數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1.3方向余弦陣

1、理論力學(xué)CAI版權(quán)所有, 2000 (c) 上海交通大學(xué)工程力學(xué)系,理論力學(xué) CAI,數(shù)學(xué)基礎(chǔ),方向余弦陣,前言矩陣矢量方向余弦陣平面矢量,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2,方向余弦陣,方向余弦陣的定義 方向余弦陣的性質(zhì),方向余弦陣,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3,方向余弦陣,方向余弦陣的定義 方向余弦陣的性質(zhì),方向余弦陣,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),4,方向

2、余弦陣的定義,問題的提出方向余弦陣定義,方向余弦陣/定義,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),5,方向余弦矩陣/定義,問題的提出,,,,同一個矢量在不同基下坐標(biāo)陣的關(guān)系,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),6,方向余弦矩陣/定義,問題的提出,,,,同一個矢量在不同基下坐標(biāo)陣的關(guān)系,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),7,方向余弦矩陣/定義,問題的提出,,,,～,不等但有關(guān)系,2024年3月19

3、日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),8,方向余弦矩陣/定義,方向余弦矩陣的定義,,,,對于兩個不同的基,定義如下3*3標(biāo)量陣為基 關(guān)于基 的方向余弦矩陣,方向余弦矩陣的元素是兩基基矢量夾角的余弦,,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),9,方向余弦矩陣/定義,方向余弦陣的元素的幾何意義,,行陣的轉(zhuǎn)置是基 的基矢量在基 下的坐標(biāo)陣,,坐標(biāo)陣,基矢量,,,,,2024年3月19日,

4、理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),10,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素的幾何意義,列陣是基 的基矢量在基 下的坐標(biāo)陣,,坐標(biāo)陣,基矢量,,,,,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),11,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素的幾何意義,基 關(guān)于基 的方向余弦矩陣對應(yīng)于如下的表,,列陣是基 的基矢量在基 下的坐標(biāo)陣,小結(jié),2024年3月19日,理論力學(xué)CAI

5、 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),12,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素的幾何意義,[例]已知基 的三個基矢量在基 的坐標(biāo)陣分別為,,,求基 關(guān)于基 的方向余弦陣,[解]由定義，基 關(guān)于基 的方向余弦陣,,,,,,,,,,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),13,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素的幾何意義,[例]求圖示基 對基 方向余弦陣

6、,,,其中:AB=AD=DP=1,[解] 基 基矢量 關(guān)于基 的坐標(biāo)陣,,,,A,D,C,B,P,,,,,,,,,,,,,基 關(guān)于基 的方向余弦陣,,,,,,,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),14,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關(guān)系,方向余弦陣元素間的關(guān)系,,,單位基矢量,,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),15,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素

7、間的關(guān)系,,,三基矢量正交,,,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),16,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關(guān)系,,,三基矢量正交(右旋),,,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),17,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關(guān)系,,,三基矢量正交(右旋),三基矢量正交,,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),18,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關(guān)系,方向余弦陣九個元素應(yīng)滿足六個的代數(shù)方

8、程,,三基矢量正交,方向余弦陣九個元素中只有三個是獨立的,單位基矢量,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),19,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關(guān)系,[例] 已知矢量 與 在基 下的坐標(biāo)陣為,,,如果基 的基矢量 和 分別與 和 的方向一致,求 基 關(guān)于基 的方向余弦陣,,,,,,,,,,,,,2024

9、年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),20,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關(guān)系,[解],,,,,,,,,,,,,,,基矢量 和 基 下的坐標(biāo)陣為,在基 下的坐標(biāo)陣為,模,基矢量,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),21,方向余弦矩陣/定義/ 方向余弦陣元素間的關(guān)系,基矢量 , j=1,2,3, 在基 下的坐標(biāo)陣為,,,,,,,,,,,,,,,基

10、 關(guān)于基 的方向余弦陣,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),22,方向余弦陣,方向余弦陣的定義 方向余弦陣的性質(zhì),方向余弦陣,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),23,方向余弦陣的性質(zhì),方向余弦陣/性質(zhì),2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),24,方向余弦陣/性質(zhì),性質(zhì)1:,基 關(guān)于基 的方向余弦陣 與基 關(guān)于基

11、 的方向余弦陣 互為轉(zhuǎn)置,證明,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),25,方向余弦矩陣/性質(zhì),性質(zhì)2:,,,當(dāng)兩個基的基矢量的兩兩方向一致，則它們的方向余弦陣為三階單位陣,證明,,,,,,,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),26,方向余弦矩陣/性質(zhì),性質(zhì)3:,,,若有三個基 、 與 。其中基 關(guān)于基 和基 關(guān)于基

12、 的方向余弦陣分別為 與 ，則基 關(guān)于基 的方向余弦陣 為,此關(guān)系可推廣到有限個基的方向余弦陣轉(zhuǎn)換,,,,,,,,,證明,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),27,方向余弦矩陣/性質(zhì),性質(zhì)4:,,方向余弦陣是一正交陣,證明,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),28,方向余弦矩陣/性質(zhì),性質(zhì)5:,不同基下坐標(biāo)陣之間的關(guān)系式為,,,證明,20

13、24年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),29,,,方向余弦矩陣/性質(zhì),性質(zhì)6:,,不同基下的坐標(biāo)方陣之間的關(guān)系式為,考慮矢量式 的坐標(biāo)陣的運算式,證明,,,引入任意矢量,對于任意矢量,,,,,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),30,基 關(guān)于基 的方向余弦陣,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關(guān)系,[例] 已知矢量 與 的坐

14、標(biāo)陣,,,求標(biāo)量 與 在基 下的坐標(biāo)陣表達(dá)式,[解],,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),31,方向余弦矩陣/性質(zhì),性質(zhì)7:,,方向余弦陣的行列式等于1,,證明,,,,,,,2024年3月19日,理論力學(xué)CAI 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),32,方向余弦矩陣/性質(zhì),[例]求矢量 在基 與基 的坐標(biāo)陣與坐標(biāo)方陣,,,其中:AB=AD=DP=1,,,,A,D,C,B,P,,,,,,,,,