微商與微分

1、第四章第四章微商與微分微商與微分概念清楚，運(yùn)算熟練與準(zhǔn)確，是本章的基本要求概念清楚，運(yùn)算熟練與準(zhǔn)確，是本章的基本要求1微商概念及其計(jì)算微商概念及其計(jì)算1微商概念微商概念例1質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律，P)(tSS?問題：問題：求質(zhì)點(diǎn)求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻在時(shí)刻的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度P0t0()vt從到一段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)一段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所走過的路程為所走過的路

2、程為0ttt??0P)()()(000tSttStS?????平均速度為平均速度為ttSttStSv????????)()(00當(dāng)愈小，則平均速度愈小，則平均速度就愈接近瞬時(shí)速度就愈接近瞬時(shí)速度，因而當(dāng)，因而當(dāng)||t?tSv???0()vtt?時(shí)，平均速度的極限就是瞬時(shí)速度，即時(shí)，平均速度的極限就是瞬時(shí)速度，即0?＝＝0()vt0limt??tS??0limt??ttSttS????)()(00例2非均勻棒的密度非均勻棒的密度均勻的棒：

3、它的任何一段的質(zhì)量，都與它的長度成正比，均勻的棒：它的任何一段的質(zhì)量，都與它的長度成正比，，常數(shù)，常數(shù)是棒的單位長的質(zhì)量，是棒的單位長的質(zhì)量，??LM?稱為均勻棒的稱為均勻棒的(線)密度密度非均勻棒：在棒的某些地方物質(zhì)分布得密一些，有些地方則不太密，非均勻棒：在棒的某些地方物質(zhì)分布得密一些，有些地方則不太密，因而棒的同樣長度的兩段，一般說來就有不同的質(zhì)量因而棒的同樣長度的兩段，一般說來就有不同的質(zhì)量設(shè)棒位于數(shù)軸的設(shè)棒位于數(shù)軸的上，上，，

4、]0[a]0[ax??對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的這一段的質(zhì)量是這一段的質(zhì)量是，]0[x)(xM問題：問題：求出棒的密度出棒的密度。]0[0ax??)(0x?考慮從考慮從到之間的一段上的質(zhì)量之間的一段上的質(zhì)量0x0xx?)()()(000xMxxMxM?????平均密度為平均密度為xxMxxMxM????????)()(00?愈小，則平均密度愈小，則平均密度就愈精確地描寫棒在就愈精確地描寫棒在的密度情況，的密度情況，||x?xM????0x因而當(dāng)因而當(dāng)

5、時(shí)，平均密度的極限時(shí)，平均密度的極限x?0?xxMxxMxMxxx????????????)()(limlim)(00000?或或，)(xf?dxdydxxdf)(Dx?例3求在的微商的微商2yx?0x解＝()y?0xx??22020)(2xxxx?????＝，yx??xx??02＝＝20|xxy??0limx??yx??0x例4求在的微商的微商sinyx?0x解＝()2()sin，y?sin0xx????0sinxcos0x2x?2x

6、?0cos()sin222xxxyxx???????因此因此，???0|xxy00limcosxyxx?????2可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系在點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo)存在存在()fx0xxxfxxfxyxfxx??????????????)()(limlim)(00000＝＋?yx??0()fx??xxxfxfxxfy????????????)()()(0000))((lim))()((limlim000000????????????????