十九世紀(jì)數(shù)學(xué)35086

1、十九世紀(jì)數(shù)學(xué)十九世紀(jì)數(shù)學(xué)十九世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上創(chuàng)造精神和嚴(yán)格精神高度發(fā)揚(yáng)的時(shí)代。復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立和數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)格化，非歐幾何的問(wèn)世和射影幾何的完善，群論和非交換代數(shù)的誕生，是這一世紀(jì)典型的數(shù)學(xué)成就。它們所蘊(yùn)含的新思想，深刻地影響著二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)。十九世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的概貌十八世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的主流是微積分學(xué)的擴(kuò)展，它與力學(xué)和天文學(xué)的問(wèn)題緊密相聯(lián)。微積分的運(yùn)用使這些自然科學(xué)領(lǐng)域迅猛發(fā)展，至十八世紀(jì)末，它們達(dá)到了一種相對(duì)完美的程度。然而，將數(shù)學(xué)和這些自

2、然科學(xué)基本上視為一體的觀念，使當(dāng)時(shí)一些著名的數(shù)學(xué)家，如拉格朗日、歐拉、達(dá)朗貝爾等對(duì)數(shù)學(xué)的前途產(chǎn)生了悲觀情緒，他們覺(jué)得數(shù)學(xué)泉源已近枯竭。而實(shí)際上，此時(shí)的數(shù)學(xué)正處于興旺發(fā)達(dá)的前夜：18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家忙于獲取微積分的成果與應(yīng)用，較少顧及其概念與方法的嚴(yán)密性，到十八世紀(jì)末，為微積分奠基的工作已緊迫地?cái)[在數(shù)學(xué)家面前；另一方面，處于數(shù)學(xué)中心課題之外的數(shù)學(xué)分支已積累了一批重要問(wèn)題，如復(fù)數(shù)的意義、歐式幾何中平行公設(shè)的地位，高次代數(shù)方程根式解的可能性等，它

3、們大都是從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出的課題；再者，自十八世紀(jì)后期開(kāi)始，自然科學(xué)出現(xiàn)眾多新的研究領(lǐng)域，如熱力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)、測(cè)地學(xué)等等，從數(shù)學(xué)外部給予數(shù)學(xué)以新的推動(dòng)力。上述因素促成了十九世紀(jì)數(shù)學(xué)充滿(mǎn)活力的創(chuàng)新與發(fā)展。十九世紀(jì)歐洲的社會(huì)環(huán)境也為數(shù)學(xué)發(fā)展提供了適宜的舞臺(tái)，法國(guó)資產(chǎn)階級(jí)大革命所造成的民主精神和重視數(shù)學(xué)教育的風(fēng)尚，鼓勵(lì)大批有才干的青年步入數(shù)學(xué)教育和研究領(lǐng)地。法國(guó)在十九世紀(jì)一直是最活躍的數(shù)學(xué)中心之一，涌現(xiàn)出一批優(yōu)秀人才，如傅里葉、泊松、

4、彭賽列、柯西、劉維爾、伽羅華、埃爾米特、若爾當(dāng)、達(dá)布、龐加萊、阿達(dá)馬。他們?cè)趲缀跛械臄?shù)學(xué)分支中都作出了卓越貢獻(xiàn)。法國(guó)革命的影響波及歐洲各國(guó)，使整個(gè)學(xué)術(shù)界思想十分活躍，突破了一切禁區(qū)。英國(guó)新一代數(shù)學(xué)家克服近一個(gè)世紀(jì)以來(lái)以牛頓為偶像的固步自封局面，成立了向歐洲大陸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“分析學(xué)會(huì)”，使英國(guó)進(jìn)入世界數(shù)學(xué)發(fā)展的潮流。皮科克、格林、哈密頓、西爾維斯特、凱萊、布爾等英國(guó)數(shù)學(xué)界的杰出人物，在代數(shù)學(xué)、代數(shù)幾何、數(shù)學(xué)物理方面的成就尤為突出。辦的德文

5、的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》，劉維爾創(chuàng)辦的法文的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》。到十九世紀(jì)后半葉，隨著各國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的問(wèn)世，各種會(huì)刊及專(zhuān)門(mén)雜志顯著增加。這些數(shù)學(xué)會(huì)還在推動(dòng)本國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展和促進(jìn)國(guó)際學(xué)術(shù)交流方面發(fā)揮積極作用。最早成立的是倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)，之后創(chuàng)建的有法國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)、美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)和德國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)。在接近世紀(jì)之末，由各國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)發(fā)起在瑞士蘇黎世召開(kāi)了第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，后成為一項(xiàng)定期舉行的國(guó)際學(xué)術(shù)活動(dòng)。十九世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展錯(cuò)綜復(fù)雜，粗略地可以分為四個(gè)階段。十九世紀(jì)

6、數(shù)學(xué)的發(fā)展錯(cuò)綜復(fù)雜，粗略地可以分為四個(gè)階段。數(shù)論、分析與幾何的創(chuàng)新階段這一階段從十九世紀(jì)初到十九世紀(jì)二十年代。1801年，高斯發(fā)表《算術(shù)研究》，這部象征近代數(shù)論起點(diǎn)的巨著，同時(shí)也打開(kāi)了數(shù)學(xué)新世紀(jì)的大門(mén)。十九世紀(jì)前的數(shù)論主要是一些漂亮但卻孤立的成果，高斯一方面將這些成果系統(tǒng)化，對(duì)問(wèn)題及方法加以分類(lèi)，同時(shí)開(kāi)辟了全新的課題及方法。樹(shù)立了嚴(yán)格證明的典范，認(rèn)為找出簡(jiǎn)單漂亮的證明，有助于掌握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)并發(fā)現(xiàn)不同問(wèn)題間的聯(lián)系(典型的是他給出了二次互反

7、律的七個(gè)證明)。高斯的觀點(diǎn)代表了十九世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)密性追求的時(shí)代精神，也指出了純粹數(shù)學(xué)發(fā)展的一條途徑。同年，高斯依據(jù)少量觀測(cè)數(shù)據(jù)，運(yùn)用誤差分析等方法計(jì)算出谷神星的軌道，準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)了這顆小行星在天空出現(xiàn)的時(shí)刻，哄動(dòng)了科學(xué)界。高斯在一生中始終對(duì)理論與應(yīng)用同等重視，他的成就一直鼓舞著最有才華的數(shù)學(xué)家。他和阿基米德、牛頓一起，被認(rèn)為是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家。1807年，傅里葉向巴黎科學(xué)院提交了一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)的文章，在解熱傳導(dǎo)方程時(shí)，提出任意函數(shù)可用

8、三角級(jí)數(shù)表示。這是分析學(xué)在十九世紀(jì)的首項(xiàng)重要工作，它不僅使分析方法進(jìn)入新的物理領(lǐng)域，而且擴(kuò)展了函數(shù)概念，推進(jìn)了偏微分方程理論。對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)收斂點(diǎn)的研究，最終導(dǎo)致康托爾創(chuàng)立集合論。由于傅里葉級(jí)數(shù)在應(yīng)用中的重要性，研究其收斂性成為分析嚴(yán)格化的動(dòng)力之一。十九世紀(jì)分析嚴(yán)格化的倡導(dǎo)者有高斯、波爾查諾、柯西、阿貝爾和狄利克雷等人。1812年，高斯對(duì)一類(lèi)具體的級(jí)數(shù)——超幾何級(jí)數(shù)，進(jìn)行了嚴(yán)密研究，這是歷史上第一項(xiàng)重要的有關(guān)級(jí)數(shù)收斂性的工作。1817年，