數(shù)值分析v4提要

1、1數(shù)值分析提要數(shù)值分析提要第一章第一章:緒論緒論關鍵詞：誤差、絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字、穩(wěn)定性關鍵詞：誤差、絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字、穩(wěn)定性1科學計算的重要性：當今世界，科學與工程計算是高科技，它已經成為衡量一個國家的實力的指標之一；它在科學、工程、社會經濟活動中的作用日益重要，成為繼理論研究、科學實驗之后，三大科學技術研究手段之一，是不可缺少的重要技術；2誤差的來源：模型誤差、觀測誤差、截斷誤差（方法誤差）、舍入誤差（計算誤差

2、）；誤差分類：絕對誤差、相對誤差；強近似、弱近似、誤差限、相對誤差限；3精度的定義：有效數(shù)字N（精確到第N位）；4衡量算法的指標：穩(wěn)定性、計算精度、計算速度；5四則運算的誤差估計；有效數(shù)字與相對誤差的關系；6減少誤差的一些基本原則：避免大數(shù)除小數(shù)、避免相近數(shù)相減、避免大數(shù)與小數(shù)的加減、簡化運算步驟減少運算次數(shù)。一、定理一、定理設的近似值的近似值有位有效數(shù)字，位有效數(shù)字，xxn，則其相對誤差限，則其相對誤差限，反之，，反之，)1010(1

3、0)11(121???????????nnmaaax?)1(11021????nra?若其相對誤差限滿足：若其相對誤差限滿足：，則，則有位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。)1(110)1(21?????nra?xn二、誤差限的運算：二、誤差限的運算：221221211221212121||)(||)(||)()(||)(||)()()()(xxxxxxxxxxxxxxxxx????????????????三、誤差的傳播三、誤差的傳播)(|)(|)

4、)(()()()()())(()()(1111xxfxfxxxxxfxxfxxfxxxfxfxfiiniinnn??????????????????四、穩(wěn)定四、穩(wěn)定nn????1第二章第二章代數(shù)插值代數(shù)插值關鍵詞：拉氏插值、艾氏插值、樣條插值、等距插值、分片插值、線性插值、二次插值關鍵詞：拉氏插值、艾氏插值、樣條插值、等距插值、分片插值、線性插值、二次插值1設是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，已知它在上個互異點，)(xfy???ba??ba1?nni

5、iy0?若代數(shù)多項式在點處滿足則稱為函數(shù)的插)(xPix210)(niyxPii???)(xP)(xf3距離最近，即，則稱為???????????????ffxaxniiimin)()(0滿足)(x?在函數(shù)類意義下的最佳逼近函數(shù)。特別當范數(shù)為時，分別)(xf??中在范數(shù)???和2為最佳平方逼近和最佳一致逼近。常用的函數(shù)類次多項集合。次最佳平方逼近多項式和最佳一致逼近多項式都n為?n是存在惟一的。次最佳平方逼近多項式的系數(shù)滿足正規(guī)方程組n

6、)(x?ianifanjijji10)()(0????????逼近誤差，這里內積定義為????2222)()(fxxfnn???滿足??njijfa0)(?。為權函數(shù))()()()()(xdxxgxfxgfba????2、正交多項式的引入，可能簡化最佳平方逼近多項式的正規(guī)方程組的求解。常用的正交多項式有：切比雪夫多項式、勒讓德多項式、拉蓋爾多項式以及埃爾米特多項式。3、對數(shù)據進行曲線擬合，常用最小二乘法（最佳平方逼近）。其Niyxii1

7、0)(??擬合曲線及誤差的表達式同連續(xù)函數(shù)的情形完全一樣。只需把內積理解為???Niiiixgxfxgf0)()()()(?即可。第四章第四章數(shù)值積分和數(shù)值微分數(shù)值積分和數(shù)值微分關鍵詞：求積代數(shù)精度、機械積分公式、高斯點積分公式、關鍵詞：求積代數(shù)精度、機械積分公式、高斯點積分公式、牛頓牛頓柯特斯求積公式、柯特斯求積公式、矩形公式、梯形公式、矩形公式、梯形公式、辛普森公式辛普森公式、復化求積公式、差分、向前差分、向后差分、一階復化求積公式