天文學(xué)基礎(chǔ)04-行星系統(tǒng)和行星運動規(guī)律

1、天文學(xué)基礎(chǔ)（公共選修課教程）,上海工程技術(shù)大學(xué) 施 韡,§4 行星系統(tǒng)和行星運動規(guī)律,1.知道行星系統(tǒng)的物理定義，了解行星運動空間規(guī)律和視運動規(guī)律；2.能用行星運動規(guī)律指導(dǎo)實踐觀測。,重點：學(xué)習(xí)和了解行星運動規(guī)律，以指導(dǎo)實踐觀測。難點：行星系統(tǒng)二體問題（知道）、開普勒行星運動定律（了解）、行星視運動規(guī)律（熟悉）。,§4.1 行星系統(tǒng),一、萬有引力,萬有引力定律是牛頓于1687年發(fā)表的。這一定律的最大貢獻

2、是把天體運行規(guī)律和地面物體的運動規(guī)律統(tǒng)一起來了。,1、意義,2、數(shù)學(xué)表達,表示任何兩個相距為r并具有質(zhì)量m1及m2的質(zhì)點之間必然存在的相互吸引的力F。,G為萬有引力常數(shù)，G=6.67259×10-11 m3/kg·s2,天文學(xué)中取天文單位、太陽質(zhì)量和日（86400秒）為長度、質(zhì)量、時間的單位，則G=k2，k=0.01720209895，名為“高斯常數(shù)”，是天文常數(shù)系統(tǒng)中視作不變的“定義常數(shù)”。,※庫侖定律：,注意

3、 具有密度分層均勻的同心球?qū)咏Y(jié)構(gòu)的正球體——各向同性的正球體——與質(zhì)量集中于球心的一個具有嚴(yán)格意義的質(zhì)點等價。,二、二體問題,二體問題是假設(shè)只有兩個天體，不考慮其他天體的干擾，在萬有引力作用下如何運動的問題。,1、什么是二體問題？,2、二體問題的空間示意圖,,,,,,,O,P,Q,x,y,z,·,·,建立任一空間坐標(biāo)系O-xyz，P和Q分別是兩個天體 是天體P的位置矢量 是天體Q的位置矢量

4、是天體Q相對于天體P的位置矢量。,※為便于理解可以把天體P看作太陽，把天體Q看作行星。,天體P受天體Q的引力：,天體Q受天體P的引力：,根據(jù)牛頓第二定律：,,?,?,?,,?,?,,這是一組聯(lián)立的二階非線性常微分方程，通解是包含6個相互獨立的積分常數(shù)的6個積分。解的結(jié)果表明，行星運動是沿著圓錐曲線的平面運動，太陽位于一個焦點上。,6個積分常數(shù)決定了軌道的空間位置和某一時刻行星在軌道上的位置，在天文學(xué)中成為6個軌道根數(shù)。二體問題的微分

5、方程及其積分，完滿地解釋了開普勒行星運動定律的動力學(xué)原因，徹底地解決了只有兩個天體時全部的運動學(xué)問題。,*三、多體問題與攝動方法簡介,※兩個天體在萬有引力作用下如何運動的二體問題已經(jīng)獲得十分精確而完滿的解答，但是實際天體不止兩個，只要再多出一個天體，即“三體”問題，求解就相當(dāng)困難。,對于空間直角坐標(biāo)系，n個天體在相互之間存在的萬有引力的作用下，可以列出3n個二階微分方程組，其通解由6n個積分組成，共包含6n個積分常數(shù)，其中有10個積分總

6、是可以得出的：,n個天體的質(zhì)量中心運動定律?3個積分n個天體的總動量守恒定律?3個積分n個天體的總動量矩守恒定律?3個積分n個天體的總能量守恒定律?1個積分,*三、多體問題與攝動方法簡介,如果再找出余下的6n-10個積分，n體問題就能徹底解決。,1843年，雅克比證明：如果包括10個初積分在內(nèi)的6n-2個積分都已找到，則最后兩個積分就一定能找到。,讓我們來看一下三體問題的微分方程：,,設(shè)有1，2，3三個天體，質(zhì)量分別為沒m1, m

7、2, m3；r12 , r23 , r 13分別表示它們相互之間的距離。在空間直角坐標(biāo)系中，用q1i , q2i , q3i , i=1,2,3表示三個天體對應(yīng)于x軸（i=1），y軸（i=2），z軸（i=3）的三組坐標(biāo)。,三組共9個聯(lián)立的二階非線性常微分方程，通解是包含18個相互獨立的積分常數(shù)的18個積分。,*三、多體問題與攝動方法簡介,除10個初積分外，還剩8個積分，按雅克比定理，只要找出其中6個積分，三體問題就徹底解決，但不幸的是，

8、直到現(xiàn)在一個也沒有找到。,1900年國際數(shù)學(xué)家大會上，希爾伯提出了23個數(shù)學(xué)難題，另外還舉了兩個大難題，即費馬大定理和三體問題,（1994年費馬大定理被美國的懷爾斯徹底解決）,19世紀(jì)末，龐加萊等證明，找到三體問題的全部代數(shù)函數(shù)形式的解是不可能的，于是數(shù)學(xué)家和力學(xué)家轉(zhuǎn)而尋找級數(shù)形式的解。,1912年，芬蘭數(shù)學(xué)家松德曼找到了附加限制條件的冪級數(shù)解，但是這些級數(shù)收斂得非常慢，以至于沒有使用價值。,如要獲得三體問題的一個位置數(shù)據(jù)，級數(shù)至少要取

9、108000項！,為了計算行星軌道和預(yù)知天體的位置，人們探求有效的近似求解的方法，提出了攝動理論。,攝動是指在二體問題中天體沿軌道運動時，因受到其他天體的影響而偏離原來的軌道。,四、攝動力、潮汐現(xiàn)象和洛希極限,如圖，M是中心天體，m是作軌道運動的天體，m′是攝動天體，M、m、m′分別是他們的質(zhì)量。r、r′、p表示兩兩之間的距離。,1、攝動力,,,,,,,M,m,m′,r′,r,p,-g1,g2,-g2,g1,g3,g0,g,g2,g′,

10、,,,,,,,,,,-g2,根據(jù)萬有引力，M對m的力產(chǎn)生m的運動加速度,m′的存在使M產(chǎn)生加速度,m也使M產(chǎn)生運動加速度,這兩個加速度相反。,使m產(chǎn)生加速度,g2的作用相當(dāng)于使m產(chǎn)生了相對于M的加速度-g2 ，于是m′的存在形成和了g3和-g2的合成加速度g′,g′相應(yīng)的作用力就是攝動力,,,g3,在日、地、月三體問題中，地球是中心天體，月球是繞地球作軌道運動的天體，而太陽是攝動天體。設(shè)r和R分別為月球和太陽到地球的距離。在朔時，太陽

11、使月球產(chǎn)生的引力加速度g3=k2M/(R-r)2（M為太陽質(zhì)量），太陽使地球產(chǎn)生的引力加速度g2=k2M/R2，則g′= g3 -g3 =k2M(2Rr-r2)/R2(R-r)2，若忽略r，可得到近似結(jié)果： g′=2 k2rM/R3 。同理，在望時， g3=k2M/(R+r)2 ， g2=k2M/R2， g′=-2 k2rM/R3 。這兩個結(jié)果都表明太陽的攝動影響使月球偏向地球的反方向，即遠離地球。單純從萬有引力公式計算，太陽對月球的

12、引力比地球?qū)υ虑虻囊Υ笠槐抖?，但由于月球繞地公轉(zhuǎn)，太陽的引力只起攝動作用，而攝動力的大小與距離的立方成反比，所以決定月球運動的主力不是來自太陽而是地球。太陽對月球的攝動力比地球?qū)υ虑虻囊π?0倍，但這一攝動力在太陽系內(nèi)仍是相對較大的。因此月球繞地公轉(zhuǎn)比單純的橢圓運動要復(fù)雜得多，精確確定月球的位置通常要考慮好幾百項因素。,※日、地、月三體問題中需要注意的地方,2、潮汐現(xiàn)象,由于地球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)和月球的運動，海洋各處輪流處于A或B的位置

13、，造成海水有漲有落的潮汐現(xiàn)象。,A相對于O而言的加速度為：,B相對于O而言的加速度為：,起源于月亮、太陽或其它天體的引力而造成潮汐現(xiàn)象的力稱為引潮力或起潮力。其數(shù)值與引力來源天體的質(zhì)量成正比，與兩天體間的距離的立方成反比。,2、洛希極限,式中，R為行星半徑，?為衛(wèi)星密度， ?′為行星密度。系數(shù)2.45539是假定衛(wèi)星質(zhì)量同行星質(zhì)量之比可以忽略時洛希給出的值。如果這一比值?不能忽略，系數(shù)應(yīng)有變化，達爾文給出的對應(yīng)關(guān)系如下：,19世紀(jì)法國

14、天文學(xué)家洛希在研究衛(wèi)星形狀理論中提出一個使衛(wèi)星解體的極限數(shù)據(jù)，稱為洛希極限。,當(dāng)衛(wèi)星（流體團）與行星的距離小于洛希極限，說明引潮力超過極限，那么衛(wèi)星將會解體分散。,§4.2 行星運動規(guī)律,一、軌道,二體問題的行星運動軌道是圓錐曲線，包括橢圓、拋物線、雙曲線三種類型。決定軌道在空間的位置和行星在軌道上的位置依賴于6個常數(shù)，稱為軌道根數(shù)。（以下以橢圓軌道為例）,i 是行星軌道面對黃道面的傾角，?是軌道面與黃道面交線與x軸方向的夾

15、角。這兩個根數(shù)決定了軌道平面的空間位置。,? 是軌道長軸上近日點方向與軌道交線的夾角，它決定了橢圓長軸的方向。,半長徑a和偏心率e決定了橢圓的大小和扁平的程度。,以上根數(shù)決定了行星在空間的實際軌道，最后一個根數(shù)?決定行星在軌道上何時處于何處。,二、開普勒行星運動定律,開普勒(1571.12.27~1630.11.15)是德國人，嘔心瀝血地畢生從事行星運動的研究，于1609年發(fā)表第一、第二定律，1619年發(fā)表第三定律。開普勒糾正了哥白尼認

16、為行星在以太陽為中心的圓軌道上勻速運動的錯誤，精確地描述了行星運動的軌道及行星在軌道上運動的規(guī)律。,1、開普勒,開普勒行星運動定律是萬有引力的必然結(jié)果，但其發(fā)表卻領(lǐng)先萬有引力定律80年，對天文學(xué)作出了卓越的貢獻。,2、開普勒行星運動三大定律,第一定律 行星運動的軌道是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上。,第二定律 以太陽為坐標(biāo)原點的行星向徑在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。,2、開普勒行星運動三大定律,第三定律 不同行星在其軌

17、道上公轉(zhuǎn)周期T的平方與軌道半長徑a的立方成正比。即：,或者,2、開普勒行星運動三大定律,開普勒第一、第二定律是嚴(yán)格正確的，第三定律忽略了不同行星之間的質(zhì)量差別，所以是有偏差的。嚴(yán)格的第三定律應(yīng)為：,或者，對于太陽系所有行星,3、開普勒行星運動定律的推論,第二定律?行星在軌道上運動的速度是不均勻的，且在近日點附近要比遠日點附近運動得快。,第三定律?行星離太陽越遠，公轉(zhuǎn)周期越長，且軌道半長徑與周期之間有確切的數(shù)量關(guān)系。,第三定律?離太陽越遠

18、的行星，公轉(zhuǎn)角速度越小，公轉(zhuǎn)線速度也越小。,第三定律?可以計算太陽質(zhì)量和有衛(wèi)星繞轉(zhuǎn)的大行星的質(zhì)量,三、太陽系行星運動基本特征,1、行星軌道三大基本特征,近圓性,,,軌道的偏心率都比較小，使得軌道接近于圓形，偏心率最大的是冥王星（0.2482）和水星（0.2056）,同向性,公轉(zhuǎn)方向都是自西向東，無一例外。,共面性,行星的軌道基本都在一個平面上，即黃道面。軌道傾角最大：冥王星（17°）、水星（7 °）,2、提丟斯—波得

19、定則,1766年，德國的一位中學(xué)教師提丟斯在《自然的探索》德文版中首次提出了后來被稱為“提丟斯—波得”定則的見解，不過并未做出任何解釋。,1772年，德國天文學(xué)家波得在《星空研究指南》一書中研究并引用了提丟斯的見解，也未做說明。,提丟斯—波得定則給出的數(shù)值,各行星與太陽平均距離的數(shù)值（AU）,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,0.387（水星）,0.723（金星）,1.000（地球）,1.524（火星）,？,5.

20、203（木星）,9.555（土星）,19.6,38.8,77.2,19.191（天王星）,30.061（海王星）,39.530（冥王星）,四、行星視運動規(guī)律,1、（地）內(nèi)行星,上合時肯定無法觀測內(nèi)行星 ；下合的位置上只有當(dāng)凌日時才能觀測，通?？床坏?；觀測內(nèi)行星的最佳時機就是大距。,東大距時的內(nèi)行星在黃昏日落后不久在西方低空。西大距時的內(nèi)行星在黎明日出前不久在東方低空。,2、（地）外行星,合（?）時肯定無法觀測內(nèi)行星； 東方照位置上的外行

21、星，將在日落時出現(xiàn)在頭頂；西方照時的外行星，日出時出現(xiàn)在頭頂；觀測內(nèi)行星的最佳時機就是沖（?） 。,兩次發(fā)生同一位形的時間間隔叫做行星的會合周期，記作S。,其中T為地外（內(nèi)）行星的公轉(zhuǎn)周期，E為地球的公轉(zhuǎn)周期，叫恒星年=365.2564日。,在一個會合周期里，行星視運動情況如下：,上 合,東大距,留,下 合,留,上 合,,看不見,昏星,看不見,晨星,看不見,,,,,,,,,,,,西大距,,,,,順行,逆行,順行,,,,,合,西方照