信號與系統(tǒng)課件(鄭君里版)第一章

1、第一章 信號和系統(tǒng),1.1 緒論,一、信號的概念 消息(message)：常常把來自外界的各種報(bào)道統(tǒng)稱 為消息。信息(information)：通常把消息中有意義的內(nèi)容稱 為信息。信號(signal)：信號是反映信息的各種物理量，是 系統(tǒng)直接進(jìn)行加工、變換以實(shí)現(xiàn)通信的對象。信號是信息的表現(xiàn)形式，信息是信號的具體內(nèi)容。信號是信

2、息的載體，通過信號傳遞信息。,二、系統(tǒng)的概念 系統(tǒng)(system)是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。,,,,自然和物理信號：語音、圖像、地震信號、生理信號等人工產(chǎn)生的信號：人類為了達(dá)到某種目的人為產(chǎn)生的信號。雷達(dá)信號、通訊信號、醫(yī)用超聲信號、機(jī)械探傷信號等。,1.2 信號的描述和分類,一、信號的描述 1、數(shù)學(xué)描述：使用具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式，把信號描述為一個(gè)或若干個(gè)自變量的函數(shù)或序列的形式。2、波形描述：按照函

3、數(shù)自變量的變化關(guān)系，把信號的波形畫出來。 “信號”與“函數(shù)”兩詞常相互通用。,二、信號的分類1. 確定信號和隨機(jī)信號 確定信號或規(guī)則信號 ：可以用確定時(shí)間函數(shù)表示的信號 隨機(jī)信號:若信號不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時(shí)刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計(jì)特性,連續(xù)時(shí)間信號：在連續(xù)的時(shí)間范圍內(nèi)(-∞<t<∞）有定義的信號稱為連續(xù)時(shí)間信號，簡稱連續(xù)信號。實(shí)際中也常稱為模擬信號。 離散時(shí)間信號：僅在一些離散的瞬

4、間才有定義的信號稱為離散時(shí)間信號，簡稱離散信號。實(shí)際中也常稱為數(shù)字信號。,2. 連續(xù)信號和離散信號,通常取等間隔T，離散信號可表示為f(kT)，簡寫為f(k)，這種等間隔的離散信號也常稱為序列。其中k稱為序號。f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}↑k=0通常將對應(yīng)某序號m的序列值稱為第m個(gè)樣點(diǎn)的“樣值”。,3. 周期信號和非周期信號,周期信號：是指一個(gè)每隔一定時(shí)間T，按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號。 (在較長時(shí)

5、間內(nèi)重復(fù)變化) 連續(xù)周期信號f(t)滿足f(t) = f(t + mT)， 離散周期信號f(k)滿足f(k) = f(k + mN)， 滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號的周期。 非周期信號：不具有周期性的信號稱為非周期信號。,[例1.2.1] 判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπt

6、解：兩個(gè)周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。,（1） sin2t 是周期信號，其角頻率和周期分別為 ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs cos3t 是周期信號，其角頻率和周期分別為 ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ ω2= (2π/3) s

7、由于T1/T2= 3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2π。,（2） cos2t 和sinπt的周期分別為T1= πs， T2= 2 s， 由于T1/T2為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號。 結(jié)論： ①連續(xù)正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定是周期序列。 ②兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。,4．能量信號與功率信號,信號可看作是隨時(shí)間變化的電壓或電

8、流，信號 f (t)在１歐姆的電阻上的瞬時(shí)功率為| f (t)|²，在時(shí)間區(qū)間所消耗的總能量和平均功率分別定義為：能量信號：信號總能量為有限值而信號平均功率為零。功率信號：平均功率為有限值而信號總能量為無限大。,特點(diǎn)：信號 f (t)可以是一個(gè)既非功率信號，又非能量信號，如單位斜坡信號。但一個(gè)信號不可能同時(shí)既是功率信號，又是能量信號。周期信號都是功率信號；非周期信號可能是能量信號 [ t??, f (t)=0],

9、 也可能是功率信號[ t??, f (t)≠0]。,5．一維信號與多維信號 信號可以表示為一個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)，稱為一維或多維函數(shù)。 本課程只研究一維信號，且自變量多為時(shí)間。6．因果信號 若當(dāng) t 0 時(shí) f (t) ≠0的信號,稱為因果信號。 而若t 0 ，t ≥ 0， f(t) =0的信號稱為反因果信號。 注意非因果信號指的是在時(shí)間零點(diǎn)之前有非零值。,1.2 信號的基

10、本運(yùn)算,一、信號的＋、－、×運(yùn)算 兩信號f1(·) 和f2 (·)的相＋ 、－、×指同一時(shí)刻兩信號之值對應(yīng)相加減乘。如,二、信號的時(shí)間變換運(yùn)算,1. 平移 將f (t) → f (t + t0) ， f (k) → f (t + k0)稱為對信號f (·)的平移或移位。若t0 (或k0)< 0，則將f (·)右移；否則左移。,f (t-t0)將

11、 f (t) 延遲時(shí)間 t0 ；即將 f (t) 的波形向右移動(dòng) t0 。,f (t+t0)將 f (t) 超前時(shí)間 t0 ；即將 f (t) 的波形向左移動(dòng) t0 。,2. 反轉(zhuǎn) 將f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 稱為對信號f (·)的反轉(zhuǎn)或反折。從圖形上看是將f (·)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。如,3. 尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）,將f (t) → f (a

12、 t) ， 稱為對信號f (t)的尺度變換。若a >1 ，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0 1 則 f (at)將 f (t)的波形沿時(shí)間軸壓縮至原來的1/a,,壓縮,（2）0<a <1 則 f (at)將 f (t)的波形沿時(shí)間軸擴(kuò)展至原來的1/a。,,擴(kuò)展,對于離散信號，由于f (a k) 僅在為a k 為整數(shù)時(shí)才有意義， 進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。,[例1.3.1]已知信號f

13、(t)的波形如圖所示，試畫出f(2-t)的波形解：平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合，注意：是對t 的變換！,法一：①先平移f (t) → f (t +2) ②再反轉(zhuǎn)f (t +2) → f (– t +2)法二：①先反轉(zhuǎn)f (t) → f (– t) ②再平移f (– t) → f (– t +2),[例1.3.2] （1）已知信號f(t)的波形如圖所示，試畫出f(-2t-4)的波形解：平移、反轉(zhuǎn)、尺度

14、變換相結(jié)合，三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意始終對時(shí)間t 進(jìn)行,法一：也可以先平移、再壓縮、最后反轉(zhuǎn),法二：也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn),（2）若已知f (– 4 – 2t) ，畫出f (t) 。 解：,三、信號的微分和積分1、微分：信號f(t)的微分運(yùn)算指f(t)對t取導(dǎo)數(shù)，即2、積分：信號f(t)的積分運(yùn)算指f(t)在（-∞，t）區(qū)間內(nèi)的定積分，表達(dá)式為：,,,,結(jié)論：（1）信號經(jīng)過微分運(yùn)算后突出顯示了它的變化部分

15、，起到了銳化的作用；（2）信號經(jīng)過積分運(yùn)算后，使得信號突出變化部分變得平滑了，起到了模糊的作用；利用積分可以削弱信號中噪聲的影響。,,,,1.4 階躍信號和沖激信號一、典型的連續(xù)時(shí)間信號,信號將隨時(shí)間而增長,信號將隨時(shí)間而衰減；,信號不隨時(shí)間而變化，為直流信號,（對時(shí)間的微、積分仍是指數(shù)）,,（對時(shí)間的微、積分仍是同頻率正弦）,,正弦信號是周期信號，其周期T與角頻率w 和頻率f滿足下列關(guān)系式：,（2）正弦信號：,實(shí)部、虛部都為正（

16、余）弦信號，指數(shù)因子實(shí)部?表征實(shí)部與虛部的正、余弦信號的振幅隨時(shí)間變化的情況，?表示信號隨角頻率變化的情況。,(3)復(fù)指數(shù)信號,Sa(t)具有以下性質(zhì)：,(4)抽樣信號,,,,,,,,,,,,,,,（高斯函數(shù)）,,鐘形信號在隨機(jī)信號分析中占有重要地位。,二、單位階躍函數(shù) 1、定義,,u(t)= 0 ， （t0）,（采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù) ）,,2、階躍函數(shù)的性質(zhì)：（1）可以方便地表示某些信號 eg: f(t)

17、= 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2),（2）用階躍函數(shù)表示信號的作用區(qū)間,（3）積分,,三、單位沖激函數(shù) 單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。 1、定義：,,,面積為1,2、沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系:,,,加權(quán)特性,抽樣特性,3、性質(zhì)：,單位沖激函數(shù)為偶函數(shù),,,,,,2、δ(t) 的尺度變換,這里 a 和 t0為常數(shù)，且a?0。,3、 沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t) （也

18、稱沖激偶）,（1）定義： 稱單位二次沖激函數(shù)或沖激偶。,（2）沖激偶的性質(zhì),沖激偶的抽樣特性:,沖激偶的加權(quán)特性:,沖激偶?’(t)是 t 的奇函數(shù):,四、序列δ(k)和 u(k)（1）單位(樣值)序列δ(k)的定義：,取樣性質(zhì)：,（2）單位階躍序列u(k)的定義,（3）u(k)與δ(k)的關(guān)系 δ(k) = u(k) –u(k –1) u(k) = δ(k)+ δ(k –1

19、)+…,u,u,五、信號的分解信號從不同角度分解： 直流分量與交流分量 偶分量與奇分量 脈沖分量 實(shí)部分量與虛部分量 正交函數(shù)分量 利用分形理論描述信號,1、直流分量與交流分量,其中fD為直流分量即信號的平均值；,直流分量fD與交流分量fA(t):,2、偶分量與奇分量,（1）一種分解為矩形窄脈沖分量：,3、脈沖分量,（2）另一分解為階躍信號分量之疊加。

20、,4.實(shí)部分量與虛部分量,對于瞬時(shí)值為復(fù)數(shù)的信號f(t)可分解為實(shí)、虛部兩個(gè)部分之和。,其實(shí)部為：,其復(fù)數(shù)信號的模為：,其虛部為：,5、正交函數(shù)分量,用正交函數(shù)集來表示一個(gè)信號，組成信號的各分量就是相互正交的。,1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類,一、系統(tǒng)的定義 若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。二、系統(tǒng)的分類及性質(zhì) 1. 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 輸入和輸出均為連續(xù)時(shí)間信號的系統(tǒng)稱為

21、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。 輸入和輸出均為離散時(shí)間信號的系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng)。 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是用微分方程來描述，而離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是用差分方程來描述。,2. 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng) 若系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，而且與它過去的歷史狀況有關(guān)，則稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。 含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。否則稱即時(shí)系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng)。3. 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

22、 能同時(shí)滿足齊次性與疊加性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。滿足疊加性是線性系統(tǒng)的必要條件。 不能同時(shí)滿足齊次性與疊加性的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。,,4. 時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng) 滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。時(shí)不變性質(zhì): 若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時(shí)間，其激勵(lì)引起的響應(yīng)也延遲多少時(shí)間， 即若T[{0}，f(t)] = yf(t)， T[{0}，f(t - td)] = yf(t - td)。,,,5、 因

23、果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) 激勵(lì)引起的響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)在激勵(lì)之前的系統(tǒng)，稱為因果系統(tǒng) 即對因果系統(tǒng)，當(dāng)t < t0 ，f(t) = 0時(shí)，有t < t0 ，yf(t) = 0。如：下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：yf(t) = 3f(t – 1) 而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)： (1) yf(t) = 2f(t + 1)， 因?yàn)椋顃=1時(shí)，有yf(1) = 2f(2) (2) yf(t) = f(2t)，因?yàn)?，若f(t)

24、= 0， t < t0 ，有yf(t) = f(2t)=0, t < 0.5 t0 。 也就是說，如果響應(yīng)r(t)并不依賴于將來的激勵(lì)[如e(t+1)]，那么系統(tǒng)就是因果的。,,,6. 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng) 一個(gè)系統(tǒng)，若對有界的激勵(lì)f(.)所產(chǎn)生的響應(yīng)yf(.)也是有界時(shí)，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。 即若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞ 則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,,

25、三、線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI,Linear Time-Invariant) （1）LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性 ①微分特性： 若f (t) → yf(t) ， 則f ’(t) → y ’ f (t) ②積分特性： 若f (t) → yf(t) ， 則 →,,,,(2）線性性質(zhì)的判別 a) 線性性質(zhì)包括兩方面：齊次性和可加性。 T [af (·)] = a T [ f

26、 (·)]則稱該系統(tǒng)是齊次的。 T [ f1(·)+ f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] 則稱該系統(tǒng)是可加的。 若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是線性的，即T[a f1(·) + bf2(·)] = a T[ f1(·)] + bT[ f2(·)],,b)判別條件: 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì){

27、 f (·) }有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān)。初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵(lì)”。完全響應(yīng)可寫為: y (·) = T [{ f (·) }, {x(0)}]零狀態(tài)響應(yīng)為: yf(·) = T [{ f (·) }, {0}]零輸入響應(yīng)為: yx(·) = T [ {0}，{x(0)}],,判別條件:當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：

28、①可分解性：y (·) = yf(·) + yx(·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}]②零狀態(tài)線性：T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f1(t) + f2(t) }, {0}] = T[{ f1 (·) }, {0}] + T[{ f2 (·) }, {0}]

29、或T[{af1(t) +bf2(t) }, {0}] = aT[{ f1 (·) }, {0}] +bT[{ f2 (·) }, {0}],,,③零輸入線性：T[{0},{ax(0)}]= aT[ {0},{x(0)}]T[{0},{x1(0) + x2(0)} ]= T[{0},{x1(0)}] + T[{0},{x2(0)}]或T[{0},{ax1(0) +bx2(0)} ]= aT[{0},{x1

30、(0)}] +bT[{0},{x2(0)}],[例1.5.1]判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1（2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)|（3）解： （1） yf(t) = 2 f (t) +1， yx(t) = 3 x(0) + 1 顯然， y (t) ≠ yf(t) ＋ yx(t) 不滿足可分解性，故為非線性 。,,（

31、2） yf(t) = | f (t)|， yx(t) = 2 x(0) y (t) = yf(t) + yx(t) 滿足可分解性； 由于T[{a f (t) }, {0}] = | af (t)| ≠ a yf(t) 不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。,(3),滿足可分解性,滿足零狀態(tài)線性,滿足零狀態(tài)線性,所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。,[例1.5.2]判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1） yf (k) = f (k

32、) f (k –1)（2） yf (t) = t f (t)（3） yf (t) = f (– t)解：(1)令g (k) = f(k –kd)T[{0}， g (k)] = g(k) g (k –1) = f (k –kd) f (k–kd –1 )而yf (k –kd) = f (k –kd) f (k–kd –1)顯然T[{0}，f(k –kd)] = yf (k –kd) 故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。,(2) 令g (t)

33、 = f(t –td) T[{0}， g (t)] = t g (t) = t f (t –td) 而y f (t –td)= (t –td) f (t –td) 顯然T[{0}，f(t –td)] ≠ y f (t –td) 故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。(3) 令g (t) = f(t –td) , T[{0}，g (t) ] = g (– t) = f(– t –td) 而y f

34、(t –td) = f [–( t – td)]，顯然 T[{0}，f(t –td)] ≠ y f (t –td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。 直觀判斷方法：若f (·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。,[例1.5.3] 某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0–)。已知，當(dāng)x(0–) =1，輸入因果信號f1(t)時(shí)，全響應(yīng)y1(t) = + cos(πt)，t>0；當(dāng)x(

35、0-) =2，輸入信號f2(t)=3f1(t)時(shí)，全響應(yīng)y2(t) = –2 +3 cos(πt)，t>0；求輸入f3(t) = +2f1(t-1)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：設(shè)當(dāng)x(0–) =1，輸入因果信號f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y1x(t)、y1f(t)。 當(dāng)x(0-) =2，輸入信號f2(t)=3f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y2x(t)、y2f(t)。,,由

36、題中條件，有 y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = + cos(πt)，t>0 （1） y2(t)= y2x(t) + y2f(t) = –2 +3 cos(πt)，t>0 （2）根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性 y2x(t) = 2y1x(t)，

37、 y2f(t) =3y1f(t)，,代入式（2）得y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = –2 +3 cos(πt)，t>0 （3）式(3)– 2×式(1)，得y1f(t) = –4 + cos(πt)，t>0由于y1f(t) 是因果系統(tǒng)對因果輸入信號f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng)t<0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改寫成y1f(t) = [–4

38、 + cos(πt)]u(t) (4),根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性 → = –3δ(t) + [4 –sin(πt)]u(t)根據(jù)LTI系統(tǒng)的時(shí)不變特性f1(t–1) →y1f(t – 1) ={ –4 + cos[π(t–1)]}u(t–1)由線性性質(zhì)，得：當(dāng)輸入f3(t) = +2f1(t–1)時(shí)，y3f(t) =

39、 + 2y1(t–1) = –3δ(t) + [4 –πsin(πt)]u(t)+ 2{–4 + cos[π(t–1)]}u(t–1),,,,1.6 系統(tǒng)的描述 描述連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，描述離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。一、連續(xù)系統(tǒng)1. 解析描述——建立數(shù)學(xué)模型補(bǔ)充： KVL可描述為：對于任一網(wǎng)絡(luò)中的任一回路，在任一時(shí)刻，沿該回路的所有電壓降的代數(shù)和恒等于零

40、。Σu =0 。,對于線性時(shí)不變電容元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到以下關(guān)系式 對于線性時(shí)不變電感元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到,,,圖示RLC電路，以uS(t)作激勵(lì)，以uC(t)作為響應(yīng)，由 KVL和 VAR列方程，并整理得二階常系數(shù)線性微分方程。,,,2. 系統(tǒng)的框圖描述 上述方程從數(shù)學(xué)角度來說代表了某些運(yùn)算關(guān)系：相乘、微分、相加運(yùn)算。

41、 將這些基本運(yùn)算用一些理想部件符號表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運(yùn)算關(guān)系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡稱框圖。 積分器：,,,加法器： 數(shù)乘器：,,,[例1.6.1]：已知y”(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，畫框圖。解：將方程寫為y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t),,,[例1.6.2]：已知y”(t)

42、+ 3y’(t)+ 2y(t) = 4f’(t) + f(t)，畫框圖。解：該方程含f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿足x”(t) + 3x’(t)+ 2x(t) = f(t) 可推導(dǎo)出y(t) = 4x’(t) + x(t)，它滿足原方程。,,,[例1.6.3]：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。 解：設(shè)輔助變量x(t)如圖x”(t) = f(t) – 2x’(t) –3x(t) ,即x”(

43、t) + 2x’(t) + 3x(t) = f(t)y(t) = 4x’(t)+ 3x(t)根據(jù)前面，逆過程，得y”(t) + 2y’(t) + 3y(t) = 4f’(t)+ 3f(t),,二、離散系統(tǒng)1. 解析描述——建立差分方程例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為β元/元，求第k個(gè)月初存折上的款數(shù)。 設(shè)第k個(gè)月初的款數(shù)為y(k),這個(gè)月初的存款為f(k),上個(gè)月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為βy(k-

44、1),則y(k)=y(k-1)+ βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1) = f(k) 若設(shè)開始存款月為k=0，則有y(0)= f(0)。,,,所謂差分方程是指由未知輸出序列項(xiàng)與輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程。 未知序列項(xiàng)變量最高序號與最低序號的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。 由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。 描述LTI系統(tǒng)的是線性常系數(shù)差分方程。,,2. 差分方

45、程的模擬框圖 基本部件單元有：數(shù)乘器，加法器，遲延單元（移位器） 遲延單元,[例1.6.4]：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。解：設(shè)輔助變量x(k)如圖 x(k)= f(k) – 2x(k-1) – 3x(k-2)即x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1

46、) + 5f(k-2),,1.7 LTI系統(tǒng)分析概述 系統(tǒng)分析研究的主要問題：對給定的具體系統(tǒng)，求出它對給定激勵(lì)的響應(yīng)。具體地說：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答。一、分析方法系統(tǒng)的分析方法：輸入輸出法（外部法） 狀態(tài)變量法（內(nèi)部法）外部法 ：時(shí)域分析（用經(jīng)典的方法求解微分方程和差分方程。） 變換域法 連續(xù)系統(tǒng)—頻域法和復(fù)頻域法，離散系

47、 統(tǒng)—z域法,,二、求解思路（1）把零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分開求。（2）把復(fù)雜信號分解為眾多基本信號之和，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性：多個(gè)基本信號作用于線性系統(tǒng)所引起的響應(yīng)等于各個(gè)基本信號所引起的響應(yīng)之和。采用的數(shù)學(xué)工具：（1）卷積積分與卷積和（2）傅里葉變換（3）拉普拉斯變換（4）Z變換,,本章總結(jié)：1、信號和系統(tǒng)的概念 2、信號的分類 ，信號的基本運(yùn)算、變換運(yùn)算 3、階躍函數(shù)u(t)和沖激函數(shù)δ(t