指數與對數函數中的典型錯誤分類辨析

1、指數與對數函數中的典型錯誤分類辨析指數與對數函數中的典型錯誤分類辨析指數函數與對數函數是函數這一章的重點內容，也是學習中的一個難點內容，初學這部分知識如果沒有掌握指數函數與對數函數的圖象與性質，常會出現各種各樣的錯誤，下面就錯誤所在進行分類辨析.一﹑求解函數定義域中的錯誤求解函數定義域中的錯誤例1已知函數f(x)＝loga(－x2＋log2ax)的定義域為(0)，則實數a的取值范圍是12________.錯解：錯解：函數f(x)＝log

2、a(－x2＋log2ax)的定義域為(0)，即當x∈(0)時，1212－x2＋log2ax＞0恒成立，即關于x的不等式log2ax＞x2在(0)上恒成立，令12y1＝log2ax，y2＝x2，如圖，y2過點P()，因y1＞y2在(0)上恒成立，故應有121412y1、y2在(0)上的圖象的位置關系為y1在y2上方，∴≤2a＜1，即≤a＜，∴a的取1211613212值范圍是[).13212辨析：辨析：產生錯誤的原因在于對定義域的定義的理

3、解.當a的范圍確定時，f(x)的定義域為(0)，與－x2＋log2ax＞0互為充要條件，并非僅僅是充分條件而已.當a變化時，函數12定義域也隨之變化，此題定義是確定的，因此a的值也是一個確定的值.正解：正解：由條件知，log2ax＞x2的解集為(0)，令y1＝log2ax，y2＝x2，如圖，由圖易知12y2過點P()，因為在(0)上y1＞y2，則在(0)上y1的圖象在y2的圖象上方，所以，12141212log2a＝()2，即a＝.12

4、12132特別提醒：特別提醒：要注意區(qū)分“函數定義域為區(qū)間A”與“函數在區(qū)間A上恒成立”：兩個概念十分相似，易誤認為是同一個問題，事實上“函數在A上恒有意義”中的A是f(x)的定義域的一個子集，是不等式恒成立問題；而“函數的定義域為A”中的A是函數的定義域，其解法是已知不等式解集求參數問題.二、求解函數值域中的錯誤二、求解函數值域中的錯誤例2若函數y＝lg(x2＋ax＋1)的值域為R，求實數a的取值范圍.錯解錯解：因函數y＝lg(x2＋

5、ax＋1)的值域為R，故x2＋ax＋1＞0對x∈R恒成立，而f(x)＝x2＋ax＋1是開口向上的拋物線，從而△＜0，即a2－4＜0，解得－2＜a＜2，它便是所求的a的取值范圍.錯解錯解2：令x2－3＝t，是x2＝t＋3，代入函數式可得：f(t)＝lg，由＞0，t3t1t3t1得t＜－3或t＞1，∴函數f(x)的定義域為x|t＜－3或t＞1.辨析：辨析：錯解1把函數f(x2－3)與f(x)混淆為同一函數.若令F(x)＝f(x2－3)＝lg

6、，令x2－3＝t，得f(t)＝，就會發(fā)現F(x)與f(x)是兩個不同的函數，它們具x2x24t3t1有不同的定義域和對應法則，因此求的是F(x)的定義域，而不f(x)的定義域.錯解2在用換元法時沒有考慮自變量t受到x2－3的取值范圍的限制.正解：正解：正確的解法為：先求f(x)的表達式，令x2－3＝t，因＞0，故x＞2或x2x24x＜－2，則x2＝t＋3，此時由拋物線性質知t＞－3，∴f(t)＝，由＞0，得t3t1t3t1t＜－3或t＞

7、1，此時f(x)的定義域就是t的取值范圍，故f(x)的定義域為x|x＞1.特別提醒特別提醒：本題所求復合函數外層函數定義域，根據復合規(guī)律知實質上是求內層函數的值域.因此，解答復合函數問題時，分清內、外層函數是關鍵.四﹑判斷函數單調性中的錯誤判斷函數單調性中的錯誤例6試求函數f(x)＝log4(7＋6x－x2)的單調遞增區(qū)間.錯解：錯解：設y＝log4u，u＝g(x)＝7＋6x－x2＝－(x－3)2＋16，則對二次函數u＝g(x)，當x≤

8、3時為增函數；當x≥3時為減函數，又y＝log4u是增函數，故由復合函數的單調性知，所求函數的單調遞增區(qū)間為(－∞3].辨析：辨析：上述解答中就是忽視了原函數的定義域x|－1≤x≤7，因為函數的單調區(qū)間是函數定義域的子區(qū)間.正解：正解：設y＝log4u，u＝g(x)＝7＋6x－x2＝－(x－3)2＋16，則對二次函數u＝g(x)，當x≤3時為增函數；當x≥3時為減函數，又y＝log4u是增函數，且由7＋6x－x2＞0得函數的定義域為(－

9、17)，于是函數f(x)的增區(qū)間是(－13].特別提醒：特別提醒：由于函數的單調性是一個局部概念，單調區(qū)間是定義域的一個子區(qū)間，因此，在解答函數的單調性問題時必須首先考慮函數的定義域，五、求解反函數問題中的問題五、求解反函數問題中的問題例5已知函數f(x)的定義域為(－∞，0)內存在反函數，且f(x－1)＝x2－2x，求f－1(－)的14值.錯解：錯解：因為f(x－1)＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以f(x)＝x2－1.由x2－1＝