2018年高考理科數學浙江卷導數壓軸題解析

1、2018年高考理科數學浙江卷導數壓軸題解析已知函數.()lnfxxx??（I）若在，處導數相等，證明：；()fx1x2x12()xx?12()()88ln2fxfx???（II）若，證明：對任意，直線與曲線有唯一公共點.34ln2a??0k?ykxb??()fx【題目分析】本題綜合考察了函數的單調性、極值以及零點的分析。解決第（I）問中取12()()fxfx?值范圍問題的關鍵在于建立與之間的關系將雙變量轉化為單變量，尋找該單變量的取值1

2、x2x范圍，構造函數并根據函數的單調性以及定義域討論其值域，難度不大。第（II）問重點考察函數零點的尋找，“零點存在性定理”與“函數單調性”的結合是解決“唯一零點”這類問題的常規(guī)套路——“零點存在性定理”解決有沒有的問題，“函數單調性”解決可能有幾個的問題。題目中需要構造這樣一個含有雙參變量的函數，()lnhxxxkxa????參數a不會影響“函數單調性”，也就是意味著函數的單調性比較好處理，難點在于“零()hx點存在性定理”的運用，是

3、否存在大于0或者小于0的點是由參數k和a共同控制的，()hx對于這樣一個既含有根號又含有對數的函數而言，處理起來比較棘手。當然考慮在()hx及處的極限很容易得出存在零點的結論，但是需要強調的是求極限嚴格來0x??x???()hx講不屬于高中階段內的知識點（雖然高中教材中有涉及），高考時得不得分存在很大爭議，因此高考數學官方標準答案中都會帶入“特殊值”，通過不等式的放縮來證明函數值是否存在大于(小于)0的點，本題中官方標準答案中給出以及這

4、樣兩個極(||)akme???22(||1)1nak???其復雜的“特殊值”，讓人望而生嘆直呼好難想到。本解答過程另辟蹊徑，給出了兩個非常簡單的范圍來說明的正負號問題——將()hx分為與兩部分，此時參數k和a分開(k和a二者之間沒有關系，相互()hxxkx?lnxa??獨立)，逐一討論范圍之后再合并，從而確定的正負號。()hx【題目解答】（I），；令211111111()=()()24162fxxxxxx????????0x?12()(

5、)fxfxm????，則和是關于的一元二次方程的兩個不相等的正數根，12(0)xx??11x21xt2102ttm????，3311=2kxx?316x?從而；結合（I）3333333333311()ln=ln()ln122xhxxxkxaxxxaxaxx????????????中函數的單調性可知：，即，所以當()gt33ln24ln22xx???3()34ln20hxa????時函數，結合的單調性可知在內無零點，在4(0)xx?3()