工程力學(xué)平面力系

1、第二章,平面力系,§2–1 平面基本力系,§2–2 平面任意力系,§2–3 考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題,第二 章 平面力系,目錄,1、掌握平面匯交力系合成與平衡的幾何法與解析法,3、熟練運(yùn)用平衡方程求解平面匯交力系的平衡問(wèn)題,4、掌握力偶和力偶矩的概念，熟悉力偶的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用平衡條件求解力偶系的平衡問(wèn)題,2、能正確地求力在坐標(biāo)軸上的投影。理解合力投影定理,大綱要求,5、掌握平面任

2、意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的方法。會(huì)用解析法求主矢和主矩。了解力系簡(jiǎn)化的結(jié)果,,6、深入理解平面任意力系的平衡條件及平衡方程的幾種形式,7、熟練計(jì)算在平面任意力系作用下物體和物體系的平衡問(wèn)題；了解靜定與超靜定的概念。,9、理解靜滑動(dòng)摩擦力的特征；了解摩擦角和自鎖現(xiàn)象，會(huì)求解考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題。,8、理解簡(jiǎn)單桁架的簡(jiǎn)化假設(shè)，掌握計(jì)算其內(nèi)力的節(jié)點(diǎn)法和截面法,引 言,力系分為：平面力系、空間力系,引例,起重機(jī)的掛鉤,支架的鉸鏈C,§2-1

3、 平面基本力系,§2.1.1 平面匯交力系的合成與平衡,,平面匯交力系： 各力的作用線都在同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)的力系。,研究方法：幾何法 解析法,研究?jī)?nèi)容：平面匯交力系的合成 平面匯交力系的平衡條件,應(yīng)用力多邊形法則畫力的多邊形，合力即為力多邊形的封閉邊。,如圖所示,數(shù)學(xué)表達(dá)式為,一、平面匯交力系合成的幾何法,平面匯交力系的合力等于各分力的矢

4、量和，合力的作用線通過(guò)各力的匯交點(diǎn)。,用幾何法作力多邊形時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：1 按力的比例尺畫出各力的大小，并準(zhǔn)確地畫出各力的方向。只有這樣，才能從圖上準(zhǔn)確地表示出合力的大小和方向。2 作力多邊形時(shí)，可以任意變換力的次序，雖然得到形狀不同的力多邊形，但合成的結(jié)果并不改變。,3 力多邊形中諸力應(yīng)首尾相連。合力的方向則是從第一個(gè)力的起點(diǎn)指向最后一個(gè)力的終點(diǎn)。,平面匯交力系平衡的充要條件是：該力系的合力等于零即,二、平面匯交力系平衡的幾

5、何條件,力多邊形自行封閉是平面匯交力系平衡的幾何條件,討論題,平面匯交的兩個(gè)力三角形中，三個(gè)力的關(guān)系是否一樣？用數(shù)學(xué)式應(yīng)該怎樣表示？,思考題,輸電線跨度l 相同時(shí)，電線下垂量f 越小,電線越易拉斷，為什么？,例2-1 已知輸電線ACB架在兩電線桿之間，形成一下垂線，下垂距離CD=f=1m，兩電線桿間距離AB=40m。電線ACB段重P=400N，可近似認(rèn)為沿AB直線均勻分布，求電線的中點(diǎn)和兩端的拉力。,輸電線跨度l 相同時(shí)，電線下垂量f

6、越小,電線越易拉斷，為什么？,討論題,汽車陷在坑中，如何將車子拉出比較省力？（車中有繩子、路邊有大樹）,幾何法解題步驟：①選研究對(duì)象； ②作受力圖； ③作力多邊形； ④求出未知數(shù),幾何法解題快速、直觀但不利于解決復(fù)雜問(wèn)題。,通過(guò)以上例題幾何法解題的

7、步驟總結(jié)如下：,下面我們研究平面匯交力系合成與平衡的另一種方法： 解析法。,,三、平面匯交力系合成的解析法,1.力在軸上的投影,,力在某軸上的投影，等于力的模乘以力與該軸正向間夾角的余弦。,思考題：寫出力在各軸上的投影計(jì)算式。,若已知 F 在正交坐標(biāo)軸上的投影為 Fx 和 Fy ，則由幾何關(guān)系可求出力 F 的大小和方向，即,應(yīng)注意,（1）力的投影是代數(shù)量

8、，而力的分量是矢量；,（2) 只有在正交坐標(biāo)系中力的投影才等于分力的 大小，在斜坐標(biāo)系中二者的數(shù)值不相等。,,,,,,,,,,,合力在任意軸上的投影，等于諸分力在同一軸上投影的代數(shù)和。,2 合力投影定理,2 合力投影定理,合力在任意軸上的投影，等于諸分力在同一軸上投影的代數(shù)和。,三、平面匯交力系的平衡方程,從前述可知：平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力為零。,即：,平面匯交力系平衡的充要條件，

9、也叫平衡方程,,例2-2 鉚接薄板在孔心A、B和C處受三力作用，如圖所示F1=100N，沿鉛直方向； F3=50N，沿水平方向，并通過(guò)點(diǎn)A； F2=50N，力的作用線也通過(guò)A，尺寸如圖。求此力系的合力。,例2-3 圖示重物重為Q=30kN,由繩索AB、AC懸掛，求 AB、AC的約束力。,1).取研究對(duì)象 -------力系的匯交點(diǎn)A,3).建立坐標(biāo)系,4).列出對(duì)應(yīng)的平衡方程,,5).解方程,,解：,2）作受力圖,[例2-4]如圖

10、所示，重物 ,用鋼絲繩掛在支架的滑輪上，鋼絲繩的另一端繞在絞車上。桿 與 鉸接，并以鉸鏈與墻連接。如兩桿和滑輪的自重不計(jì)，并忽略軸承摩擦和滑輪的大小，求平衡時(shí)桿 和 所受的力。,,,,1、一般地，對(duì)于只受三個(gè)力作用的物體，且角度 特殊時(shí)用 幾 何法（解力三角形）比較簡(jiǎn)便。,解題技巧及說(shuō)明：,3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個(gè)方程中 只有一個(gè)未知數(shù)。,2、一般對(duì)于受多個(gè)力

11、作用的物體，無(wú)論角度是否特殊，都用解析法。,5、解析法解題時(shí)，有些力的方向可以任意假設(shè)，如果求出 負(fù)值，說(shuō)明力的方向與假設(shè)的相反。對(duì)于二力構(gòu)件，一般先設(shè)為拉力，如果求出負(fù)值，說(shuō)明物體受壓力。,4、對(duì)力的方向判定不準(zhǔn)的，一般用解析法。,作業(yè),練習(xí)冊(cè) 2-2 2-4 2-5,§2.1.2 平面力偶系的合成與平衡,自學(xué)提綱,怎樣計(jì)算力矩？力矩的正負(fù)號(hào)如何規(guī)定？什么是力偶？怎樣

12、計(jì)算力偶矩？力偶矩的正符號(hào)如何規(guī)定？力矩與力偶矩有何異同？什么是合力矩定理？力偶能用一個(gè)力來(lái)平衡嗎？怎樣的力偶才等效？平面力偶系如何合成？平衡條件？,1、平面力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩）,一、 力矩的概念和計(jì)算,力矩作用面,2、力矩的性質(zhì) (P19),工程實(shí)例,二、力偶及其性質(zhì),1、力偶——大小相等的二反向平行力。,⑴、作用效果：引起物體的轉(zhuǎn)動(dòng)。⑵、力和力偶是靜力學(xué)的二基本要素。,力偶特性二： 力偶只能用力偶來(lái)代替（即只能和另

13、一力偶等效），因而也只能與力偶平衡。,力偶特性一：力偶中的二個(gè)力，既不平衡，也不可能合成為一個(gè)力。,2、力偶臂——力偶中兩個(gè)力的作用線之間的距離。,3、力偶矩——力偶中任何一個(gè)力的大 小與力偶臂d 的乘積，加上正負(fù)號(hào)。,力偶矩正負(fù)規(guī)定：若力偶有使物體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的趨勢(shì)，力偶矩取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。在平面內(nèi)，力偶矩是代數(shù)量,量綱：力×長(zhǎng)度，牛頓?米（N?m）.力偶三要素：力偶矩的大??；力偶的轉(zhuǎn)向；

14、 力偶的作用平面。,4、力偶的等效條件,同一平面上力偶的等效條件,因此，以后可用力偶的轉(zhuǎn)向箭頭來(lái)代替力偶。,作用在剛體內(nèi)同一平面上的兩個(gè)力偶相互等效的充要條件是二者的力偶矩代數(shù)值相等。,1、力偶可以在作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，而不影響它對(duì)物體的 作用效應(yīng)。2、在保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不改變的條件下，可以任意改變力和力偶臂的大小，而不影響它對(duì)物體的作用 由上述推論可知，在同一平面內(nèi)研究有關(guān)力偶的問(wèn)題時(shí)，只需考慮力偶矩，而不必研

15、究其中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短。,綜上所述，可以得出下列兩個(gè)重要推論：,1、平面力偶系可合成為一合力偶。合力偶矩的大小等于各已知力偶矩的代數(shù)和。,二、力偶系的合成與平衡,2、平面力偶系平衡的充要條件：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。,[例2-5] 練習(xí)冊(cè)2-7,已知梁AB上作用一力偶，力偶矩為M，梁長(zhǎng)為l，梁重不計(jì)。求在圖a,b,兩種情況下，支座A和B的約束力。,在圖所示結(jié)構(gòu)中二曲桿自重不計(jì)，曲桿AB上作用有主動(dòng)力偶，其力偶矩為M，

16、試求A和C點(diǎn)處的約束反力。,[例2-6] 練習(xí)冊(cè)2-8,[例2-7] 練習(xí)冊(cè)2-11,滑道搖桿機(jī)構(gòu)受兩力偶作用，在圖示位置平衡。已知OO1=OA=0.4m，M1=0.4kN.m,求另一力偶矩M2。及O、O1處的約束力。,練習(xí)圖示的鉸接四連桿機(jī)構(gòu)OABD，在桿OA 和BD 上分別作用著矩為 m1 和 m2 的力偶，而使機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平衡。已知OA = r，DB = 2r，α= 30°，不計(jì)桿重，試求 m1 和 m2 間的

17、關(guān)系。,(提示桿AB為二力桿。),B,分別寫出桿AO 和BD 的平衡方程：,作業(yè),練習(xí)冊(cè) 2-9 2-10,平面任意力系： 力系中所有力的作用線都在同一平面內(nèi)，但這些力的作用線即不完全相交于一點(diǎn)，又不完全平行的力系,§2-2 平面任意力系,平面任意力系實(shí)例,中心內(nèi)容：力系簡(jiǎn)化+平衡方程,§2.2.1 平面任意力系的簡(jiǎn)化,力的平移定理：可以把作用在剛體上點(diǎn)A的力 平行

18、移到任一 點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶。這個(gè)力偶 的矩等于原來(lái)的力 對(duì)新作用點(diǎn)B的矩。,一、力的平移定理,幾點(diǎn)說(shuō)明：,1、當(dāng)力線平移時(shí)，力的大小、方向都不改變，但附加力偶的矩的大小與正負(fù)一般要隨指定點(diǎn)的位置的不同而不同。 2、力線平移的過(guò)程是可逆的。 一個(gè)力可以分解為一個(gè)與其等值平行的力和一個(gè)位于平移平

19、面內(nèi)的力 偶。反之，一個(gè)力偶和一個(gè)位于該力偶作用面內(nèi)的力，也可以用一個(gè)位于力偶作用面內(nèi)的力來(lái)等效替換,打乒乓球時(shí)，若球拍對(duì)球作用的力其作用線通過(guò)球心（球的質(zhì)心），則球?qū)⑵絼?dòng)而不旋轉(zhuǎn)；但若力的作用線與球相切——“削球”，則球?qū)a(chǎn)生平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。,3、力線平移定理是剛體上平面任意力系簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)。附加力偶是為了保證力在平移后與原來(lái)的作用等效。 附加力偶的轉(zhuǎn)向大家要會(huì)判斷，它的力偶矩大家要會(huì)算。,二、平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)的簡(jiǎn)化,1、

20、簡(jiǎn)化過(guò)程,一般力系,一個(gè)匯交力系 與一個(gè)力偶系,一個(gè)力和一個(gè)力偶,2、主矢、主矩,(與簡(jiǎn)化中心位置無(wú)關(guān)),(與簡(jiǎn)化中心有關(guān)),=,=,3、結(jié)論 平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)力和一個(gè)力偶。此力作用在簡(jiǎn)化中心，大小、方向等于主矢；此力偶的力偶矩等于主矩。,幾點(diǎn)說(shuō)明：1、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。2、平面任意力系的主矩與簡(jiǎn)化中心O 的位置有關(guān)。因此，在說(shuō)到力系的主矩時(shí)，一定要指明簡(jiǎn)

21、化中心。,主矢大小,主矢方向,主矩,主矢主矩的具體計(jì)算,三、固定端（插入端）約束,在工程中常見的,固定端（插入端）約束,說(shuō)明,①認(rèn)為Fi這群力在同一 平面內(nèi); ② 將Fi向A點(diǎn)簡(jiǎn)化得一 力和一力偶; ③FRA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示; ④ FAx, FAy, MA為固定端 約束反力; ⑤ FAx, FAy限制物體平動(dòng), MA為限制轉(zhuǎn)動(dòng)。,四、平面任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析,簡(jiǎn)

22、化結(jié)果可能有四種情況：（1）FRˊ= 0，MO≠ 0；（2）FRˊ≠ 0， MO= 0；（3）FRˊ≠ 0， MO≠ 0；（4）FRˊ=0，MO=0。對(duì)以上進(jìn)一步分析有以下三種情形。,（1）合成為一個(gè)力偶,當(dāng) FRˊ= 0，MO≠ 0,則原力系合成為一個(gè)力偶，其矩為,此時(shí)主矩與簡(jiǎn)化中心選擇無(wú)關(guān),⑵ 合成為一個(gè)力,當(dāng) FRˊ≠ 0， MO = 0則原力系合成為一個(gè)力，其作用線恰好通過(guò)選定的簡(jiǎn)化中心O，即,FR = FRˊ,當(dāng) FR

23、ˊ≠ 0，MO≠ 0,則原力系合成為一個(gè)力，合力等于主矢，即,FR = FRˊ,但合力作用線不通過(guò)簡(jiǎn)化中心O，而到點(diǎn)O的距離d為,至于作用線在點(diǎn)O 哪一側(cè)，需根據(jù)主矢方向和主矩轉(zhuǎn)向確定。如下圖所示,由此很容易證得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。即,⑶ 平衡,當(dāng) FRˊ= 0，MO = 0,則原力系平衡。,在長(zhǎng)方形平板的O，A，B，C點(diǎn)上分別作用著有四個(gè)力：F1=1 k

24、N，F(xiàn)2=2 kN，F(xiàn)3=F4=3 kN（如圖），試求以上四個(gè)力構(gòu)成的力系對(duì)O點(diǎn)的簡(jiǎn)化結(jié)果，以及該力系的最后合成結(jié)果。,例2-8,解：,建立如圖坐標(biāo)系Oxy。,,所以，主矢的大小,,1.求主矢 。,例2-8,主矢的方向：,2. 求主矩MO,主矢的方向與x軸正方向所成角度為：,由于主矢和主矩都不為零，所以最后合成結(jié)果是一個(gè)合力FR。如右圖所示。,合力FR到O點(diǎn)的距離,§2.2.2 平面任意力系的平衡條件和平衡方程,一

25、 、平面任意力系平衡的充要條件,平面任意力系平衡的充分和必要條件是：力系的主矢和對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等于零。,1、基本形式（一矩式）,二 、平面任意力系的平衡方程,（1）二矩式,A、B兩點(diǎn)的連線不得垂直于x軸,2. 其它形式,(2) 三矩式,A、B、C三點(diǎn)不得共線,注意：對(duì)一個(gè)物體來(lái)講（平面任意力系作用下），不論采用哪種形式的平衡方程，其獨(dú)立的平衡方程的個(gè)數(shù)只有三個(gè)，只能解三個(gè)未知量,不得多列！,三. 平面平行力系的平衡方程,,只有兩個(gè)獨(dú)

26、立平衡方程，只能求解兩個(gè)未知數(shù)。,上式是平面平行力系平衡方程的基本形式，它的二矩式是,但A、B兩點(diǎn)的連線不得與力作用線平行。,若力系中所有力的作用線都在同一平面內(nèi)且平行，稱為平面平行力系，它是平面任意力系的特殊情況,如圖所示。當(dāng)取 x 軸與力系中各力垂直，則 自然滿足。則平面平行力系平衡方程為,四、常見線載荷及其簡(jiǎn)化,,如圖所示為一懸臂梁，A為固定端，設(shè)梁上受強(qiáng)度為q的均布載荷作用，在自由端B受一

27、集中力F和一力偶M作用，梁的跨度為l，求固定端的約束力。,例2-9,由平衡方程,解方程得,取梁為研究對(duì)象，受力分析如圖,解：,一種車載式起重機(jī)，車重P1= 26 kN，起重機(jī)伸臂重P2 = 4.5 kN，起重機(jī)的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如圖所示。設(shè)伸臂在起重機(jī)對(duì)稱面內(nèi)，且放在圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。,例2-10,取汽車及起重機(jī)為研究對(duì)象，受力分析如圖。,由平衡方程。,解：,不翻倒的條件是：F

28、A≥0，,故最大起吊重量為 Pmax= 7.5 kN,所以由上式可得,練習(xí)： 練習(xí)冊(cè)2-15（a),作 業(yè),練習(xí)冊(cè) 2-13 2-15（b) 2-16,§2.2.3 靜定和超靜定問(wèn)題·物體系的平衡,前面討論了平面問(wèn)題中幾種力系的平衡問(wèn)題。對(duì)應(yīng)于每一種力系，其獨(dú)立的平衡方程數(shù)目都是一定的，平面任意力系有三個(gè)，平面匯交力系和平面平行力系各有兩個(gè)，平面力偶系只有一個(gè)

29、。因此，對(duì)于每一種力系，能求解的未知數(shù)的數(shù)目也是一定的。如果所考察的物體的未知約束力數(shù)目恰好等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，那些未知數(shù)就可全部由平衡方程求出，這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。若未知約束力的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，僅僅用剛體靜力學(xué)平衡方程不能全部求出那些未知數(shù)，這類問(wèn)題稱為超靜定（或靜不定）問(wèn)題。,一、靜定和超靜定問(wèn)題,圖（a）,圖（b）,圖（c）,圖（d）,圖（e）,圖（f）,圖（a）是靜定的；圖（b）是一次超靜定；圖（c）又是靜定的

30、；圖（d)是二次超靜定。,需要指出的是，超靜定問(wèn)題并不是不能求解的問(wèn)題，而只是不能僅僅用靜力學(xué)平衡方程來(lái)解決的問(wèn)題。如果考慮到物體受力后的變形，在平衡方程外，加上足夠的補(bǔ)充方程也可求出全部未知約束力。這將在材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等課程中加以研究。 工程上很多結(jié)構(gòu)都是超靜定的。由于結(jié)構(gòu)增加了多余約束后，使結(jié)構(gòu)更大的剛度和堅(jiān)定性，更經(jīng)濟(jì)地利用材料，使安全更可靠。,物體系統(tǒng)（物系）：由若干個(gè)物體通過(guò)約束所組成的系統(tǒng)。,二、 物體系統(tǒng)的平衡

31、,1、物體系平衡特點(diǎn),研究對(duì)象選擇存在多樣性，靈活性。,物系平衡時(shí)，其中每個(gè)物體都平衡。,選取不同的研究對(duì)象，會(huì)有不同個(gè)數(shù)的未知力。選擇恰當(dāng)?shù)难芯繉?duì)象是解決物系平衡問(wèn)題的關(guān)鍵,,圖示組合梁(不計(jì)自重）由AC和CE鉸接而成，A端為固定端，E端為活動(dòng)鉸支座。尺寸如圖所示。已知： F=5 kN，均布載荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5 kN?m，試求固定端A，鉸鏈C和支座E的約束力。,,例 2-11,,,例 2-11,,,已知：

32、均布載荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5 kN?m，,,例 2-11,,已知： F=5 kN，均布載荷集度q=2.5 kN/m,,例 2-11,q,F,,圖示的結(jié)構(gòu)由桿件AB、BC、CD,滑輪O，軟繩及重物E構(gòu)成。B、C、O、D處為鉸鏈連接，A處為固定端。物E重P，其他構(gòu)件自重不計(jì)。滑輪半徑為R，BC=OC=OD =l 求固定端A處的約束力,,例 2-12,圖示的結(jié)構(gòu)由桿件AB、BC、CD,滑輪O，軟繩及重物E構(gòu)成。B、

33、C、O、D處為鉸接連接，A處為固定端。物E重P，其他構(gòu)件自重不計(jì)?；啺霃綖镽，BC=OC=OD =l 求固定端處的約束力,例 2-12,例2-13. 圖示構(gòu)架，桿和滑輪的自重不計(jì)，物塊F重30kN，R=20cm，r=10cm，求A、C兩點(diǎn)的約束反力。,解: 先研究整體:,,C,D,E,再拆開研究CED:,再研究整體:,例2-13. 圖示構(gòu)架，桿和滑輪的自重不計(jì)，物塊F重30kN，R=20cm，r=10cm，求A、C兩點(diǎn)的約束反力。,

34、解: 先研究整體:,,C,D,E,再拆開CED:,在研究整體:,2、物體系平衡問(wèn)題的解題技巧,(1)對(duì)于物系問(wèn)題，是先拆開還是先整體研究，通常：對(duì)于構(gòu)架，若其整體的外約束力不超過(guò)4個(gè)，應(yīng)先研究整體；否則，應(yīng)先拆開，選擇受力簡(jiǎn)單，已知量多未知量少的那一部分。對(duì)于連續(xù)梁，應(yīng)先拆開，選擇受力簡(jiǎn)單，已知量多未知量少的那一部分，不應(yīng)先整體研究。定滑輪一般不要單獨(dú)研究，而應(yīng)連同支撐的桿件一起考慮。,（2）拆開物系前，應(yīng)先判斷系統(tǒng)中有無(wú)二力桿，若有，

35、則先將之去掉，代以對(duì)應(yīng)的約束力。在任何情況下，二力桿不作為研究對(duì)象，它的重要作用在于提供了力的方向。,（3）拆開物系后，應(yīng)正確的表示作用力和反作用力之間的關(guān)系、字母的標(biāo)注、方程的寫法。,（4）根據(jù)受力圖，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸，應(yīng)使坐標(biāo)軸與盡可能多的力的作用線平行或垂直，以免投影復(fù)雜；坐標(biāo)軸最好畫在圖外，以免圖內(nèi)線條過(guò)多。 取矩時(shí),矩心應(yīng)選在盡可能多的未知力的交點(diǎn)上,以避免方程中出現(xiàn)過(guò)多的未知量。,桁架結(jié)構(gòu)工程實(shí)例,桁架結(jié)構(gòu)工程實(shí)例,

36、,,1、桁 架----桁架是由若干直桿兩端互相連接形成幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)，桁架中各桿件的連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。,一、基本概念,§2.2.4 平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算,實(shí)際工程中為簡(jiǎn)化計(jì)算，對(duì)桁架作了以下幾個(gè)假設(shè)：,（1）桿件都是直桿，并用光滑鉸鏈連接。（2）外載荷作用在各節(jié)點(diǎn)上，并且作用線都在桁架平面內(nèi)（3）桿件自重不計(jì)，或平均分配到桿件兩端節(jié)點(diǎn)上。,據(jù)此假設(shè)，桁架中每根桿件都可以視為二力桿,2、理想桁架（實(shí)際桁架的工程計(jì)算力學(xué)模

37、型）,本節(jié)只研究平面簡(jiǎn)單桁架，如圖所示。以基本三角形ABC為基礎(chǔ)，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，需要增加兩根桿件，依次類推所得桁架稱為平面簡(jiǎn)單桁架。,3、平面簡(jiǎn)單桁架,二、計(jì)算桁架桿件內(nèi)力的方法：,1、節(jié)點(diǎn)法 －以桁架的節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，通過(guò)其平衡條件, 求出由該節(jié)點(diǎn)連接的桿件內(nèi)力的方法。,說(shuō)明：假定各桿都受拉力(2)選取的節(jié)點(diǎn)上最好只有兩個(gè)未知力。(3)使用節(jié)點(diǎn)法前，往往先求出外約束力。,例2-14,平面

38、桁架的尺寸和支座如圖所示，在節(jié)點(diǎn)D處作用一集中力F=10kN。求此桁架各桿件的內(nèi)力。,,解：1.求支座的約束力,以桁架整體為研究對(duì)象，作受力圖，為平面任意力系，可解三個(gè)支座約束力。,(1) 節(jié)點(diǎn)A,,2.依次取一個(gè)節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，計(jì)算各桿的內(nèi)力,假設(shè)各桿皆受拉力，分別作出每個(gè)節(jié)點(diǎn)的受力圖，每個(gè)節(jié)點(diǎn)皆為平面匯交力系，可解兩個(gè)未知力。為計(jì)算方便，順序求解只有兩個(gè)未知力的節(jié)點(diǎn)。,(2) 節(jié)點(diǎn)C,,(3) 節(jié)點(diǎn)D，此時(shí)只有F5未知,3.判斷拉、

39、壓桿 原假定各桿均受拉力，計(jì)算結(jié)果內(nèi)力為正值的桿為拉桿；內(nèi)力為負(fù)值的桿為壓桿。4.校核計(jì)算結(jié)果 解出各桿的內(nèi)力后，可用尚余節(jié)點(diǎn)的平衡方程校核已得的結(jié)果。例如，以節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象，作出受力圖。用已經(jīng)求出的F4和F5的值代入平衡方程，如果和兩個(gè)方程能夠滿足，則計(jì)算結(jié)果是正確的。,零桿,判別零桿的方法有以下幾種，如圖所示。,熟悉了零桿的判斷方法，在計(jì)算時(shí)事先將桁架中的零桿找出來(lái)，常?？墒褂?jì)算大為簡(jiǎn)化。,思考：零桿可

40、否從桁架中去除？,零桿雖然內(nèi)力為零，但是它對(duì)保持結(jié)構(gòu)的幾何不變性以承受載荷是必不可少的。,2、截面法 －應(yīng)用平面任意力系的平衡條件，研究桁架由 截面（假想的）切出的某部分的平衡。 （審查，抽查幾個(gè)）,一般情況下“截?cái)唷钡奈粗獌?nèi)力的桿不能超過(guò)三個(gè)。,如圖平面桁架，已知鉛垂力FC=4 kN，水平力FE=2 kN。求FE，CE，CD 桿內(nèi)力。,例2-15,1、求約束

41、力：先取整體為研究對(duì)象,受力如圖所示。,聯(lián)立求解得 FAx= －2 kN FAy= 2 kN FB = 2 kN,列平衡方程,如圖平面桁架，已知鉛垂力FC=4 kN，水平力FE=2 kN。求FE，CE，CD 桿內(nèi)力。,由平衡方程,2、作一截面m-m將三桿截?cái)啵∽?部分為分離體，受力分析如圖。,聯(lián)立求解得,FAx= －2 kN FAy= 2 kN FC = 4 kN,練習(xí)題1 ：圖示桁架，水平、鉛

42、直各桿長(zhǎng)均相等，求6、7、8三桿的內(nèi)力并說(shuō)明是拉力還是壓力。,解：先找出零力桿,,練習(xí)題2 ：圖示桁架，ABC為等邊三角形，E、F為兩腰中點(diǎn)，求CD桿的內(nèi)力。,解：先找出零桿ED，,0,沿m-m截面截開，研究右側(cè)，受力如圖,作業(yè),練習(xí)冊(cè)2-192-202-23,前幾章我們把接觸表面都看成是絕對(duì)光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實(shí)上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。[例],平衡必計(jì)摩擦,?,§2-3 摩

43、擦,當(dāng)物體的接觸表面確實(shí)比較光滑，或有良好的潤(rùn)滑條件，以致摩擦力與物體所受其它力相比的確很小時(shí)，可以忽略。然而，在很多日常生活和工程實(shí)際問(wèn)題中，摩擦成為主要因素，摩擦力不僅不能忽略，而且還應(yīng)作為重點(diǎn)來(lái)研究,目的是為了掌握其規(guī)律，用其利，避其害。,由于摩擦是一種十分復(fù)雜的物理現(xiàn)象，涉及面廣，本節(jié)只限于討論工程中常用的近似理論，主要介紹滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩阻定律，重點(diǎn)研究有摩擦存在時(shí)物體的平衡問(wèn)題。,滑動(dòng)摩擦力:兩個(gè)相互接觸的物體由于具有相對(duì)

44、滑動(dòng)或具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)而在接觸面產(chǎn)生的阻礙彼此運(yùn)動(dòng)的阻力.,動(dòng)滑動(dòng)摩擦力----具有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的滑動(dòng)摩擦力.,靜滑動(dòng)摩擦力----具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)的滑動(dòng)摩擦力.,一 、 滑動(dòng)摩擦,按接觸面的運(yùn)動(dòng)情況看，摩擦分為滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦,1 靜滑動(dòng)摩擦力,重量為P的物體放在粗糙的固定水平面上,受到一個(gè)水平拉力F的作用,?Fx = 0,當(dāng)力F增加到某個(gè)數(shù)值FK時(shí),物體處于將動(dòng)未動(dòng)的臨界狀態(tài).此時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大值Fsmax ,我們稱這個(gè)

45、最大值Fsmax為最大靜摩擦力.,F-Fs =0,Fs =F,2)靜滑動(dòng)摩擦力,在相互靜止、但有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)物體間的接觸面上出現(xiàn)。（存在條件）,方向: 恒與物體相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)方向相反， 沿兩物體的接觸面上公切線方向,1)靜滑動(dòng)摩擦定律,Fsmax = fs FN,fs ----- 靜摩擦系數(shù),Fsmax往往不是實(shí)際存在的靜摩擦力，而只是表示了接觸面的一種物理性質(zhì)。（比如，劇場(chǎng)定員是500人，并不說(shuō)明每場(chǎng)觀眾的實(shí)際人數(shù)。,Fd

46、= f FN,f ----- 動(dòng)摩擦系數(shù),3、動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律,動(dòng)滑動(dòng)摩擦力（動(dòng)摩擦力）：物體間具有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，接觸面間的滑動(dòng)摩擦力。,Fd 是實(shí)際存在的摩擦力,一般，f < fs ,且隨相對(duì)速度而變化，在相對(duì)速度不大時(shí)，視之為常數(shù)。,二、摩擦角與自鎖現(xiàn)象,摩擦角是全約束力與支承面法線的夾角的最大值.,在靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí), FR與法線間夾角才達(dá)到摩擦角,如果改變水平力FK的作用線方向, 則Fsmax及FR的方向也將隨之作相應(yīng)的

47、改變; 若FK在水平面轉(zhuǎn)過(guò)一圈, 則全約束力FR的作用線將在空間畫出一個(gè)錐面,稱為摩擦錐.,全約束力與接觸面法線所形成的夾角?不會(huì)大于?m ,即全反力作用線不可能超出摩擦錐.,如果物體所受的主動(dòng)力合力 的作用線在摩擦錐之外,即? > ?m時(shí),則全約束力 就不可能與 共線.此時(shí)兩力不符合二力平衡條件,物體將發(fā)生滑動(dòng).,F,FR,F,如果物體所受的主動(dòng)力合力F 的作用線在摩擦錐之內(nèi),即? < ?m時(shí),則無(wú)論主

48、動(dòng)力多大, 總是能夠與之相平衡,因而物體將保持不動(dòng).,主動(dòng)力合力的作用線在摩擦錐的范圍內(nèi),物體依靠摩擦總能靜止而與主動(dòng)力大小無(wú)關(guān)的現(xiàn)象,稱為自鎖.,,,?,,自鎖條件：,? < ?m,F,FR,FR,如果物體所受的主動(dòng)力合力F的作用線在錐面上,即? = ?m ,則物體處于臨界狀態(tài).,考慮有摩擦的平衡問(wèn)題時(shí)，其解法與平面一般力系一樣。只是在受力分析和列平衡方程時(shí)要將摩擦力考慮在內(nèi)這樣增加了未知量，因此還需增加補(bǔ)充方程 0? Fs

49、? fs FN，因此有摩擦的平衡問(wèn)題的解通常是一個(gè)范圍。為了避免解不等式，往往先考慮臨界狀態(tài)（ Fs = fs FN），求得結(jié)果后再討論解的平衡范圍。 需要強(qiáng)調(diào)的是摩擦力的方向在臨界狀態(tài)下不能假設(shè)，要根據(jù)物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來(lái)判斷.,三、考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題,,物體A重P =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它與固定面之間的靜摩擦因數(shù) fs =0.3，動(dòng)摩擦因數(shù)f=0.2。今在物體A上施加F=4 N的力， q =30°

50、;，試求作用在物體上的摩擦力。,例題2-16,假設(shè)物塊不動(dòng)取物塊A為研究對(duì)象，受力分析如圖。列平衡方程。,解:,,解得,最大靜摩擦力,所以作用在物體上的摩擦力為,因?yàn)?物體A重P =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它與固定面之間的靜摩擦因數(shù) fs =0.3，動(dòng)摩擦因數(shù)f=0.2。今在物體A上施加F=4 N的力， q =30°，試求作用在物體上的摩擦力。,例題2-16,寬a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重P，重心C 在其幾何

51、中心，柜與地面間的靜摩擦因數(shù)是 fs，在柜的側(cè)面施加水平向右的力F，求柜發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)所需推力F 的最小值。,例題2-17,1 .假設(shè)不翻倒但即將滑動(dòng)，考慮臨界平衡。,解:,取矩形柜為研究對(duì)象,受力分析如圖。,聯(lián)立求解得柜子開始滑動(dòng)所需的最小推力,,補(bǔ)充方程,列平衡方程,2.假設(shè)矩形柜不滑動(dòng)但將繞 B 翻倒。,柜繞 B 翻倒條件： FNA=0,使柜翻倒的最小推力為,列平衡方程,解得,綜上所述使柜發(fā)生運(yùn)動(dòng)所需的最小推力為,長(zhǎng)為l的梯子AB一

52、端靠在墻壁上，另一端擱在地板上，如圖所示。假設(shè)梯子與墻壁的接觸是完全光滑的，梯子與地板之間有摩擦，其靜摩擦因數(shù)為fs。梯子的重量略去不計(jì)。今有一重為P的人沿梯子向上爬，如果保證人爬到頂端而梯子不致下滑，求梯子與墻壁的夾角q 。,例題2-18,以梯子AB為研究對(duì)象，人的位置用距離 a 表示，梯子的受力如圖。,解：,使梯子保持靜止，必須滿足下列平衡方程：,同時(shí)滿足物理?xiàng)l件,聯(lián)立解之得,因 0≤a≤l， 當(dāng)人爬到頂點(diǎn)時(shí)， a = l,所以,

53、即為所求,,,,,考慮摩擦的平衡問(wèn)題,應(yīng)注意以下幾點(diǎn):,(2)在臨界狀態(tài)下,摩擦力為最大值Fsmax ,應(yīng)滿足關(guān)系式 Fsmax = fs FN,(4) 當(dāng)物體尚未達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí),摩擦力的方向可 以假定.當(dāng)物體達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí),摩擦力的方向與相 對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反.,(3)由于 ,問(wèn)題歸結(jié)為求解平衡范圍. 一般設(shè)物體處于臨界狀態(tài).,(1)靜摩擦力的大小由平衡條件確定,同時(shí)應(yīng)與最大靜摩

54、擦力比較.若 則物體平衡; 否則物體不平衡.,由實(shí)踐可知，使?jié)L子滾動(dòng)比使它滑動(dòng)省力。 無(wú)論水平力F 多么小，此物體均不能平衡，因?qū)c(diǎn)A的矩的 平衡方程不滿足，即,出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實(shí)際接觸面并不是剛體，在力的作用下會(huì)發(fā)生一些變形，如圖所示。,這是與實(shí)際情況不符的，說(shuō)明此力學(xué)模型有缺陷，需要修正。,四、滾動(dòng)摩擦,與靜滑動(dòng)摩擦力相似，滾動(dòng)摩阻力偶矩Mf 隨主動(dòng)力 F的增大而增大；但有一個(gè)最大值

55、Mmax ,即,或,且最大滑動(dòng)摩阻力偶矩,上式即是滾動(dòng)摩阻定律，d 稱為滾動(dòng)摩阻系數(shù)，具有長(zhǎng)度的量綱 ，單位一般用mm。與滾子和支承面的材料的硬度和濕度等有關(guān)。與滾子的半徑無(wú)關(guān)。,滾阻系數(shù)的物理意義如下,,由力的平移定理,,因而滾動(dòng)摩阻系數(shù)可看成在即將滾動(dòng)時(shí)，法向約束力離中心線的最遠(yuǎn)距離，也就是最大滾阻力偶的臂。因此，它具有長(zhǎng)度的量綱。,,,一般情況下，相對(duì)滑動(dòng)摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計(jì)。