第六節(jié) 函數(shù)最值及其 在經(jīng)濟中的應用

1、1,第六節(jié) 函數(shù)最值及其 在經(jīng)濟中的應用,一. 閉區(qū)間上函數(shù)的最值,二. 實際問題的最值,三. 函數(shù)最值在經(jīng)濟分析中的應用,2,教學目標,1. 理解函數(shù)的極值與最值之間的聯(lián)系與區(qū)別.,2. 能用函數(shù)的極值理論求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值.,3. 掌握實際問題, 特別是經(jīng)濟中的實際問題的最值.,3,在許多經(jīng)濟理論與實際實際應用中, 常常遇到這樣一類問題: 在一定條件下, 怎樣使: “產(chǎn)品成本最低”, “產(chǎn)品用料最

2、省”,“效率最高”等問題. 這類問題在數(shù)學上有時可歸納為求某一函數(shù)的最大值和最小值問題.,一. 閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)?(x)的最值與極值是兩個不同的概念, 最值是對整個定義域而言的, 是整體性的概念. 最值不僅可以在 [a, b]的內(nèi)點,4,由于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有最大與最小值. 由此, 求閉區(qū)間[ a, b]上的連續(xù)函數(shù) f(x) 的最值時, 只需分別計算f(x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)的駐點、導數(shù)不存在的點以及

3、端點 a和b處的函數(shù)值. 然后加以比較, 其中最大者就是函數(shù)?(x)在[a , b]上的最大值, 最小者就是函數(shù) ?(x)在[a , b]上的最小值.,取得, 也可以在[a, b]的端點取得; 極值只可能在 (a, b) 的內(nèi)點取得. 最值最多只有一個最大值與最小值. 而一個函數(shù)可能有若干個極大值或極小值.,5,(1) 求出函數(shù)?(x)在區(qū)間(a , b)內(nèi)所有可能的極值點(駐點和一階導數(shù)不存在的點), 設為 x1,

4、x2 , …,xn;,(2) 求出相應的函數(shù)值,(3) 比較(2)中所有函數(shù)值的大小, 其最大者為函數(shù)?(x)在閉區(qū)間[a , b]上的最大值, 最小者為函數(shù) ?(x)在閉區(qū)間[a , b]上的最小值.,求閉區(qū)間[a, b]上連續(xù)函數(shù) ?(x) 最值的一般步驟是:,6,解,(1) f (x)在[2，2]上連續(xù),,(2),(4) 駐點和一階導數(shù)不存在的點處的函數(shù)值分別為,解之得駐點為,(3) 令,7,區(qū)間端點的函數(shù)值分別為,

5、注1 若?(x)在[a , b]上為單調(diào)連續(xù)函數(shù), 則其最值只能在端點上達到.,,注2 若?(x)在某區(qū)間內(nèi)僅有一個可能極值點x0, 則當 x0 為極大(小)值點時, x0 就是該函數(shù)在此區(qū)間上的最大(小)值點;,f (0) = 0 .,8,證,考慮函數(shù),解之得駐點為,又,故 為函數(shù) f(x) 的唯一極大值點, 也就是最大值點.,所以, 當x < 1 時,,即,得,9,解決實際問題最值的步

6、驟:,二. 實際問題的最值,(1) 根據(jù)已知條件和要解決的問題, 引入變量, 將需要求最大值或最小值的變量設為因變量, 把影響因變量的變量設為自變量, 用適當?shù)淖帜副硎?,(2) 建立目標函數(shù), 確定自變量的取值范圍．,(3) 求出目標函數(shù)在自變量的取值范圍上的最值．,(4) 用所得的結果解釋原問題．,10,注2 在實際問題中, 若由分析得知確實存在最大值或最小值, 而所討論的區(qū)間內(nèi)僅有一個可能的極值點, 那么這個點 就是

7、函數(shù)在此區(qū)間上的最值點.,例3 用一個邊長為厘米的正方形鋼板, 四角各截去一個大小相等的小正方形, 做成一個無蓋的盒子, 問截掉的小正方形的邊長為多少時, 方盒的容積最大? 設圓柱形的罐頭筒, 容積V為常數(shù), 求表面積為最小時, 底半徑 r 與高 h 之比.,11,解 設截去的小正方形的邊長為x, 做成的無蓋方盒的容積,因為,為V, 則目標函數(shù)為,由,而,所以 x = 8 是函數(shù)的極大值點, 而且 x = 8 又是唯一的駐

8、點, 故也是函數(shù)的最大值點.,故當截掉的小正方形邊長為8厘米時,,方盒的容積最大．,12,三.函數(shù)最值在經(jīng)濟中的應用,在經(jīng)濟管理中, 需要尋求企業(yè)的最小生產(chǎn)成本或制定獲得利潤最大的一系列價格策略等. 這些問題都可歸結為求函數(shù)的最大值和最小值問題.,在本小節(jié)的討論之前, 先對下面所涉及的經(jīng)濟函數(shù)作如下的假定: 設函數(shù) y = ?(x) 是定義在區(qū)間 I 上的函數(shù), 且滿足,(1) 函數(shù) y = ?(x) 在區(qū)間 I 上可導;

9、 (2) 如果函數(shù) y = ?(x) 在區(qū)間 I 上有最大(小)值, 則最大(小)值點位于區(qū)間I 的內(nèi)部.,13,1. 平均成本最小,設企業(yè)的總成本函數(shù)為,C = C(Q),若企業(yè)以平均成本最小為目標函數(shù)來決策產(chǎn)量水平, 這就是求平均成本函數(shù)的最小值問題.,平均成本函數(shù)為,假設在產(chǎn)量 Q = Q0 時, 平均成本達到最小, 則由極值存在的必要條件, 有,14,其中, AC 表示平均成本.,即當平均成本達到最小時 , M

10、C = AC .,從而, MC = AC 是取得最小平均成本的必要條件.,例4 某工廠生產(chǎn)產(chǎn)量為 Q (件)時, 生產(chǎn)成本函數(shù)(元)為,求該廠生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時, 平均成本達到最小? 并求出其最小平均成本和相應的邊際成本.,15,且駐點唯一.,解,于是當Q = 3時, 平均成本達到最小, 且最小平均成本為,平均成本函數(shù)是,則,令,得,16,而邊際成本函數(shù)為,故當Q = 3時, 相應的邊際成本為,顯然有平均成本(用AC表示)最小

11、時, MC = AC,17,2. 最大利潤,設總成本函數(shù)為C(Q), 總收益函數(shù)為R(Q), 其中 Q 為銷量, 則在假設產(chǎn)量和銷量一致的情況下, 總利潤函數(shù)為,? =? (Q) ＝ R(Q) – C(Q),假設產(chǎn)量為 Q0 時, 利潤達到最大, 則由極值的必要條件和極值的第二充分條件, ? (Q0) 必定滿足:,18,可見, 當產(chǎn)量水平 Q = Q0 使得邊際收益等于邊際成本時, 可獲得最大利潤.,經(jīng)濟分析中,

12、 常用MR表示邊際收益, MC表示邊際成本.,即當 MR = MC 時,,可獲得最大利潤.,19,這是因為, 假設二者不等, 當MR > MC時, 則在產(chǎn)量Q = Q0的基礎上再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品, 所增加的收益大于所增加的成本, 因而利潤有所增加.,若MR < MC, 則在產(chǎn)量 Q = Q0 的基礎上再少生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品, 所減少的收益小于所減少的成本, 因而利潤有所增加.,因此, MR = MC

13、 是取得最大利潤的必要條件.,20,解 總成本函數(shù)為,其中P為產(chǎn)品的價格. 已知生產(chǎn)10件產(chǎn)品時的平,均成本為48(元/件), 試求使利潤最大的銷售價．,其中 C0為固定成本.,又因10件產(chǎn)品時的平均成本為48(元/件), 即,21,總利潤函數(shù)為,解得固定成本C0=400, 從而,總收益函數(shù)為,而,故當價格P為17.57元時利潤最大,且駐點唯一.,得駐點 (元).,22,3. 最優(yōu)批量和批數(shù),當一個商場進一

14、批貨物時, 除支付購買這批貨物的成本外, 還需一筆采購費. 在貨物沒有出售完畢前, 還需將部分貨物庫存起來, 這需一筆庫存費. 最優(yōu)批量問題是：如何決策每批的進貨數(shù)量, 即批量，使采購費與庫存費之和達到最小.,假設進貨周期為 t 天, 每次訂貨 q 噸, 每次進貨費用為 C1 元, 每天每噸貨物庫存費為C2 元, 每天對貨物的需求量為 Q 噸, 庫存量是均勻的, 怎樣訂貨才能使訂貨費和庫存費之和最少？,例6,23

15、,解,顯然,,若將數(shù)量為q 的貨物庫存 t 天, 則庫存費為,在庫存量均勻減少的情況下, 庫存費為,24,因此, 一個周期內(nèi)的總費用,則每天的平均費用為,從而,25,又,而,此時, 每批的訂貨量為,得,令,26,例7 某商場每年銷售某商品100萬件, 分批采購進貨, 每批進貨數(shù)量相同. 已知每批采購費為1000元, 而未出售商品的庫存費為每件0.05元/年. 設庫存商品數(shù)量是均勻的, 問批量為多少時, 才能使全年采購費與庫存費

16、之和達到最小? 此時, 采購費與庫存費各是多少?,解,每年庫存費為,x, 則庫存量為,每年采購費為,設每年的庫存費和定貨的手續(xù)費為C,設每批進貨數(shù)量為,27,一年的總費用函數(shù)為,則,由于,此時,則 是總費用函數(shù)的極小,值點, 也是最小值點.,庫存費之和最小.,28,4.最優(yōu)時間選擇,由于資金有時間價值, 因而在分析投資問題時, 必須把發(fā)生在不同時間的資金流轉化成在同一個時間點的等價資金流

17、. 在經(jīng)濟分析中, 一般的做法是將投資成本與投資收益先轉化成投資成本的現(xiàn)值與投資收益的現(xiàn)值(經(jīng)濟學中稱為貼現(xiàn)), 然后再做投資決策分析.,29,解,現(xiàn)值函數(shù)為,例8 設生長在某塊土地上的木材價值 y 是時間 t 的函數(shù),其中 t 以年為單位, y 以千元為單位, 又樹木生長期間的保養(yǎng)費不計. 假設資金的年貼現(xiàn)率為r , 按連續(xù)貼現(xiàn)計算, 試確定伐木出售的最佳時間.,于是,30,令,得唯一駐點,可知,,也是現(xiàn)值函數(shù)的最

18、大值點, 故伐木出售的最,佳時間是,由極值點的唯一性,31,內(nèi)容小結,最值點應在極值點和閉區(qū)間端點上找 ;,解決實際問題的最值，特別是利用最值理論解決經(jīng)濟分,1. 連續(xù)函數(shù)的最值,,,建立目標函數(shù)及其取值區(qū)間,求目標函數(shù)的最值.,( 關鍵 ),析中的問題 .,32,思考練習,1. 某商家銷售某種商品的價格滿足關系 p = 7– 0.2Q (萬元/噸), 且 Q 為銷售量(單位:噸), 產(chǎn)品的成本函數(shù)為,(1) 若每銷售一噸商品

19、, 政府要征稅 t (萬元), 求該商家獲最大利潤時的銷售量;,(2) t 為何值時, 政府稅收總額最大.,C(Q) = 3Q + 1 (萬元),33,解 (1) 當該商品的銷售量為Q時, 商品銷售總收入為,設政府征的總稅額為T, 則有T = t Q, 且利潤函數(shù)為,是使商家獲得最大利潤的銷售量.,且駐點唯一.,得駐點,34,(2) 由(1)的結果知,政府稅收總額為,顯然當 t = 2時, 政府稅收總額最大.