排列、組合、二項(xiàng)式定理

1、用心愛心專心【考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理】一、考試內(nèi)容1.分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理。2.排列、排列數(shù)公式。3.組合、組合數(shù)公式。4.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)。5.二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式展開的性質(zhì)。二、考試要求1.掌握分類計(jì)數(shù)原理及分步計(jì)數(shù)原理，并能用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡單的問題。2.理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它解決一些簡單的問題。3.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡單問題。三、

2、考點(diǎn)簡析1.排列、組合、二項(xiàng)式知識相互關(guān)系表2.兩個(gè)基本原理（1）分類計(jì)數(shù)原理中的分類。（2）分步計(jì)數(shù)原理中的分步。正確地分類與分步是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。3.排列（1）排列定義，排列數(shù)（2）排列數(shù)公式：系==n(n1)…(nm1)mnA)!(!mnn?（3）全排列列：=n!nnA（4）記住下列幾個(gè)階乘數(shù)：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=7204.組合（1）組合的定義，排列與組合的區(qū)別（2）組合數(shù)公式：Cnm=

3、=)!(!!mnmn?12)1(1)m(n1)n(????????mmn（3）組合數(shù)的性質(zhì)①Cnm=Cnnm②rnrnrnCCC11????③rCnr=nCn1r1④Cn0Cn1…Cnn=2n⑤Cn0Cn1…(1)nCnn=0用心愛心專心最后再“松綁”。將特殊元素在這些位置上全排列，即是“捆綁法”。（6）窮舉法：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一排列出來。（7）探索法：對于復(fù)雜的情況，不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問題，需仔細(xì)分析，從特殊到一般，或一

4、般到特殊，探索出其中規(guī)律，再給予解決。（8）消序處理對均勻分組問題的解決，一定要區(qū)分開是“有序分組”還是“無序分組”，若是“無序分組”，一定要清除均勻分組無形中產(chǎn)生的有序因素。（9）“住店”法解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)。把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用分步計(jì)數(shù)原理直接求解的方法稱為“住店”法。（10）等價(jià)命題轉(zhuǎn)換法將陌生、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡單的問題。這是解

5、數(shù)學(xué)題的主要思想方法之一，也是解較難的排列、組合題的重要策略。3.賦值法所謂賦值法是指在二項(xiàng)展開公式兩邊用特殊值代入，得出某些等式及組合數(shù)的性質(zhì)。解決與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)的問題。4.構(gòu)造二次式5.算兩次對同一對象從兩個(gè)不同角度去進(jìn)行計(jì)數(shù)，再將兩方面計(jì)算的結(jié)果綜合起來，獲得所需結(jié)論。這樣一種處理問題的方法，稱之為算兩次。在排列組合中，常對同一問題可有不同的分類辦法去解，可得到有關(guān)排列數(shù)與組合數(shù)的不同關(guān)系式。【例題解析例題解析】例1完成下列選擇

6、題與填空題（1）有三個(gè)不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有種。A.81B.64C.24D.4（2）四名學(xué)生爭奪三項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是（）A.81B.64C.24D.4（3）有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競賽，①每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競賽，則有不同的參賽方法有；②每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，則有不同的參賽方法有；③每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競賽，每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，則不同的參賽方法有。解析（1）完成一件事是“分步”進(jìn)行

7、還是“分類”進(jìn)行，是選用基本原理的關(guān)鍵。將“投四封信”這件事分四步完成，每投一封信作為一步，每步都有投入三個(gè)不同信箱的三種方法，因此：N=3333=34=81，故答案選A。本題也可以這樣分類完成，①四封信投入一個(gè)信箱中，有C31種投法；②四封信投入兩個(gè)信箱中，有C32（C41A22C42C22）種投法；③四封信投入三個(gè)信箱，有兩封信在同一信箱中，有C42A33種投法、，故共有C31C32（C41A22C42C22）C42A33=81（種