中南大學(xué)隨機(jī)過(guò)程第一章

1、2024/3/21,胡朝明,53－1,上一講內(nèi)容回顧,概率空間隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、隨機(jī)事件體、概率、概率空間、概率的性質(zhì),2024/3/21,胡朝明,53－2,本講主要內(nèi)容,概率空間條件概率、乘法公式、事件的獨(dú)立性、全概率公式與貝葉斯公式隨機(jī)變量及其分布程隨機(jī)變量、分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量及其分布律連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度常見(jiàn)的隨機(jī)變量及其分布n維隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布,2024/3/21,胡朝明,53－3,四

2、、條件概率,設(shè)概率空間(Ω,F,P)，A?F，B?F，且P(A)>0，在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率定義為：,給定概率空間(Ω,F,P)，A?F，且P(B)>0，對(duì)任意B?F有P(B|A)對(duì)應(yīng)，則條件概率P(B|A)是(Ω,F)上的概率，記P(B|A)＝PA，則(Ω,F,PA)也是一個(gè)概率空間，稱為條件概率空間。,2024/3/21,胡朝明,53－4,五、乘法公式,設(shè)概率空間(Ω,F,P)，如果A,B?F，且

3、P(AB)>0，則下述乘法公式成立：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B),推廣：,設(shè)概率空間(Ω,F,P)，如果Ai?F，i=1,2,…,n且P(A1A2…An)>0，則下述推廣的乘法公式成立： P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1),2024/3/21,胡朝明,53－5,六、事件的獨(dú)立性,如果事件A,B?F，滿足P(AB)＝P(A)

4、P(B)，則稱事件A與B相互獨(dú)立。如果事件A1,A2,…,An?F，且對(duì)任意s(2≤s≤n)和任意的1≤i1<i2<…<is<n，有P(Ai1Ai2…Ais)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Ais)，則稱事件事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立。,2024/3/21,胡朝明,53－6,六、隨機(jī)事件獨(dú)立性的性質(zhì),A與B相互獨(dú)立?A與B相互獨(dú)立?A與B相互獨(dú)立?A與B相互獨(dú)立A與B相互獨(dú)立?P(

5、B|A)＝P(B) (P(A)>0)?P(A|B)＝P(A) (P(B)>0)?P(B|A)＝P(B|A) (0<P(A)<1)設(shè)A1,A2,…,An相互獨(dú)立，若將其中任意m個(gè)(1≤m≤n)事件換成它們的逆事件，則所得的n個(gè)事件仍然相互獨(dú)立。設(shè)A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則,,,,,,2024/3/21,胡朝明,53－7,七、全概率公式與貝葉斯公式,

6、設(shè)事件組B1,B2,…,Bn兩兩互不相容，即BiBj＝Φ(1≤i≠j≤n)，且＝Ω，P(Bi)>0，i=1,2,…,n，則對(duì)任意事件A，有,全概率公式：,貝葉斯公式：,j=1,2,…n。,2024/3/21,胡朝明,53－8,§1.2 隨機(jī)變量及其分布,一、隨機(jī)變量設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，如果定義樣本空間Ω上的一個(gè)單值實(shí)函數(shù)X＝X(?)，??Ω，滿足{?：X(?)<x}?F -∞<

7、x<+∞則稱X(?)為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量縮寫(xiě)為R.V.。,二、分布函數(shù) 設(shè)X＝X(?)是概率空間(Ω,F,P)上的隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，定義函數(shù)F(x)＝P{X<x} -∞<x<+∞稱為R.V.X的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。,2024/3/21,胡朝明,53－9,分布函數(shù)的性質(zhì),0≤F(X)≤1；,F(x)是單調(diào)不減函數(shù)，即對(duì)任意x1<x2，有F(x1)≤F(x2)；F(x)是左

8、連續(xù)函數(shù)，即對(duì)任意x有F(x-0)＝F(x)。,△,△,2024/3/21,胡朝明,53－10,三、離散型隨機(jī)變量及其分布律,若隨機(jī)變量X至多只取可列無(wú)窮多個(gè)數(shù)值：x1,x2,…,xn,…，令pk＝P{X＝xk}，它滿足：(1)pk≥0， (2) ＝1，則稱X為離散型隨機(jī)變量，并稱P{X＝xk}＝pk，k=1,2,…為X的分布律或概率分布。離散型X.V.X的分布函數(shù)：,它是左連續(xù)單調(diào)不減的階

9、梯函數(shù)，在x＝xk處有第一類跳躍型間斷點(diǎn)，其跳躍度為pk。,2024/3/21,胡朝明,53－11,離散型R.V.X的表示,分布律(函數(shù)形式)：,分布函數(shù)：,其中δ(x)為單位脈沖函數(shù)，μ(x)為單位階躍函數(shù)，定義為：,2024/3/21,胡朝明,53－12,例,設(shè)R.V.X的分布律為：,求X的分布律和分布函數(shù)。,解：,2024/3/21,胡朝明,53－13,四、連續(xù)型隨機(jī)變量,若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，使得R.V.X

10、的分布函數(shù)滿足：,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。,2024/3/21,胡朝明,53－14,概率密度函數(shù)的性質(zhì),f(x)≥0；,2),如果一個(gè)函數(shù)f(x)具有性質(zhì)1)、2)，則它一定是某個(gè)R.V.X的概率密度。,在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處，F(xiàn)’(x)＝f(x)；連續(xù)型R.V.X取某個(gè)值的概率為0，即P{X=x}＝0，x?(-∞,+∞)；連續(xù)型R.V.X落在區(qū)間的概率，與區(qū)間的開(kāi)、閉無(wú)關(guān)，

11、即P{a≤X≤b}＝P{a＜X≤b}＝P{a＜X＜b}＝P{a≤X＜b}＝F(b)－F(a)＝,故對(duì)連續(xù)型R.V.X而言，P{X≤x}＝P{X＜x}＝F(x).,2024/3/21,胡朝明,53－15,例,已知R.V.X的概率密度,求：1)分布函數(shù)F(x)；2)概率P{X>1}。,解 1),2),注 P{X>1}也可直接由分布函數(shù)得出：,2024/3/21,胡朝明,53－16,五、常見(jiàn)的隨機(jī)變量及其分布,分布(兩點(diǎn)分

12、布)如果R.V.X的分布律為：,0<p<1，p+q=1,則稱R.V.X服從分布，記為X～分布或X～B(0,1)。,一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)僅有兩種結(jié)果，A和 ，定義隨機(jī)變量,P(A)＝p，P( )＝q＝1-p，即X～分布。,2024/3/21,胡朝明,53－17,2.貝努里試驗(yàn)、二項(xiàng)分布,如果隨機(jī)試驗(yàn)E滿足：將一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次，各次試驗(yàn)僅有兩個(gè)結(jié)果A和 ，事件A的概率在各次試驗(yàn)中保持不變，P(A)＝p，P(

13、 )＝1-p；各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，則稱隨機(jī)試驗(yàn)E為n次貝努里試驗(yàn)。,定理 在n次貝努里試驗(yàn)E中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的分布律為：,如果隨機(jī)變量X的分布律為,0<p<1，p+q=1，k=0,1,2,…,n，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為X～B(n,p)。,2024/3/21,胡朝明,53－18,3.泊松(S.D.Poisson)分布,如果R.V.X的分布律為,則稱R.V.X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X～?(?

14、)。,泊松分布在理論和應(yīng)用上都很重要，例如，在單位時(shí)間內(nèi)，某電話交換臺(tái)接到的電話呼叫次數(shù)；到達(dá)某服務(wù)臺(tái)的顧客數(shù)；某放射源放射的粒子數(shù)；某自動(dòng)控制系統(tǒng)損壞的元件個(gè)數(shù)；等等，都服從泊松分布。,2024/3/21,胡朝明,53－19,4.均勻分布,如果R.V.X的概率密度為,則稱R.V.X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為X～U(a,b)，X的分布函數(shù)為,2024/3/21,胡朝明,53－20,5.(負(fù))指數(shù)分布(壽命分布),如果R.V.X

15、的概率密度為,則稱R.V.X服從參數(shù)為?的（負(fù)）指數(shù)分布(壽命分布)，X的分布函數(shù)為,2024/3/21,胡朝明,53－21,6.正態(tài)分布(高斯分布),如果R.V.X的概率密度為,則稱R.V.X服從參數(shù)為?和?2的正態(tài)分布(高斯分布)，記為X～N(?,?2)，X的分布函數(shù)為,特別地，?=0,?2=1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為R.V.X～N(0,1)，其概率密度和分布函數(shù)特別記為：,2024/3/21,胡朝明,53－22,7.?-

16、分布,如果R.V.X的概率密度為,則稱R.V.X服從參數(shù)為?,?的?-分布，記為X～?(?,?)。,這里，?-函數(shù)定義為,可證得,?(?+1)＝??(?)，?(n+1)＝n!，?(1)＝1。,2024/3/21,胡朝明,53－23,8.?2-分布,如果R.V.X的概率密度為,則稱R.V.X服從自由度為n的?2-分布，記為X～?2(n)，顯然，,2024/3/21,胡朝明,53－24,9.k階愛(ài)爾朗(Erlang)分布,如果R.V.X的概

17、率密度為,則稱R.V.X服從參數(shù)為?（?>0）的k階愛(ài)爾朗分布，記為X～Ek，其分布函數(shù)為,2024/3/21,胡朝明,53－25,六、二維隨機(jī)變量,如果X和Y是定義在同一概率空間(Ω,F,P)上的兩個(gè)隨機(jī)變量，則稱(X,Y)為二維隨機(jī)變量，記為二維R.V.(X,Y)。,設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，定義函數(shù)F(x,y)＝P{X<x,Y<y}，-∞<x<+∞，-∞<y<+∞為R.V.(X,Y

18、)的二維聯(lián)合分布函數(shù)。,2024/3/21,胡朝明,53－26,二維聯(lián)合分布的性質(zhì),0≤F(x,y)≤1；F(+∞,+∞)＝1；F(-∞,y)＝F(x,-∞)＝F(-∞,-∞)＝0；F(x,y)對(duì)每個(gè)變量都是單調(diào)不減函數(shù)；F(x,y)對(duì)每個(gè)變量都是左連續(xù)函數(shù)；對(duì)任意x1<x2，y1<y2，有F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)≥0。,2024/3/21,胡朝明,53－27,離散型二

19、維隨機(jī)變量,如果二維若隨機(jī)變量(X,Y)至多只取可列無(wú)窮多對(duì)數(shù)值(xi,yj)，i,j=1,2,…，令pij＝P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j}，它滿足：(1) pij≥0， (2) ＝1，則稱(X,Y)為離散型二維隨機(jī)變量。稱 pij＝P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j}，i,j=1,2,…為(X,Y)的聯(lián)合分布律。稱,為(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。,2024/3/21,胡朝明,53－28,邊緣分布律、條件分

20、布律,為R.V.X的邊緣分布律。稱,為R.V.Y的邊緣分布律。稱,為在已知Y=yj的條件下，R.V.X的條件分布律。稱,為在已知X=xi的條件下，R.V.Y的條件分布律。,如果pij＝pi.p.j，i,j=1,2,…，則稱R.V.X與Y相互獨(dú)立,稱,2024/3/21,胡朝明,53－29,例,袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球。分別a)不放回、b)有放回地逐一摸球，共摸兩次，分別用X和Y表示第一次、第二次摸到的紅球數(shù)。試分a)、b)兩種情形，求(

21、X,Y)的聯(lián)合分布率、聯(lián)合分布函數(shù)、邊緣分布律、條件分布律，并討論X與Y是否獨(dú)立。,解： a)不放回摸球。 (X,Y)的聯(lián)合分布律、邊緣分布律,因pij≠pi.×p.j，X與Y不相互獨(dú)立,2024/3/21,胡朝明,53－30,例(續(xù)),(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，,條件分布律,2024/3/21,胡朝明,53－31,例(續(xù)),b)有放回摸球。(X,Y)的聯(lián)合分布率、邊緣分布率,(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù),因pij＝pi

22、.×p.j(i,j=0,1)，X與Y相互獨(dú)立,2024/3/21,胡朝明,53－32,連續(xù)型二維隨機(jī)變量,若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使得二維R.V.(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)滿足：,則稱(X,Y)為連續(xù)型二維隨機(jī)變量，并稱f(x,y)為連續(xù)型二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱聯(lián)合概率密度。,2024/3/21,胡朝明,53－33,聯(lián)合概率密度的性質(zhì),1）f(x,y)≥0；,如果一個(gè)函數(shù)f(x,y)具有性質(zhì)1)、2)，則

23、它一定是某個(gè)二維R.V.(X,Y)的概率密度。,3）在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn)(x,y)處，有,4）,2）,2024/3/21,胡朝明,53－34,邊緣分布函數(shù),設(shè)二維R.V.(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，F(xiàn)X(x)＝F(x,+∞)，-∞<x<+∞稱為R.V.X的邊緣分布函數(shù)。FY(y)＝F(+∞,y)，-∞<y<+∞稱為R.V.Y的邊緣分布函數(shù)。,設(shè)二維R.V.(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x

24、,y)， ，-∞<x<+∞稱為R.V.X的邊緣概率密度函數(shù)。 ，-∞<y<+∞稱為R.V.Y的邊緣概率密度函數(shù)。,2024/3/21,胡朝明,53－35,條件概率密度與條件分布函數(shù),fY|X(y|x)＝f(x,y)∕fX(x)，-∞<x<+∞,-∞<y<+∞稱為已知X=x的條件下，R.V.Y的條件概率密度。fX|Y(x|y)＝f(x,y)∕fY(y)，-

25、∞<x<+∞,-∞<y<+∞稱為已知Y=y的條件下，R.V.X的條件概率密度。,稱為已知X=x的條件下，R.V.Y的條件分布函數(shù)。,稱為已知Y=y的條件下，R.V.X的條件分布函數(shù)。,2024/3/21,胡朝明,53－36,相互獨(dú)立,如果二維R.V.(X,Y)對(duì)任意的x,y有P{X<x,Y<y}＝P{X<x}P{Y<y}-∞<x<+∞，-∞<y<+∞等價(jià)地有

26、F(x,y)＝FX(x)FY(y)-∞<x<+∞，-∞<y<+∞則稱R.V.X與Y相互獨(dú)立。,顯然，對(duì)連續(xù)型二維R.V.(X,Y)，X與Y獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)連續(xù)點(diǎn)有f(x,y)＝fX(x)fY(y)-∞<x<+∞，-∞<y<+∞,2024/3/21,胡朝明,53－37,例,已知R.V.(X,Y)服從二維指數(shù)分布，其聯(lián)合密度為,其中， ?、?是大于零的常數(shù)，求：聯(lián)合分布函數(shù)、

27、邊緣分布函數(shù)、邊緣概率密度、條件概率密度，并討論X與Y的獨(dú)立性。,解： R.V.(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,2024/3/21,胡朝明,53－38,例（續(xù)）,邊緣分布函數(shù)為,邊緣概率密度為,2024/3/21,胡朝明,53－39,例（續(xù)）,由于f(x,y)＝fX(x)fY(y)，(x,y)?R2，所以，X與Y相互獨(dú)立。,條件概率密度為,2024/3/21,胡朝明,53－40,七、n維隨機(jī)變量,如果X1, X2, …, Xn是定義在同

28、一概率空間(Ω,F,P)上的n個(gè)隨機(jī)變量，則稱(X1, X2, …, Xn)為二維隨機(jī)變量，記為n維R.V.(X1, X2, …, Xn )。,n維聯(lián)合分布函數(shù) k維邊緣分布函數(shù) 獨(dú)立,推廣：,2024/3/21,胡朝明,53－41,八、隨機(jī)變量函數(shù)的分布,設(shè)(X1, X2, …, Xn )為n維隨機(jī)變量，若已知其聯(lián)合分布，又設(shè)有k個(gè)X1, X2, …, Xn的函數(shù),其中g(shù)i(.) (i=1,2,…k)均為n元連續(xù)函數(shù)，

29、討論(Y1, Y2, …, Yk )的聯(lián)合分布一般方法：n重求和或n重積分。,2024/3/21,胡朝明,53－42,定理,設(shè)連續(xù)型R.V.X的概率密度函數(shù)為f(x)，x?R， y＝g(x)是連續(xù)函數(shù)，則Y＝g(X)是連續(xù)型R.V.，其分布函數(shù)為,R.V.Y的概率密度為fY(y)＝F’Y(y)，y?R。,2024/3/21,胡朝明,53－43,定理,設(shè)連續(xù)型R.V.(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)， g(x,y)是連續(xù)函數(shù)，

30、則Z＝g(X,Y)是連續(xù)型一維R.V.，Z的分布函數(shù)為,概率密度函數(shù)為,2024/3/21,胡朝明,53－44,定理,設(shè)R.V.(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為fX,Y(x,y)，如果u＝ g1(x,y)和v＝ g2(x,y)是連續(xù)函數(shù)，且滿足下列條件：,存在唯一的反函數(shù),有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；,變換行列式（雅可比行列式）,則二維R.V.(U,V)的聯(lián)合概率密度為fU,V(u,v)=fX,Y[h1(u,v),h2(u,v)]|J|。,20

31、24/3/21,胡朝明,53－45,例,已知離散型R.V.(X,Y)的聯(lián)合概率分布如右表所示，求(1) Z1＝X＋Y；(2) Z2＝max(X,Y)的分布律。,解： Z1的分布律和Z2的分布律如下：,X,Y,Pij,,,2024/3/21,胡朝明,53－46,例,設(shè)X～N(0,1)，求y=x2的概率密度函數(shù)fY(y)。,解： 由y=x2，有x1= - ，x2= ，y>0，故,2024/3/21,胡朝明,

32、53－47,例,設(shè)r.v. X～N(0,1)，Y～N(0,1)且相互獨(dú)立，U＝X+Y，V＝X-Y，求：r.v.(U,V)的聯(lián)合概率密度f(wàn)U,V(u,v)；r.v.U與V是否獨(dú)立？,解：1. r.v.(X,Y)的聯(lián)合概率密度為,2024/3/21,胡朝明,53－48,例(續(xù)),由 解得反函數(shù),從而r.v.(U,V)的聯(lián)合概率密度為,變換行列式,2024/3/21,胡朝明,53－49,例(續(xù)),2. U,V的邊緣概率密度

33、為,由于fUV(u,v)＝fU(u).fV(v) (u,v)∈R2故U＝X+Y，V＝X-Y相互獨(dú)立。,2024/3/21,胡朝明,53－50,本講主要內(nèi)容,概率空間條件概率、乘法公式、事件的獨(dú)立性、全概率公式與貝葉斯公式隨機(jī)變量及其分布程隨機(jī)變量、分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量及其分布律連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度常見(jiàn)的隨機(jī)變量及其分布n維隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布,2024/3/21,胡朝明,53－51,下一講內(nèi)容預(yù)告,