第四章向量空間定稿

1、中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,1,第四章 向量空間,§4.2 向量?jī)?nèi)積,§4.3 正交矩陣,§4.1 向量空間,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,2,說(shuō)明,2． 維向量的集合是一個(gè)向量空間,記作 .,一、向量空間的概念,定義1　設(shè) 為 維向量的集合，如果集合 非空，且集合 對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合 為向量空間．,1．集合 對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算

2、封閉指,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,3,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,4,二、向量空間的基與維數(shù),定義3 設(shè) 是向量空間，如果 個(gè)向量 ，且滿足,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,5,（1）只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因?yàn)樗鼪](méi)有基．,說(shuō)明,（2）若把向量空間 看作向量組，那么 的基就是向量組的最大無(wú)關(guān)組, 的維數(shù)就是向量組的秩.,中南財(cái)經(jīng)政

3、法大學(xué)信息學(xué)院信息系,6,（3）若向量組 是向量空間 的一個(gè)基，則 可表示為,,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,7,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,8,§4.2 向量的內(nèi)積,一、向量?jī)?nèi)積,三、向量正交,二、向量長(zhǎng)度,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,9,內(nèi)積：,稱,為向量,用矩陣記號(hào)可表示為,返回,一、向量?jī)?nèi)積,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,10,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息

4、學(xué)院信息系,11,※,內(nèi)積的性質(zhì),當(dāng)且僅當(dāng),返回,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,12,二、向量長(zhǎng)度:,１、向量長(zhǎng)度也稱為向量范數(shù),２、長(zhǎng)度為１的向量稱為單位向量(或稱標(biāo)準(zhǔn)化向量),說(shuō)明：,3 、,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,13,,向量長(zhǎng)度的性質(zhì)：,這表明任何非零向量的長(zhǎng)度為正數(shù)，零向量的長(zhǎng)度為零,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,14,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,15,３.柯西－施瓦茨不等式．,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,

5、16,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,17,由柯西－施瓦茨不等式得,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,18,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,19,返回,三、向量正交,引例：,兩個(gè)非零向量的內(nèi)積可能等于零,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,20,１.零向量與任何向量正交.,性質(zhì),２.與自己正交的向量只有零向量,３.正交向量組是線性無(wú)關(guān)的．,證明,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,21,線性無(wú)關(guān).,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,22,解,取,例

6、５,已知,兩個(gè)向量,正交,,試求一個(gè)非零向量,使,兩兩正交.,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,23,為所求,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,24,,返回,的標(biāo)準(zhǔn)正交基,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,25,第一步，將它們正交化；第二步，再單位化,返回,標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法,1.給定 任意一組基將它變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基的步驟如下,(1)利用下面所述的施密特正交化方法,由這組基生成 個(gè)向量的正交向量組,(2)將正交向量組中

7、每個(gè)向量標(biāo)準(zhǔn)化,這樣就得到 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,26,首先正交化,(施密特正交化方法)令：,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,27,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,28,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,29,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,30,例4,解,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,31,再把它們單位化，取,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,32,解,依題意,應(yīng)滿足方程,即,方程組基礎(chǔ)解系為,中南財(cái)經(jīng)

8、政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,33,將其正交化,,取,此即所求.,返回,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,34,正交矩陣:,設(shè),為,階方陣,,若滿足,則稱,為正交矩陣.,§4.3 正交矩陣,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,35,正交矩陣具有以下性質(zhì)：,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,36,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,37,定理,為正交矩陣的充要條件是 的列向量都是單位向量且兩兩正交．,證明,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,

9、38,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,39,n階矩陣Ａ為正交矩陣的充要條件是Ａ的列向量都是單位向量且兩兩正交．,同理可證,n階矩陣Ａ為正交矩陣的充要條件是Ａ的列向量組是　的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．,n階矩陣Ａ為正交矩陣的充要條件是Ａ的行向量都是單位向量且兩兩正交．,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,40,例3 判別下列矩陣是否為正交陣．,中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系,41,解,所以它不是正交矩陣．,考察矩陣的第一列和第二列，,由于,中南財(cái)經(jīng)