模糊數(shù)學(xué)---華中農(nóng)業(yè)大學(xué)

1、建模專題講座模糊數(shù)學(xué),華中農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模基地,前言,人腦較之精確計(jì)算機(jī)，就是能在信息不完整不精確的情況下，作出判斷與決策，模糊性常常是信息濃縮所致，目的是為了提高交換的概率，所以不是毫無用處，而是積極的特性。,如果到火車站去接人，如下描述 “大胡子，高個(gè)子，長頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡的中年男人”,除了男人的信息是精確的之外，其它信息全是模糊的，但是我們卻能夠找到那個(gè)人。,第一講 模糊集合及其運(yùn)算,一、經(jīng)典集合與特征函數(shù),論域U

2、中的每個(gè)對象u稱為U的元素。,其中,函數(shù) 稱為集合A的特征函數(shù)。,二、模糊集合及其運(yùn)算,1、模糊子集,論域,模糊集 A：高個(gè)子,定義隸屬函數(shù)（具有主觀性）：,模糊集并不再回答“是或不是”的問題，而是對每個(gè)對象給一個(gè)隸屬度，所以與經(jīng)典集有本質(zhì)區(qū)別。而且與隸屬函數(shù)是捆綁一起的，所以可以不做區(qū)分。,（還是經(jīng)典集合）,（Zadeh表示法）,模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,這里 表示

3、 對模糊集A的隸屬度是 。,如“將一1,2,3,4組成一個(gè)小數(shù)的集合”可表示為,可省略,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：,2、模糊集的運(yùn)算,定義：設(shè)A，B是論域U的兩個(gè)模糊子集，定義,相等：,包含：,并：,交：,余：,幾個(gè)常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘積算子,（3）環(huán)和、乘積算子,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘積算子,（6）Einstain算子

4、,3、模糊矩陣,（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運(yùn)算,定義：設(shè) 都是模糊矩陣，定義,相等：,包含：,并：,交：,余：,例：,（2）模糊矩陣的合成,例：,（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置,（4）模糊矩陣的 截矩陣,例：,第二講 模糊聚類分析,一、基本概念及定理,自反性可推出：,與傳遞性：,結(jié)合，可得到：,模糊等價(jià)矩陣實(shí)際滿足:,傳遞性的理解：,若xi與xk有關(guān)系R，xk與xj

5、有關(guān)系R，則xi與xj有關(guān)系R，這種關(guān)系可以理解為大于等于某個(gè)閾值λ，在傳遞性下，,等價(jià)布爾矩陣是一種普通關(guān)系，在傳遞性條件下，是可以分類的，即rij=1，則xi與xj為一類。我們要分類必須將模糊等價(jià)矩陣轉(zhuǎn)化為等價(jià)布爾矩陣。所以引入λ截矩陣。,例：設(shè)　　　　　　　　　　對于模糊等價(jià)矩陣,實(shí)際應(yīng)用中建立一個(gè)模糊等價(jià)矩陣式不容易的，傳遞性不易滿足。,例：設(shè)有模糊相似矩陣,二、模糊聚類的一般步驟,１、建立數(shù)據(jù)矩陣,（1）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)

6、化,（2）極差正規(guī)化,（3）極差標(biāo)準(zhǔn)化,２、建立模糊相似矩陣,（1）相似系數(shù)法,①夾角余弦法,②相關(guān)系數(shù)法,（2）距離法,①Hamming距離,②Euclid距離,③Chebyshev距離,（3）貼近度法,①最大最小法,②算術(shù)平均最小法,③幾何平均最小法,3、聚類并畫出動(dòng)態(tài)聚類圖,（1）模糊傳遞閉包法,步驟：,解：,由題設(shè)知特性指標(biāo)矩陣為,采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為,用最大最小法構(gòu)造模糊相似矩陣得到,用平方法合成傳遞閉包,取

7、 ，得,取 ，得,取 ，得,取 ，得,取 ，得,X=[80 10 6 2;50 1 6 4;90 6 4 6;40 5 7 3;10 1 2 4],輸出動(dòng)態(tài)聚類圖如下：,調(diào)用函數(shù)：F_Jlfx(3,5,X),最佳分類（最佳閾值λ）,方法：對每個(gè)閾值下的分類計(jì)算一個(gè)F值，取最大F值對應(yīng)的分類作為最佳分類。,計(jì)算方式如下：,設(shè)某個(gè)閾值λ水平下

8、，共分了r個(gè)類，第i類有ni個(gè)對象。,第i類中全體對象的第k個(gè)指標(biāo)的均值；,全體對象的第k個(gè)指標(biāo)的均值；,類中指標(biāo)均值向量：,總指標(biāo)均值向量：,模糊統(tǒng)計(jì)量,其中M為向量間的歐氏距離,分子為類均值與總均值的差異，描述類與類間距離,分母為每個(gè)元素與類均值的差異，描述類內(nèi)元素間距離,故F越大，類之間差異越大，從而分類越合理。,第三講 模糊模式識別,一、最大隸屬原則,最大隸屬原則Ⅰ：,最大隸屬原則Ⅱ：,閾值原則：,二、擇近原則,1、貼近度,

9、表示兩個(gè)模糊集A，B之間的貼近程度。,⊙C =,⊙C =,故B比A更貼近于Ｃ.,輸入數(shù)據(jù)：A=[0.9 0.1 0.6 0.3;0 0.3 0.4 0.8]B=[0.1 0.6 0.3 0.4],調(diào)用函數(shù)：[C]=fuzzy_mssb(1,A,B),輸出結(jié)果：C = 0.4500 0.6500,2、擇近原則,輸入數(shù)據(jù)：A=[1 0.8 0.5 0.4 0 0.1; 0.5 0.1 0.8 1 0.6

10、 0; 0 1 0.2 0.7 0.5 0.8; 0.4 0 1 0.9 0.6 0.5; 0.8 0.2 0 0.5 1 0.7; 0.5 0.7 0.8 0 0.5 1]B=[0.7 0.2 0.1 0.4 1 0.8],輸出結(jié)果：C = 0.3333 0.3778 0.4545 0.4348 0.8824 0.4565,調(diào)用函數(shù)：[C]=fuzz

11、y_mssb(2,A,B),如果分類后的類別由多個(gè)標(biāo)本構(gòu)成，可以取求平均以后的均值向量作為標(biāo)準(zhǔn)模式，還可進(jìn)一步用極差變換等化為無量綱的模式，當(dāng)然待判斷對象也要轉(zhuǎn)化。,第四講 模糊綜合評判,一、一級模糊綜合評判,根據(jù)運(yùn)算　的不同定義，可得到以下不同模型：,最后得到一個(gè)評價(jià)向量,其中：,輸入數(shù)據(jù)：R=[0.2 0.5 0.2 0.1;0.7 0.2 0.1 0;0 0.4 0.5 0.1;0.2 0.3 0.5 0]A1=[0.1

12、 0.2 0.3 0.4]A2=[0.4 0.35 0.15 0.1],調(diào)用函數(shù)：[B]=fuzzy_zhpj(1,A1,R),輸出結(jié)果：B = 0.2000 0.3000 0.4000 0.1000,調(diào)用函數(shù)：[B]=fuzzy_zhpj(1,A2,R),輸出結(jié)果：B = 0.3500 0.4000 0.2000 0.1000,因素集,評判集,二、多級模糊綜合評判（以二級為