應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)3

1、第三章 參數(shù)估計(jì)第一節(jié) 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)一.參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的一般提法　　點(diǎn)估計(jì)又稱定值估計(jì)，是一種對(duì)未知的總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的統(tǒng)計(jì)方法，其估計(jì)結(jié)果是一個(gè)具體的數(shù)值。,,,,,點(diǎn)估計(jì)問題的數(shù)學(xué)表述：,樣本,估計(jì)量,,,待估參數(shù),估計(jì)值,是X的一個(gè)樣本,是一個(gè)樣本觀察值,,,,,設(shè)總體為X，分布函數(shù)F（X； ）,統(tǒng)計(jì)量,觀察值,二.參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的求法 矩估計(jì)法　　矩估計(jì)法就是通過下面兩個(gè)估計(jì)式來實(shí)現(xiàn)的。（1）用樣本的一階原點(diǎn)矩（

2、樣本均值） 作為 的估計(jì)，即,,,,,（2）用樣本的二階中心矩（樣本方差） 作為 的估計(jì)，即,,,,矩估計(jì)：,用樣本原點(diǎn)矩來估計(jì)總體參數(shù)所得到的估計(jì)量稱為矩估計(jì)量，記為 若總體X分布中有m個(gè)待估參數(shù) ， 一般可考慮前m階原點(diǎn)矩。 通過計(jì)算期望值得到估計(jì)。,對(duì)于未知參數(shù)作點(diǎn)估計(jì)有許多不同的方法，也可以得到許多不同的點(diǎn)估計(jì)量。要從中選取“好”的估計(jì)量，就需要有評(píng)價(jià)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)。

3、衡量點(diǎn)估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)是： ●無偏性 ●有效性 ●一致性,三、點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),（一）無偏性,,無偏性是指所選用的估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望與總體待估參數(shù)的真值相等。,則稱 是 的無偏估計(jì)量。,若,無偏性：抽樣分布的期望值等于總體參數(shù),,,,,,,（二）有效性,設(shè) 與 都是 的無偏估計(jì)量，,,,,若有D（ ）＜D（ ） 即的 方差小于 的方差， 則稱 作為 的估計(jì)比 有效。,一個(gè)

4、好的估計(jì)量不僅要求它能圍繞待估參數(shù)的真值擺動(dòng)，而且希望擺動(dòng)幅度越小越好。,,,,,,,,,,,有效性：,(三)一致性 一個(gè)好的估計(jì)量應(yīng)該隨著樣本容量的增大,與被估參數(shù)(真值)的偏差越來越小. 一致估計(jì)的直觀意義是隨著n的不斷增大,估計(jì)值逐漸穩(wěn)定于真值.,,,,,,,,一致性：隨樣本容量n的增大樣本均值與總體均值的差異縮小,第二節(jié) 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一.參數(shù)區(qū)間估計(jì)的一

5、般提法　　區(qū)間估計(jì)給出了未知參數(shù)?的一個(gè)估計(jì)范圍，這樣的范圍通常以區(qū)間的形式給出，即置信區(qū)間。區(qū)間估計(jì)還可以給出置信區(qū)間包含參數(shù)?真值的可信程度。,區(qū)間估計(jì)基本概念：設(shè)總體 的分布函數(shù) 含有一個(gè)未知參數(shù)，對(duì)于給定值 （0＜ ＜1），區(qū)間估計(jì)仍從樣本 出發(fā)，尋找兩個(gè)樣本函數(shù)，即兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 和 ，,,,,,,使得由此產(chǎn)生的隨機(jī)區(qū)間 能以足夠大的概率（1-

6、 ）包含未知參數(shù) ，即有,,,,,則稱隨機(jī)區(qū)間 是 的置信度為1- 的置信區(qū)間， 和,,分別稱為置信度為1- 的置信下限和置信上限，1- 稱為置信度， 稱為顯著性水平。（其中 （0＜ ＜1）為事先給定的小概率）。顯然，置信區(qū)間表達(dá)了估計(jì)的精確性，,置信度反映的是估計(jì)的可靠程度。用一個(gè)置信區(qū)間去估計(jì)參數(shù)的方法，稱為區(qū)間估計(jì)。,,,,,,,,,區(qū)間估計(jì)示意圖,二、單側(cè)置信區(qū)間 對(duì)于某些實(shí)際問題，例如設(shè)

7、備、元件的壽命來說，一般只關(guān)心它們平均壽命的“下限”；而對(duì)于產(chǎn)品的廢品率p來說，一般只關(guān)心p的“上限”。這就是討論單側(cè)置信區(qū)間的原因。,對(duì)于給定的值 （0＜ ＜1），若由樣本 確定的統(tǒng)計(jì)量 ，滿足稱隨機(jī)區(qū)間（ ，∞）是 的置信度為1- 的單側(cè)置信區(qū)間， 稱為置信度為1- 的單側(cè)置信下限。,若統(tǒng)計(jì)量

8、 滿足稱隨機(jī)區(qū)（ -∞， ）是 的置信度為1- 的單側(cè)置信區(qū)間， 稱為置信度為1- 的單側(cè)置信上限。,三.關(guān)于一個(gè)正態(tài)總體均值和 方差的區(qū)間估計(jì)1. 總體均值的區(qū)間估計(jì)（1）方差 已知的情形估計(jì)用的隨機(jī)變量,則 的一個(gè)置信度為1－ 的置信區(qū)間,,,【3.1】,【3.1】,【例】從一批釘子中隨機(jī)抽取16枚，測(cè)得其長(zhǎng)度（單位：cm）為：2.14，2.10，2

9、.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11。假設(shè)釘子的長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布 ，已知 ＝0.01，求總體均值 的置信度為90％的置信區(qū)間。,,,,解：由觀察值可得： ＝2.125，已知 ＝0.01，1- ＝0.90， ＝0.05，n＝16①選取隨機(jī)變量：,,,,,,②由

10、 ＝0.1，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得：,,③計(jì)算：,,由此可得，置信度為90％的置信區(qū)間為： [2.121，2.129]。,,【例】某保險(xiǎn)公司自投保人中隨機(jī)抽取36人，計(jì)算出此36人的平均年齡為39.5歲，已知投保人年齡分布近似服從標(biāo)準(zhǔn)差為7.2歲的正態(tài)分布，求所有投保人平均年齡99%的置信區(qū)間。,（2）方差 未知的情形,隨機(jī)變量,,的一個(gè)置信度為1- 的置信區(qū)間：,,【3.2】,【例】 同上例數(shù)據(jù)相同，同樣假設(shè)釘子的長(zhǎng)度

11、X服從正態(tài)分布， 但是總體方差 未知，求總體均值 的置信度90％的置信區(qū)間。,,解：①由于 未知，因此用隨機(jī)變量：,② ，查t分布表得：,,,③計(jì)算置信下限為：,,計(jì)算置信上限為：,,故所求的 的置信度為90％的區(qū)間為[2.117，2.133],【例】某保險(xiǎn)公司自投保人中隨機(jī)抽取36人，計(jì)算出此36人的平均年齡為39.5歲，標(biāo)準(zhǔn)差為7.2歲。已知投保人年齡分布近似服從正態(tài)分布，求所有投保人平

12、均年齡99%的置信區(qū)間。,抽樣中的正態(tài)分布和t分布問題,,,,,,,抽樣中的正態(tài)分布和t分布問題,【例】某金融機(jī)構(gòu)共有8042張應(yīng)收賬款單， 根據(jù)過去的記錄，所有應(yīng)收賬款的標(biāo)準(zhǔn)差為3033.4元，現(xiàn)隨機(jī)抽查了250張應(yīng)收賬款單，計(jì)算平均應(yīng)收賬款為3319元。求所有應(yīng)收款平均應(yīng)收賬款98%的置信區(qū)間。,2. 總體方差的區(qū)間估計(jì)×（1）均值 已知的情形,估計(jì)用的隨機(jī)變量,,為已知時(shí)，方差 的一個(gè)置信度為

13、 的置信區(qū)間：,,,其中 ， ，可通過查 分布表得到。,,,,（2）均值 未知的情形,,為未知時(shí)，方差 的一個(gè)置信度為 的置信區(qū)間：,,【例】某食品商加工一批咖啡 罐頭，擔(dān)心罐頭的重量差異太大，隨機(jī)抽出15個(gè)罐頭稱其重量，得樣本方差S2為1.652。假設(shè)罐頭重量服從正態(tài)分布，求罐頭重量方差90%的置信區(qū)間。,四.關(guān)于兩個(gè)正態(tài)總體的均值差 的區(qū)間

14、估計(jì)1. , 均為已知的情況,【例】某廠某原料來自甲、乙兩個(gè)廠家，為了估計(jì)這兩個(gè)廠家該原料的差異，從甲廠家隨機(jī)抽取了25個(gè)樣品，從乙廠家抽取了16個(gè)樣品，測(cè)試結(jié)果甲廠家原料的平均重量為22千克，乙廠家原料的平均重量為20千克，根據(jù)過去的記錄，甲乙廠家原料重量均服從方差為10的正態(tài)分布,求甲乙廠家該原料重量差的95%的置信區(qū)間。,2. , 均為未知的情況,【例】為調(diào)查某市遠(yuǎn)郊和近郊地區(qū)農(nóng)民的年末

15、手存現(xiàn)金之間的差異，從近郊和遠(yuǎn)郊地區(qū)各自獨(dú)立隨機(jī)抽取了樣本容量都是50的兩個(gè)樣本，計(jì)算得到近、遠(yuǎn)郊地區(qū)農(nóng)民平均每戶手存現(xiàn)金分別為650元、480元，標(biāo)準(zhǔn)差分別為120元、 106元。求兩地區(qū)農(nóng)民平均手存現(xiàn)金差異的95%的置信區(qū)間。,3. = = ,但 未知,【例】某廠某原料來自甲、乙兩個(gè)廠家，為了估計(jì)這兩個(gè)廠家該原料的差異，從甲廠家隨機(jī)抽取了25個(gè)樣品，從乙廠家抽取了16個(gè)樣品，測(cè)試結(jié)果甲廠家原料的平均

16、重量為22千克，樣本方差為9,乙廠家原料的平均重量為20千克，樣本方差為10，根據(jù)過去的記錄，甲乙廠家原料重量均服從正態(tài)分布且方差相等,求甲乙廠家該原料重量差的95%的置信區(qū)間。,五、關(guān)于比率P（總體成數(shù)） 的區(qū)間估計(jì)1.對(duì)單個(gè)總體比率的區(qū)間估計(jì),【3.3】,【例】某電視臺(tái)希望了解每日“晚間新聞”欄目的收視率，隨機(jī)抽取了400人進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果表明有71.2%的人觀看此節(jié)目，求該欄目收視率具有90%可靠性的置信區(qū)間。,2.對(duì)兩個(gè)總體