微商與微分

1、第四章第四章微商與微分微商與微分概念清楚，運算熟練與準確，是本章的基本要求概念清楚，運算熟練與準確，是本章的基本要求1微商概念及其計算微商概念及其計算1微商概念微商概念例1質點作變速直線運動的瞬時速度質點作變速直線運動的瞬時速度設質點設質點沿直線作變速運動，運動規(guī)律沿直線作變速運動，運動規(guī)律，P)(tSS?問題：問題：求質點求質點在時刻在時刻的瞬時速度的瞬時速度P0t0()vt從到一段時間內，質點一段時間內，質點所走過的路程為所走過的路

2、程為0ttt??0P)()()(000tSttStS?????平均速度為平均速度為ttSttStSv????????)()(00當愈小，則平均速度愈小，則平均速度就愈接近瞬時速度就愈接近瞬時速度，因而當，因而當||t?tSv???0()vtt?時，平均速度的極限就是瞬時速度，即時，平均速度的極限就是瞬時速度，即0?＝＝0()vt0limt??tS??0limt??ttSttS????)()(00例2非均勻棒的密度非均勻棒的密度均勻的棒：

3、它的任何一段的質量，都與它的長度成正比，均勻的棒：它的任何一段的質量，都與它的長度成正比，，常數，常數是棒的單位長的質量，是棒的單位長的質量，??LM?稱為均勻棒的稱為均勻棒的(線)密度密度非均勻棒：在棒的某些地方物質分布得密一些，有些地方則不太密，非均勻棒：在棒的某些地方物質分布得密一些，有些地方則不太密，因而棒的同樣長度的兩段，一般說來就有不同的質量因而棒的同樣長度的兩段，一般說來就有不同的質量設棒位于數軸的設棒位于數軸的上，上，，

4、]0[a]0[ax??對應的對應的這一段的質量是這一段的質量是，]0[x)(xM問題：問題：求出棒的密度出棒的密度。]0[0ax??)(0x?考慮從考慮從到之間的一段上的質量之間的一段上的質量0x0xx?)()()(000xMxxMxM?????平均密度為平均密度為xxMxxMxM????????)()(00?愈小，則平均密度愈小，則平均密度就愈精確地描寫棒在就愈精確地描寫棒在的密度情況，的密度情況，||x?xM????0x因而當因而當

5、時，平均密度的極限時，平均密度的極限x?0?xxMxxMxMxxx????????????)()(limlim)(00000?或或，)(xf?dxdydxxdf)(Dx?例3求在的微商的微商2yx?0x解＝()y?0xx??22020)(2xxxx?????＝，yx??xx??02＝＝20|xxy??0limx??yx??0x例4求在的微商的微商sinyx?0x解＝()2()sin，y?sin0xx????0sinxcos0x2x?2x

6、?0cos()sin222xxxyxx???????因此因此，???0|xxy00limcosxyxx?????2可導與連續(xù)的關系可導與連續(xù)的關系在點可導點可導存在存在()fx0xxxfxxfxyxfxx??????????????)()(limlim)(00000＝＋?yx??0()fx??xxxfxfxxfy????????????)()()(0000))((lim))()((limlim000000????????????????