統(tǒng)計(jì)學(xué)第六版賈俊平第5章

1、第 5 章 概率與概率分布,第 5 章 概率與概率分布,5.1 事件及其概率5.2 離散型概率分布5.3 連續(xù)型概率分布,學(xué)習(xí)目標(biāo),定義試驗(yàn)、事件、樣本空間、概率描述和使用概率的運(yùn)算法則定義和解釋隨機(jī)變量及其分布計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率和概率分布計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的概率用Excel計(jì)算分布的概率,5.1 事件及其概率,5.1.1 試驗(yàn)、事件和樣本空間5.1.2 事件的概率5.1.3 概率的性

2、質(zhì)和運(yùn)算法則5.1.4 條件概率與事件的獨(dú)立性5.1.5 全概公式與逆概公式,試驗(yàn)、事件和樣本空間,試 驗(yàn)(experiment),對(duì)試驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行一次觀察或測(cè)量的過程 擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)從一副52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結(jié)果(紙牌的數(shù)字或花色)試驗(yàn)的特點(diǎn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果,

3、事件(event),事件：試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果(任何樣本點(diǎn)集合)擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3用大寫字母A，B，C，…表示隨機(jī)事件(random event)：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),事件(event),簡(jiǎn)單事件(simple event) ：不能被分解成其他事件組合的基本事件拋一枚均勻硬幣，“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面” 必然事件(certain event)：每次試驗(yàn)一定出現(xiàn)的事件，用?表示

4、擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7不可能事件(impossible event)：每次試驗(yàn)一定不出現(xiàn)的事件，用?表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6,樣本空間與樣本點(diǎn),樣本空間(sample Space)一個(gè)試驗(yàn)中所有結(jié)果的集合，用?表示例如：在擲一顆骰子的試驗(yàn)中，樣本空間表示為：??{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗(yàn)中，??{正面，反面}樣本點(diǎn)( sample point)樣本空間中每一個(gè)特定的試驗(yàn)結(jié)果用符號(hào)?表示,事件的

5、概率,事件的概率(probability),事件A的概率是一個(gè)介于0和1之間的一個(gè)值，用以度量試驗(yàn)完成時(shí)事件A發(fā)生的可能性大小， 記為P(A)當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，概率P(A)可以由所觀察到的事件A發(fā)生次數(shù)(頻數(shù))的比例來逼近在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率可以寫為,事件的概率,?例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù) n 的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右,概率的性

6、質(zhì)和運(yùn)算法則,互斥事件及其概率(mutually exclusive events),? 在試驗(yàn)中，兩個(gè)事件有一個(gè)發(fā)生時(shí)，另一個(gè)就不能發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥事件,(沒有公共樣本點(diǎn)),互斥事件的文氏圖(Venn diagram),互斥事件及其概率(例題分析),【例】在一所城市中隨機(jī)抽取600個(gè)家庭，用以確定擁有個(gè)人電腦的家庭所占的比例。定義如下事件： A：600個(gè)家庭中恰好有265個(gè)家庭擁有電腦 B：

7、恰好有100個(gè)家庭擁有電腦 C：特定戶張三家擁有電腦 說明下列各對(duì)事件是否為互斥事件，并說明你的理由 (1) A與B (2) A與C (3) B與 C,互斥事件及其概率(例題分析),解：(1) 事件A與B是互斥事件。因?yàn)槟阌^察 到恰好有265個(gè)家庭擁有電腦，就 不可能恰好有100個(gè)家庭擁有電腦 (2) 事件A與

8、C不是互斥事件。因?yàn)閺埲?也許正是這265個(gè)家庭之一，因而事 件與有可能同時(shí)發(fā)生 (3) 事件B與C不是互斥事件。理由同(2),互斥事件及其概率(例題分析),,【例】同時(shí)拋擲兩枚硬幣，并考察其結(jié)果。恰好有一枚 正面朝上的概率是多少？,解：用H表示正面，T表示反面，下標(biāo)1和2表示硬幣1 和硬幣2。該項(xiàng)試驗(yàn)會(huì)有4個(gè)互斥事件之一發(fā)生

9、 (1) 兩枚硬幣都正面朝上，記為H1H2 (2) 1號(hào)硬幣正面朝上而2號(hào)硬幣反面朝上，記為H1T2 (3) 1號(hào)硬幣反面朝上而2號(hào)硬幣正面朝上，記為T1H2 (4) 兩枚硬幣都是反面朝上，記為 T1T2,互斥事件及其概率(例題分析),解：由于每一枚硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的概率都是1/2，當(dāng)拋擲的次數(shù)逐漸增大時(shí)，上面的4個(gè)簡(jiǎn)單事件中每一事件發(fā)生的相對(duì)頻數(shù)(概率)將近似等于

10、1/4。因?yàn)閮H當(dāng)H1T2或T1H2發(fā)生時(shí)，才會(huì)恰好有一枚硬幣朝上的事件發(fā)生，而事件H1T2或T1H2又為互斥事件，兩個(gè)事件中一個(gè)事件發(fā)生或者另一個(gè)事件發(fā)生的概率便是1/2(1/4+1/4)。因此，拋擲兩枚硬幣，恰好有一枚出現(xiàn)正面的概率等于H1T2或T1H2發(fā)生的概率，也就是兩種事件中每個(gè)事件發(fā)生的概率之和,互斥事件的加法規(guī)則(addition law),? 加法規(guī)則若兩個(gè)事件A與B互斥，則事件A發(fā)生或事件B發(fā)生的概率等于這兩個(gè)事件

11、各自的概率之和，即 P(A∪B) =P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有 P(A1∪A2 ∪…∪An) =P(A1)+P(A2) +…+P(An),互斥事件的加法規(guī)則 (例題分析),解：擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(1，2，3，4，5，6)共有 6個(gè)互斥事件，而且每個(gè)事件出現(xiàn)的概率都為1/6 根據(jù)互斥事

12、件的加法規(guī)則，得,【例】拋擲一顆骰子，并考察其結(jié)果。求出其點(diǎn) 數(shù)為1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn)或4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率,概率的性質(zhì)(小結(jié)),非負(fù)性對(duì)任意事件A，有 P ?1規(guī)范性一個(gè)事件的概率是一個(gè)介于0與1之間的值，即對(duì)于任意事件 A，有0 ? P ? 1必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P (? )=1； P(? )=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B) =P(A)+P(B)推廣到多個(gè)兩兩互斥事件A1，A2，…，An

13、，有 P( A1∪A2 ∪… ∪An) = P(A1)+P(A2)+…+P(An),事件的補(bǔ)及其概率,? 事件的補(bǔ)(complement) 事件A不發(fā)生的事件，稱為補(bǔ)事件A的補(bǔ)事件(或稱逆事件)，記為?A 。它是樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點(diǎn)的集合,,A,?,? A,P(?A)=1- P(A),廣義加法公式,? 廣義加法公式 對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，它們和的概率為兩個(gè)事件分別概率的和減去兩個(gè)事

14、件交的概率，即 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B),兩個(gè)事件的并,兩個(gè)事件的交,,,廣義加法公式(事件的并或和),? 事件A或事件B發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的并。它是由屬于事件A或事件B的所有樣本點(diǎn)的集合，記為A∪B或A+B,廣義加法公式(事件的交或積),? 事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點(diǎn)所組成的集合，記為B∩A 或AB,廣義

15、加法公式(例題分析),解：設(shè) A =員工離職是因?yàn)閷?duì)工資不滿意 B =員工離職是因?yàn)閷?duì)工作不滿意 依題意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15 P(AÚB)= P(A)+ P(B)- P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55,【例】一家計(jì)算機(jī)軟件開發(fā)公司的人事部門最近做了一項(xiàng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在最近兩年內(nèi)離職的公司員工中有40%

16、是因?yàn)閷?duì)工資不滿意，有30%是因?yàn)閷?duì)工作不滿意，有15%是因?yàn)樗麄儗?duì)工資和工作都不滿意。求兩年內(nèi)離職的員工中，離職原因是因?yàn)閷?duì)工資不滿意、或者對(duì)工作不滿意、或者二者皆有的概率,條件概率與事件的獨(dú)立性,條件概率(conditional probability),? 在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為已知事件B時(shí)事件A的條件概率，記為P(A|B),條件概率(例題分析),解：設(shè) A =顧客購(gòu)買食品， B =顧客購(gòu)買其他商品

17、 依題意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35,【例】一家超市所作的一項(xiàng)調(diào)查表明，有80%的顧客到超市是來購(gòu)買食品，60%的人是來購(gòu)買其他商品，35%的人既購(gòu)買食品也購(gòu)買其他商品。求： (1)已知某顧客購(gòu)買食品的條件下，也購(gòu)買其他商品的概率 (2)已知某顧客購(gòu)買其他的條件下，也購(gòu)買食品的概率,條件概率(例題分析),【例】一家電腦公司從兩個(gè)供應(yīng)商處購(gòu)買了同一種計(jì)算機(jī)配件，質(zhì)量狀況如下表所

18、示 從這200個(gè)配件中任取一個(gè)進(jìn)行檢查，求 (1) 取出的一個(gè)為正品的概率 (2) 取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件的概率 (3) 取出一個(gè)為供應(yīng)商乙的正品的概率 (4) 已知取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件，它是正品的概率,,條件概率(例題分析),解：設(shè) A = 取出的一個(gè)為正品 B = 取

19、出的一個(gè)為供應(yīng)商甲供應(yīng)的配件 (1) (2) (3) (4),乘法公式(multiplicative law),用來計(jì)算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎(chǔ)設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(B)>0，則 P(AB)=P(B)P(A|B)

20、 或 P(AB)=P(A)P(B|A),乘法公式(例題分析),【例】一家報(bào)紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有75%的住戶訂閱了該報(bào)紙的日?qǐng)?bào)，而且還知道某個(gè)訂閱日?qǐng)?bào)的住戶訂閱其晚報(bào)的概率為50%。求某住戶既訂閱日?qǐng)?bào)又訂閱晚報(bào)的概率,解：設(shè) A = 某住戶訂閱了日?qǐng)?bào) B = 某個(gè)訂閱了日?qǐng)?bào)的住戶訂閱了晚報(bào) 依題意有：P(A)=0.75；P(B|A

21、)=0.50 P(AB)=P(A)· P(B|A)=0.75×0.5=0.375,獨(dú)立事件與乘法公式(例題分析),【例】從一個(gè)裝有3個(gè)紅球2個(gè)白球的盒子里摸球(摸出后球不放回)，求連續(xù)兩次摸中紅球的概率,解：設(shè) A = 第2次摸到紅球 B = 第1次摸到紅球 依題意有： P(B)=3/5；P(A|B)=

22、2/4 P(AB)=P(A)· P(B|A)=3/5×2/4=0.3,獨(dú)立事件與乘法公式(independent events),若P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B) ，則稱事件A與B事件獨(dú)立，或稱獨(dú)立事件 若兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積，即 P(AB)= P(A)· P(B)若事件A1,A

23、2,?,An相互獨(dú)立，則 P(A1, A2, ?, An)= P(A1)· P(A2) · ? · P(An),獨(dú)立事件與乘法公式(例題分析),【例】一個(gè)旅游經(jīng)景點(diǎn)的管理員根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)得知，有80%的游客在古建筑前照相留念。求接下來的兩個(gè)游客都照相留念的概率,解：設(shè) A = 第一個(gè)游客照相留念 B = 第二個(gè)游客照相留念 兩個(gè)游客都照相留念是兩個(gè)事件

24、的交。在沒 有其他信息的情況下，我們可以假定事件A 和事件B是相互立的，所以有 P(AB)=P(A)· P(B)=0.80×0.80=0.64,獨(dú)立事件與乘法公式(例題分析),【例】假定我們是從兩個(gè)同樣裝有3個(gè)紅球2個(gè)白球的盒子摸球。每個(gè)盒子里摸1個(gè)。求連續(xù)兩次摸中紅球的概率,解：設(shè) A = 從第一個(gè)盒子里摸到紅球 B = 從第二個(gè)盒子

25、里摸到紅球 依題意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5 P(AB)=P(A)· P(B|A)=3/5×3/5=0.36,全概公式與逆概公式,全概公式,? 全概公式,完備事件組,全概公式(例題分析),【例】假設(shè)在n張彩票中只有一張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么第二個(gè)人摸到獎(jiǎng)券的概率是多少？,解：設(shè) A = 第二個(gè)人摸到獎(jiǎng)券，B = 第一個(gè)人摸到獎(jiǎng)券 依題

26、意有：P(B)=1/n；P(?B)=(n-1)/n P(A|B)=0 P(A|?B)=1/(n-1),逆概公式,? 逆概公式(貝葉斯公式 ),P(Bi)被稱為事件Bi的先驗(yàn)概率(prior probability)P(Bi|A)被稱為事件Bi的后驗(yàn)概率(posterior probability),逆概公式(例題分析),【例】某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的

27、概率為1/2，而他不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率應(yīng)該為1/4?？荚嚱Y(jié)束后發(fā)現(xiàn)他答對(duì)了，那么他知道正確答案的概率是多大呢？,解：設(shè) A = 該考生答對(duì)了 ，B = 該考生知道正確答案 依題意有：P(B)=1/2； P(?B)=1-1/2 = 1/2 P(A|?B)=1/4 P(A|B)=1,5.2 離散型概率分布,5.2.1 隨機(jī)變量5.2.2

28、 離散型隨機(jī)變量的概率分布5.2.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差5.2.4 幾種常用的離散型概率分布,隨機(jī)變量,隨機(jī)變量(random variables),,一次試驗(yàn)的結(jié)果的數(shù)值性描述一般用 X，Y，Z 來表示例如： 投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量(discrete random variables),,隨機(jī)變量 X 取有限個(gè)值或所有取值都可以逐

29、個(gè)列舉出來 x1 , x2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機(jī)變量的一些例子,連續(xù)型隨機(jī)變量(continuous random variables),,可以取一個(gè)或多個(gè)區(qū)間中任何值 所有可能取值不可以逐個(gè)列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子,離散型隨機(jī)變量的概率分布,離散型隨機(jī)變量的概率分布,,列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示,P(X =x

30、i)=pi稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)pi?0 ；,離散型隨機(jī)變量的概率分布 (例題分析),【例】投擲一顆骰子后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。寫出擲一枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的概率分布,概率分布,離散型隨機(jī)變量的概率分布 (例題分析),【例】一部電梯在一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)X及相應(yīng)的概率如下表,一部電梯一周發(fā)生故障的次數(shù)及概率分布,(1) 確定?的值 (2) 求正好發(fā)生兩次故障的概率 (3) 求故障次數(shù)

31、多于一次的概率 (4) 最多發(fā)生一次故障的概率,離散型隨機(jī)變量的概率分布 (例題分析),解：(1) 由于0.10+0.25+0.35+? =1 所以，? =0.30 (2) P(X=2)=0.35 (3) P(X? 2)=0.10+0.25+0.35=0.70 (4) P(X?1)=0.35+0.30=0.65,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差,離散

32、型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(expected value),,離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值xi與其取相對(duì)應(yīng)的概率pi乘積之和描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度記為? 或E(X)計(jì)算公式為,離散型隨機(jī)變量的方差(variance),,隨機(jī)變量X的每一個(gè)取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為? 2 或D(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計(jì)算公式為方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，記為? 或?D(X),,離散型數(shù)學(xué)期望和方差 (例

33、題分析),【例】一家電腦配件供應(yīng)商聲稱，他所提供的配件100個(gè)中擁有次品的個(gè)數(shù)及概率如下表,每100個(gè)配件中的次品數(shù)及概率分布,求該供應(yīng)商次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差,幾種常用的離散型概率分布,常用離散型概率分布,兩點(diǎn)分布,,一個(gè)離散型隨機(jī)變量X只取0和1兩個(gè)可能的值它們的概率分布為 或也稱0-1分布,兩點(diǎn)分布 (例題分析),【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p＝0.04，合格率為q=1-p=1-0.0

34、4=0.96。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為,二項(xiàng)試驗(yàn)(伯努利試驗(yàn)),,二項(xiàng)分布與伯努利試驗(yàn)有關(guān)貝努里試驗(yàn)滿足下列條件一次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果，即“成功”和“失敗”“成功”是指我們感興趣的某種特征一次試驗(yàn)“成功”的概率為p ，失敗的概率為q =1- p，且概率p對(duì)每次試驗(yàn)都是相同的 試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，并可以重復(fù)進(jìn)行n次 在n次試驗(yàn)中，“成功”的次數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)離散型

35、隨機(jī)變量X,二項(xiàng)分布(Binomial distribution),,重復(fù)進(jìn)行 n 次試驗(yàn)，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布，記為X~B(n，p)設(shè)X為 n 次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)成功的次數(shù)，X 取 x 的概率為,二項(xiàng)分布,,對(duì)于P(X=x)? 0， x =1,2,…,n，有同樣有當(dāng) n = 1 時(shí)，二項(xiàng)分布化簡(jiǎn)為,二項(xiàng)分布(數(shù)學(xué)期望和方差),,數(shù)學(xué)期望 ?=E(X) = np方差

36、 ? 2 =D(X) = npq,二項(xiàng)分布 (例題分析),【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為4%，從中任意有放回地抽 取5個(gè)。求5個(gè)產(chǎn)品中： (1) 沒有次品的概率是多少？ (2) 恰好有1個(gè)次品的概率是多少？ (3) 有3個(gè)以下次品的概率是多少？,二項(xiàng)分布 (用Excel計(jì)算概率),第1步：進(jìn)入Excel表格界面，將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格第

37、2步：在Excel表格界面中，直接點(diǎn)擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令 第3步：在復(fù)選框“函數(shù)分類”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，在“函數(shù)名” 中點(diǎn)擊“BINOMDIST”選項(xiàng)，然后確定 第4步：在Number_s后填入試驗(yàn)成功次數(shù)(本例為1) 在Trials后填入總試驗(yàn)次數(shù)(本例為5) 在Probability_s后填入試驗(yàn)的成功概率(本例為0.04)

38、 在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示計(jì)算成功次 數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率(填入1或TRUE表示計(jì)算 成功次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值),? 用Excel計(jì)算概率,泊松分布(Poisson distribution),,1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松(D.Poisson，1781—1840)首次提出 用于描述在一指定時(shí)間范圍內(nèi)或在一定的長(zhǎng)度、面積、體積

39、之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布泊松分布的例子一定時(shí)間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票電話數(shù)一定時(shí)間內(nèi)，到車站等候公共汽車的人數(shù)一定路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)一定時(shí)間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)一匹布上發(fā)現(xiàn)的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)一定頁數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯(cuò)別字個(gè)數(shù),泊松分布(概率分布函數(shù)),,?— 給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面 積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e = 2.71828 x —給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面 積、體積

40、內(nèi)“成功”的次數(shù),泊松分布(數(shù)學(xué)期望和方差),,數(shù)學(xué)期望 E ( X ) = ?方差 D ( X ) = ?,泊松分布 (例題分析),【例】假定某航空公司預(yù)訂票處平均每小時(shí)接到42次訂票電話，那么10分鐘內(nèi)恰好接到6次電話的概率是多少？,解：設(shè)X=10分鐘內(nèi)航空公司預(yù)訂票處接到的電話次數(shù),泊松分布 (用Excel計(jì)算概率),第1步：進(jìn)入Excel表格界面，將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格第2步

41、：在Excel表格界面中，直接點(diǎn)擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令 第3步：在復(fù)選框“函數(shù)分類”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，并在“函數(shù)名 ”中點(diǎn)擊“POISSON ”選項(xiàng)，然后確定 第4步：在X后填入事件出現(xiàn)的次數(shù)(本例為6) 在Means后填入泊松分布的均值?(本例為7) 在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示計(jì)算成功次 數(shù)恰

42、好等于指定數(shù)值的概率(填入1或TRUE表示計(jì)算 成功次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值),? 用Excel計(jì)算概率,泊松分布(作為二項(xiàng)分布的近似),,當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù) n 很大，成功的概率 p 很小時(shí)，可用泊松分布來近似地計(jì)算二項(xiàng)分布的概率，即,實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng) P?0.05，n>20，np?5時(shí)，近似效果良好,超幾何分布(hypergeometric distribution),,采用不重復(fù)抽樣，各次試驗(yàn)

43、并不獨(dú)立，成功的概率也互不相等總體元素的數(shù)目N很小，或樣本容量n相對(duì)于N來說較大時(shí)，樣本中“成功”的次數(shù)則服從超幾何概率分布概率分布函數(shù)為,超幾何分布 (例題分析),【例】假定有10支股票，其中有3支購(gòu)買后可以獲利，另外7支購(gòu)買后將會(huì)虧損。如果你打算從10支股票中選擇4支購(gòu)買，但你并不知道哪3支是獲利的，哪7支是虧損的。求： (1)有3支能獲利的股票都被你選中的概率有多大？ (2)3支可獲利的股票中有2支被你選中

44、的概率有多大？,解：設(shè)N=10，M=3，n=4,超幾何分布 (用Excel計(jì)算概率),第1步：進(jìn)入Excel表格界面，將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格第2步：在Excel表格界面中，直接點(diǎn)擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令 第3步：在復(fù)選框“函數(shù)分類”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，并在“函數(shù)名” 中點(diǎn)擊“HYPGEOMDIST ”選項(xiàng)，然后確定 第4步：在Sample_s后填入樣本中成功的次數(shù)x(本例為3)

45、 在Number_sample后填入樣本容量n(本例為4) 在Population_s后填入總體中成功的次數(shù)M(本例為3) 在Number_pop后填入總體中的個(gè)體總數(shù)N (本例為10),? 用Excel計(jì)算概率,5.3 連續(xù)型概率分布,5.3.1 概率密度函數(shù)5.3.2 正態(tài)分布5.3.3 其他連續(xù)型概率分布,常用連續(xù)型概率分布,概率密度函數(shù),連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布,

46、,連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值它取任何一個(gè)特定的值的概率都等于0不能列出每一個(gè)值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率用概率密度函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述,概率密度函數(shù)(probability density function),,設(shè)X為一連續(xù)型隨機(jī)變量，x 為任意實(shí)數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件,f(x)不是概率,概率密度函數(shù),? 密度函數(shù) f(x)表示X 的所有取值 x 及

47、其頻數(shù)f(x),概率密度函數(shù),,? 在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對(duì)于任何實(shí)數(shù) x1 < x2，P(x1< X? x2)是該曲線下從x1 到 x2的面積,概率是曲線下的面積,分布函數(shù) (distribution function),,連續(xù)型隨機(jī)變量的概率可以用分布函數(shù)F(x)來表示分布函數(shù)定義為,根據(jù)分布函數(shù)，P(a<X<b)可以寫為,分布函數(shù)與密度函數(shù)的圖示,密度函數(shù)曲線下的面積等于1分布函數(shù)

48、是曲線下小于 x0 的面積,連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差,,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望方差,正態(tài)分布,正態(tài)分布(normal distribution),由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)作為描述誤差相對(duì)頻數(shù)分布的模型而提出描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布許多現(xiàn)象都可以由正態(tài)分布來描述 可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布例如： 二項(xiàng)分布經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ),概率密度函數(shù),,f(x) =

49、 隨機(jī)變量 X 的頻數(shù) ? = 正態(tài)隨機(jī)變量X的均值? ?= 正態(tài)隨機(jī)變量X的方差 ? = 3.1415926; e = 2.71828x = 隨機(jī)變量的取值 (-? < x < ?),正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì),圖形是關(guān)于x=?對(duì)稱鐘形曲線，且峰值在x= ?處均值?和標(biāo)準(zhǔn)差?一旦確定，分布的具體形式也惟一確定，不同參數(shù)正態(tài)分布構(gòu)成一個(gè)完整的“正態(tài)分布族” 均值?可取實(shí)數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線的具體位置；標(biāo)準(zhǔn)差決

50、定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。?越大，正態(tài)曲線扁平；?越小，正態(tài)曲線越高陡峭當(dāng)X的取值向橫軸左右兩個(gè)方向無限延伸時(shí)，曲線的兩個(gè)尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠(yuǎn)不會(huì)與之相交正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1,? 和? 對(duì)正態(tài)曲線的影響,,正態(tài)分布的概率,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standardize the normal distribution),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù),隨機(jī)變量具有均值

51、為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布任何一個(gè)一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用,,對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即Z~N(0,1)，有P (a? Z?b)? ? ?b? ?? ?a?P (|Z| ?a)? 2? ?a? ?1對(duì)于負(fù)的 z ，可由? (-z)???? ?z?得到對(duì)于一般正態(tài)分布，即X~N(? , ? )，有,標(biāo)準(zhǔn)化的例子 P(5 ? X ? 6.2),

52、標(biāo)準(zhǔn)化的例子P(2.9 ? X ? 7.1),正態(tài)分布(例題分析),【例】定某公司職員每周的加班津貼服從均值為50元、標(biāo)準(zhǔn)差為10元的正態(tài)分布，那么全公司中有多少比例的職員每周的加班津貼會(huì)超過70元，又有多少比例的職員每周的加班津貼在40元到60元之間呢？,解：設(shè)?=50，? =10，X～N(50,102),正態(tài)分布 (用Excel計(jì)算概率),第1步：進(jìn)入Excel表格界面，將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格第2步：在Excel表格界

53、面中，直接點(diǎn)擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令 第3步：在復(fù)選框“函數(shù)分類”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，并在“函數(shù)名 ”中點(diǎn)擊“NORMDIST ”選項(xiàng)，然后確定 第4步：在X后填入正態(tài)分布函數(shù)計(jì)算的區(qū)間點(diǎn)(本例為70) 在Mean后填入正態(tài)分布的均值? (本例為50) 在P Standard_dev后填入標(biāo)準(zhǔn)差? (本例為10) 在Cumulative后填入1（或TRUE

54、）表示計(jì)算事件出現(xiàn) 次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值,? 用Excel計(jì)算概率,數(shù)據(jù)正態(tài)性的評(píng)估方法,數(shù)據(jù)正態(tài)性的評(píng)估方法,對(duì)數(shù)據(jù)畫出頻數(shù)分布的直方圖或莖葉圖若數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，則圖形的形狀與上面給出的正態(tài)曲線應(yīng)該相似求出樣本數(shù)據(jù)的四分位差Qd和標(biāo)準(zhǔn)差s，然后計(jì)算比值Qd/s 。若數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，則有 Qd/s?

55、1/3根據(jù)第3章的數(shù)據(jù)得： Qd/s=1.285913 ?13,二項(xiàng)分布的正態(tài)近似,二項(xiàng)分布的正態(tài)近似,當(dāng)n 很大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量X近似服從正態(tài)分布N{np , np(1-p)}對(duì)于一個(gè)二項(xiàng)隨機(jī)變量X，當(dāng)n很大時(shí)， X取某一特定值的概率可用正態(tài)分布近似為,X取某一區(qū)間[a,b]的概率可用正態(tài)分布近似為,二項(xiàng)分布的正態(tài)近似,二項(xiàng)分布的正態(tài)近似(例題分析),【例】考慮某離散型隨機(jī)變量X，若X～B(100，0.2)，試計(jì)算這100次伯

56、努利試驗(yàn)中恰好有15次成功的概率,解：設(shè)np=100?0.2=20>5，n(1-p) =100 ?(1-0.2=80>5),均勻分布,均勻分布(uniform distribution),若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 稱X在 [a ,b]上服從均勻分布，記為X~U[a,b]數(shù)學(xué)期望和方差,均勻分布(概率計(jì)算),隨機(jī)變量X在某取值范圍[a ,b]的任一子區(qū)間[c ,d]上取值的概率為 同樣有：,均勻

57、分布(例題分析),【例】某公共汽車站從早上6時(shí)起每隔15分鐘開出一趟班車，假定某乘客在6點(diǎn)以后到達(dá)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，所以有理由認(rèn)為他等候乘車的時(shí)間長(zhǎng)度X服從參數(shù)為a=0，b=15的均勻分布。試求該乘客等候乘車的時(shí)間長(zhǎng)度少于5分鐘的概率,解：概率密度函數(shù)為落入?yún)^(qū)間[0，15]的任一子區(qū)間[0，d]的概率是 ，等候乘車的時(shí)間長(zhǎng)度少于5分鐘即有d =5，因此該事件發(fā)生的概率等于5/15=1/3,指數(shù)分布,指數(shù)分布

58、(exponential distribution),若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 稱X服從參數(shù)為?的指 數(shù)分布，記為X~E(?)數(shù)學(xué)期望和方差,指數(shù)分布(概率計(jì)算),隨機(jī)變量X取小于或等于某一特定值x的概率為 隨機(jī)變量X落入任一區(qū)間(a，b)的概率為,指數(shù)分布(例題分析),【例】假定某加油站在一輛汽車到達(dá)之后等待下一輛汽車到達(dá)所需要的時(shí)間(單位：分鐘)服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布，如果現(xiàn)在正好有

59、一輛汽車剛剛到站加油，試分別求以下幾個(gè)事件發(fā)生的概率： (1)一輛汽車到站前需要等待5分鐘以上 (2)一輛汽車到站前需要等待5~10分鐘,解：,指數(shù)分布 (用Excel計(jì)算概率),第1步：進(jìn)入Excel表格界面，將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格第2步：在Excel表格界面中，直接點(diǎn)擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令 第3步：在復(fù)選框“函數(shù)分類”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，并在“函數(shù)名 ”中點(diǎn)擊“EXPONDIST”選

60、項(xiàng)，然后確定 第4步：在X后填入指數(shù)分布函數(shù)計(jì)算的區(qū)間點(diǎn) (本例為5) 在Lambda后填入?yún)?shù) ? (本例為0.2) 在Cumulative后填入1（或TRUE）表示計(jì)算事件出現(xiàn) 次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值(填入0或 FALSE則表示計(jì)算事件出現(xiàn)次數(shù)大于指定數(shù)值的累積概 率值),? 用Excel計(jì)算概率,本章小結(jié),事件及其概率離散型概率分布