第一章 隨機序列

1、1第一章第一章隨機序列隨機序列前言：這一章是本書的預(yù)備知識.我們借助于實例，用較通俗的語言引入平穩(wěn)隨機序列的概念.然后介紹平穩(wěn)隨機序列的描述方法，并且對平穩(wěn)序列中的“頻譜分析方法”、“相關(guān)分析方法”及“參數(shù)化方法”之間的關(guān)系給予簡要說明.另外，還將介紹兩種常用的估計方法，以備后用.討論描述隨機過程的方法必須注意①隨機過程表面上雜亂無章（如BrownianMotion）但是，它既然是客觀事物和數(shù)量表征，必然有其內(nèi)在的規(guī)律；②為了掌握和利用

2、這些隨機過程所表現(xiàn)出來的規(guī)律，需要一定的數(shù)學(xué)工具，這就是隨機過程理論.這章主要討論隨機序列的概率分布、參數(shù)表征、平穩(wěn)隨機序列（定義、譜分解、隨機序列的概率分布、參數(shù)表征、平穩(wěn)隨機序列（定義、譜分解、白噪聲序列、線性運算、有理譜密度的平穩(wěn)序列、隨機差分方程、白噪聲序列、線性運算、有理譜密度的平穩(wěn)序列、隨機差分方程、遍歷性）遍歷性）、多維隨機序列、兩種估計和參數(shù)估計的優(yōu)效性概念。、多維隨機序列、兩種估計和參數(shù)估計的優(yōu)效性概念。1隨機序列的概

3、率分布：隨機序列由無窮多個隨機變量構(gòu)成的，我們說給定了一個隨機序列的概率分布，是指對于任意有窮多個時刻，(12)txt??12mttt?相應(yīng)的隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)都是被12mtttxxx?1212()mtttmFxxx??給定的，而且它們之間不能矛盾，即是說由高維聯(lián)合分布推出的低維聯(lián)合分布與原給定的低維分布相同.有時我們也說給定了序列的任意有窮維分布.為獨立的隨機序列：若對于有窮個不相同txtx?時刻相應(yīng)是相互獨立的romvariab

4、le即12mttt?12mtttxxx?12121212()()()()mmtttmtttmFxxxFxFxFx????Exp：電話中的熱噪聲常常近似于這種獨立序列.由于分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計特性，故嚴平穩(wěn)隨機過程的所有統(tǒng)計特性均不隨時間的平移而變化.故這一要求相當(dāng)嚴格.稱之為嚴平穩(wěn)（狹義平穩(wěn)）.而寬平穩(wěn)過程對時間推移的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計平均的一、二階矩上.顯然，嚴平穩(wěn)過程比寬平穩(wěn)過程之條件要求更“嚴”.為狹義平穩(wěn)序列（嚴平穩(wěn)

5、序列）：若一個隨機序列的任意txtx有窮維分布滿足：（整數(shù)集），Z???(1)imtim???3就是以上三種量.從上述表述易見，和被的分布唯一確定.ttsr?ts?tx但是，反之由和一般并不能唯一確定的分布，即具有不ttsr?ts?tx同分布的隨機序列可以有相同的均值、自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù).3平穩(wěn)隨機序列：為便于讀者掌握，我們把本書的討論幾乎完全限于正態(tài)序列范圍之內(nèi)，這不會影響時序分析方法的介紹，且會使很多數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)有較為簡單的形式

6、，只是在某些個別情形下，我們指出對于非正態(tài)序列的類似結(jié)果.特別，本書所介紹的各種方法的基礎(chǔ)是廣義平穩(wěn)序列（寬平穩(wěn)序列）.（1）廣義平穩(wěn)序列的定義：若隨機序列的二階矩有窮且對任意時刻和滿足：tx2()tEx??tstEx??2tststsExxrr?????為方便計，通常不妨設(shè).0??則稱它為廣義平穩(wěn)序列（寬平穩(wěn)序列），即與無關(guān)，只與?ttsr有關(guān).“廣義”是相對于“狹義”而言的，簡稱平穩(wěn)過程.ts?Remark：①若狹義平穩(wěn)過程（序列）

7、的一、二階都有窮tx則它一定也是廣義平穩(wěn)的.2()ttExEx??1122121212012()()()()()tttRRttttExxdFxxdFxatExxxxdFxxxxdFxxf??????????????????????????????@@與無關(guān)②若是正態(tài)隨機序列，的狹義平穩(wěn)性的廣義平穩(wěn)性.txtxtx?（，復(fù)旦大學(xué)《隨機過程》第三冊P183特征函()()tsExx?????數(shù)）Proof：“”若是狹義平穩(wěn)的（嚴平穩(wěn)的），又正