【創(chuàng)新方案】2013年高考數(shù)學一輪復習 第十三篇 推理證明、算法、復數(shù) 第4講 數(shù)學歸納法教案 理 新人教版

1、1第4講數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法【2013年高考會這樣考】1數(shù)學歸納法的原理及其步驟2能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題【復習指導】復習時要抓住數(shù)學歸納法證明命題的原理，明晰其內(nèi)在的聯(lián)系，把握數(shù)學歸納法證明命題的一般步驟，熟知每一步之間的區(qū)別聯(lián)系，熟悉數(shù)學歸納法在證明命題中的應(yīng)用技巧基礎(chǔ)梳理1歸納法由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法2數(shù)學

2、歸納法(1)數(shù)學歸納法：設(shè)Pn是一個與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：①證明起始命題P1(或P0)成立；②在假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以斷定Pn對一切正整數(shù)成立(2)用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題時，其步驟為：①歸納奠基：證明當取第一個自然數(shù)n0時命題成立；②歸納遞推：假設(shè)n＝k，(k∈N，k≥n0)時，命題成立，證明當n＝k＋1時，命題成立；③由①②得出結(jié)論兩個防范數(shù)學歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的

3、證明方法，第一步是遞推的“基礎(chǔ)”，第二步是遞推的“依據(jù)”，兩個步驟缺一不可，在證明過程中要防范以下兩點：(1)第一步驗證n＝n0時，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值(2)第二步中，歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用，在證明n＝k＋1時，命題也成立的過程中一定要用到它，否則就不是數(shù)學歸納法第二步關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”三個注意運用數(shù)學歸納法應(yīng)注意以下三點：(1)n＝n0時成立，要弄清楚命題的含義(2)由假設(shè)n＝k成立證n＝k

4、＋1時，要推導詳實，并且一定要運用n＝k成立的結(jié)論(3)要注意n＝k到n＝k＋1時增加的項數(shù)雙基自測3答案1?2k＋1??2k＋2?考向一用數(shù)學歸納法證明等式【例1】?用數(shù)學歸納法證明：tanαtan2α＋tan2αtan3α＋…＋tan(n－1)αtannα＝－n(n∈N，n≥2)tannαtanα[審題視點]注意第一步驗證的值，在第二步推理證明時要注意把假設(shè)作為已知證明(1)當n＝2時，右邊＝－2＝－2＝＝tanαtantan2αt

5、anα21－tan2α2tan2α1－tan2α2α＝左邊，等式成立(2)假設(shè)當n＝k(k∈N且k≥2)時，等式成立，即tanαtan2α＋tan2αtan3α＋…＋tan(k－1)αtankα＝－k，tankαtanα那么當n＝k＋1時，tanαtan2α＋tan2αtan3α＋…＋tan(k－1)αtankα＋tankαtan(k＋1)α＝－k＋tankαtan(k＋1)αtankαtanα＝＋1＋tankαtan(k＋1)α－(k

6、＋1)tankαtanα＝＋－(k＋1)tankαtanαtan?k＋1?α－tankαtan[?k＋1?α－kα]＝－(k＋1)tan?k＋1?αtanα這就是說，當n＝k＋1時等式也成立由(1)(2)知，對任何n∈N且n≥2，原等式成立用數(shù)學歸納法證明等式時，要注意第(1)步中驗證n0的值，如本題要取n0＝2，在第(2)步的證明中應(yīng)在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上正確地使用正切的差角公式【訓練1】用數(shù)學歸納法證明：對任意的n∈N，＋＋…＋＝.11