統(tǒng)計學第六版賈俊平第5章

1、第 5 章 概率與概率分布,第 5 章 概率與概率分布,5.1 事件及其概率5.2 離散型概率分布5.3 連續(xù)型概率分布,學習目標,定義試驗、事件、樣本空間、概率描述和使用概率的運算法則定義和解釋隨機變量及其分布計算離散型隨機變量的概率和概率分布計算連續(xù)型隨機變量的概率用Excel計算分布的概率,5.1 事件及其概率,5.1.1 試驗、事件和樣本空間5.1.2 事件的概率5.1.3 概率的性

2、質(zhì)和運算法則5.1.4 條件概率與事件的獨立性5.1.5 全概公式與逆概公式,試驗、事件和樣本空間,試 驗(experiment),對試驗對象進行一次觀察或測量的過程 擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)從一副52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結(jié)果(紙牌的數(shù)字或花色)試驗的特點可以在相同的條件下重復進行每次試驗的可能結(jié)果可能不止一個，但試驗的所有可能結(jié)果在試驗之前是確切知道的在試驗結(jié)束之前，不能確定該次試驗的確切結(jié)果,

3、事件(event),事件：試驗的每一個可能結(jié)果(任何樣本點集合)擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)為3用大寫字母A，B，C，…表示隨機事件(random event)：每次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點數(shù),事件(event),簡單事件(simple event) ：不能被分解成其他事件組合的基本事件拋一枚均勻硬幣，“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面” 必然事件(certain event)：每次試驗一定出現(xiàn)的事件，用?表示

4、擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)小于7不可能事件(impossible event)：每次試驗一定不出現(xiàn)的事件，用?表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)大于6,樣本空間與樣本點,樣本空間(sample Space)一個試驗中所有結(jié)果的集合，用?表示例如：在擲一顆骰子的試驗中，樣本空間表示為：??{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗中，??{正面，反面}樣本點( sample point)樣本空間中每一個特定的試驗結(jié)果用符號?表示,事件的

5、概率,事件的概率(probability),事件A的概率是一個介于0和1之間的一個值，用以度量試驗完成時事件A發(fā)生的可能性大小， 記為P(A)當試驗的次數(shù)很多時，概率P(A)可以由所觀察到的事件A發(fā)生次數(shù)(頻數(shù))的比例來逼近在相同條件下，重復進行n次試驗，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率可以寫為,事件的概率,?例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù) n 的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右,概率的性

6、質(zhì)和運算法則,互斥事件及其概率(mutually exclusive events),? 在試驗中，兩個事件有一個發(fā)生時，另一個就不能發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥事件,(沒有公共樣本點),互斥事件的文氏圖(Venn diagram),互斥事件及其概率(例題分析),【例】在一所城市中隨機抽取600個家庭，用以確定擁有個人電腦的家庭所占的比例。定義如下事件： A：600個家庭中恰好有265個家庭擁有電腦 B：

7、恰好有100個家庭擁有電腦 C：特定戶張三家擁有電腦 說明下列各對事件是否為互斥事件，并說明你的理由 (1) A與B (2) A與C (3) B與 C,互斥事件及其概率(例題分析),解：(1) 事件A與B是互斥事件。因為你觀察 到恰好有265個家庭擁有電腦，就 不可能恰好有100個家庭擁有電腦 (2) 事件A與

8、C不是互斥事件。因為張三 也許正是這265個家庭之一，因而事 件與有可能同時發(fā)生 (3) 事件B與C不是互斥事件。理由同(2),互斥事件及其概率(例題分析),,【例】同時拋擲兩枚硬幣，并考察其結(jié)果。恰好有一枚 正面朝上的概率是多少？,解：用H表示正面，T表示反面，下標1和2表示硬幣1 和硬幣2。該項試驗會有4個互斥事件之一發(fā)生

9、 (1) 兩枚硬幣都正面朝上，記為H1H2 (2) 1號硬幣正面朝上而2號硬幣反面朝上，記為H1T2 (3) 1號硬幣反面朝上而2號硬幣正面朝上，記為T1H2 (4) 兩枚硬幣都是反面朝上，記為 T1T2,互斥事件及其概率(例題分析),解：由于每一枚硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的概率都是1/2，當拋擲的次數(shù)逐漸增大時，上面的4個簡單事件中每一事件發(fā)生的相對頻數(shù)(概率)將近似等于

10、1/4。因為僅當H1T2或T1H2發(fā)生時，才會恰好有一枚硬幣朝上的事件發(fā)生，而事件H1T2或T1H2又為互斥事件，兩個事件中一個事件發(fā)生或者另一個事件發(fā)生的概率便是1/2(1/4+1/4)。因此，拋擲兩枚硬幣，恰好有一枚出現(xiàn)正面的概率等于H1T2或T1H2發(fā)生的概率，也就是兩種事件中每個事件發(fā)生的概率之和,互斥事件的加法規(guī)則(addition law),? 加法規(guī)則若兩個事件A與B互斥，則事件A發(fā)生或事件B發(fā)生的概率等于這兩個事件

11、各自的概率之和，即 P(A∪B) =P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有 P(A1∪A2 ∪…∪An) =P(A1)+P(A2) +…+P(An),互斥事件的加法規(guī)則 (例題分析),解：擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)(1，2，3，4，5，6)共有 6個互斥事件，而且每個事件出現(xiàn)的概率都為1/6 根據(jù)互斥事

12、件的加法規(guī)則，得,【例】拋擲一顆骰子，并考察其結(jié)果。求出其點 數(shù)為1點或2點或3點或4點或5點或6點的概率,概率的性質(zhì)(小結(jié)),非負性對任意事件A，有 P ?1規(guī)范性一個事件的概率是一個介于0與1之間的值，即對于任意事件 A，有0 ? P ? 1必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P (? )=1； P(? )=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B) =P(A)+P(B)推廣到多個兩兩互斥事件A1，A2，…，An

13、，有 P( A1∪A2 ∪… ∪An) = P(A1)+P(A2)+…+P(An),事件的補及其概率,? 事件的補(complement) 事件A不發(fā)生的事件，稱為補事件A的補事件(或稱逆事件)，記為?A 。它是樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點的集合,,A,?,? A,P(?A)=1- P(A),廣義加法公式,? 廣義加法公式 對任意兩個隨機事件A和B，它們和的概率為兩個事件分別概率的和減去兩個事

14、件交的概率，即 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B),兩個事件的并,兩個事件的交,,,廣義加法公式(事件的并或和),? 事件A或事件B發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的并。它是由屬于事件A或事件B的所有樣本點的集合，記為A∪B或A+B,廣義加法公式(事件的交或積),? 事件A與事件B同時發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點所組成的集合，記為B∩A 或AB,廣義

15、加法公式(例題分析),解：設 A =員工離職是因為對工資不滿意 B =員工離職是因為對工作不滿意 依題意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15 P(AÚB)= P(A)+ P(B)- P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55,【例】一家計算機軟件開發(fā)公司的人事部門最近做了一項調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在最近兩年內(nèi)離職的公司員工中有40%

16、是因為對工資不滿意，有30%是因為對工作不滿意，有15%是因為他們對工資和工作都不滿意。求兩年內(nèi)離職的員工中，離職原因是因為對工資不滿意、或者對工作不滿意、或者二者皆有的概率,條件概率與事件的獨立性,條件概率(conditional probability),? 在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為已知事件B時事件A的條件概率，記為P(A|B),條件概率(例題分析),解：設 A =顧客購買食品， B =顧客購買其他商品

17、 依題意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35,【例】一家超市所作的一項調(diào)查表明，有80%的顧客到超市是來購買食品，60%的人是來購買其他商品，35%的人既購買食品也購買其他商品。求： (1)已知某顧客購買食品的條件下，也購買其他商品的概率 (2)已知某顧客購買其他的條件下，也購買食品的概率,條件概率(例題分析),【例】一家電腦公司從兩個供應商處購買了同一種計算機配件，質(zhì)量狀況如下表所

18、示 從這200個配件中任取一個進行檢查，求 (1) 取出的一個為正品的概率 (2) 取出的一個為供應商甲的配件的概率 (3) 取出一個為供應商乙的正品的概率 (4) 已知取出一個為供應商甲的配件，它是正品的概率,,條件概率(例題分析),解：設 A = 取出的一個為正品 B = 取

19、出的一個為供應商甲供應的配件 (1) (2) (3) (4),乘法公式(multiplicative law),用來計算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎設A，B為兩個事件，若P(B)>0，則 P(AB)=P(B)P(A|B)

20、 或 P(AB)=P(A)P(B|A),乘法公式(例題分析),【例】一家報紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有75%的住戶訂閱了該報紙的日報，而且還知道某個訂閱日報的住戶訂閱其晚報的概率為50%。求某住戶既訂閱日報又訂閱晚報的概率,解：設 A = 某住戶訂閱了日報 B = 某個訂閱了日報的住戶訂閱了晚報 依題意有：P(A)=0.75；P(B|A

21、)=0.50 P(AB)=P(A)· P(B|A)=0.75×0.5=0.375,獨立事件與乘法公式(例題分析),【例】從一個裝有3個紅球2個白球的盒子里摸球(摸出后球不放回)，求連續(xù)兩次摸中紅球的概率,解：設 A = 第2次摸到紅球 B = 第1次摸到紅球 依題意有： P(B)=3/5；P(A|B)=

22、2/4 P(AB)=P(A)· P(B|A)=3/5×2/4=0.3,獨立事件與乘法公式(independent events),若P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B) ，則稱事件A與B事件獨立，或稱獨立事件 若兩個事件相互獨立，則這兩個事件同時發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積，即 P(AB)= P(A)· P(B)若事件A1,A

23、2,?,An相互獨立，則 P(A1, A2, ?, An)= P(A1)· P(A2) · ? · P(An),獨立事件與乘法公式(例題分析),【例】一個旅游經(jīng)景點的管理員根據(jù)以往的經(jīng)驗得知，有80%的游客在古建筑前照相留念。求接下來的兩個游客都照相留念的概率,解：設 A = 第一個游客照相留念 B = 第二個游客照相留念 兩個游客都照相留念是兩個事件

24、的交。在沒 有其他信息的情況下，我們可以假定事件A 和事件B是相互立的，所以有 P(AB)=P(A)· P(B)=0.80×0.80=0.64,獨立事件與乘法公式(例題分析),【例】假定我們是從兩個同樣裝有3個紅球2個白球的盒子摸球。每個盒子里摸1個。求連續(xù)兩次摸中紅球的概率,解：設 A = 從第一個盒子里摸到紅球 B = 從第二個盒子

25、里摸到紅球 依題意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5 P(AB)=P(A)· P(B|A)=3/5×3/5=0.36,全概公式與逆概公式,全概公式,? 全概公式,完備事件組,全概公式(例題分析),【例】假設在n張彩票中只有一張中獎獎券，那么第二個人摸到獎券的概率是多少？,解：設 A = 第二個人摸到獎券，B = 第一個人摸到獎券 依題

26、意有：P(B)=1/n；P(?B)=(n-1)/n P(A|B)=0 P(A|?B)=1/(n-1),逆概公式,? 逆概公式(貝葉斯公式 ),P(Bi)被稱為事件Bi的先驗概率(prior probability)P(Bi|A)被稱為事件Bi的后驗概率(posterior probability),逆概公式(例題分析),【例】某考生回答一道四選一的考題，假設他知道正確答案的

27、概率為1/2，而他不知道正確答案時猜對的概率應該為1/4?？荚嚱Y(jié)束后發(fā)現(xiàn)他答對了，那么他知道正確答案的概率是多大呢？,解：設 A = 該考生答對了 ，B = 該考生知道正確答案 依題意有：P(B)=1/2； P(?B)=1-1/2 = 1/2 P(A|?B)=1/4 P(A|B)=1,5.2 離散型概率分布,5.2.1 隨機變量5.2.2

28、 離散型隨機變量的概率分布5.2.3 離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差5.2.4 幾種常用的離散型概率分布,隨機變量,隨機變量(random variables),,一次試驗的結(jié)果的數(shù)值性描述一般用 X，Y，Z 來表示例如： 投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量,離散型隨機變量(discrete random variables),,隨機變量 X 取有限個值或所有取值都可以逐

29、個列舉出來 x1 , x2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機變量的一些例子,連續(xù)型隨機變量(continuous random variables),,可以取一個或多個區(qū)間中任何值 所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點連續(xù)型隨機變量的一些例子,離散型隨機變量的概率分布,離散型隨機變量的概率分布,,列出離散型隨機變量X的所有可能取值列出隨機變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示,P(X =x

30、i)=pi稱為離散型隨機變量的概率函數(shù)pi?0 ；,離散型隨機變量的概率分布 (例題分析),【例】投擲一顆骰子后出現(xiàn)的點數(shù)是一個離散型隨機變量。寫出擲一枚骰子出現(xiàn)點數(shù)的概率分布,概率分布,離散型隨機變量的概率分布 (例題分析),【例】一部電梯在一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)X及相應的概率如下表,一部電梯一周發(fā)生故障的次數(shù)及概率分布,(1) 確定?的值 (2) 求正好發(fā)生兩次故障的概率 (3) 求故障次數(shù)

31、多于一次的概率 (4) 最多發(fā)生一次故障的概率,離散型隨機變量的概率分布 (例題分析),解：(1) 由于0.10+0.25+0.35+? =1 所以，? =0.30 (2) P(X=2)=0.35 (3) P(X? 2)=0.10+0.25+0.35=0.70 (4) P(X?1)=0.35+0.30=0.65,離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差,離散

32、型隨機變量的數(shù)學期望(expected value),,離散型隨機變量X的所有可能取值xi與其取相對應的概率pi乘積之和描述離散型隨機變量取值的集中程度記為? 或E(X)計算公式為,離散型隨機變量的方差(variance),,隨機變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的數(shù)學期望，記為? 2 或D(X)描述離散型隨機變量取值的分散程度計算公式為方差的平方根稱為標準差，記為? 或?D(X),,離散型數(shù)學期望和方差 (例

33、題分析),【例】一家電腦配件供應商聲稱，他所提供的配件100個中擁有次品的個數(shù)及概率如下表,每100個配件中的次品數(shù)及概率分布,求該供應商次品數(shù)的數(shù)學期望和標準差,幾種常用的離散型概率分布,常用離散型概率分布,兩點分布,,一個離散型隨機變量X只取0和1兩個可能的值它們的概率分布為 或也稱0-1分布,兩點分布 (例題分析),【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p＝0.04，合格率為q=1-p=1-0.0

34、4=0.96。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機變量，其概率分布為,二項試驗(伯努利試驗),,二項分布與伯努利試驗有關(guān)貝努里試驗滿足下列條件一次試驗只有兩個可能結(jié)果，即“成功”和“失敗”“成功”是指我們感興趣的某種特征一次試驗“成功”的概率為p ，失敗的概率為q =1- p，且概率p對每次試驗都是相同的 試驗是相互獨立的，并可以重復進行n次 在n次試驗中，“成功”的次數(shù)對應一個離散型

35、隨機變量X,二項分布(Binomial distribution),,重復進行 n 次試驗，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項分布，記為X~B(n，p)設X為 n 次重復試驗中出現(xiàn)成功的次數(shù)，X 取 x 的概率為,二項分布,,對于P(X=x)? 0， x =1,2,…,n，有同樣有當 n = 1 時，二項分布化簡為,二項分布(數(shù)學期望和方差),,數(shù)學期望 ?=E(X) = np方差

36、 ? 2 =D(X) = npq,二項分布 (例題分析),【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為4%，從中任意有放回地抽 取5個。求5個產(chǎn)品中： (1) 沒有次品的概率是多少？ (2) 恰好有1個次品的概率是多少？ (3) 有3個以下次品的概率是多少？,二項分布 (用Excel計算概率),第1步：進入Excel表格界面，將鼠標停留在某一空白單元格第

37、2步：在Excel表格界面中，直接點擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令 第3步：在復選框“函數(shù)分類”中點擊“統(tǒng)計”選項，在“函數(shù)名” 中點擊“BINOMDIST”選項，然后確定 第4步：在Number_s后填入試驗成功次數(shù)(本例為1) 在Trials后填入總試驗次數(shù)(本例為5) 在Probability_s后填入試驗的成功概率(本例為0.04)

38、 在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示計算成功次 數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率(填入1或TRUE表示計算 成功次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值),? 用Excel計算概率,泊松分布(Poisson distribution),,1837年法國數(shù)學家泊松(D.Poisson，1781—1840)首次提出 用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面積、體積

39、之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布泊松分布的例子一定時間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票電話數(shù)一定時間內(nèi)，到車站等候公共汽車的人數(shù)一定路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)一定時間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)一匹布上發(fā)現(xiàn)的疵點個數(shù)一定頁數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯別字個數(shù),泊松分布(概率分布函數(shù)),,?— 給定的時間間隔、長度、面 積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e = 2.71828 x —給定的時間間隔、長度、面 積、體積

40、內(nèi)“成功”的次數(shù),泊松分布(數(shù)學期望和方差),,數(shù)學期望 E ( X ) = ?方差 D ( X ) = ?,泊松分布 (例題分析),【例】假定某航空公司預訂票處平均每小時接到42次訂票電話，那么10分鐘內(nèi)恰好接到6次電話的概率是多少？,解：設X=10分鐘內(nèi)航空公司預訂票處接到的電話次數(shù),泊松分布 (用Excel計算概率),第1步：進入Excel表格界面，將鼠標停留在某一空白單元格第2步

41、：在Excel表格界面中，直接點擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令 第3步：在復選框“函數(shù)分類”中點擊“統(tǒng)計”選項，并在“函數(shù)名 ”中點擊“POISSON ”選項，然后確定 第4步：在X后填入事件出現(xiàn)的次數(shù)(本例為6) 在Means后填入泊松分布的均值?(本例為7) 在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示計算成功次 數(shù)恰

42、好等于指定數(shù)值的概率(填入1或TRUE表示計算 成功次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值),? 用Excel計算概率,泊松分布(作為二項分布的近似),,當試驗的次數(shù) n 很大，成功的概率 p 很小時，可用泊松分布來近似地計算二項分布的概率，即,實際應用中，當 P?0.05，n>20，np?5時，近似效果良好,超幾何分布(hypergeometric distribution),,采用不重復抽樣，各次試驗

43、并不獨立，成功的概率也互不相等總體元素的數(shù)目N很小，或樣本容量n相對于N來說較大時，樣本中“成功”的次數(shù)則服從超幾何概率分布概率分布函數(shù)為,超幾何分布 (例題分析),【例】假定有10支股票，其中有3支購買后可以獲利，另外7支購買后將會虧損。如果你打算從10支股票中選擇4支購買，但你并不知道哪3支是獲利的，哪7支是虧損的。求： (1)有3支能獲利的股票都被你選中的概率有多大？ (2)3支可獲利的股票中有2支被你選中

44、的概率有多大？,解：設N=10，M=3，n=4,超幾何分布 (用Excel計算概率),第1步：進入Excel表格界面，將鼠標停留在某一空白單元格第2步：在Excel表格界面中，直接點擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令 第3步：在復選框“函數(shù)分類”中點擊“統(tǒng)計”選項，并在“函數(shù)名” 中點擊“HYPGEOMDIST ”選項，然后確定 第4步：在Sample_s后填入樣本中成功的次數(shù)x(本例為3)

45、 在Number_sample后填入樣本容量n(本例為4) 在Population_s后填入總體中成功的次數(shù)M(本例為3) 在Number_pop后填入總體中的個體總數(shù)N (本例為10),? 用Excel計算概率,5.3 連續(xù)型概率分布,5.3.1 概率密度函數(shù)5.3.2 正態(tài)分布5.3.3 其他連續(xù)型概率分布,常用連續(xù)型概率分布,概率密度函數(shù),連續(xù)型隨機變量的概率分布,

46、,連續(xù)型隨機變量可以取某一區(qū)間或整個實數(shù)軸上的任意一個值它取任何一個特定的值的概率都等于0不能列出每一個值及其相應的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率用概率密度函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述,概率密度函數(shù)(probability density function),,設X為一連續(xù)型隨機變量，x 為任意實數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件,f(x)不是概率,概率密度函數(shù),? 密度函數(shù) f(x)表示X 的所有取值 x 及

47、其頻數(shù)f(x),概率密度函數(shù),,? 在平面直角坐標系中畫出f(x)的圖形，則對于任何實數(shù) x1 < x2，P(x1< X? x2)是該曲線下從x1 到 x2的面積,概率是曲線下的面積,分布函數(shù) (distribution function),,連續(xù)型隨機變量的概率可以用分布函數(shù)F(x)來表示分布函數(shù)定義為,根據(jù)分布函數(shù)，P(a<X<b)可以寫為,分布函數(shù)與密度函數(shù)的圖示,密度函數(shù)曲線下的面積等于1分布函數(shù)

48、是曲線下小于 x0 的面積,連續(xù)型隨機變量的期望和方差,,連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望方差,正態(tài)分布,正態(tài)分布(normal distribution),由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)作為描述誤差相對頻數(shù)分布的模型而提出描述連續(xù)型隨機變量的最重要的分布許多現(xiàn)象都可以由正態(tài)分布來描述 可用于近似離散型隨機變量的分布例如： 二項分布經(jīng)典統(tǒng)計推斷的基礎,概率密度函數(shù),,f(x) =

49、 隨機變量 X 的頻數(shù) ? = 正態(tài)隨機變量X的均值? ?= 正態(tài)隨機變量X的方差 ? = 3.1415926; e = 2.71828x = 隨機變量的取值 (-? < x < ?),正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì),圖形是關(guān)于x=?對稱鐘形曲線，且峰值在x= ?處均值?和標準差?一旦確定，分布的具體形式也惟一確定，不同參數(shù)正態(tài)分布構(gòu)成一個完整的“正態(tài)分布族” 均值?可取實數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線的具體位置；標準差決

50、定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。?越大，正態(tài)曲線扁平；?越小，正態(tài)曲線越高陡峭當X的取值向橫軸左右兩個方向無限延伸時，曲線的兩個尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠不會與之相交正態(tài)隨機變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1,? 和? 對正態(tài)曲線的影響,,正態(tài)分布的概率,標準正態(tài)分布(standardize the normal distribution),標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù),隨機變量具有均值

51、為0，標準差為1的正態(tài)分布任何一個一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布,標準正態(tài)分布的分布函數(shù),標準正態(tài)分布,標準正態(tài)分布表的使用,,對于標準正態(tài)分布，即Z~N(0,1)，有P (a? Z?b)? ? ?b? ?? ?a?P (|Z| ?a)? 2? ?a? ?1對于負的 z ，可由? (-z)???? ?z?得到對于一般正態(tài)分布，即X~N(? , ? )，有,標準化的例子 P(5 ? X ? 6.2),

52、標準化的例子P(2.9 ? X ? 7.1),正態(tài)分布(例題分析),【例】定某公司職員每周的加班津貼服從均值為50元、標準差為10元的正態(tài)分布，那么全公司中有多少比例的職員每周的加班津貼會超過70元，又有多少比例的職員每周的加班津貼在40元到60元之間呢？,解：設?=50，? =10，X～N(50,102),正態(tài)分布 (用Excel計算概率),第1步：進入Excel表格界面，將鼠標停留在某一空白單元格第2步：在Excel表格界

53、面中，直接點擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令 第3步：在復選框“函數(shù)分類”中點擊“統(tǒng)計”選項，并在“函數(shù)名 ”中點擊“NORMDIST ”選項，然后確定 第4步：在X后填入正態(tài)分布函數(shù)計算的區(qū)間點(本例為70) 在Mean后填入正態(tài)分布的均值? (本例為50) 在P Standard_dev后填入標準差? (本例為10) 在Cumulative后填入1（或TRUE

54、）表示計算事件出現(xiàn) 次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值,? 用Excel計算概率,數(shù)據(jù)正態(tài)性的評估方法,數(shù)據(jù)正態(tài)性的評估方法,對數(shù)據(jù)畫出頻數(shù)分布的直方圖或莖葉圖若數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，則圖形的形狀與上面給出的正態(tài)曲線應該相似求出樣本數(shù)據(jù)的四分位差Qd和標準差s，然后計算比值Qd/s 。若數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，則有 Qd/s?

55、1/3根據(jù)第3章的數(shù)據(jù)得： Qd/s=1.285913 ?13,二項分布的正態(tài)近似,二項分布的正態(tài)近似,當n 很大時，二項隨機變量X近似服從正態(tài)分布N{np , np(1-p)}對于一個二項隨機變量X，當n很大時， X取某一特定值的概率可用正態(tài)分布近似為,X取某一區(qū)間[a,b]的概率可用正態(tài)分布近似為,二項分布的正態(tài)近似,二項分布的正態(tài)近似(例題分析),【例】考慮某離散型隨機變量X，若X～B(100，0.2)，試計算這100次伯

56、努利試驗中恰好有15次成功的概率,解：設np=100?0.2=20>5，n(1-p) =100 ?(1-0.2=80>5),均勻分布,均勻分布(uniform distribution),若隨機變量X的概率密度函數(shù)為 稱X在 [a ,b]上服從均勻分布，記為X~U[a,b]數(shù)學期望和方差,均勻分布(概率計算),隨機變量X在某取值范圍[a ,b]的任一子區(qū)間[c ,d]上取值的概率為 同樣有：,均勻

57、分布(例題分析),【例】某公共汽車站從早上6時起每隔15分鐘開出一趟班車，假定某乘客在6點以后到達車站的時刻是隨機的，所以有理由認為他等候乘車的時間長度X服從參數(shù)為a=0，b=15的均勻分布。試求該乘客等候乘車的時間長度少于5分鐘的概率,解：概率密度函數(shù)為落入?yún)^(qū)間[0，15]的任一子區(qū)間[0，d]的概率是 ，等候乘車的時間長度少于5分鐘即有d =5，因此該事件發(fā)生的概率等于5/15=1/3,指數(shù)分布,指數(shù)分布

58、(exponential distribution),若隨機變量X的概率密度函數(shù)為 稱X服從參數(shù)為?的指 數(shù)分布，記為X~E(?)數(shù)學期望和方差,指數(shù)分布(概率計算),隨機變量X取小于或等于某一特定值x的概率為 隨機變量X落入任一區(qū)間(a，b)的概率為,指數(shù)分布(例題分析),【例】假定某加油站在一輛汽車到達之后等待下一輛汽車到達所需要的時間(單位：分鐘)服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布，如果現(xiàn)在正好有

59、一輛汽車剛剛到站加油，試分別求以下幾個事件發(fā)生的概率： (1)一輛汽車到站前需要等待5分鐘以上 (2)一輛汽車到站前需要等待5~10分鐘,解：,指數(shù)分布 (用Excel計算概率),第1步：進入Excel表格界面，將鼠標停留在某一空白單元格第2步：在Excel表格界面中，直接點擊“f(x)”(粘貼函數(shù))命令 第3步：在復選框“函數(shù)分類”中點擊“統(tǒng)計”選項，并在“函數(shù)名 ”中點擊“EXPONDIST”選

60、項，然后確定 第4步：在X后填入指數(shù)分布函數(shù)計算的區(qū)間點 (本例為5) 在Lambda后填入?yún)?shù) ? (本例為0.2) 在Cumulative后填入1（或TRUE）表示計算事件出現(xiàn) 次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值(填入0或 FALSE則表示計算事件出現(xiàn)次數(shù)大于指定數(shù)值的累積概 率值),? 用Excel計算概率,本章小結(jié),事件及其概率離散型概率分布