第三章-固體量子理論初步

1、第三章 固體量子理論初步,2016年9月,,第三章 固體量子理論初步,,3.1 允帶與禁帶,原子的能級（孤立原子中電子的狀態(tài)—能級）,電子殼層K L M N ……不同支殼層電子1s；2s，2p；3s，2p，3d；…共有化運(yùn)動(dòng),,3.1 允帶與禁帶,,3.1 允帶與禁帶,１．電子的共有化運(yùn)動(dòng)　　原子中的電子分布在內(nèi)外許多電子殼層上，每一支殼層對應(yīng)確定的能量，當(dāng)原子間互相接近形成晶體時(shí)，不同原子的內(nèi)外各電子層之間有一定的交疊，相鄰

2、原子最外殼層交疊最最多，內(nèi)殼層交疊較少; 當(dāng)原子組成晶體后，由于電子殼層間的交疊，電子不再完全局限在某一個(gè)原子上，它可以由一個(gè)原子轉(zhuǎn)移到相鄰的原子上去，因而電子將可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為電子的共有化運(yùn)動(dòng)．,,3.1 允帶與禁帶,,3.1 允帶與禁帶,原子的能級的分裂,孤立原子的能級 4個(gè)原子能級的分裂,,,,原子的能級的分裂,原子能級分裂為能帶,,,3.1 允帶與禁帶,3.1.1 能帶的形成——

3、晶體由原子組成相互靠攏形成——孤立能級展寬成為能帶,當(dāng)大量氫原子聚在一起,當(dāng)原子間距的縮小到r0(晶體中平衡狀態(tài)的原子間距),由泡利不相容原理,任何兩個(gè)電子不會(huì)具有相同的量子數(shù),因此,一個(gè)能級分裂為一個(gè)能帶，以保證每個(gè)電子占據(jù)獨(dú)立的量子態(tài).,能級分裂,兩個(gè)近距離氫原子的概率密度函數(shù),獨(dú)立氫原子的概率密度函數(shù),r0 平衡時(shí)的距離,,3.1 允帶與禁帶,3.1.1 能帶的形成,注意：在平衡狀態(tài)原子間距處，存在能量的允帶，而允帶中的能量仍然是

4、分立的，在晶體中，允帶中分立的能量狀態(tài)數(shù)與晶體中的原子數(shù)相等，由于各能量狀態(tài)差距是極小的，通常認(rèn)為允帶處于準(zhǔn)連續(xù)的能量分布。 電子能帶結(jié)構(gòu)由它們所在勢場決定，因而與給成晶體的原子結(jié)構(gòu)和晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)，與晶體中的原子數(shù)無關(guān)；當(dāng)晶體中原子數(shù)增加時(shí)，只增加每個(gè)能帶中的電子態(tài)數(shù)，使能帶中子能級的密集程度增加，對能帶結(jié)構(gòu)，如允帶和禁帶的帶度及相對位置并無影響。,長跑比賽,,3.1 允帶與禁帶,3.1.1 能帶的形成,對于多電子原子形成晶體,

5、當(dāng)原子間距為r0時(shí),各不同 能級分裂形成不同的能帶,彼此間被禁帶隔開。 最外層電子的能級首先轉(zhuǎn)化為能帶,內(nèi)層相對晚一些。,外層先分裂允帶和禁帶,,3.1 允帶與禁帶,3.1.1 能帶的形成,實(shí)際晶體中能帶的分裂（以硅晶體為例）：,1.隨原子間距的減小，3s和3p態(tài)互相作用發(fā)生交疊。2.在平衡狀態(tài)原子間距位置產(chǎn)生能帶分裂，其中四個(gè)量子態(tài)處于較低能帶，另 外四個(gè)量子態(tài)處于較高能帶。3.較底能帶（價(jià)帶）的所有

6、狀態(tài)都是滿的，較高能帶（導(dǎo)帶）的所有狀態(tài)都是 空的。4.價(jià)帶頂和導(dǎo)帶低之間的帶隙能量Eg為禁帶寬度。,獨(dú)立硅原子的示意圖， 3s和3p態(tài)分裂為允帶和禁帶,,,允帶,,禁帶,能帶的基本概念,能帶（energy band）包括允帶和禁帶。允帶（allowed band）：允許電子能量存在的能量范圍。禁帶（forbidden band）：不允許電子存在的能量范圍。允帶又分為空帶、滿帶、導(dǎo)帶、價(jià)帶?？諑В╡mpty band）：

7、不被電子占據(jù)的允帶。滿帶（filled band）：允帶中的能量狀態(tài)（能級）均被電子占據(jù)。,圖1-2 金剛石結(jié)構(gòu)價(jià)電子能帶圖（絕對零度）,,導(dǎo)帶（conduction band）：有電子能夠參與導(dǎo)電的能帶，但半導(dǎo)體材料價(jià)電子形成的高能級能帶通常稱為導(dǎo)帶。價(jià)帶（valence band）:由價(jià)電子形成的能帶，但半導(dǎo)體材料價(jià)電子形成的低能級能帶通常稱為價(jià)帶。,導(dǎo)帶底Ec:導(dǎo)帶電子的最低能量 價(jià)帶頂Ev:價(jià)帶電子的最高能量 禁帶

8、寬度 Eg:Eg=Ec-Ev,一定溫度下半導(dǎo)體的能帶示意圖,,3.1 允帶與禁帶,3.1.2 克龍尼克----潘納模型,獨(dú)立的單原子勢函數(shù),近距原子交疊的勢函數(shù),一維單晶的最終勢函數(shù),,,3.1 允帶與禁帶,3.1.2 克龍尼克----潘納模型,,布洛赫定理:所有周期性變化的勢能函數(shù)的單電子波函數(shù)形式一定為:,其中k為運(yùn)動(dòng)常量,u(x)是以(a+b)為周期的函數(shù),克龍尼克——潘納模型的一維周期性勢函數(shù),,,3.1 允帶與禁帶,薛定諤方程

9、及其解的形式,,布洛赫波函數(shù),,3.1 允帶與禁帶,3.1允帶與禁帶　 3.1.2克龍尼克－潘納模型,得到,對自由粒子有：,,3.1允帶與禁帶3.1.3 k空間能帶圖,自由粒子的E-k關(guān)系,P為粒子的動(dòng)量，p與k為線形關(guān)系,由粒子性有,又由德布羅意關(guān)系,因此,由此可得到圖3.7所示的E-k關(guān)系。隨波矢k的連續(xù)變化自由電子能量是連續(xù)的。,,3.1允帶與禁帶　3.1.3 K空間能帶圖,,,,,,3.1允帶與禁帶　3.1.3 K空間能帶圖,

10、,3.1允帶與禁帶　 3.1.3 簡約布里淵區(qū),,,,,,,,,,3.1允帶與禁帶 3.1.3 簡約布里淵區(qū),,3.1允帶與禁帶　 3.1.3 簡約布里淵區(qū),（2）E(k)=E(k+2nπ/a)，即E(k)是k的周期性函數(shù)，周期為 2π/a。因此在考慮能帶結(jié)構(gòu)時(shí)只需考慮－π/a<k<π/a的第一布里淵區(qū)就可以了。 推廣到二維和三維情況： 二維晶體的第一布里淵區(qū) － π/a <(kx，ky)<

11、 π/a 三維晶體的第一布里淵區(qū) － π/a <(kx，ky，kz)<π/a（3）禁帶出現(xiàn)在 k=2nπ/a處，也就是在布里淵區(qū)的邊界上。,,,3.2 固體中電的傳導(dǎo),3.2.1 能帶和鍵模型,當(dāng)溫度T=0K時(shí)，單晶硅中，處于最低能帶的4N態(tài)（價(jià)帶）完全被價(jià)電子填滿，所有價(jià)電子都組成共價(jià)鍵，較高的能帶（導(dǎo)帶）完全為空。,當(dāng)T>0K時(shí)，一些價(jià)帶上的電子可能得到足夠的熱能，從而打破共價(jià)鍵躍入導(dǎo)帶，價(jià)帶相應(yīng)位置產(chǎn)

12、生一個(gè)帶正電的“空狀態(tài)”，等效為空穴。,裂鍵效應(yīng),,3.2 固體中電的傳導(dǎo),3.2.1 能帶和鍵模型,半導(dǎo)體中導(dǎo)帶和價(jià)帶的E—k關(guān)系圖(a)T=0K,(b)T>0K,,,3.2 固體中電的傳導(dǎo),3.2.1 能帶和鍵模型,不同半導(dǎo)體，能帶結(jié)構(gòu)不同，禁帶寬度Eg不同，通常Eg~1eV 。在室溫T=300K，Si的禁帶寬度：Eg=1.12eVGe…… ：Eg=0.67eVGaAs…… ：Eg=1.43eVEg具

13、有負(fù)溫度系數(shù)，即T越大，Eg越?。籈g反應(yīng)了在相同溫度下，Eg越大，電子躍遷到導(dǎo)帶的能力越弱。,如何定性解釋？,,,3.2 固體中電的傳導(dǎo),3.2.2 漂移電流,漂移電流：漂移是指電子在電場的作用下的定向運(yùn)動(dòng)，電子的定向運(yùn) 動(dòng)所產(chǎn)生的電流。,設(shè)正電荷集，體密度為N（cm-3）,平均漂移速為vd(cm/s)則漂移電流密度為 Ｊ＝qNvd A/cm2,,3.2

14、固體中電的傳導(dǎo),3.2.3 電子的有效質(zhì)量,晶格中運(yùn)動(dòng)的電子，在外力和內(nèi)力作用下有：　　?。瓶偅剑仆猓苾?nèi)=ma, 　　　　　m是粒子靜止的質(zhì)量?！　　　　　?Ｆ外=m*na, 　　　　　　m*n稱為電子的有效質(zhì)量。,,3.2 固體中電的傳導(dǎo),有效質(zhì)量的意義,自由電子只受外力作用；半導(dǎo)體中的電子不僅受到外力的作用，同時(shí)還受半導(dǎo)體內(nèi)部勢場的作用意義：有效質(zhì)量概括了晶體內(nèi)部勢場力對電子的作用，考慮力與加速度a可以不考慮內(nèi)力, 使得

15、研究半導(dǎo)體中電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)更為簡便（有效質(zhì)量可由試驗(yàn)測定）.,,3.2 固體中電的傳導(dǎo),3.2.3 電子的有效質(zhì)量,晶體中的電子：,,,自由電子的能量：,,,,,,,,,,,,,m＊為電子的有效質(zhì)量,,3.2 固體中電的傳導(dǎo),3.2.3 電子的有效質(zhì)量,(1)位于能帶底的電子，Ｅ(0)為導(dǎo)帶底的能量 Ｅ(k)>E(0),電子的有效質(zhì)量mn＊>0,(2)位于能帶頂電子，Ｅ(0)為導(dǎo)帶底的能量 Ｅ(k)<

16、E(0),電子的有效質(zhì)量mn＊<0,*對半導(dǎo)體來說,起作用的常常是接近于能帶底部或能帶頂部的電子.,,3.2 固體中電的傳導(dǎo),3.2.４ 空穴的概念,分析過程：當(dāng)一個(gè)價(jià)電子躍入導(dǎo)帶后，就會(huì)留下一個(gè)帶正電的“空狀態(tài)”；價(jià)電子在空狀態(tài)中的移動(dòng)等價(jià)為那些帶正電的空狀態(tài)的自身運(yùn)動(dòng)；帶正電的空狀態(tài)移動(dòng)可以看成一個(gè)正電荷在價(jià)帶中運(yùn)動(dòng)；這種可以形成電流的正電荷載流子————空穴。,,3.2 固體中電的傳導(dǎo),3.2.４ 空穴的概念,說

17、明：１.空穴是一個(gè)等效概念，空穴帶有與電子電荷電量大小相等符號相反的+q電量；２.空穴的運(yùn)動(dòng)速率就是價(jià)帶頂附近空態(tài)中電子的共有化運(yùn)動(dòng)速率；３.空穴的有效質(zhì)量是一個(gè)正常數(shù)記為m*p其大小與價(jià)帶頂電子的有效質(zhì)量大小相 等，但符號相反， m*p ＝ －m*n;4.空穴的濃度即價(jià)帶頂附近空態(tài)的濃度。,,3.2 固體中電的傳導(dǎo),3.2.5 金屬、絕緣體和半導(dǎo)體,不同固體有不同的能帶結(jié)構(gòu)，滿帶電子不導(dǎo)電，半滿帶電子在外場下參與導(dǎo)

18、電。,能帶全空或全滿的材料即絕緣體，絕緣體的禁帶寬度一般大于6eV,以至于很難讓價(jià)帶中的電子躍遷到導(dǎo)帶。,半導(dǎo)體的禁帶寬度較小，一般約為1ev在Ｔ=0K時(shí)的性質(zhì)與絕緣體相似，室溫下，有一部分價(jià)帶電子躍遷到導(dǎo)帶。,瓶子中的水,3.2.5 金屬、絕緣體和半導(dǎo)體,,3.2 固體中電的傳導(dǎo),金屬,金屬的禁帶較窄，或?qū)c價(jià)帶在平衡狀態(tài)的原子間距處相互重疊。,半滿帶,允帶交疊,,3.3 三維擴(kuò)展,不同晶向的電子的有效質(zhì)量不同，導(dǎo)致導(dǎo)電性不同。

19、,在晶體中的不同方向上原子的間距不同，電了在不同方向上運(yùn)動(dòng)會(huì)遇到不同的勢場，因此E-k關(guān)系就是k空間方向上的函數(shù)。,,3.3 三維擴(kuò)展,3.3.1 硅和砷化鎵的k空間能帶圖,GaAs,導(dǎo)帶中的電子傾向于停留在能量最小的k=0處，價(jià)帶中的空穴傾向于聚集在能量最大處。,直接帶隙半導(dǎo)體：導(dǎo)帶最小能量與價(jià)帶最大能量具有相同的k坐標(biāo)。,應(yīng)用：直接帶隙半導(dǎo)體中兩個(gè)允帶之間的電子的躍遷不會(huì)對動(dòng)量產(chǎn)生影響，這種半導(dǎo)體對材料的光學(xué)特性產(chǎn)生重要影響，適用

20、于制造半導(dǎo)體激光器和其他光學(xué)器件。,,3.3 三維擴(kuò)展,3.3.1硅和砷化鎵的k空間能帶圖,硅的價(jià)帶最大能量在k=0處，但導(dǎo)帶最小能量中[100]方向上。,間接帶隙半導(dǎo)體：價(jià)帶能量最在值和導(dǎo)帶能量最小值的k坐標(biāo)不同的半導(dǎo)體。,間接帶隙半導(dǎo)體：Si ,Ge, GaP, AlAs.,,3.3 三維擴(kuò)展,3.3.2 有效質(zhì)量的補(bǔ)充概念,E-k關(guān)系曲線圖中導(dǎo)帶最小值附近的曲率與電子的有效質(zhì)量成反比。,,3.4 狀態(tài)密度函數(shù),（1）半導(dǎo)體中，

21、對導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子在導(dǎo)帶中， 對導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的空穴在價(jià)帶中。,（2）泡利不相容原理：一個(gè)狀態(tài)只能被一個(gè)電子占據(jù)，因此，對導(dǎo)電過程 起作用的載流子的數(shù)量與有效能量或量子狀態(tài)數(shù)量有關(guān)。,（3）求解單位體積中的載流子（電子、空穴）的數(shù)量（濃度），先求導(dǎo)帶 或價(jià)帶的狀態(tài)密度。,教室內(nèi)的一排排桌子，桌子被同學(xué)占據(jù),,3.4 狀態(tài)密度函數(shù),問題：如何求導(dǎo)帶中的電子濃度n,設(shè)單位體積晶體，能量在Ｅ－

22、E+dE能量間隔的狀態(tài)數(shù)為：dZ=g(E)dEg(E)是狀態(tài)密度，它表示在能量Ｅ附近，單位體積單位能量間隔中的狀態(tài)數(shù)．,在一定溫度Ｔ時(shí)，能量為Ｅ的能級被電子占據(jù)的幾率為f(E),那么能量在Ｅ－Ｅ＋dE之間的能級上的電子數(shù)為： dn=f(E)g(E)dE,所以求電子濃度n需兩步：１．求能量為Ｅ的狀態(tài)密度g(E)２．求能量為Ｅ的能級被電子占據(jù)的幾率為f(E),,,3.4 狀態(tài)密度函數(shù)（具體參考《半

23、導(dǎo)體物學(xué)》劉恩科，P51),3.4.1(A)狀態(tài)密度函數(shù)g(E)數(shù)學(xué)推導(dǎo),,１．導(dǎo)帶底附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,,,２．價(jià)帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,注意：g(E)是狀態(tài)數(shù)，它表示在能量Ｅ附近，單位體積單位能量間隔中的狀態(tài)數(shù)．,,,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,,１、上式表明，導(dǎo)帶底附近單位能量間隔的量子態(tài)數(shù)目，隨著電子的能量增加按拋物線關(guān)系增大，即電子能量越高，狀態(tài)密度越大。2、狀態(tài)密度同時(shí)是體積密度和能量密度；狀態(tài)密度和能量和有效質(zhì)量有關(guān)

24、；3、當(dāng)電子的態(tài)密度有效質(zhì)量與空穴的態(tài)密度有效質(zhì)量相等時(shí)，gc(E)和gv(E)則關(guān)于禁帶中心線相對稱。,２．價(jià)帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,１．導(dǎo)帶底附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,２．價(jià)帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,3.4.1(A)狀態(tài)密度函數(shù)g(E)數(shù)學(xué)推導(dǎo),１．導(dǎo)帶底附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,２．價(jià)帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,注意：g(E)是狀態(tài)數(shù)，它表示在能量Ｅ附近

25、，單位體積單位能量間隔中的狀態(tài)數(shù)．,１．導(dǎo)帶底附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,２．價(jià)帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,２．價(jià)帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,１．導(dǎo)帶底附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,２．價(jià)帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,3.4.1(A)狀態(tài)密度函數(shù)g(E)數(shù)學(xué)推導(dǎo),１．導(dǎo)帶底附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,２．價(jià)帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,,3.4 狀態(tài)密度函數(shù)

26、　（3.5統(tǒng)計(jì)力學(xué)）,3.4.1(B) 幾率為 f(E)數(shù)學(xué)推導(dǎo),費(fèi)米分布函數(shù)和費(fèi)米能級,在熱平衡狀態(tài)下，晶體中的電子在不同能量的量子態(tài)上統(tǒng)計(jì)分布幾率是一定的，電子遵循費(fèi)米統(tǒng)計(jì)律；對于能量為Ｅ的一個(gè)量子態(tài)被一個(gè)電子占據(jù)的幾率f(E)為：,,N(E)為單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區(qū)間內(nèi)存在的微觀粒子數(shù)量，g(E)為單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區(qū)間內(nèi)所具有的量子態(tài)數(shù)量。 f(E)稱為電子的費(fèi)米分布函數(shù)，k0是玻耳茲曼常數(shù)，Ｔ是

27、絕對溫度。EF為費(fèi)米能級。室溫度T=300K時(shí)，k0T=0.026eV。,,費(fèi)米分布函數(shù)和費(fèi)米能級（3.5統(tǒng)計(jì)力學(xué)）,討論f(E)的特性:,注意：費(fèi)米能級EF和溫度、半導(dǎo)體材料的導(dǎo)電類型、雜質(zhì)的含量有關(guān)。處于熱平衡狀態(tài)的系統(tǒng)有統(tǒng)一的費(fèi)米能級。,,,T=0K,T>0K,T=0K時(shí)，13個(gè)電子在不同能級、不同量子態(tài)上的分布示意圖。,,費(fèi)米分布函數(shù)和費(fèi)米能級（3.5統(tǒng)計(jì)力學(xué)）,,因此，在溫度不很高時(shí)，能量大于費(fèi)米能級的量子態(tài)基本沒有被

28、電子占據(jù)，而能量小于費(fèi)米能級的量子態(tài)基本上為電子所占據(jù)；而電子占據(jù)費(fèi)米能級的幾率在各種溫度下總是１/2.,費(fèi)米能級標(biāo)志了電子填充能級的水平，比EF高的量子態(tài)，基本為空，而比EF底的量子態(tài)基本上全被電子所占滿.這樣費(fèi)米能級EF就成為量子態(tài)是否被電子占據(jù)的分界線：1) 能量高于費(fèi)米能級的量子態(tài)基本是空的；2) 能量低于費(fèi)米能級的量子態(tài)基本是滿的；3) 能量等于費(fèi)米能級的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率是50%。4）費(fèi)米能級越高，說明有較多的能

29、量較高的量子態(tài)上有電子.,,費(fèi)米分布函數(shù)和費(fèi)米能級（3.5統(tǒng)計(jì)力學(xué)）,,EF以上dE距離處被電子占據(jù)的概率＝與EF以下dE距離空狀態(tài)的概率。,,玻耳茲曼分布函數(shù),,,,,,,半導(dǎo)體中常見的是費(fèi)米能級EF位于禁帶之中，并且滿足 Ec-EF>>k0T或EF-Ev>>k0T的條件。因此對導(dǎo)帶或價(jià)帶中所有量子態(tài)來說，電子或空穴都可以用玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)分布描述。由于分布幾率隨能量呈指數(shù)衰減，因此導(dǎo)帶絕大部分電子分