性因素作用的結果。,,剩余面對應于微觀局域，是隨機因素影響的結果。,,,,趨勢面,,,剩余面,趨勢面分析,,,趨勢值最大化、剩余值最小化原則。,趨勢面模型的建立,設某地理要素的實際觀測數(shù)據(jù)為

3、 ， 趨勢面擬合值為 ，則有：,式中εi即為剩余值（殘差值/誤差值）,趨勢面,真實曲面,剩余面,,刻畫了地理要素的實際分 布曲面、趨勢面和剩余面之間的互動關系。,趨勢面分析的核心——,從實際觀測值出發(fā)推算趨勢面，一般采用回歸分析方法，依據(jù)最小二乘法原理，使得殘差平方和趨于最小，即：,如何選擇確定變量Z和地理坐標(X,Y)之間的函數(shù)表達式？,𝑍=𝑓(⻖

4、9;,𝑦),多項式函數(shù)和傅立葉級數(shù)……,其中最為常用的是多項式函數(shù)形式，因為任何一個函數(shù)都可以在一個適當?shù)姆秶鷥扔枚囗検絹肀平?，而且調整多項式的次數(shù)，可使所求的回歸方程適合實際問題的需要。,什么是多項式函數(shù)？,多項式趨勢面的形式 ① 一次多項式函數(shù)模型 ② 二次多項式函數(shù)模型 ③ 三次多項式函數(shù)模型,什么是多項式函數(shù)的次數(shù)？,變量x和y的冪次乘積的最高次數(shù),k次多項式函數(shù)一共有

5、多少個變量x和y的冪次乘積組合？,假設(k-1)次多項式函數(shù)的冪次乘積組合的數(shù)量是nk-1，當多項式次數(shù)從(k-1)增加至k時，增加了如下內容：xky0, xk-1y1, xk-2y2, xk-3y3,…,x1yk-1,x0yk.所以nk=nk-1+(k+1).,趨勢面模型的參數(shù)估計,實質：最小二乘估計原理 根據(jù)觀測值zi，xi，yi(i=1,2,…,n)確定多項式的系數(shù)a0，a1，…，ap，使得殘差平方和Q

6、最小。,思路：將多項式函數(shù)的非線性形式轉換成線性形式。,令,其殘差平方和為,根據(jù)取極值的條件，求得殘差平方和Q對a0，a1，…，ap的偏導數(shù)，并令其等于0，得p+1個偏微分方程組(式中a0，a1，…，ap為p+1個未知量）。,………………………………,多元線性回歸模型的參數(shù)估計,求解出多項式趨勢面模型的各個系數(shù)a0，a1，…，ap,得出趨勢面分析的多項式擬合模型：,接著…………???,需要注意的是，在實際應用中，往往用次數(shù)低的趨勢面

7、逼近變化比較小的地理要素數(shù)據(jù)，用次數(shù)高的趨勢面逼近起伏變化比較復雜的地理要素數(shù)據(jù)。次數(shù)低的趨勢面使用起來比較方便，但具體到某點擬合較差；次數(shù)較高的趨勢面只在觀測點附近效果較好，而在外推和內插時則效果較差。,趨勢面模型的適度檢驗,趨勢面分析擬合程度與回歸模型的效果直接相關，因此，對趨勢面分析進行適度性檢驗是一個關系到趨勢面能否在實際研究中加以應用的關鍵問題，也是趨勢面分析中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。,,,三種檢驗方法的原理/目的？,三種檢驗方法

8、的關系？,三種檢驗方法的區(qū)別？,趨勢面分析檢驗,趨勢面擬合適度的R2檢驗,趨勢面擬合適度的R2檢驗是采用擬合度系數(shù)R2是測定回歸模型擬合優(yōu)度的重要指標。,總離差平方和,回歸平方和,剩余平方和,表示隨機因素對離差的影響,表示自變量對因變量的離差的總影響,SSR越大，SSD越小，就表示因變量與自變量的關系越密切，回歸的規(guī)律性越強、效果越好。,一般用變量z的總離差平方和中回歸平方和所占的比重表示回歸模型的擬合優(yōu)度，即擬合度系數(shù)R2=回歸平方

9、和 / 總離差平方和。,擬合度系數(shù)R2=回歸平方和 / 總離差平方和,性質：1) R2取值范圍是[0,1]； 2) R2越大(越接近100%)，趨勢面擬合效果越高； 3) 多項式函數(shù)的次數(shù)越高，擬合度系數(shù)R2就越大。,趨勢面擬合適度的顯著性F檢驗,趨勢面擬合適度的F檢驗，是對趨勢面回歸模型整體的顯著性檢驗，即判斷擬合結果是否具有可信度以及具有多大的置信區(qū)間。,顯著性檢驗方法：利用變量z的總離差平方

10、和SST中，剩余平方和SSD與回歸平方和SSR的比值，來確定變量z與自變量x、y之間的回歸關系是否顯著，顯著性檢驗F統(tǒng)計量為：,結果分析：在顯著性水平α下，查F分布表得其臨界值Fα，若實際計算的F值大于臨界值Fα，則認為趨勢面方程顯著，置信區(qū)間為1-α；反之則不顯著。,,,F統(tǒng)計量的第1自由度/分子自由度，即f1 = p,F統(tǒng)計量的第2自由度/分母自由度，即f2 = n-p-1,n是樣本量；p是多項式函數(shù)非線性轉換成線性形式后，多元線

11、性回歸模型的自變量個數(shù),趨勢面適度的逐次檢驗,多項式函數(shù)的次數(shù)越高將帶來更高的擬合效果，但是更高次數(shù)的多項式函數(shù)一方面增加了趨勢面擬合的復雜程度，另一方面過分追求細節(jié)精度反而會喪失整體趨勢特征。,趨勢面適度逐次檢驗目的是考核多項式函數(shù)的次數(shù)由低至高是否對趨勢面擬合回歸作出了新貢獻，以此來決定適宜選擇的多項式函數(shù)的次數(shù)。,趨勢面適度逐次檢驗方法是考慮多項式次數(shù)增高帶來的適度性比較檢驗值F是否通過具備顯著性。若F值顯著，則較高次數(shù)多項式對回

12、歸產(chǎn)生了新貢獻；若F值不顯著，則較高次數(shù)多項式對回歸并沒有新貢獻。,如何計算適度性比較檢驗值F？,,,回歸均方差=SSR/f1,剩余均方差=SSD/f2,顯著性檢驗F統(tǒng)計量,(k+1)次多項式方程：回歸平方和 剩余平方和,第1自由度f1=p 第2自由度f2=n-p-1,回歸均方差 剩余均方差,,(k)次多項式方程：回歸平方和 剩余平方和,第1自由

13、度f1=q 第2自由度f2=n-q-1,回歸均方差 剩余均方差,,(k)->(k+1):,回歸平方和的增量ΔSSR,第1自由度的增量Δf1=p-q,由于多項式次數(shù)增高所產(chǎn)生的回歸均方差=ΔSSR/Δf1,逐次檢驗F統(tǒng)計量是上述回歸均方差除以(k+1)次多項式的剩余均方差，即,F值是顯著的，則較高次多項式對回歸作出了新貢獻，若F值不顯著，則較高次多項式對于回歸并無新貢獻。,多項式趨勢面由K次增

14、高至(K+1)次的回歸顯著性檢驗,趨勢面分析應用實例,某流域1月份降水量與各觀測點的坐標位置數(shù)據(jù)如下表所示。下面以降水量為因變量z，地理位置的橫坐標和縱坐標分別為自變量x、y，進行趨勢面分析，并對趨勢面方程進行三種適度檢驗。,流域降水量及觀測點的地理位置數(shù)據(jù),首先采用二次多項式進行趨勢面擬合：,用最小二乘法求得擬合方程為：,總離差平方和,剩余平方和,回歸平方和,(n=12, p=5),,首先采用三次多項式進行趨勢面擬合：,用最小二乘法求

15、得擬合方程為：,總離差平方和,剩余平方和,回歸平方和,(n=12, p=9),,某流域降水量的三次多項式趨勢面,某流域降水量的二次多項式趨勢面,(1)趨勢面擬合適度的R2檢驗:,根據(jù)R2檢驗方法計算，結果表明，二次趨勢面的判定系數(shù)為R22=0.839，三次趨勢面的判定系數(shù)為R32=0.965，可見二次趨勢面回歸模型和三次趨勢面回歸模型的顯著性都較高，而且三次趨勢面較二次趨勢面具有更高的擬合程度。,(2) 趨勢面適度的顯著性F檢驗 :,根

16、據(jù)F檢驗方法計算，結果表明，二次趨勢面和三次趨勢面的F值分別為F2=6.236和F3=6.054。二次趨勢面和三次趨勢面的變量數(shù)分別為p=5，p=9，樣本數(shù)均為n=12。在置信水平α=0.05下，查F分布表得： 顯然 ， ， 故二次趨勢面的回歸方程顯著而三次趨勢面不顯著。因此，F(xiàn)檢驗的結果表明，用二次趨勢

17、面進行擬合比較合理。,(3)趨勢面適度的逐次檢驗：,SSR3=1129.789,SSR2=982.244,SSD3=41.474,SSD2=189.018,f1=p=9,f2=n-p-1=2,f1=p=5,f2=n-p-1=6,剩余均方差,回歸均方差,回歸均方差,剩余均方差,第1自由度,第2自由度,第1自由度,第2自由度,剩余均方差,回歸均方差,剩余均方差,回歸均方差,MSR3=SSR3/f1=125.532,MSR2=SSR2/f1=

18、196.449,MSD3=SSD3/f2=20.737,MSD2=SSD2/f2=31.503,,,三次趨勢面,二次趨勢面,二次->三次,ΔSSR=1129.789-982.244=147.545,Δf1=9-5=4,回歸均方差MSRI=ΔSSR/Δf1=147.545/4=36.886,逐次檢驗F統(tǒng)計量F=MSRI/MSD3=36.886/20.737=1.779,二次和三次趨勢面回歸模型的逐次檢驗方差分析表,從二次趨勢面增加到

19、三次趨勢面，逐次檢驗F統(tǒng)計量F3→2=1.779。在置信度水平α=0.05下，查F分布表得F0.05(4,2)=6.94，由于F3→2=1.779< F0.05(4,2)=6.94 ，故將趨勢面擬合次數(shù)由二次增高至三次，對回歸方程并無新貢獻，因而選取二次趨勢面比較合適。這也進一步驗證了趨勢面擬合適度的顯著性F檢驗的結論。,,,,,,R2檢驗,,,,,逐次檢驗,,,,,,,顯著性F檢驗,,趨勢面分析檢驗,利用Matlab實現(xiàn)趨勢面

20、分析,依據(jù)上例中某流域1月份降水量的二次多項式和三次多項式趨勢面模型，借助Matlab三維繪圖功能，繪制其趨勢面圖形。,（1）二次趨勢面運用最小二乘法，進行趨勢面擬合，可以得到如下二次趨勢面方程：,為了繪制上述二次趨勢面圖形，可以直接調用如下函數(shù)命令：[x,y]=meshgrid(0:0.25:4);z=5.988+17.438*x+29.787*y-3.558*x.^2+0.357*x.*y-8.070*y.^2;surfac

21、e(x,y,z),（2）三次趨勢面運用最小二乘法，進行趨勢面擬合，可以得到如下三次趨勢面方程：,利用Matlab實現(xiàn)趨勢面分析,為了繪制上述三次趨勢面圖形，可以直接調用如下函數(shù)命令：[x,y]=meshgrid(0:0.25:4);z=-48.810+37.557*x+130.130*y+8.389*x.^2-33.166*x.*y-62.740*y.^2 -4.133*x.^3+6.138*y.*x.^2+2.566*x