[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件第四章大數(shù)定律及中心極限定理

1、1,第四章 數(shù)學(xué)期望和方差,分布函數(shù)能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特性，但在實際問題中，隨機變量的分布函數(shù)較難確定，而它的一些數(shù)字特征較易確定．并且在很多實際問題中，只需知道隨機變量的某些數(shù)字特征也就夠了.,另一方面，對于一些常用的重要分布，如二項分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等，只要知道了它們的某些數(shù)字特征，就能完全確定其具體的分布。,2,3,引例: 測量 50 個圓柱形零件直徑（見下表）,則這 50 個零件的平均直徑

2、為,§4.1 數(shù)學(xué)期望,4,換個角度看，從這50個零件中任取一個，它的尺寸為隨機變量X , 則X 的概率分布為,則這 50 個零件的平均直徑為,稱之為這 5 個數(shù)字的加權(quán)平均，數(shù)學(xué)期望的概念源于此.,5,定義1.1：設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為,若無窮級數(shù),絕對收斂，則稱其和為隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望或均值，記作 E( X )。,6,常見離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,(1) 兩點分布 這時 P(X=1)=p, P(X=

3、0)=1-p. 故,(2)二項分布 X的取值為0,1,…,n. 且 P(X=k)= Cnk pk (1-p)n-k, k= 0, 1, …, n.,E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)= p.,7,(3)泊松分布 X的所有可能取值為0,1,2,…,且,8,(4)幾何分布 X的可能取值為1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,…

4、.,由于,這可以由等式,兩邊同時對x求導(dǎo)數(shù)得到。,9,例1：,10,例1（續(xù)）,11,例2.對產(chǎn)品進(jìn)行抽樣，只要發(fā)現(xiàn)廢品就認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格，并結(jié)束抽樣。若抽樣到第 n件仍未發(fā)現(xiàn)廢品則認(rèn)為這批產(chǎn)品合格。假設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，抽查到廢品的概率是 p，試求平均需抽查的件數(shù)。,解：,設(shè)X為停止檢查時，抽樣的件數(shù)，則X的可能取值為1,2,…,n，且,12,例2.（續(xù)）,13,定義1. 2 ：設(shè) X 為連續(xù)型隨機變量, 其密度　函數(shù)為　　，若積分,

5、絕對收斂，則稱此積分為隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望或均值，記作 E( X )。,注意：隨機變量的數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)就是加權(quán) 平均數(shù)，它是一個數(shù)，不再是隨機變量。,14,(5) 區(qū)間(a,b)上的均勻分布,于是,常見連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望,隨機變量X的概率密度為,15,(6)正態(tài)分布N(μ,σ2 ),因此, 對于正態(tài)分布N(μ,σ2 ),參數(shù)μ就是它的數(shù)學(xué)期望.,隨機變量X的概率密度為,16,(7)指數(shù)分布E(?),隨機變量X的概率密度為,1

6、7,注意：不是所有的隨機變量都有數(shù)學(xué)期望,例如：Cauchy分布的密度函數(shù)為,它的數(shù)學(xué)期望不存在,18,定理1.1.設(shè)X的數(shù)學(xué)期望有限，概率密度f(x)關(guān)于 對稱，f( +x) = f( -x)。則E(X)= 。,證明：令g(t)＝tf(t+ )，由g(-t)＝-g(t)知g(t)是奇函數(shù)。于是，,推論1.2.若X～N( )，則 E(X)= 。 若X～U( a,b ), 則 E(X)＝(a+b)/2

7、。,19,,解:,注: 由于f(x)是偶函數(shù)，由定理1.1也知E(X)=0。,20,設(shè)已知隨機變量X的分布，我們需要計算的不是X的數(shù)學(xué)期望，而是X的某個函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，比如說g(X)的數(shù)學(xué)期望. 那么應(yīng)該如何計算呢？,§4.2 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),更一般的，已知隨機向量(X1 , X2 …,Xn )的聯(lián)合分布， Y= g(X1, X2 …,Xn )是(X1 , X2 …,Xn

8、)的函數(shù),需要計算Y 的數(shù)學(xué)期望，應(yīng)該如何計算呢？我們下面就來處理這個問題。,21,一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出. 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照數(shù)學(xué)期望的定義把E[g(X)]計算出來.,22,那么是否可以不先求出g(X)的分布而只根據(jù)X的分布直接求得E[g(X)]呢？,下面的基本公式指出，答案是肯定的.,使用上述方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分布，有時是比較

9、復(fù)雜的 .,23,設(shè)X=(X1 ,…, Xn)為離散型隨機向量，概率 分布為,Z = g(X1 ,…, Xn),,若,則,24,設(shè)X=(X1 ,…, Xn)為連續(xù)型隨機向量，聯(lián)合 密度函數(shù)為,Z = g(X1 ,…, Xn),,若積分,絕對收斂，則,25,一維情形,設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)： Y=g(X), g(x) 是連續(xù)函數(shù)， (1) X是離散型隨機變量，其分布律為 若

10、 絕對收斂, 則,(2) X 是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x).若 絕對收斂, 則,26,例4.設(shè)離散型隨機向量X的概率分布如下表所示,求:Z=X2的期望.,27,例5: 設(shè)隨機變量X 服從 二項分布B(n , p), Y = eaX,

11、 求E(Y)。,解:,28,例6.設(shè)二維離散型隨機向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.,E(Z)= g(1,1)?0.125 + g(1,2)?0.25 + g(2,1)?0.5 + g(2,2)?0.125,解:,=4.25,注：這里的,29,例7: 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為,其中λ>0, 0<p<1, 求E(XY).,解:,30,注意到二項分布B(n , p)的數(shù)

12、學(xué)期望,就有,于是,注: 最后一步用了泊松分布數(shù)學(xué)期望的結(jié)果.,31,例8: 設(shè)X ~ U[0,?], Y =sinX,求E(Y)。,解: X 的概率密度為,所以,32,例9 設(shè)二維隨機變量(X ,Y)的密度函數(shù)為,求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X),解:,33,34,注意：X ,Y 相互獨立,35,36,解：,設(shè)每年生產(chǎn) y 噸的利潤為Y,顯然，2000 < y < 4000,

13、例10. 市場上對某種產(chǎn)品每年的需求量為X 噸 ， X ~ U [2000,4000], 每出售一噸可賺3萬元 ,售不出去，則每噸需倉庫保管費1萬元，問應(yīng)該生產(chǎn)這中商品多少噸, 才能使平均利潤最大？,37,38,最終，,顯然，y = 3500 時，E (Y )最大，,E(Y)max =8250萬元.,39,例11.假設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑 X (mm)~ N (? ,1). 已知銷售每個零件的利潤T (元)與銷售零件的內(nèi)徑

14、 X 有如下的關(guān)系：,問平均直徑? 為何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？,40,解：,則由數(shù)學(xué)期望定義知：,例11.（續(xù)）,41,即：,,,可以驗證，,42,解：(1) 設(shè)整機壽命為 N ,,五個獨立元件,壽命分別為,都服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布，若將它們 (1)串聯(lián)； (2)并聯(lián) 成整機，求整機壽命的均值.,例12.,43,即 N ~ E( 5?),,(2) 設(shè)整機壽命為 M ,,例12.（續(xù)）,44,可見，并聯(lián)組

15、成整機的平均壽命比串聯(lián)組成整機的平均壽命長11倍之多.,注： 128頁的4.20與此例為同一模型。,例12.（續(xù)）,45,E (C ) = C,E (aX ) = a E (X ),E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ),,,當(dāng)X ,Y 相互獨立時，,E (X Y ) = E (X )E (Y ) .,46,性質(zhì) 4 的逆命題不成立，即,若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互獨立.,反例1,p?

16、j,pi?,注,47,但,48,若X ≥0，且EX 存在，則EX ≥0。,推論: 若X ≤Y，則EX ≤EY；特別地，若 a≤X≤b，a , b為常數(shù)，則a ≤EX ≤b .,證明：設(shè) X 為連續(xù)型，密度函數(shù)為f (x), 則 由X ≥0 得：,所以,49,性質(zhì)2和3,性質(zhì)4,例1.設(shè) X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X 與Y 相互獨立，求 E(3X＋2XY－Y＋5)。,解：,由已知， 有 E(X)＝10, E

17、(Y)＝3.,50,例2.(二項分布 B(n,p)) 設(shè)單次實驗成功的概率是 p，問n次獨立重復(fù)試驗中，期望幾次成功？,解: 引入,則 X＝ 是n次試驗中的成功次數(shù)。,因此，,這里， X～B(n,p)。,51,例3:將 4 個可區(qū)分的球隨機地放入 4 個盒子 中，每盒容納的球數(shù)無限，求空著的盒子 數(shù)的數(shù)學(xué)期望.,解一:設(shè) X 為空著的盒子數(shù), 則 X 的概率分

18、 布為,52,解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4.,53,例4. 將n個球放入M個盒子中,設(shè)每個球落入各個盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù) X 的期望。,解:,引入隨機變量:,則 X=X1+X2+…+XM ,于是,E(X)=E(X1)+E(X2)+ …+E(XM).,每個隨機變量Xi都服從兩點分布,i=1,2,…,M.,54,注：129頁4.27以此題為模型。,55,解：,設(shè)X是前10次生產(chǎn)的產(chǎn)品中的正品數(shù)，并設(shè),56

19、,例5.（續(xù)）,57,例6. 某廠家的自動生產(chǎn)線， 生產(chǎn)一件正品的概率為 p (0<p<1)，生產(chǎn)一件次品的概率為q=1-p。生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為c元，正品的價格為s元，次品不能出售。這樣，廠家生產(chǎn)一件正品獲利s－c元， 生產(chǎn)一件次品虧損c元（假定每個產(chǎn)品的生產(chǎn)過程是相互獨立的）。 若生產(chǎn)了N件產(chǎn)品，問廠家所獲利潤的期望值是多少？,解：設(shè)第j個產(chǎn)品的利潤,58,則