1-1-隨機試驗樣本空間

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,課程介紹: 共講8章.1- 5章是概率論，6 -８章是數(shù)理統(tǒng)計.,本課程的平時成績包括作業(yè), 測驗和點名．平時成績所占的比例在全校范圍內(nèi)統(tǒng)一規(guī)定.,,,１．作業(yè)一律寫在 數(shù)學(xué)作業(yè)紙 上, 每次作業(yè)都要寫上自己的學(xué)號和班號.,２．每周作業(yè)必須在下周的周一交給課代表,再由課代表把作業(yè)放在作業(yè)箱中. 作業(yè)箱在數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院樓一層作業(yè)柜 (末兩位)41號。,,,作業(yè)題就寫書上的習(xí)題號碼, 要認(rèn)真做作業(yè);

2、 要按時交作業(yè); 過時不收, 不算成績. 考試嚴(yán)格要求: 全校統(tǒng)一命題, 統(tǒng)一閱卷.特別地, 以前有不及格的同學(xué), 更應(yīng)該認(rèn)真學(xué)習(xí), 加倍努力.按時上課按時下課, 不遲到不早退，遵守課堂紀(jì)律. 希望同學(xué)們刻苦努力, 認(rèn)真學(xué)習(xí), 最后取得好成績!,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，在自然科學(xué)和社會科學(xué)的很多領(lǐng)域都具有非常廣泛的應(yīng)用. 例如天氣預(yù)報、 地震預(yù)報、產(chǎn)品的抽樣

3、調(diào)查，在通訊工程中概率論可用以提高信號的抗干擾性、分辨率等等.,1.確定性現(xiàn)象,在一定條件下必然發(fā)生（出現(xiàn)）某一結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.,特點：,在相同的條件下，重復(fù)進行實驗或觀察，它的結(jié)果總是確定不變的。,概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究對象,2. 隨機現(xiàn)象,—— 即在相同的條件下，重復(fù)進行觀測或試驗，它的結(jié)果未必是相同的。,在一定的條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而試驗或觀察前，不能預(yù)知確切的結(jié)果,特點 ：,雖然在個別試驗

4、中，其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，但是人們經(jīng)過長期實踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)在大量重復(fù)試驗或觀察下，這類現(xiàn)象的結(jié)果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性,,這種在大量重復(fù)試驗或觀察中，所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性稱之為統(tǒng)計規(guī)律性.,統(tǒng)計規(guī)律性,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,正是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科,,§1 隨機試驗§2 樣本空間，隨機事件§3 頻率與概率§4 等可能概型（古典概型）§5 條件概率&#

5、167;6 獨立性,第一章 概率論的基本概念,§1 隨機試驗,試驗是一個廣泛的術(shù)語。它包括各種各樣的科學(xué)實驗，也包括對客觀事物進行的 “調(diào)查”、“觀察”或 “測量” 等.,隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.,如何來研究隨機現(xiàn)象?,E1：拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)的結(jié)果。,分別用“H(head)” 和“T(tail)” 表示正面朝上 和反面朝上，可能的結(jié)果是 ： “H” 或“T”;,

6、E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面、反面出現(xiàn)的 情況。 可能的結(jié)果是 ：,{ HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT },下面都是試驗的例子,E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。,{ 0, 1, 2, 3 },可能的結(jié)果是 ：,E4：擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)。,{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 },E5：記錄某段時間內(nèi)電話交換臺接到的呼喚次數(shù)。,

7、可能的結(jié)果是 ：,可能的結(jié)果是 ：,{ 0，1, 2, 3, … … },可能的結(jié)果是 ：,E6：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。,{ t | t ? 0 },E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。,{ ( x , y ) | T0 ? x , y ? T1 },可能的結(jié)果是 ：,上述這類試驗均具有以下特點：可以在相同的條件下重復(fù)進行；每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確 試驗的所有可能結(jié)果；進行一

8、次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。,這類試驗就是我們要討論的隨機試驗.,1 可以在相同的條件下重復(fù)地進行；,2 每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事,3 進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會,在概率論中，把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗 ：,隨機試驗,隨機試驗簡稱試驗，用 E 表示.,先明確試驗的所有可能結(jié)果；,出現(xiàn).,§2 樣本空間，隨機事件,一 樣本空間，樣本點,隨機試驗 E 的所有可能結(jié)果組成的集合，稱為E 的

9、樣本空間，用 S 表示，記為,S ={ e | e 為 E 的可能結(jié)果 }.,樣本空間的元素，即 E 的每一個可能結(jié)果，稱為樣本點，用 e 表示.,S1 : { H , T }S2 : { HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }S3 : { 0, 1, 2, 3 }S4 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 },S5 : { 0,1,2,3……}S6 : { t | t ? 0 }

10、S7 : { ( x , y ) | T 0? x , y ? T1 },上述試驗的樣本空間分別為,隨機事件： 稱試驗E 的樣本空間S 的子集為E 的 隨機事件，簡稱事件。常用大寫字母 A，B，C 等表示。基本事件： 由一個樣本點組成的單點集。必然事件： 樣本空間S 本身。不可能事件： 空集?。,二 隨機事件,事件發(fā)生： 我們稱一個隨機事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它

11、 所包含的一個樣本點在試驗中出現(xiàn)。,即，當(dāng)試驗的樣本點 ( 試驗結(jié)果 ) e 落在 A 中，稱事件 A 發(fā)生，否則稱 A 不發(fā)生.,例如：S2 中事件 A={HHH,HHT,HTH,HTT} 表示 “第一次出現(xiàn)的是正面” S6 中事件 B1={t|t?1000} 表示 “燈泡是次品” 事件 B2={t|t ? 10

12、00} 表示 “燈泡是合格品” 事件 B3={t|t?1500} 表示“燈泡是一級品”,例如：投擲一枚骰子的樣本空間是 S4 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 事件 A={ 3 } 表示 “ 擲出3點 ” 擲出3點, 就稱事件 A 發(fā)生，否則稱事

13、件 A 不發(fā)生 事件 A 發(fā)生和擲出 3 點是等價的； 事件 B={2,4,6} 表示 “ 擲出偶數(shù)點 ” 擲出偶數(shù)點, 稱事件 B 發(fā)生，否則稱事件 B 不發(fā)生 事件 B 發(fā)生和擲出偶數(shù)點是等價的.,（1）若 A ? B，則稱事件 B 包含事件 A，事件 A

14、 包含于事件 B ， 指的是事件 A 發(fā)生必然導(dǎo)致 B 發(fā)生.,三 事件的關(guān)系與運算,設(shè)試驗 E 的樣本空間為S ，A 、B 、Ak 為S的子集,（2）若 A ? B，B ? A，即 A = B，則稱事件 A與事件 B 相等。,“A、B 中至少有一個發(fā)生”， “A 發(fā)生或B 發(fā)生”與“事件 A ? B 發(fā)生”是等價的。,“事件 A 和 B 同時發(fā)生”， “A 和 B 都發(fā)生”與“事件 AB 發(fā)生”是等價的。,若事件A1,…,A

15、n,…中任意兩個事件是互不相容的，則稱這可列無窮多個事件是互不相容的。,（6）若 A ? B = ? ，稱為事件 A 與事件 B 互不相容或互斥。,（7）若 A ? B = S , A ? B = ? ，稱事件A與事件 B 為對立事件或逆事件。,—— 在每次試驗中，事件A、B 中必有一個發(fā)生，且僅有一個發(fā)生。,A 的對立事件記為 ，,—— 當(dāng)且僅當(dāng)事件A不發(fā)生時，事件 發(fā)生。,運算律,,對應(yīng),事件的運

16、算公式就是集合的運算公式,差化積,對應(yīng),重余律,吸收律,冪等律:,交換律:,結(jié)合律:,分配律:,De Morgan定律:,,返回主目錄,對于一個具體事件，要學(xué)會用數(shù)學(xué)符號表示；反之，對于用數(shù)學(xué)符號表示的事件，要清楚其具體含義是什么.,1、 A 發(fā)生， B 與 C 不發(fā)生,例1 設(shè) A、B、C 為三個事件，用 A、B、C 的 運算關(guān)系表示下列各事件,或,2、 A 與 B 都發(fā)生，而 C 不發(fā)生,或,3、 A、B、C 中至

17、少有一個發(fā)生,4、 A、B、C 都發(fā)生,或,ABC,恰有1個發(fā)生,恰有2個發(fā)生,3個都發(fā)生,5、 A、B、C 中至少有兩個發(fā)生,或,6、 A、B、C 都不發(fā)生,恰有2個發(fā)生,3個都發(fā)生,或,7、 A、B、C 中不多于一個發(fā)生,恰有2個不發(fā)生,3個都不發(fā)生,或,至少有2個不發(fā)生,8、 A、B、C 中不多于兩個發(fā)生,或,或,至少有1個不發(fā)生,注意,例2 從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況。 記 A ={ 兩件產(chǎn)

18、品都是合格品 }，,若記 Bi ={ 取出的第 i 件是合格品 }，i =1, 2,={ 兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品 },A = B1 B2,問如何用 Bi 表示 A和 ？,例3 袋中裝有 2 只白球和 1 只黑球。從袋中依次 任意 摸出 2 只球。設(shè)球是編號的：白球為 1 號、2 號，黑球為 3 號。( i, j ) 表示第一次 摸得 i 號球，第二次摸得 j 號球的基本事件，

19、 則這一試驗的樣本空間為： S={ (1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) },S={ (1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) }可得到下列隨機事件A={(3,1),(3,2)}={第一次摸得黑球}；B1={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}={第一次摸得白球}；B2={(1,2),(2,1)

20、,(3,1)，(3,2)}={第二次摸得白球}C={(1,2),(2,1)}={兩次都摸得白球}=B1B2；D={(1,3),(2,3)}={第一次摸得白球，第二次摸得黑球}；G={(1,2),(2,1)}={沒有摸到黑球}。,定義 在相同的條件下，進行了n 次試驗， 在這 n 次試驗中，事件 A 發(fā)生的次數(shù) nA 稱為事件A 發(fā)生的頻數(shù)。比值 n A / n 稱為事件 A 發(fā)生的 頻率，

21、并記成 fn(A) 。,§3 頻率與概率,一 頻率,性質(zhì),設(shè) A 是隨機試驗 E 的任一事件，則,直觀想法是用頻率來近似事件 A 在一次試驗中發(fā)生的可能性的大小，但是這種近似是否可行呢？,實例 將一枚硬幣拋擲 5 次、50 次、500 次，各 做 7 遍，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率,,,,隨n的增大, 頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性,頻率穩(wěn)定性,長期實踐表明，在重復(fù)試驗中，事件 A 發(fā)生的頻率 fn(A) 總在一個常數(shù)值

22、附近擺動，而且，隨著重復(fù)試驗次數(shù) n 的增加，頻率的擺動幅度越來越小。觀測到的大偏差越來越稀少，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性。,頻率穩(wěn)定性即通常所說的統(tǒng)計規(guī)律性.,這種頻率穩(wěn)定性為用統(tǒng)計方法求概率的數(shù)值開拓了道路。,在實際中，當(dāng)概率不易求出時，人們常取實驗次數(shù)很大時事件的頻率作為概率的估計值，稱此概率為,這種確定概率的方法稱為頻率方法.,統(tǒng)計概率,,概率的頻率定義 —— 統(tǒng)計概率,在一組不變的條件下，重復(fù)作 n 次試驗，當(dāng)試驗次數(shù) n 很大時，事

23、件A發(fā)生的頻率 fn(A) 穩(wěn)定地在某數(shù)值 p 附近擺動。稱數(shù)值 p 為事件 A 在這一組不變的條件下發(fā)生的概率，記作 fn (A) = p,頻率定義概率的意義,（1）它提供了一種可廣泛應(yīng)用的，近似計算事件 概率的方法。,（2）它提供了一種檢驗理論正確與否的準(zhǔn)則。,頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小，盡管每進行一連串（ n 次）試驗，所得到的頻率可以各不相同，

24、但只要 n 相當(dāng)大，頻率與概率是會非常接近的。,因此，概率是可以通過頻率來“測量”的，頻率是概率的一個近似.,頻率 穩(wěn)定值 概率,,事件發(fā)生的頻繁程度,事件發(fā)生的可能性的大小,,,,頻率的性質(zhì),概率的公理化定義,即通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義概率.,下面介紹用公理給出的概率定義—— 概率的公理化定義,1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義。,柯爾莫哥洛夫提

25、出的公理為數(shù)很少且極為簡單，但在此基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈。,二 概率,定義 設(shè) E 是隨機試驗，S 是它的樣本空間，對于 E 的每一個事件A 賦予一個實數(shù)，記為 稱為事件 A 的概率，如果集合函數(shù) 滿足下列條件：,公理1：對任一事件 A，有 P(A) ? 0 ；公理2：對必然事件 S，有 P(S) = 1 ；公理3：若事件 A1, A2, …, Ak ,… 互不相容，則有