第四章特征函數(shù)與極限定理

1、第十二十二次課次課2學(xué)時學(xué)時本次課教學(xué)重點：本次課教學(xué)重點：特征函數(shù)的定義與性質(zhì)本次課教學(xué)難點：本次課教學(xué)難點：常見分布的特征函數(shù)的計算本次課教學(xué)內(nèi)容：本次課教學(xué)內(nèi)容：第四章特征函數(shù)通過前面的討論我們已經(jīng)知道如何去計算隨機變量的數(shù)字特征，數(shù)字特征一般由各階矩決定，隨著階數(shù)的增高，矩的計算總是較麻煩的，另一方面，由于隨機現(xiàn)象錯綜復(fù)雜，一個隨機現(xiàn)象往往需要多個隨機變量來描述，甚至需要討論一列隨機變量依某種意義的收斂，從前面的討論我們就看到，

2、只利用分布函數(shù)和密度函數(shù)，求獨立隨機變量的和的分布都是較麻煩的（要計算密度函數(shù)的卷積），要解決復(fù)雜的多的問題，沒有更優(yōu)越的數(shù)學(xué)工具是不行的，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時我們就知道富里埃變換能把卷積運算變成乘法運算，它在數(shù)學(xué)中是非常重要而有效的工具，把富里埃變換引入到概率之中來，就產(chǎn)生了“特征函數(shù)”，可以毫不夸張地說，概率統(tǒng)計自從引進了特征函數(shù)以后，就把理論的研究推進到一個新的臺階。第一節(jié)特征函數(shù)定義與性質(zhì)一、定義本章中1??i定義4.1.1設(shè)是定義

3、在概率空間一個隨機變量，分布函數(shù)為，稱?)(PF?)(xF，（4.1）????itEet??????t為的特征函數(shù)。有時也稱為分布函數(shù)的特征函數(shù)。?)(xF由定義（4.2）???????????????????dxxfepetitxkkitak1?由，故（4.2）的級數(shù)或積分是絕對收斂，即的特征函數(shù)總存在。1?itxe?vr由（4.2）看出，的是其概率函數(shù)或密度函數(shù)的富里埃變換，計算特征函數(shù)?..vrfc.則需要進行復(fù)數(shù)求和或作實變量復(fù)

4、值函數(shù)的積分。作積分時有時會用到復(fù)變函數(shù)中的殘數(shù)ξa1a2…Pp1p2…當(dāng)ξ～f（x）當(dāng)積分是復(fù)變函數(shù)，在復(fù)平面上，沿平行于實軸的直線（或????????dxeitx2222ze?ty??）的積分，由閉路積分理論知，此積分等于同一函數(shù)沿實軸的積分itz?????????222dxex故?????????tett22?同樣可得，服從時，則其特征函數(shù)為??2~??aN?????????tettiat222??二、特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1在上一致

5、連續(xù)，且，，表??t???????t????10????t????tt??????t?示的共軛。??t?性質(zhì)2特征函數(shù)具有非負(fù)定性。??t?到此我們已看到特征函數(shù)較分布函數(shù)具有更加優(yōu)良的分析性質(zhì)：一致連續(xù)，非負(fù)定性一致連續(xù)，非負(fù)定性及有界性有界性?？梢宰C明：若實變元復(fù)值函數(shù)非負(fù)定，且，則是某隨機變量的特征??t???10????t?函數(shù)。性質(zhì)3設(shè)是的特征函數(shù)，則的特征函數(shù)為)(t??ba????????atetibt?????證明略。例

6、3.，求。??2~???N??t??記，故22te????????????22222ttittieeet??????????性質(zhì)4設(shè)的分別為，又相互獨立，則的為21??fc.????tt21??21??21?????fc.??????ttt21?????證：????????????ttEeEeeEeEeEettitititititi21212121?????????????????用歸納法可證，若分別為相互獨立的的為，則n??1?nvr