第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答(4.6-4.10)

1、46圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫υO(shè)有圓環(huán)或圓筒，內(nèi)半徑為r，外半徑為R，受內(nèi)壓力q1及外壓力q2，圖44a。顯然，應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)是軸對(duì)稱的。因此，取應(yīng)力分量表達(dá)式（411），應(yīng)當(dāng)可以求出其中的任意常A，B，C。內(nèi)外的應(yīng)力邊界條件要求（a）???????????????????????.0021qqRrRr??????????????由表達(dá)式（411）可見，前兩個(gè)關(guān)于的條件是滿足的，而后兩個(gè)條件要求???（b）???????????????????

2、??.2ln212ln212212qCRBRAqCrBrA現(xiàn)在，邊界條件都已滿足，但上面2個(gè)方程不能決定3個(gè)常數(shù)A，B，C。因?yàn)檫@里討論的是多連體，所以我們來考察位移單值條件。由（412）可見，在環(huán)向位移的表達(dá)式中，一項(xiàng)是多值的：對(duì)于同一個(gè)?uEB??4值，例如時(shí)，環(huán)向位移相差。在圓環(huán)或圓筒????????2111????時(shí)與在，EB18??中，這是不可能的，因?yàn)槭峭稽c(diǎn)，不可能有不同的位移。于是?????????21111?，，與由位

3、移單值條件可見必須B=0。對(duì)于單連體和多連體，位移單值條件都是必須滿足的。在按應(yīng)力求解時(shí)，首先求出應(yīng)力分量，自然取為單值函數(shù)；再求形變分量，并由幾何方程通過積分求出位移分量。在多連體中，積分時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)多值函數(shù)，因此，須要校核位移單值條件，以排除其中的多值項(xiàng)。命B=0，即可由式（b）求得A和2C：。??2222212212222rRRqrqCrRqqRrA??????代入式（411），稍加整理，即得圓筒受均布?jí)毫Φ睦方獯鹑缦拢海?13

4、）??????????????????????????.1111111122222122222222212222qRrrqrRRqRrrqrRR????????大彈性體解答中的系數(shù)為，由多連體中的位移單值條件，有CBA???，（a）0?BB′=0。（b）現(xiàn)在，取圓筒的應(yīng)力表達(dá)式為（c）CACA2222???????????取無限大彈性體的應(yīng)力表達(dá)式為（d）CACA???????????2222??????試考慮邊界條件和接觸條件來求解常

5、數(shù)。CACA??首先，在圓筒的內(nèi)面，有邊界條件，由此得??qr??????。（e）qCrA???22其次，在遠(yuǎn)離圓筒處，按照圣維南原理，應(yīng)當(dāng)幾乎沒有應(yīng)力，于是有，????00??????????????由此得。（f）02??C再其次，在圓筒和無限大彈性體的接觸面上，應(yīng)當(dāng)有。????RR?????????于是由式（c）及式（d）得CRACRA?????2222（g）上述條件仍然不足以確定4個(gè)常數(shù)，下面來考慮位移。應(yīng)用式（412）中的第一式

6、，并注意這里是平面應(yīng)變問題，而且，可以寫出圓0?B筒和無限大彈性體的徑向位移的表達(dá)式，??????????sincos1121112KICAEu??????????????????????????????????????????sincos1121112KICAEu???????????????????????????????????????????將上列二式稍加簡(jiǎn)化，得（h）??????????????????????????????