非線性動力學汪秉宏

1、1,2024/3/27,非線性動力學第一章汪 秉 宏,中國科學技術大學 近代物理系,,2,2024/3/27,第一章 引言,§1 Newton 力學及其發(fā)展§2 非線性動力學的研究對象§3 非線性動力系統(tǒng)模型的建立,3,2024/3/27,§1 Newton 力學及其發(fā)展,力學的定性研究時期 （公元前－17世紀中葉） Archimedes， Galileo， Kepler定

2、量研究時期 （ 17世紀中葉－19世紀末） Newton，Lagrange, Hamilton,4,2024/3/27,（17世紀）Newton方程：,基本問題：已知 的函數(shù)形式， 求上述方程組的解析表達式。數(shù)學家可證明其存在性及唯一性?；痉椒ǎ_論： 存在收斂問題。在天體力學中取得很大成功，能夠精確預言天體的運動。,5,2024/3/27,18世紀： Lagrange 方程,Lagrange 函數(shù),6

3、,2024/3/27,19世紀 Hamilton 方程,引進廣義動量,Hamilton 函數(shù),7,2024/3/27,Lagrange, Hamilton方程均與Newton方程等價力學的基本問題、基本方法未變結論：二百多年來牛頓力學無實質性進展,,8,2024/3/27,19世紀末、20世紀初發(fā)生的對于牛頓力學的三大變革,9,2024/3/27,太陽系是否穩(wěn)定？——N 體穩(wěn)定性問題,微擾是否收斂？許多科學家宣稱太陽系是穩(wěn)定的

4、，但并未給出其證明。如 Dirichlet。奧斯卡獎1890年授予 Poincare. 他證明了所有微擾級數(shù)是發(fā)散的，因而研究穩(wěn)定性必須使用新的方法 ——定性方法：幾何拓撲，微分拓撲。力學的基本問題及基本方法必須徹底改變。 求解析解并不解決問題。,10,2024/3/27,新力學的理論特點: 力學的基本問題,研究系統(tǒng)在相空間中的軌跡的幾何性質。即：研究相軌圖(phase portrait) 例如：是否周期解？（用微擾法不能回答這

5、一問題） 給出級數(shù)展開式： 如何證明?,11,2024/3/27,新力學的理論特點,基本方法：定性方法： 微分拓撲??大范圍分析 代數(shù)與群論數(shù)值方法：計算機模擬大大拓寬了力學的研究領域發(fā)現(xiàn)了許多新的力學現(xiàn)象。如：混沌、分岔、突變、結構穩(wěn)定性轉變,12,2024/3/27,§2 非線性動力學的研究對象——非線性動力系統(tǒng)及各種特征系統(tǒng)的現(xiàn)象,a) 什么是非線性動力系統(tǒng)？線性方

6、程：量φ滿足的方程 L(φ)=0若（i） φ是線性空間中一個元素（矢量）（ii） L(aφ＋bψ)=a ? L(φ) ＋b ? L(ψ)非線性動力系統(tǒng)的定義：一個動力系統(tǒng)，若其基本力學量的運動由非線性方程描述，則稱作非線性動力學系統(tǒng)。,13,2024/3/27,非線性動力系統(tǒng)若一個動力系統(tǒng)由方程 描述，其中 也可以用系綜概率密度 ρ(x) 的運動描述。 Liuvill

7、 方程：是線性的。 兩個方程等價。但兩者的基本力學量不同。若以x為基本力學量，F(xiàn)為非線性時，則系統(tǒng)為非線性。,14,2024/3/27,考慮一對一變換則非線性方程有可能化為線性的習題1：求G的顯示表達式有些系統(tǒng)，其相空間不是線性空間，這類系統(tǒng)必定是非線性的。例如：剛體動力學方程，相空間為SO3 流形。稱為運動(Kinetic)非線性。F的非線性稱為力學非線性。,15,2024/3/27,b) 什么是特征非線性現(xiàn)象？,

8、例： 考慮映射設 f(x)>x 則xn+1> xn 即使 f 是非線性的，沒有任何不同于線性系統(tǒng)的有趣特征,,,,16,2024/3/27,已知的特征非線性現(xiàn)象：混沌、分岔、突變、自組織現(xiàn)象、耗散結構，分形特征,當 f(x)=r x(1-x) 時出現(xiàn)一系列分岔、混沌等非線性現(xiàn)象。非線性科學并不研究對于線性關系的偏離，而必須研究質的變化。,17,2024/3/27,§3 非線性動力系統(tǒng)模型的建

9、立實際系統(tǒng)往往包含巨大數(shù)目自由度 s～1023，從中得出基本力學量及其遵循的方程,微觀描述 μ為控制參量，表示外界的影響,18,2024/3/27,亞宏觀描述引進集體運動變量： 忽略連續(xù)系統(tǒng)運動的漲落，可由微觀描述得到 漲落耗散定理 漲落項,,19,2024/3/27,宏觀描述 在長時間后，絕大多數(shù)集體運動模式由于耗散而衰減掉，可以考慮剩余運動模式。,設長

10、時間后只剩下 x1 ,…, xm 的運動，則在 t→∞ 時有Haken稱之為隨動原理(slaving principle). 代入前一方程，消去 xj , j=m+1,…,n 得 xj , j=1,…,m 稱作序參量（基本力學量）絕熱消除法： 中心流形→ 慣性流形,20,2024/3/27,IP address： 202.38.83.243 User