第四章特征函數(shù)與極限定理

1、第十二十二次課次課2學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)本次課教學(xué)重點(diǎn)：本次課教學(xué)重點(diǎn)：特征函數(shù)的定義與性質(zhì)本次課教學(xué)難點(diǎn)：本次課教學(xué)難點(diǎn)：常見(jiàn)分布的特征函數(shù)的計(jì)算本次課教學(xué)內(nèi)容：本次課教學(xué)內(nèi)容：第四章特征函數(shù)通過(guò)前面的討論我們已經(jīng)知道如何去計(jì)算隨機(jī)變量的數(shù)字特征，數(shù)字特征一般由各階矩決定，隨著階數(shù)的增高，矩的計(jì)算總是較麻煩的，另一方面，由于隨機(jī)現(xiàn)象錯(cuò)綜復(fù)雜，一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象往往需要多個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述，甚至需要討論一列隨機(jī)變量依某種意義的收斂，從前面的討論我們就看到，

2、只利用分布函數(shù)和密度函數(shù)，求獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布都是較麻煩的（要計(jì)算密度函數(shù)的卷積），要解決復(fù)雜的多的問(wèn)題，沒(méi)有更優(yōu)越的數(shù)學(xué)工具是不行的，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時(shí)我們就知道富里埃變換能把卷積運(yùn)算變成乘法運(yùn)算，它在數(shù)學(xué)中是非常重要而有效的工具，把富里埃變換引入到概率之中來(lái)，就產(chǎn)生了“特征函數(shù)”，可以毫不夸張地說(shuō)，概率統(tǒng)計(jì)自從引進(jìn)了特征函數(shù)以后，就把理論的研究推進(jìn)到一個(gè)新的臺(tái)階。第一節(jié)特征函數(shù)定義與性質(zhì)一、定義本章中1??i定義4.1.1設(shè)是定義

3、在概率空間一個(gè)隨機(jī)變量，分布函數(shù)為，稱(chēng)?)(PF?)(xF，（4.1）????itEet??????t為的特征函數(shù)。有時(shí)也稱(chēng)為分布函數(shù)的特征函數(shù)。?)(xF由定義（4.2）???????????????????dxxfepetitxkkitak1?由，故（4.2）的級(jí)數(shù)或積分是絕對(duì)收斂，即的特征函數(shù)總存在。1?itxe?vr由（4.2）看出，的是其概率函數(shù)或密度函數(shù)的富里埃變換，計(jì)算特征函數(shù)?..vrfc.則需要進(jìn)行復(fù)數(shù)求和或作實(shí)變量復(fù)

4、值函數(shù)的積分。作積分時(shí)有時(shí)會(huì)用到復(fù)變函數(shù)中的殘數(shù)ξa1a2…Pp1p2…當(dāng)ξ～f（x）當(dāng)積分是復(fù)變函數(shù)，在復(fù)平面上，沿平行于實(shí)軸的直線(xiàn)（或????????dxeitx2222ze?ty??）的積分，由閉路積分理論知，此積分等于同一函數(shù)沿實(shí)軸的積分itz?????????222dxex故?????????tett22?同樣可得，服從時(shí)，則其特征函數(shù)為??2~??aN?????????tettiat222??二、特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1在上一致

5、連續(xù)，且，，表??t???????t????10????t????tt??????t?示的共軛。??t?性質(zhì)2特征函數(shù)具有非負(fù)定性。??t?到此我們已看到特征函數(shù)較分布函數(shù)具有更加優(yōu)良的分析性質(zhì)：一致連續(xù)，非負(fù)定性一致連續(xù)，非負(fù)定性及有界性有界性?？梢宰C明：若實(shí)變?cè)獜?fù)值函數(shù)非負(fù)定，且，則是某隨機(jī)變量的特征??t???10????t?函數(shù)。性質(zhì)3設(shè)是的特征函數(shù)，則的特征函數(shù)為)(t??ba????????atetibt?????證明略。例

6、3.，求。??2~???N??t??記，故22te????????????22222ttittieeet??????????性質(zhì)4設(shè)的分別為，又相互獨(dú)立，則的為21??fc.????tt21??21??21?????fc.??????ttt21?????證：????????????ttEeEeeEeEeEettitititititi21212121?????????????????用歸納法可證，若分別為相互獨(dú)立的的為，則n??1?nvr