三角學的歷史及其對任意角三角函數(shù)的教學啟示

1、三角學的歷史及其對任意角三角函數(shù)的教學啟示,西華師范大學數(shù)學與信息學院楊孝斌Email: xbyang79@163.com,教育取向的數(shù)學史研究之一：,0. 引言：開展教育取向的數(shù)學史研究,數(shù)學史家李文林先生認為，數(shù)學史的研究具有三重目的：一是歷史的目的，即恢復歷史的本來面目；二是數(shù)學的目的，即古為今用，為現(xiàn)實的數(shù)學研究與自主創(chuàng)新提供歷史借鑒；三是教育的目的，即在數(shù)學教學中利用數(shù)學史，這在當前已成為一種國際現(xiàn)象。,數(shù)學教師要重視數(shù)學

2、史在數(shù)學教學中的意義和作用，要學習與教學內(nèi)容有關的數(shù)學史實，并在數(shù)學教學中展現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)歷程，讓學生了解數(shù)學知識的來龍去脈。,展現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)過程，不是簡單敘述數(shù)學史實，重復數(shù)學家的“原發(fā)現(xiàn)過程”。而是需要教師開展教育取向的數(shù)學史研究，將數(shù)學知識的“學術形態(tài)”轉化為“教育形態(tài)”，從中獲得對數(shù)學教學的啟示，引導學生重走數(shù)學發(fā)現(xiàn)之路。,所謂教育取向的數(shù)學史研究，就是從課程與教學的角度出發(fā)，對數(shù)學史的相關內(nèi)容進行教學法加工和方法論重建，

3、以實現(xiàn)數(shù)學史研究的教育目的。其主要方法是通過對數(shù)學史的壓縮、整合、刪繁就簡、提煉數(shù)學思想方法等，并在此基礎上結合教學內(nèi)容進行基于數(shù)學史和數(shù)學思想方法的教學設計。,教育取向的數(shù)學史研究，其最終目的是利用知識的發(fā)生學原理，在數(shù)學教學中借鑒數(shù)學家研究數(shù)學的經(jīng)驗和數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的理論。然而，數(shù)學家研究數(shù)學的經(jīng)驗、數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的理論對數(shù)學教學的指導也是有限的，因為學校數(shù)學和科學數(shù)學是兩種不同形態(tài)的數(shù)學，而且學生也無法在有限的時間內(nèi)重復數(shù)學家

4、們所走過的漫長道路。,那么，數(shù)學教學如何借鑒數(shù)學家研究數(shù)學的經(jīng)驗呢？以下以“三角學發(fā)展簡史”與“任意角的三角函數(shù)的教學”為例，探討如何在數(shù)學教學設計中借鑒數(shù)學家研究數(shù)學的經(jīng)驗。,1. 三角學發(fā)展簡史,(1) 三角學概述 三角學這門學科是從確定平面三角形和球面三角形的邊和角的關系開始的，其最初的研究目的是為了改善天文學中的計算。古代三角學的萌芽可以說是源出于古希臘哲學家泰利斯(Thales，約前624—前547)的

5、相似理論。古希臘天文學家喜帕恰斯(Hipparchus，約前190年-前125年)，曾著有三角學12卷，可以認為是古代三角學的創(chuàng)始人。,到15世紀，德國的雷格蒙塔努斯(J．Regiomontanus，1436-1476)的《論三角》一書的出版，才標志古代三角學正式成為獨立的學科。這本書中不僅有很精密的正弦表、余弦表等，而且給出了現(xiàn)代三角學的雛形。16世紀法國數(shù)學家韋達(F．Viete，1540-1603)則更進一步將三角學系統(tǒng)化，他已經(jīng)

6、對解直角三角形、斜三角形等作出了闡述，并且還有正切定理以及和差化積公式等。,直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉(L.Euler，1707-1783)才研究了三角函數(shù)。這使三角學從原先靜態(tài)研究三角形的解法中解脫出來，成為反映現(xiàn)實世界中某些運動和變化的一門具有現(xiàn)代數(shù)學特征的學科。,在托勒密以后，人們對天文學的興趣衰落了。直到公元5世紀才由印度人進一步繼承并發(fā)揚了亞歷山大學派的天文學知識，恢復了對三角學這門基礎科學的研究興趣。印度人也是利用等分圓的辦

7、法來計算角的正弦，他們通常是把圓分成360度或21600分，把半徑分成120等份。,2. 三角學的歷史對任意角三角函數(shù)教學的啟示,概括地說，人教A版采用的是“單位圓定義法”，江蘇版采用的是“終邊坐標法”。是否借助單位圓定義任意角的三角函數(shù)是二者的最大不同，江蘇版是在“終邊坐標法”定義之后給出了“單位圓定義法”。,根據(jù)上述三角學簡史的敘述，可以得出結論：采用“終邊坐標法”定義任意角的角函數(shù)——允許圓的半徑任意長，而非單位長，其實質是采用比

8、值定義——符合三角函數(shù)形成與發(fā)展的歷史，而“單位圓定義法”只是為了簡化定義和給出三角函數(shù)的幾何表示，不利于學生把握任意角三角函數(shù)的定義的本質。,很顯然，“單位圓定義法”只是“終邊坐標法”的特例，學生只要掌握了“終邊坐標法”定義的一般結論，當r=1時學生自然可以得到“單位圓定義法”的結論。同時，“終邊坐標法”更利于初、高中三角函數(shù)知識的銜接，有利于開展由舊知引出新知的教學。此外，從整體上考查三角函數(shù)單元的教學內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，引進任意角三角

9、函數(shù)的單位圓定義，其目的是為了給三角函數(shù)誘導公式的討論帶來方便。,因此，從知識發(fā)生發(fā)展歷史的視角考察，在任意角三角函數(shù)的教學中不宜過早地引入單位圓定義，而是應該在學生掌握了任意角三角函數(shù)的終邊坐標定義之后，再借助“單位圓定義法”幫助學生理解“終邊坐標法”。這樣做，不僅符合數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展歷程，而且更便于學生認識到三角函數(shù)的數(shù)學本質。如果在教學中先給出任意角三角函數(shù)的“單位圓定義”，或者同時給出這二者，其合理性都是有待商榷的。,3. 揭

10、示任意角三角函數(shù)定義的本質,首先，從內(nèi)容上分析。嚴格意義上講，初中沒有三角函數(shù)，只有三角比，即銳角的正弦、余弦和正切等。這種三角比是用銳角所在的直角三角形的邊的比定義的，雖然比值是數(shù)，但是初中還沒有引入弧度制，而是角度值，此時的三角比是角的集合與數(shù)集之間的映射，不是函數(shù)。因此，這節(jié)課首先要解決的是在高中函數(shù)概念下重新定義與理解銳角三角函數(shù)，再推廣到任意角的三角函數(shù)，由初中的比值定義過渡到終邊坐標定義，最后介紹單位圓定義法。,其次，從教法

11、上分析。1)教師的教學要抓住概念的本質。要讓學生從銳角三角比的復習中，聯(lián)系高中的函數(shù)概念，深刻認識到銳角三角比是相似比，與點的選取無關，同時更要突出比值只與角α的大小有關，要讓學生理解“α確定時，比值唯一確定”，明確這里的比值是角α的函數(shù)，認識到三角函數(shù)是角(弧度制)與比值之間的映射關系，并進一步體會引進弧度制的意義。,2)要做好教學設計。教師要對從舊知引出新知做好設計，不能過分強化復習舊知，避免學生仿照定義銳角三角比的辦法，試圖仍然采

12、用直角三角形的邊之比來定義任意角的三角函數(shù)。在研究方法上，要抓住時機恰當引進“平面直角坐標系”這個研究工具，通過“終邊坐標法”建立起任意角三角函數(shù)的定義。最后對“單位圓定義法”要慎重處理，關于“單位圓定義法”與“終邊坐標法”之比較，以上已有論述。,教學實踐中發(fā)現(xiàn)，老師在引導學生討論三角函數(shù)的定義域時，有些學生并沒有認識到這里的定義域應該是?的取值范圍，總是誤以為函數(shù)的定義域一定是 x 怎么怎么樣。當然有可能是思維定勢，這與學生的數(shù)學認

13、知水平有關，但同時也與教師的教學設計有關。究其原因，主要就是因為教師沒有突出三角函數(shù)的函數(shù)本質，沒有事先讓學生理解三角函數(shù)是以角(弧度制)為自變量、以角的終邊上一點的坐標比值為因變量的函數(shù)。,以上論述一再表明：三角函數(shù)的定義的本質應是“三角比”，即與角有關的線段(或有向線段)之比。那么，如何在教學中實現(xiàn)初、高中三角函數(shù)知識教學的銜接，如何凸顯三角函數(shù)定義的本質、建立新知識的數(shù)學意義，這是數(shù)學教師必須思考的問題。,4. 探究新的定義方式—

14、—基于三角學發(fā)展史的教學設計,教學實踐表明，這節(jié)課的教學中會遇到學生始終無法脫離用直角三角形的邊之比來定義任意角的三角函數(shù)、認識不到三角函數(shù)是以角(弧度制)為自變量的函數(shù)等問題。那么，如何實現(xiàn)從銳角三角比到任意角的三角函數(shù)定義呢？這里的關鍵是如何從借助直角三角形定義銳角三角函數(shù)過渡到用點的坐標來定義任意角的三角函數(shù)，也就是如何引進直角坐標系作為研究工具。,任意角的三角函數(shù)是以角(弧度制)為自變量的函數(shù)，其概念建立的難點是轉換意義框架，轉

15、換思考問題的角度，突破初中階段借助直角三角形定義三角函數(shù)(以下稱“幾何定義法”)的思維限制，把原來銳角三角函數(shù)“幾何定義法”中的直角三角形的邊之比轉換為適用于任意角三角函數(shù)的終邊的點的坐標之比。概念建立的方式是對原有的數(shù)學認知結構進行部分改組，形成新的數(shù)學認知結構。,基于以上分析，并對數(shù)學史上數(shù)學家們定義三角函數(shù)的可能的思維活動過程進行歸納概括和教學法加工，設計如下的任意角三角函數(shù)的教學環(huán)節(jié)：(1)從銳角三角比出發(fā)，探究新的定義方式