組合數(shù)學(xué)第二章習(xí)題

1、1.證明等式,解：...,2.求 中 項(xiàng)的系數(shù).,解：...,3.有紅、黃、藍(lán)、白球各兩個(gè)，綠、紫、黑的球各3個(gè)，問從中取出10個(gè)球，試問有多少種不同的取法？,解：...,4.求由A,B,C,D組成的允許重復(fù)的排列中AB至少出現(xiàn)一次的排列數(shù)目。,解：...,5.求n位四進(jìn)制數(shù)中2和3必須出現(xiàn)偶次的數(shù)目。,解：...,6.試求由a,b,c三個(gè)文字組成的n位符號(hào)串中

2、不出現(xiàn)aa圖像的符號(hào)串的數(shù)目。,解：...,7.證明序列的母函數(shù)為,解：...,8.證明,解：...,9.利用 ，改善 §4(2) 的 估計(jì)式。,解：...,10. 8臺(tái)計(jì)算機(jī)分給3個(gè)單位，第1單位的分配量不超過3臺(tái)，第2單位的分配量不超過4臺(tái)，第3個(gè)單位不超過5臺(tái)，問共有幾種分配方案？,解：...,11. 證明正整數(shù)

3、n都可以唯一地表示成不同的且不相鄰的Fibonacci數(shù)之和。即,注意 是相同的Fibonacci數(shù)。,解：...,12. 設(shè)空間的n個(gè)平面兩兩相交，每3個(gè)平面有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，任意4個(gè)平面都不共點(diǎn)。這樣的n個(gè)平面把空間分割成多少個(gè)不重疊的域？,解：...,13. 相鄰位不同為0的n位2進(jìn)制數(shù)中一共出現(xiàn)了多少個(gè)0？,解：...,14. 在Hanoi塔問題中，在柱A上從上到下套

4、著n個(gè)圓盤，其編號(hào)依次從1到n?，F(xiàn)要將奇數(shù)編號(hào)與偶數(shù)編號(hào)的圓盤分別轉(zhuǎn)移到柱B和柱C上。轉(zhuǎn)移規(guī)則仍然是每次移動(dòng)一個(gè)，始終保持上面的比下面的小。一共要移動(dòng)多少次？,解：...,15. 一書框中有m格，每格各放n冊(cè)同類的書，不同格放的書類型不同。現(xiàn)取出整理后重新放回，但不打亂相同類。試問無一本放在原來位置的方案數(shù)應(yīng)多少？,解：...,16. 設(shè)一矩形 ,其中

5、 作 使得 是一正方形。試證矩形 和 相似。試證繼續(xù)這過程可得一和原矩形相似的矩形序列。,解：...,,,,,,,17. 平面上有兩兩相交，無三線共點(diǎn)的n條直線，試求這n條直線把平面分成多少個(gè)域？,解：...,18. 在一圓周上取n個(gè)點(diǎn)，過一對(duì)頂點(diǎn)可作一弦，不存在三弦共點(diǎn)的現(xiàn)象，求弦把圓分割成幾部分？,解：...

6、,19. 求n位二進(jìn)制數(shù)相鄰兩位不出現(xiàn)11的數(shù)的個(gè)數(shù)。,解：...,20. 從n個(gè)文字中取k個(gè)文字作允許重復(fù)的排列，但不允許一個(gè)文字連續(xù)出現(xiàn)三次，求這樣的排列的數(shù)目。,解：...,21. 求 的和。,解：...,22. 求矩陣,解：...,23. 求,解：...,24. 在一個(gè)平面上畫一個(gè)圓，然后一條一條地畫n條與圓相交的直線。當(dāng)r是大于

7、1的奇數(shù)時(shí)，第r條直線只與前r-1條直線之一在圓內(nèi)相交。當(dāng)r是偶數(shù)時(shí)，第r條直線與前r-1條直線在圓內(nèi)部相交。如果無3條直線在圓內(nèi)共點(diǎn)，這n條直線把圓分割成多少個(gè)不重疊的部分？,解：...,25. 用 記具有整數(shù)邊長周長為n的三角形的個(gè)數(shù)。（a）證明,（b）求序列 的普通形母函數(shù)。,解：...,26. （a）證明邊長為整數(shù)、最大邊長為l的三角形的個(gè)數(shù)是,（b）設(shè) 記邊長不超過2n的三角形的個(gè)數(shù)，

8、而 記邊長不超過2n+1的三角形的個(gè)數(shù)，求 和 的表達(dá)式。,解：...,27. 設(shè),（a）證明,（b）求序列 與 的母函數(shù)。,（c）用Fibonacci數(shù)來表示 與 。,解：...,28. 設(shè),（a）證明,（b）證明 的充要條件是 。,（c）證明,（d）證明

9、 為m,n的最大公約數(shù)。,解：...,29. 從1到n的自然數(shù)中選取k個(gè)不同且不相鄰的數(shù)，設(shè)此選取的方案為 。,（a）求 的遞推關(guān)系。,（b）用歸納法求 。,（c）若設(shè)1與n算是相鄰的數(shù)，并設(shè)在此假定下從1到n的自然數(shù)中選取k個(gè)不同且不相鄰的k個(gè)數(shù)的方案數(shù)為 ，利用 求