細(xì)長(zhǎng)圓柱體上非線性波浪高階力計(jì)算-----海洋工程動(dòng)力學(xué)

1、作用在細(xì)長(zhǎng)圓柱體上的非線性波浪載荷,O.M.faltinsenJ.N.newmanT.vinje,摘要,在波幅與圓柱半徑同階且都相對(duì)與波長(zhǎng)為小量，波浪與垂向圓柱體碰撞發(fā)生衍射，小波陡導(dǎo)致外域內(nèi)傳統(tǒng)波浪理論依然適用而，而在一個(gè)與圓柱體半徑a相關(guān)的內(nèi)域力出現(xiàn)了顯著非線性擾動(dòng)問(wèn)題——條件在內(nèi)域中首階非線性項(xiàng)對(duì)速度勢(shì)的影響與A²a和A³正相關(guān)，而在自由表面上二階三階諧波力分別于A²a²和A³

2、;a正相關(guān)。傳統(tǒng)擾動(dòng)分析中與A的不同次冪相關(guān)的二三階成分同階——結(jié)論,引入符號(hào)概念,O（）表示同階無(wú)窮小O（1）表示與常量同階及常數(shù)階O（x^n）表示與x^n同階確定的坐標(biāo)系有(x,y,z)平均水面上坐標(biāo)系（ r， θ，z）平均水面上的柱面坐標(biāo)系（ R， θ，Z）在一階波面方程上建立的柱面坐標(biāo)系內(nèi)域（與圓柱體交互作用較大）外域（相反）,本文的結(jié)構(gòu),1.簡(jiǎn)介2.線性解回顧3.非線性速度勢(shì)邊界條件的導(dǎo)出4.非線性解問(wèn)題的求

3、解5.由于非線性項(xiàng)導(dǎo)致波浪載荷和積分力定義6.非線性波浪載荷計(jì)算（線性速度勢(shì)引起的點(diǎn)力）7.非線性積分載荷計(jì)算（非線性速度勢(shì)引起點(diǎn)力）8.結(jié)合實(shí)際應(yīng)用的總結(jié),簡(jiǎn)介,當(dāng)年來(lái)逐漸被人們認(rèn)識(shí)到在大型海洋平臺(tái)上會(huì)發(fā)生比入射波頻率更高的固有頻率擾動(dòng)問(wèn)題。此現(xiàn)象不能被傳統(tǒng)的波浪衍射理論所解釋，被稱為ringing高頻諧振Jefferys和Rainey在比例模型實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)并記錄下來(lái)的現(xiàn)象,時(shí)間記錄入射波歷史波幅頻率，和結(jié)構(gòu)特征頻率下的測(cè)量張

4、力——ringing高階諧振共振顯著發(fā)生,簡(jiǎn)介,1.傳統(tǒng)擾動(dòng)分析傳統(tǒng)頻域分析，波參數(shù)A，w，K，λ引入無(wú)量綱波參數(shù)KA為小值。壓力場(chǎng)解至KA的一階波浪相應(yīng)，時(shí)間為諧波特性與波浪頻率相同超過(guò)一階響應(yīng)，二階波浪力與（KA）^2正相關(guān)。規(guī)則波包含拖曳力時(shí)間常數(shù)，動(dòng)態(tài)二階諧波力（源于線性解的二次項(xiàng))等效平均液面浸沒(méi)下的圓柱表面二階壓力和變化自由液面上的一階壓力有關(guān)，后者可等效為一個(gè)作用在自由液面上的點(diǎn)力。,簡(jiǎn)介,5. 傳統(tǒng)擾動(dòng)分析基于假

5、設(shè)A小于其他參數(shù)（λ，w，結(jié)構(gòu)特征尺寸L，水深h），通常假設(shè)波長(zhǎng)與結(jié)構(gòu)尺寸同量綱（KL=O（1）），而對(duì)于衍射系統(tǒng)進(jìn)一步假設(shè)KL<<1，從而有一般的結(jié)論（作用在水平固定體上的波浪力正比于波浪速度場(chǎng)中的同點(diǎn)加速度）如morison公式中的慣性項(xiàng)——水平加速度替代,簡(jiǎn)介,2.傳統(tǒng)方法的應(yīng)用局限多數(shù)平臺(tái)為垂向圓柱體，進(jìn)而導(dǎo)致半徑后來(lái)取代特征長(zhǎng)度用于擾動(dòng)分析，而通常半徑a=10m，惡劣海況下A=10m，λ=200~300m導(dǎo)致擾動(dòng)

6、分析假設(shè)變化——A/a=O(1)為新的前提條件3.研究問(wèn)題的基本條件KA<<1,Ka<<1,A/a=O(1)，圓柱體縱向無(wú)限延長(zhǎng)，勢(shì)流假定粘性忽略，設(shè)?<<1小量，其他參數(shù)都為常量綱除Aa線性高階，非線性載荷來(lái)源兩部非線性解的高階部分和由于速度勢(shì)變化的自由表面的非線性部分。高階解比非線性解簡(jiǎn)單，且內(nèi)域波邊界速度梯度占主要——在波面下穩(wěn)定流呈線性，內(nèi)域高階解代替非線性解可行,簡(jiǎn)介,非線性波動(dòng)部分，

7、自由液面的波動(dòng)性導(dǎo)致不能轉(zhuǎn)化范圍靜止平面，轉(zhuǎn)化為——隨波上下變動(dòng)點(diǎn)載荷，波浪載荷（總用在波面與圓柱交界上）包含的組分與其成正比因此在二階衍射分析線性高階分布載荷和非線性波動(dòng)點(diǎn)載荷,簡(jiǎn)介,4.整體問(wèn)題分析各種載荷與A的不同冪相關(guān),用匹配漸進(jìn)展開(kāi)法證明。將計(jì)算域分為內(nèi)外域，外域尺寸λ相關(guān)，內(nèi)域a，外域速度勢(shì)K,內(nèi)域速度勢(shì)與1/Ka相關(guān)5.本法計(jì)算散射中各參數(shù)量綱分析與入射波法相速度ωA相關(guān)，用散射勢(shì)大小相同方向相反的倒數(shù)抵

8、消。內(nèi)域梯度與1/a正相關(guān)，?s=O（ω Aa）,A/a=O(1),,,?t=O（1/2V^2）,簡(jiǎn)介,6.比較前人結(jié)果雷利與其他人也采用相關(guān)假設(shè)，然而是用能量法，沒(méi)有考慮圓柱影響，在A與A²上一致在A³上偏大7.與實(shí)驗(yàn)的對(duì)比破波導(dǎo)致的拖曳力現(xiàn)觀實(shí)驗(yàn)證明A/a=O（1）時(shí)會(huì)有旋渦擴(kuò)散，但是只有A遠(yuǎn)大于a時(shí)才會(huì)有明顯拖曳力，拖曳力不用考慮。,二、線性分析,線性分析坐標(biāo)系如下,二、線性分析,直角坐標(biāo)系下入射波速度

9、勢(shì)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化Jm為貝塞爾函數(shù)圓柱體邊界為零法向速度故散射勢(shì)設(shè)一小量可知進(jìn)而假設(shè) 為一階，A,a為階進(jìn)而有外域內(nèi)域,二、線性分析,外域特點(diǎn)簡(jiǎn)化近似為內(nèi)域特點(diǎn)簡(jiǎn)化近似結(jié)果總內(nèi)域速度勢(shì)劃線部分與水平坐標(biāo)無(wú)關(guān)不影響水平速度場(chǎng)只與壓力和波浪升高有關(guān)且為?的同階？？？,二、線性分析,一階展開(kāi)，結(jié)果中不能展現(xiàn)出圓柱的邊界條件，同時(shí)也沒(méi)有表現(xiàn)出自由頁(yè)面的影響，包含高階小量O（?^2)中表示的圓

10、柱表面，故繼續(xù)高階展開(kāi)高階展開(kāi)結(jié)果如下展開(kāi)結(jié)果包含了，，但是非線性參數(shù) 忽略在此解中，后續(xù)討論,二、線性分析,,三、非線性邊界值問(wèn)題,為包含非線性項(xiàng)，， 入射波勢(shì)流細(xì)化到包含非線性參數(shù)，若修改色散關(guān)系 為 修改后在后來(lái)的結(jié)果中影響不大（Newman1977）總的速度勢(shì)添加上修改項(xiàng) （3.1）為非線性影響項(xiàng)滿足如下條件第一位柱面條件第二為自由液面

11、 邊界條件滿足邊界條件坐標(biāo)定義，邊界條件精確的線性解2.7為1精確解，并滿足任意值下2的齊次性,三、非線性邊界值問(wèn)題,條件3.3，右側(cè)分析，由于只計(jì)算一階勢(shì)的貢獻(xiàn)，二階量綱首相，有如下關(guān)系可用應(yīng)用關(guān)系得到第一項(xiàng)為第二項(xiàng)為,三、非線性邊界值問(wèn)題,r趨近極大，外域3.4，3.5的影響將變成高階，故，此條件只適用于內(nèi)部因而采用對(duì)此問(wèn)題適用于內(nèi)部單位化坐標(biāo)變化后結(jié)果如下 左側(cè)一定在自由液面上計(jì)算，而右側(cè)已經(jīng)設(shè)為Z=0

12、，原邊界條件三階無(wú)窮小所含,三、非線性邊界值問(wèn)題,由三維拉普拉斯方程導(dǎo)出速度勢(shì)得到當(dāng)有在內(nèi)部坐標(biāo)系下個(gè)方向的梯度是Ψ的同階無(wú)窮小左側(cè)前四項(xiàng)時(shí)間二階導(dǎo)相關(guān)比其他項(xiàng)小一個(gè)量綱O（?）而被忽略3.8變?yōu)?三、非線性邊界值問(wèn)題,由于3.10右側(cè)兩項(xiàng)都是O（?^3）由3.9得到整體速度勢(shì)的階數(shù)針對(duì)線性解速度勢(shì)與非線性解速度勢(shì)的異同分析相同點(diǎn)：水平梯度都為1/?階；垂向?qū)?shù)不同階,三、非線性邊界值問(wèn)題,自由表面用如下方程定義3.1

13、1展開(kāi)為級(jí)數(shù)形式結(jié)果如3.12，3.13前兩項(xiàng)級(jí)數(shù)可有線性速度勢(shì)解出非線性速度勢(shì)影響為三階?^3故足夠,三、非線性邊界值問(wèn)題,針對(duì)自由邊界條件3.10考慮如何將變化的自由表面轉(zhuǎn)化為確定性邊界，通常方法為泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)在z=0平面。然而，速度勢(shì)的以坐標(biāo)z表示縱向?qū)?shù)在內(nèi)域中通過(guò)一個(gè)系數(shù)1/a放大，而A與a之比為常量，導(dǎo)致自由液面不能轉(zhuǎn)化。卻可以轉(zhuǎn)化為以Z=0（一階近似解的波面方程），加之殘差為二階小量。因此在3.12中的一階自由

14、頁(yè)面展開(kāi)結(jié)果將是以?為逼近參數(shù)的級(jí)數(shù)形式？？，，，，，其第一項(xiàng)為一階展開(kāi)的自由頁(yè)面 ，第二項(xiàng)為， ，，是小于速度勢(shì)一階?的小量。綜上，可近似滿足3.10在內(nèi)部坐標(biāo)Z=0得到縱向擾動(dòng)，水平向穩(wěn)定非線性速度勢(shì)，其上形成點(diǎn)力，其下形成積分力,三、非線性邊界值問(wèn)題,得到最終解的形式時(shí)間相關(guān)參數(shù)無(wú)量綱服從邊界條件Z=0,四、非線性勢(shì)的求解,？，通過(guò)3.15定義服從3.7齊次條件的，通過(guò)韋伯變換簡(jiǎn)化3.15引用，對(duì)R>1

15、通過(guò)分散變量構(gòu)造解的形式如下,Wronskian簡(jiǎn)化4.3得由于fm（R)包含了R的負(fù)冪次項(xiàng)，4.2的積分形式如下S表示龍梅爾函數(shù)未說(shuō)明時(shí)隱含參數(shù)k針對(duì)m=1，2，因其為5節(jié)中的評(píng)估載荷，其他同理可解。使用邊界條件3.15v,四、非線性勢(shì)的求解,由于 4.8簡(jiǎn)單簡(jiǎn)化如下由(Watson1952)得到4.7詳細(xì)分析的結(jié)果S同上兩個(gè)互補(bǔ)的表達(dá)式用來(lái)求s和它的導(dǎo)數(shù)Ψ為伽馬函數(shù)指數(shù)導(dǎo)數(shù)近似的展開(kāi)式為4.12

16、,四、非線性勢(shì)的求解,從4.12接近相應(yīng)4.10表達(dá)式的結(jié)果如下4.13的應(yīng)用可以通過(guò)1970引文提出的QD算法擴(kuò)展轉(zhuǎn)化為連分式。此過(guò)程方法可用于計(jì)算k大于14.5且在m=7之后截?cái)嗟那蠼釬1。在k<<14.5的互補(bǔ)域采用雙精度近似4.11及其導(dǎo)數(shù)。這組解法可以實(shí)現(xiàn)結(jié)點(diǎn)14.5處小數(shù)后五位精度，遠(yuǎn)離點(diǎn)精度更高,四、非線性勢(shì)的求解,一個(gè)可替代的算法如下，可計(jì)算4.10，4.14積分求解見(jiàn)文獻(xiàn)求解結(jié)果如圖，使用適應(yīng)

17、Romberg法六位小數(shù)精度的數(shù)值求解4.5,四、非線性勢(shì)的求解,在0到無(wú)窮積分這些函數(shù)不僅是為導(dǎo)出積分力同時(shí)對(duì)確認(rèn)結(jié)果的數(shù)值精度很重要。為此，采用格林第二恒等式 格林恒等式 來(lái)應(yīng)用到，， 和輔助勢(shì) 在流域內(nèi)；在用了邊界條件3.7和3.15來(lái)積分圓柱邊界和自由表面，結(jié)果如下,,,五、圓柱體上的波浪載荷,總的x+方向上液壓積分力如下，應(yīng)用伯努利方程計(jì)算壓力（此處有伯努利方程計(jì)算出的分布?jí)毫Γ┒x波浪載

18、荷這給出了作用在圓柱體上分布載荷準(zhǔn)確形式，同時(shí)簡(jiǎn)化了計(jì)算力矩和結(jié)構(gòu)激勵(lì)。在實(shí)際應(yīng)用中局部波浪載荷也可以用來(lái)計(jì)算有限吃水下圓柱的波浪載荷，只需附加一些假設(shè)，甚至類比到無(wú)限水深,五、圓柱體上的波浪載荷,注意5.1中的積分計(jì)算上限為z=ξ,在z=0或Z=0分部積分會(huì)更容易對(duì)線性速度勢(shì)兩個(gè)分?jǐn)帱c(diǎn)同樣有效而非線性部分后者更有效，因與A同量綱變化一階速度勢(shì)導(dǎo)致的非線性的影響在6節(jié)用固定坐標(biāo)z和分割點(diǎn)0。自由表面的局部載荷定義如5.1在

19、0到ξ之間。自由頁(yè)面附近的局部載荷分析導(dǎo)致高階力將以點(diǎn)力的形式表現(xiàn)。總的載荷將包含點(diǎn)力和自由液面之下的分布力。來(lái)自非線性項(xiàng)，Ψ，的高階速度勢(shì)見(jiàn)7用Z，以及分離點(diǎn)Z=0。波浪載荷會(huì)與，A^3a，正相關(guān)。相關(guān)的積分力因只在與a正相關(guān)的局部區(qū)域深度內(nèi)載荷顯著，故結(jié)果很小。,五、圓柱體上的波浪載荷,波浪載荷與分布力都是以A為量綱較方便因此以A， A²， A³為一二三解載荷或力。然而其他小量也要考慮?，a因而又有二階三

20、階波浪載荷分別與，，， 正相關(guān)二階三階分布力載荷， ，，，正相關(guān)，高階略去。,六、一階速度勢(shì)的非線性載荷,應(yīng)用分段積分靜水壓力積分相略去先看5.2定義波浪載荷，2.6中導(dǎo)出一階成分如下此為默爾森慣性力相，加速度虛擬質(zhì)量，二階如下,六、一階速度勢(shì)的非線性載荷,考慮非線性項(xiàng)對(duì)積分6.1中的第二積分式的影響。由于波高ξ對(duì)立與坐標(biāo)θ可由6.2，6.3直接算出，結(jié)果如相加得到下,六、一階速度勢(shì)的非線性載荷,

21、最后考慮5.1中的最后一項(xiàng)一階波與真波間小量，真波表面z=ξ,p=0壓力，壓力分布式 因而總體的積分力為如下形式此處ξ2定義在3.13因此在r=a時(shí),六、一階速度勢(shì)的非線性載荷,計(jì)算積分6.8得到總計(jì)算結(jié)果與6.6計(jì)算結(jié)果相加,六、一階速度勢(shì)的非線性載荷,總的積分力為包含6.2,6.3在平均水面以下的積分力和在水面以上的點(diǎn)力積分之和上標(biāo)為只與一階速度勢(shì)相關(guān)，6.12，6.13三階力見(jiàn)文獻(xiàn)變化坐標(biāo)Z加深理解，6

22、.2，6.3變形，泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)變形得到同樣結(jié)果,六、一階速度勢(shì)的非線性載荷,,七、由于非線性速度勢(shì)導(dǎo)致的壓力,非線性速度勢(shì)（定義3.1，計(jì)算第四節(jié)）導(dǎo)致壓力進(jìn)而得到導(dǎo)致5.2相應(yīng)載荷7.2液面上載荷類比6.8點(diǎn)載荷六階小量忽略7.2載荷展開(kāi)如下積分展開(kāi)的首屆相加得到如下結(jié)果,七、由于非線性速度勢(shì)導(dǎo)致的壓力,上兩方程積分離散取到一階相加得三階載荷從上可知三階載荷依賴1，2階勢(shì)，4節(jié)計(jì)算出，如圖3，最大在Z=0單調(diào)遞減7.

23、5得出的分布力用4.17，4.18求積分得到如上,七、由于非線性速度勢(shì)導(dǎo)致的壓力,此力僅在局部有效，類似6.12點(diǎn)力為附加力與一階速度勢(shì)有關(guān)，總的點(diǎn)力形式如下有趣的是7.7中總積分力的三階諧波部分來(lái)源于一階速度勢(shì)，?d，高階速度勢(shì)和非線性，同樣重要,八、總結(jié)——基本內(nèi)容,,圖四展示了三階力在完整的一階運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的變化，一階速度勢(shì)引起的幅值歸一化。由于非線性速度勢(shì)導(dǎo)致的極值約為1.54。全部三階力約為2.52.,三階力6.12為線

24、性高階解在平均液面z=0到ξ積分得到點(diǎn)力7.6為一階波面到自由表面積分點(diǎn)力7.7為自由波面到平均波面總的積分點(diǎn)力（包括線性和非線性速度勢(shì)）=7.6+6.12,八、總結(jié)——得到的結(jié)論,,圖5繪制7.7 針對(duì)不同KA值，在二階幅值標(biāo)準(zhǔn)化下的結(jié)果。可看出非線性點(diǎn)載荷對(duì)KA的變化。,八、總結(jié),2.三階成分與KA正比3.二階三階成分在來(lái)波前半周期加強(qiáng)后半周期減弱。導(dǎo)致總點(diǎn)力擾動(dòng)在前半質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)wt =90°時(shí)直到波峰通過(guò)。后

25、半非線性力衰減。導(dǎo)致非線性力比傳統(tǒng)二階力大很多。,八、總結(jié)——相關(guān)文獻(xiàn)說(shuō)明,Malenica & Molin (1994) ，試圖階傳統(tǒng)二階解得到三階作用在圓柱上的繞射力（Ka=O（1））。此解要同時(shí)解出二階三階勢(shì)。它們受不同的類邊界條件在自由液面上。比3.10更復(fù)雜。另一不同點(diǎn)——泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)高階繞射速度勢(shì)與z=0，是在各個(gè)勢(shì)間緩慢變化的條件下。在本文中三階速度勢(shì)，Ψ，不滿足此限制。本文假設(shè)不同長(zhǎng)度尺寸與圓柱半徑相關(guān)。有必要滿

26、足3.10在擾動(dòng)邊界上.因此綜上為本文假設(shè)與1994的不同，因而不能等價(jià)任一一個(gè)結(jié)果是另一個(gè)的特例。,八、總結(jié)——本文應(yīng)用,本文限制在無(wú)限水深下的縱向圓柱用一種相對(duì)簡(jiǎn)單的方法求解非線性速度勢(shì)的首階項(xiàng)。除了知道一階線性解，浮體圓柱形說(shuō)明了非線性解可在上下變動(dòng)的內(nèi)域坐標(biāo)系下求解出來(lái)（此坐標(biāo)系不影響水平邊界條件）。此模型可直接應(yīng)用于monotower-platforms（只包含一個(gè)細(xì)長(zhǎng)體結(jié)構(gòu)），應(yīng)用套其他結(jié)構(gòu)如張力腿平臺(tái)則要在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行數(shù)值求