v.i._arnold_論數(shù)學(xué)教育

1、[推薦推薦]V.I.Arnold論數(shù)學(xué)教育論數(shù)學(xué)教育(經(jīng)典經(jīng)典)V.I.Arnold論數(shù)學(xué)教育地點(diǎn)：PalaisdeDcouverteinParis時間1997年3月7日.數(shù)學(xué)是物理的一部分。物理學(xué)是一門實(shí)驗科學(xué)，它是自然科學(xué)的一部分。而數(shù)學(xué)是物理學(xué)中只需要花費(fèi)較少的代價進(jìn)行實(shí)驗的那一部分。例如Jacobi恒等式（保證三角形三條高交于一點(diǎn)）就是一個實(shí)驗事實(shí)，正如同地球是圓的（即同胚于球體）這樣的事實(shí)一樣。但是發(fā)現(xiàn)前者卻要比發(fā)現(xiàn)后者需要較

2、少的代價。在20世紀(jì)中葉，人們試圖嚴(yán)格地區(qū)分物理與數(shù)學(xué)。其造成地后果是災(zāi)難性的。整整一代的數(shù)學(xué)家在對他們所從事的科學(xué)的另一半及其無知的情況下成長，當(dāng)然，對其他的科學(xué)就更無知了。這些人又開始把他們的丑陋的學(xué)院式的偽數(shù)學(xué)教給他們的學(xué)生，接著這些丑陋的偽數(shù)學(xué)又被交給中小學(xué)校里的孩子們（他們完全忘記了Hardy的警告：丑陋的數(shù)學(xué)在陽光下不可能總有藏身之處）。既然那些從物理學(xué)中人為挖出來的學(xué)院式的數(shù)學(xué)既無益于教學(xué)，又對其他的科學(xué)毫無用處，結(jié)果可以

3、想見，全世界的人都討厭數(shù)學(xué)家（甚至包括那些被他們教出來的可憐的學(xué)校里的孩子們以及那些運(yùn)用這些丑陋數(shù)學(xué)的人）。這些先天不足的數(shù)學(xué)家被他們所患的低能癥候群折騰的筋疲力盡，他們無能對物理學(xué)有個起碼的了解。令人們記憶猶新的由他們建造的一個丑陋建筑物就是“奇數(shù)的嚴(yán)格公理化理論”。很顯然，完全可能創(chuàng)造這樣一種理論，使得幼稚的小學(xué)生們敬畏它的完美及其內(nèi)部構(gòu)造的和諧（例如，這種理論定義了奇數(shù)個項的和以及任意個因子的乘積）。從這種偏執(zhí)狹隘的觀點(diǎn)來看，偶數(shù)

4、或者被認(rèn)為是一類“異端”，或者隨著時間流逝，被用來作為該理論中幾個“理想”對象的補(bǔ)充（為了遵從物理與真實(shí)世界的需要）。很不幸的是，這種理論只是數(shù)學(xué)中一個丑陋而變態(tài)的構(gòu)造，但卻統(tǒng)治了我們的數(shù)學(xué)教育數(shù)十年。它首先源自于法國，這股歪風(fēng)很快傳播到對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的教學(xué)里，先是毒害大學(xué)生，接著中小學(xué)生也難免此災(zāi)（而災(zāi)區(qū)最先是法國，接著是其他國家，包括俄羅斯）。如果你問一個法國的小學(xué)生：“2＋3等于幾？”，他（她）會這樣回答：“等于3＋2，因為加法運(yùn)算是

5、可交換的”。他（她）根本不知道這個和等于幾，甚至根本不能理解你在問他（她）什么！還有的法國小學(xué)生會這樣定義數(shù)學(xué)（至少我認(rèn)為很有可能）：“存在一個正方形，但還沒有被證明”。據(jù)我在法國教學(xué)的經(jīng)驗，大學(xué)里的學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識與這些小學(xué)生也差不多（甚至包括那些在高等師范學(xué)校（ENS）里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生－－我為這些顯然很聰明但卻被毒害頗深的孩子們感到極度的惋惜）。例如，這些學(xué)生從未見過一個拋物面，而且一個這樣的問題：描述由方程xy=z^2所給出的曲面

6、的形狀，就能使那些在ENS中研究的數(shù)學(xué)家們發(fā)呆半天；而如下問題：畫出平面上由參數(shù)方程（例如x=t^33ty=t^42t^2）給出的曲線，對學(xué)生來說是不可能完成的（甚至對大多數(shù)法國的數(shù)學(xué)教授也一樣）。從微積分的入門教科書直到Goursat寫的課本，解這些問題的能力都被認(rèn)為是每個數(shù)學(xué)家應(yīng)具備的基本技能。那些喜歡挑戰(zhàn)大腦的所謂“抽象數(shù)學(xué)”的狂熱者們，把所有在數(shù)學(xué)中能與物理和現(xiàn)實(shí)經(jīng)常發(fā)生聯(lián)系的幾何統(tǒng)統(tǒng)排除在教學(xué)之外。由GoursatHermit

7、ePicard等人寫的微積分教程被認(rèn)為是有害的，最近差點(diǎn)被巴黎第6和第7大學(xué)的圖書館當(dāng)垃圾丟掉，只是在我的干預(yù)下才得以保存。然而，數(shù)學(xué)教育的非幾何化以及與物理學(xué)的分離卻割斷了這種聯(lián)系。例如，不僅僅學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生而且絕大部分的代數(shù)幾何學(xué)家都對以下提及的Jacobi事實(shí)一無所知：一個第一類型的橢圓積分表示了相應(yīng)的哈密頓系統(tǒng)中沿某個橢圓相曲線的運(yùn)動所走的時間。我們知道一個hypocycloid就如同多項式環(huán)中的理想一樣是無窮無盡的。但是如果要

8、把理想這個概念教給一個從未見過任何hypocycloid的學(xué)生，就好比把分?jǐn)?shù)的加法教給一個從來沒有把蛋糕或蘋果等分切割過（至少在腦子里切過）的學(xué)生。毫無疑問孩子們將會傾向于同時分子加分子分母加分母。從我的法國朋友那里我聽說這種超級抽象的一般化正是他們國家的傳統(tǒng)特色。如果說這可能是一個世襲的缺陷，我倒不會不贊成，不過我還是愿意強(qiáng)調(diào)那個從Poincar那兒借來的“蛋糕與蘋果”的事實(shí)。構(gòu)造數(shù)學(xué)理論的方式與其它的自然科學(xué)并沒有什么不同。首先，我

9、們要考慮一些對象并對一些特殊的事例進(jìn)行觀察。接著我們試圖要找到一些我們所觀察到的結(jié)果在應(yīng)用上的限制，即尋找那些防止我們不正確地把我們所觀察的結(jié)果擴(kuò)展到更廣泛領(lǐng)域的反例。作為一個結(jié)果我們盡可能地明確提出那由經(jīng)驗得來的發(fā)現(xiàn)（如費(fèi)馬猜想和龐加萊猜想）。這之后將是檢驗我們的結(jié)論到底有多可靠的困難的階段。就這一點(diǎn)來說，數(shù)學(xué)界已經(jīng)發(fā)展出了一套特別的技術(shù)。這種技術(shù)，當(dāng)被運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)世界時，有時候很有用，但有時候也會導(dǎo)致自欺欺人。這樣的技術(shù)被稱為“建模”

10、。當(dāng)構(gòu)造一個模型時，要進(jìn)行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精確性了解的事實(shí)，往往被認(rèn)為是“絕對”正確的并被當(dāng)作“公理”來接受。這種“絕對性”的意義恰恰是，在把所有我們可以借助這些事實(shí)得出的結(jié)論稱為定理的過程中，我們允許自己依據(jù)形式邏輯的規(guī)則來運(yùn)用這些“事實(shí)”。顯然在任何現(xiàn)實(shí)的日常生活中，我們的活動要完全依賴于這樣的化減是不可能的。原因至少在于所研究的現(xiàn)象的參數(shù)決不可能被絕對準(zhǔn)確的知曉，并且參數(shù)的微小變化（例如一個過程初始條件的微

11、小改變）就會完全地改變結(jié)果。由于這個原因我們可以說任何長期的天氣預(yù)報都是不可能的，無論我們把計算機(jī)造的有多高級或是記錄初始條件地儀器有多靈敏，這永遠(yuǎn)也辦不到。與此完全一樣的是，公理（那些我們不能完全確定的）的一個小小的改變雖是容許的，一般來說，由那些被接受的公理推出的定理卻將導(dǎo)出完全不同的結(jié)論。推導(dǎo)的鏈（即所謂的“證明”）越長越復(fù)雜，最后得到的結(jié)論可靠性越低。復(fù)雜的模型幾乎毫無用處（除了對那些無聊的專寫論文的人）。數(shù)學(xué)建模的技術(shù)對這種麻

12、煩一無所知，并且還不斷地吹噓他們得到的模型，似乎它們真的就與現(xiàn)實(shí)世界吻合。事實(shí)上，從自然科學(xué)的觀點(diǎn)看這種途徑是顯然不正確的，但卻經(jīng)常導(dǎo)致很多物理上有用的被稱為“有不可思議的有效性的數(shù)學(xué)”結(jié)果（或叫做“Wigner原理”）。我在此再提一下蓋爾方德先生的一句話：還有另一類現(xiàn)象與以上Wigner所指的物理中的數(shù)學(xué)具有相仿的不可思議的有效性，即生物學(xué)中用到的數(shù)學(xué)也是同樣令人難以置信的有效。對一個物理學(xué)家而言，“數(shù)學(xué)教育所致的不易察覺的毒害作用”

13、（F.Klein原話）恰恰體現(xiàn)在由現(xiàn)實(shí)世界抽離出的被絕對化了的模型，并且它與現(xiàn)實(shí)已不再相符。這兒是一個簡單的例子：數(shù)學(xué)知識告訴我們Malthus方程dxdt=x的解是由初始條件唯一決定的（也即相應(yīng)的位于（tx）－平面上積分曲線彼此不交）。這個數(shù)學(xué)模型的結(jié)論顯得與現(xiàn)實(shí)世界毫不相關(guān)。而計算機(jī)模擬卻顯示所有這些積分曲線在t的負(fù)半軸上有公共點(diǎn)。事實(shí)上，具有初始條件x(0)=0和x(0)=1的曲線在t=100相交，其實(shí)在t=100時，你壓根就不可